针对一类非线性连续系统,本文研究了其带有不确定时滞项的容错控制问题。首先通过构造T-S模糊模型使其更精确的逼近原系统,并通过构建Lyapunov函数的方法,证明所设计的模糊控制器能使闭环系统在执行器存在故障的情况下仍具有很好的鲁棒性。再利用线性矩阵不等式工具箱求解出增益矩阵的值并得出在可行条件下闭环系统是稳定的。最后通过数值仿真验证了该方法的有效性。 This paper is concerned with fault-tolerant control for a class of nonlinear continuous systems with uncertainties and delay terms. Firstly, the T-S fuzzy model is constructed to approximate the original system more accurately, and the Lyapunov function is constructed, the robustness of the closed-loop system with actuator faults is guaranteed by the designed fuzzy controller. The value of gain matrix and the feasible conditions for the closed-loop system are proposed by solving linear matrix inequalities. Finally, the effectiveness of the method is verified by numerical simulation.
吴丽珍,金朝永,张妙清
广东工业大学应用数学学院,广东 广州
收稿日期:2019年12月26日;录用日期:2020年1月8日;发布日期:2020年1月15日
针对一类非线性连续系统,本文研究了其带有不确定时滞项的容错控制问题。首先通过构造T-S模糊模型使其更精确的逼近原系统,并通过构建Lyapunov函数的方法,证明所设计的模糊控制器能使闭环系统在执行器存在故障的情况下仍具有很好的鲁棒性。再利用线性矩阵不等式工具箱求解出增益矩阵的值并得出在可行条件下闭环系统是稳定的。最后通过数值仿真验证了该方法的有效性。
关键词 :容错控制,T-S模糊模型,不确定性,时滞,线性矩阵不等式
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T-S模糊模型是一种用来描述复杂系统,有效解决线性与非线性控制系统之间差距的模糊模型,即用模糊规则来描述非线性系统,进而达到对非线性系统建模的目的。利用T-S模糊控制方法来解决系统中的非线性和不确定问题也得到了广泛的关注和研究,并取得了一系列成果。
容错控制问题近年来得到了很多学者的关注 [
本文针对带有时滞的不确定非线性连续系统,基于Lyapunov函数稳定性原理,证明了所考虑的模糊控制器使闭环模糊系统对于执行器故障具有完整性和鲁棒性。
考虑不确定性时滞非线性系统,利用IF-THEN规则建立T-S模糊模型则第i条规则如下:如果 θ i ( t ) 表示 M i 1 , ⋯ , θ p ( t ) 表示 M i p ,则
{ x ˙ ( t ) = ( A i + Δ A i ) x ( t ) + ( A d i + Δ A d i ) x ( t − d ) + ( B i + Δ B i ) u ( t ) + w ( t ) , z ( t ) = C i x ( t ) , x ( t ) = φ ( t ) , t ∈ [ − d , 0 ] , i = 1 , 2 , ⋯ , r . (1)
其中 x ( t ) ∈ R n 表示状态变量, u ( t ) ∈ R m 表示系统的控制输入向量, w ( t ) ∈ R q 表示外部干扰,d为时滞的时间, z ( t ) ∈ R p 表示系统控制输出向量, A i , A d i , B i , C i 是已知常数矩阵, Δ A i , Δ A d i , Δ B i 是参数不确定性的实值矩阵,满足
[ Δ A i ( t ) , Δ B i ( t ) , Δ A d i ( t ) ] = M F i ( t ) [ E 1 i , E 2 i , E d i ] , (2)
其中 M , E 1 i , E d i , E 2 i 为适当维数的已知常数矩阵, F i ( t ) 满足
F i ( t ) F i T ( t ) ≤ I , (3)
将各局部模型进行模糊混合后,得到的整体模型是:
{ x ˙ ( t ) = ∑ i = 1 r b i ( θ ( t ) ) [ ( A i + Δ A i ) x ( t ) + ( A d i + Δ A d i ) x ( t − d ) + ( B i + Δ B i ) u ( t ) + w ( t ) ] z ( t ) = ∑ i = 1 r b i ( θ ( t ) ) C i x ( t ) (4)
其中 θ ( t ) = [ θ 1 ( t ) , ⋯ , θ p ( t ) ] , b i ( θ ( t ) ) = δ i ( θ ( t ) ) / ∑ i = 1 r δ i ( θ ( t ) ) , δ i ( θ ( t ) ) = ∏ j = 1 p M i j ( θ j ( t ) ) , ∏ 为模糊算子, b i ( θ ( t ) ) 为隶属度函数,因为 δ i ( θ ( t ) ) > 0 , ∑ i = 1 r δ i ( θ ( t ) ) > 0 ,
故有 0 < b i ( θ ( t ) ) ≤ 1 ,并 ∑ i = 1 r b i ( θ ( t ) ) = 1 。
对各个子系统设计与系统模型相同的状态反馈控制器,则规则i为:
如果 θ i ( t ) 表示 M i 1 , ⋯ , θ p ( t ) 表示 M i p ,则 u ( t ) = K i x ( t ) , i = 1 , 2 , ⋯ , r
整个模型控制器为
u ( t ) = ∑ i = 1 r b i ( θ ( t ) ) K i x ( t ) , i = 1 , 2 , ⋯ , r (5)
其中: K i 为状态反馈增益矩阵。则整个闭环系统在反馈控制律(5)的作用下可表示为:
