本文提出了一个基于特征滤波器的伪正交镜像滤波器组的设计方法。在该方法中,仅仅需要调整原型滤波器的通带边缘频率就可得到伪正交镜像滤波器组。原型滤波器是通过特征滤波器法设计的,原型滤波器的系数向量是通过求解一个实对称矩阵的最小特征值对应的特征向量得到的。由于无需求解全部的特征向量,因而具有较高的计算效率。设计实例表明,采用本文方法可以获得高阻带衰减的伪正交镜像滤波器组。 This paper presents an eigenfilter based design method of Pseudo QMF Banks. Only the passband edge frequency of the prototype filter of the Pseudo QMF Banks is adjusted in the optimization. The prototype filter is designed using the eigenfilter method. The coefficient vector of the prototype filter is obtained by the eignvector corresponding to the minimum eigenvalue of a real symmetric matrix. This method is efficient since only a single eigenvector is required. A design example is presented to show that Pseudo QMF Banks with high stopband attenuation can be obtained with this method.
韩雨彤
西安交通大学附属中学,陕西 西安
收稿日期:2019年11月23日;录用日期:2019年12月11日;发布日期:2019年12月18日
本文提出了一个基于特征滤波器的伪正交镜像滤波器组的设计方法。在该方法中,仅仅需要调整原型滤波器的通带边缘频率就可得到伪正交镜像滤波器组。原型滤波器是通过特征滤波器法设计的,原型滤波器的系数向量是通过求解一个实对称矩阵的最小特征值对应的特征向量得到的。由于无需求解全部的特征向量,因而具有较高的计算效率。设计实例表明,采用本文方法可以获得高阻带衰减的伪正交镜像滤波器组。
关键词 :伪正交镜像滤波器组,特征滤波器,Nyquist滤波器
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M通道多速率滤波器组(如图1所示)在图像压缩、数字通信、雷达等很多领域都有广泛的应用 [
图1. M通道多速率滤波器组
Koilpillai和Vaidyanathan建立了伪正交镜像滤波器组的精确重构条件,给出了满足精确重构条件的格型结构 [
在伪正交镜像滤波器组中,原型滤波器
其中
要使伪正交镜像滤波器组具有近似重构性,原型滤波器
整个伪正交镜像滤波器组具有线性相位响应,重构信号没有相位失真,因而只需要考虑幅度失真和混叠失真。满足条件(4)可以消除幅度失真。混叠失真来自于相邻子带和非相邻子带。相邻子带产生的混叠是混叠的主要部分,可在余弦调制中通过选择合适的相位因子加以消除。高阻带衰减可以近似满足条件(3),从而大大抑制非相邻子带产生的混叠。
传统上,设计原型滤波器的方法有最小二乘法,Parks-McClellan算法等方法。最小二乘法需要矩阵求逆运算,因而计算量大,并且对高阶滤波器的设计存在数值问题。Parks-McClellan算法无法兼容时域约束和频域约束。本文则将原型滤波器表示为特征滤波器,原型滤波器的系数向量是通过求解一个实对称矩阵的最小特征值对应的特征向量得到的,不需要求出其它特征向量,因而可以用高效的算法计算。
为简单起见,假定原型滤波器的长度N是偶数。原型滤波器具有线性相位,其脉冲相应
因此,只有一半的原型滤波器系数需要求解。原型滤波器的频率响应
其中
其中
定义
则有
对于一个典型的低通滤波器,其典型的期望响应
其中
为了逼近期望响应
其中
显然原型滤波器阻带误差能量
为了将通带误差能量
其中
其中
定义总的误差能量E为阻带误差能量
其中
显然
经典的滤波器组优化设计需要优化设计原型滤波器的系数。当滤波器长度很长时,需要优化大量的滤波器系数,因而计算量很大且难以获得高的阻带衰减。下面我们仅优化原型滤波器的通带边缘频率
显然,一个有限长度的原型滤波器无法精确满足条件(3)和(4)。条件(3)可以通过高阻带衰减近似满足。条件(4)可以作为目标函数进行极小化。然而该目标函数需要在频域用一系列密集的网格进行离散化处理和计算,因而计算量大且不准确。
满足精确重构条件的原型滤波器
因此滤波器
所以我们极小化下列目标函数
其中
由于不需要计算全部的
整个滤波器组的优化设计过程归纳如下:
1) 选择滤波器组的通道数 M 和滤波器长度N。设定原型滤波器
2) 选择通带边缘频率
3) 计算
4) 用上述特征滤波器法设计原型滤波器
5) 根据式(24)计算目标函数。
6) 如果相邻两次迭代中目标函数变化小于一个预先指定的值,则优化停止,否则转向下一步。
7) 如果本次迭代的目标函数小于上次迭代的目标函数,转向3),否则令b = b/2, a = −a转向3)。
在每次迭代过程中都需要设计一次原型滤波器,因此采用了高效的特征滤波器法和单参数优化方法可以大大降低整个滤波器组的设计复杂度。
根据上述优化设计方法,设计了一个5通道伪正交镜像滤波器组。图2给出了原型滤波器的幅度响应。图3给出了分析滤波器组的幅度响应。可见,滤波器组具有很高的阻带衰减,阻带衰减约为−100 dB。
图2. 原型滤波器的幅频响应
图3. 分析滤波器组的幅频响应
伪正交镜像滤波器组的设计通常需要优化大量的参数,本文提出了一个基于特征滤波器法的单参数优化设计方法。在该方法中,仅仅需要调整原型滤波器的通带边缘频率就可得到高阻带衰减的滤波器组。原型滤波器的系数向量是通过求解一个实对称矩阵的最小特征值对应的特征向量得到的。由于无需求解全部的特征向量,因而具有较高的计算效率。此外,根据Nyquist滤波器的性质,本文在滤波器组的优化设计中还提出了一种基于抽取的时域目标函数,避免了传统方法需要频域离散化的缺点,进一步降低了计算量,特别适合于设计高复杂度的滤波器组。
韩雨彤. 伪正交镜像滤波器组的单参数优化设计Design of Pseudo QMF Banks Using a Single Parameter Optimization[J]. 无线通信, 2019, 09(06): 173-179. https://doi.org/10.12677/HJWC.2019.96022