x ˙ ( t ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ ( A i + Δ A i ( t ) + B i K j + Δ B i ( t ) K j ) x ( t ) + ( A d i + Δ A d i ( t ) ) x ( t − d ) + w ( t ) ] (6)
执行器故障是实际系统经常出现的问题,下面针对执行器失效的情况,在系统(6)的矩阵B与增益矩阵K之间引入一个开关矩阵L,其形式为
L = d i a g ( l 1 , l 2 , ⋯ , l n ) ,
其中
l i = { 0 , 第 i 个 执 行 器 失 效 1 , 第 i 个 执 行 器 正 常 ,
则执行器失效后的闭环系统模型为
x ˙ ( t ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ ( A i + Δ A i ( t ) + B i L K j + Δ B i ( t ) L K j ) x ( t ) + ( A d i + Δ A d i ( t ) ) x ( t − d ) + w ( t ) ] (7)
本文旨在执行器失效时,设计 H ∞ 状态反馈控制器(5),使闭环系统(7)满足:
① 当干扰 w ( t ) = 0 时,证明闭环系统(7)是渐进稳定的;
② 当干扰 w ( t ) ≠ 0 时,证明对任意干扰衰减指标 γ ,若系统控制输出 z ( t ) 满足 ‖ z ( t ) ‖ 2 ≤ γ ‖ w ( t ) ‖ 2 ,闭环系统(7)是渐进稳定的。
首先给出证明过程所需要的引理:
引理1 [
x 1 T Y x 2 + x 2 T Y T x 1 ≤ x 1 T Y R − 1 Y T x 1 + x 2 T R x 2
其中R是正定矩阵。
引理2 [
引理3 [
① S < 0 ;
② S 11 < 0 , S 22 − S 12 T S 11 − 1 S 12 < 0 ;
③ S 22 < 0 , S 11 − S 12 S 22 − 1 S 12 T < 0 。
定理1:考虑闭环系统(7),当 w ( t ) = 0 时,对于给定的常数 α > 0 ,假设存在对称正定矩阵X,R和矩阵Y,满足下列不等式:
[ Ψ X R A d i X E 1 i T + Y j T L E 2 i T M * − R 0 0 0 * * − R E d i T 0 * * * − α I 0 * * * * − α − 1 I ] < 0 (8)
其中:
Ψ = X A i T + A i X + Y j T L B i T + B i L Y j
则存在反馈控制律 K j = Y j X − 1 使得闭环系统(7)是渐进稳定的。
证明:取Lyapunov函数为:
V ( x ( t ) ) = x T ( t ) P x ( t ) + ∫ t − d t x T ( s ) R x ( s ) d s
沿着系统(6)对Lyapunov函数求导:
V ˙ ( x ( t ) ) = x ˙ T ( t ) p x ( t ) + x T ( t ) p x ˙ ( t ) + x T ( t ) R x ( t ) − x T ( t − d ) R x ( t − d ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P x ( t ) + x T ( t − d ) ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P x ( t ) + x T ( t ) P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) x ( t ) + x T ( t ) P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) x ( t − d ) + x T ( t ) R x ( t ) − x T ( t − d ) R x ( t − d ) ]
≤ ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) ) x ( t ) + x T ( t ) P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P x ( t ) + x T ( t − d ) R x ( t − d ) + x T ( t ) R x ( t ) − x T ( t − d ) R x ( t − d ) ]
= ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) ) x ( t ) + x T ( t ) P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P x ( t ) + x T ( t ) R x ( t ) ]
= ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) + R + P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P ) x ( t ) ]
如果能使上式为负的,即 V ˙ ( x ( t ) ) < 0 ,则模糊系统是渐进稳定的,由上式及Schur补引理可得:
( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) + R + P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P ) < 0
等价于 [ Π 1 R P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) * − R 0 * * − R ] < 0 (9)
其中:
∏ 1 = ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j )
将 [ Δ A i ( t ) , Δ B i ( t ) , Δ A d i ( t ) ] = M F i ( t ) [ E 1 i , E 2 i , E d i ] 带入(9)可得:
[ Π 1 R P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) * − R 0 * * − R ] = [ ( A i + B i L K j ) T P + P ( A i + B i L K j ) R P A d i * − R 0 * * − R ] + [ P M 0 0 ] F i ( t ) [ E 1 i + E 2 i L K j 0 E d i ] + [ ( E 1 i + E 2 i L K j ) T 0 E d i T ] F i T ( t ) [ M T P 0 0 ]
由引理2, [ Π 1 R P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) * − R 0 * * − R ] < 0 当且仅当存在常数 α > 0 使得
[ ( A i + B i L K j ) T P + P ( A i + B i L K j ) R P A d i * − R 0 * * − R ] + α [ P M 0 0 ] [ M T P 0 0 ] + α − 1 [ ( E 1 i + E 2 i L K j ) T 0 E d i T ] [ E 1 i + E 2 i L K j 0 E d i ] = [ Π 2 R P A d i + α − 1 ( E 1 i + E 2 i L K j ) T E d i * − R 0 * * − R + α − 1 E d i T E d i ] < 0 (10)
其中:
∏ 2 = ( A i + B i L K j ) T P + P ( A i + B i L K j ) + α P M M T P + α − 1 ( E 1 i + E 2 i L K j ) T ( E 1 i + E 2 i L K j )
由Schur补引理,(10)等价于
[ ∏ 3 R P A d i ( E 1 i + E 2 i L K j ) T P M * − R 0 0 0 * * − R E d i T 0 * * * − α I 0 * * * * − α − 1 I ] < 0 (11)
其中:
∏ 3 = ( A i + B i L K j ) T P + P ( A i + B i L K j )
将(11)分别左乘和右乘矩阵 d i a g { P − 1 I I I I } ,并记 P = X − 1 , Y i = K i X ,则(11)等价于
[ Ψ X R A d i X E 1 i T + Y j T L E 2 i T M * − R 0 0 0 * * − R E d i T 0 * * * − α I 0 * * * * − α − 1 I ] < 0
以上为闭环系统的外部干扰 w ( t ) = 0 时,下面给出系统外部干扰不为零的情况。
定理2:考虑闭环系统(7),当 w ( t ) ≠ 0 时,对于给定的常数 α > 0 , γ > 0 ,假设存在对称正定矩阵X,R和矩阵Y,满足下列不等式:
[ Ψ I X R A d i X C i X E 1 i + Y j T L E 2 i M * − γ 2 I 0 0 0 0 0 * * − R 0 0 0 0 * * * − R 0 E d i T 0 * * * * − I 0 0 * * * * * − α I 0 * * * * * * − α − 1 I ] < 0 (12)
其中:
Ψ = X A i T + A i X + Y j T L B i T + B i L Y j
则系统的状态输出 z ( t ) 满足 ‖ z ( t ) ‖ 2 ≤ γ ‖ w ( t ) ‖ 2 ,闭环系统(7)渐进稳定。
证明:在零初始条件下,建立以下性能指标函数
J = ∫ 0 ∞ [ z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) ] d t (13)
在定理1中已证明在零初始条件下,闭环系统是渐进稳定的,故可得
J = ∫ 0 ∞ [ z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) ] d t = ∫ 0 ∞ [ z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) + d d t V ( x ( t ) ) ] d t − V ( x ( t ) ) ≤ ∫ 0 ∞ [ z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) + d d t V ( x ( t ) ) ] d t (14)
上式 J < 0 等价于
z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) + d d t V ( x ( t ) ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) C i T C i x ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) + x T ( t ) ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P x ( t ) + x T ( t − d ) ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P x ( t ) + x T ( t ) P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) x ( t ) + w T ( t ) P x ( t ) + x T ( t ) P w ( t ) + x T ( t ) P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) x ( t − d ) + x T ( t ) R x ( t ) − x T ( t − d ) R x ( t − d ) ]
= ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) + C i T C i + R + P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P ) x ( t ) + w T ( t ) P x ( t ) + x T ( t ) P w ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) ] = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) w T ( t ) ] [ Γ P P − γ 2 I ] [ x ( t ) w ( t ) ] < 0 (15)
其中:
Γ = ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) + C i T C i + R + P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P
采用与定理1类似的方法及Schur补性质可得 J < 0 等价于不等式(12),即任意干扰 w ( t ) ∈ L 2 [ 0 , + ∞ ) 有 ‖ z ( t ) ‖ 2 ≤ γ ‖ w ( t ) ‖ 2 。
下面用一个数值算例来说明我们所给方法的可行性。考虑基于不确定模糊时滞系统(7),参考文献 [
x ˙ 1 ( t ) = 0.2 sin ( t ) x 1 ( t ) + ( 0.25 + sin ( t ) ) x 1 ( t − 1 ) − 1.5 x 2 ( t ) + 0.1 x 1 ( t ) x 2 ( t ) − u ( t ) + w ( t ) x ˙ 2 ( t ) = x 1 ( t ) − ( 3 + 0.2 cos ( t ) ) x 2 ( t ) + 0.1 x 2 ( t − 1 ) + 0.3 cos ( t ) x 2 ( t − 1 ) + ( 0.1 + 0.02 cos ( t ) ) u ( t ) + w ( t ) z ( t ) = 0.1 x 1 ( t ) (16)
采用局部矢量非线性化的方法对系统(16)进行建模,其隶属度函数表示为:
M 11 ( x 1 ) = x 1 ( t ) − N 2 N 1 − N 2 , M 12 ( x 1 ) = N 1 − x 1 ( t ) N 1 − N 2
具有不确定时滞的系统采用如下的模糊规则:
R1: If x 1 is M 11 , then
x ˙ ( t ) = ( A 1 + Δ A 1 ) x ( t ) + ( A d 1 + Δ A d 1 ) x ( t − d ) + ( B 1 + Δ B 1 ) u ( t ) + w ( t ) z ( t ) = C 1 x 1 (t)
R2: If x 1 is M 12 , then
x ˙ ( t ) = ( A 2 + Δ A 2 ) x ( t ) + ( A d 2 + Δ A d 2 ) x ( t − d ) + ( B 2 + Δ B 2 ) u ( t ) + w ( t ) z ( t ) = C 2 x 1 (t)
其中:
A 1 = [ − 0.2 0.9 0.4 − 0.5 ] ; A 2 = [ − 2 3 4 1 ] ; A d 1 = [ 0.4 − 0.6 − 0.5 − 1.2 ] ; A d 2 = [ − 0.5 − 1 − 1.2 1.6 ] ;
B 1 = [ 0.3 0.4 − 0.2 0.8 ] ; B 2 = [ 0.3 0.4 − 0.2 0.2 ] ; M = [ 0.2 0 0 0.2 ] ;
E 11 = [ 0.01 − 0.21 0 − 0.21 ] ; E 12 = [ 0.01 − 0.21 0 − 0.21 ] ; E d 1 = [ 0.01 − 0.21 0 − 0.21 ] ; E d 2 = [ 0.01 − 0.21 0 − 0.21 ] ;
E 21 = [ 0.01 − 0.21 0 − 0.21 ] ; E 22 = [ 0.01 − 0.21 0 − 0.21 ] ; C 1 = [ − 1 0.3 0.8 − 4 ] ; C 2 = [ 2 − 0.25 − 3 − 0.8 ] ;
当 L 1 = d i a g { 0 , 1 } ,即第一个执行器失效,当 L 2 = d i a g { 1 , 0 } ,即第二个执行器失效,取 α = 1.2 ; γ = 10 ; N 1 = 5 ; N 2 = − 5 ,根据定理2,利用LMI工具箱求解可得不等式(12)是可行的,并求得增益矩阵的值为:
K 1 = [ − 60.6962 93.3755 4.0830 − 11.4038 ] , K 2 = [ − 2.0163 − 0.3153 0.7722 − 2.0768 ]
当外界干扰 w ( t ) = 0 时,执行器故障L1所对应的 x 1 , x 2 状态响应曲线图如图1。
当外界干扰 w ( t ) = sin ( t ) e − 1 时,执行器故障L1所对应的 x 1 , x 2 状态响应曲线图如图2。
文献 [
图1. 当 w ( t ) = 0 时的状态响应曲线
图2. 当 w ( t ) = sin ( t ) e − 1 时的状态响应曲线
图3. 执行器L1故障的状态响应曲线
仿真结果表明,在执行器存在故障时,闭环系统在没干扰和有干扰的情况下都是渐进稳定的,通过与图3的对比可知本文的收敛速度与更快。
本文针对一类具有时滞不确定性及外部干扰的连续系统,设计状态反馈控制器,研究了该系统的鲁棒容错控制问题。先采用T-S模糊模型进行建模,在执行器存在故障时,通过构建Lyapunov函数的方法,证明所设计的模糊控制器能使闭环系统仍具有很好的鲁棒性。再利用LMI工具箱求解,得出使闭环系统保持稳定的可行条件。最后利用数值仿真验证了该方法的有效性。
吴丽珍,金朝永,张妙清. 不确定性T-S模糊时滞系统的容错控制研究Fault-Tolerant Control for Uncertain T-S Fuzzy Time-Delay Systems[J]. 应用数学进展, 2020, 09(01): 109-119. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.91014