本文主要介绍矩生成函数和累积生成函数,引入高阶张量矩生成函数和累积张量。对大小一致的随机矩阵序列,考察了随机矩阵 对应的高阶张量矩和累积张量的性质。 In this paper we mainly introduce moment generating function, cumulative generating function, high-order tensor moment generating function, and the cumulative tensor. For random matrix sequences of the same size, the properties of the higher-order tensor moments and cumulative tensor corresponding to the random matrix are also investigated.
冯岩,宋珊,张子明,徐常青
苏州科技大学,数理学院,江苏 苏州
收稿日期:2020年2月4日;录用日期:2020年2月21日;发布日期:2020年2月28日
本文主要介绍矩生成函数和累积生成函数,引入高阶张量矩生成函数和累积张量。对大小一致的随机矩阵序列,考察了随机矩阵对应的高阶张量矩和累积张量的性质。
关键词 :矩生成函数,累积生成函数,张量矩生成函数,累积张量
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假设X是一个实随机变量,那么它的矩函数就是 X − μ 的乘方的期望 [
矩生成函数可用于快速求解随机变量的各阶矩。利用矩生成函数,我们还可以研究不同阶矩之间的关系 [
定义2.1 实随机变量X的矩生成函数定义为随机变量 e t X 的期望,即 M X ( t ) = E ( e t X ) ,t为实变量。若 μ k = E [ X k ] 为随机变量X的k阶矩(或记k-矩)。则矩生成函数满足
M X ( t ) = ∑ k = 0 ∞ μ k t k k ! (2.1)
一个随机向量 X ∈ R P 的矩生成函数定义为
M X ( u ) = E ( e u t X ) (2.2)
u ∈ R p 为实向量。进一步,随机矩阵 X ∈ R m × n 的生成函数定义为
M X ( U ) = E [ e t r ( U ′ X ) ] (2.3)
其中 U ∈ R m × n 为实矩阵。 〈 U , X 〉 = t r ( U ′ X ) 为矩阵U和X的内积。注意到(2.2)为(2.3)的特殊情形。
定义2.2 变量(包括向量与矩阵) X的累积生成函数定义为
K X ( t ) = log ( M X ( t ) ) (2.4)
对 K X 进行幂级数展开:
K X ( t ) = ∑ r = 1 ∞ k r t r / r ! (2.5)
定义 k r 是Y的累积量。
一个随机张量 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) ∈ R n 1 × n 2 × ⋯ × n m 为一个多元随机数组,它为随机矩阵的高阶情形,其中m称
为A的阶。我们称 n 1 × ⋯ × n m 为A的大小。当 n = n 1 = ⋯ = n m 时,A称为m阶n维张量。所有第m阶n维实张量构成的集合记为
设 A , B 为大小相同的两个张量,定义它们的内积为 〈 A , B 〉 = ∑ i 1 , i 2 , ⋯ , i m a i 1 i 2 ⋯ i m b i 1 i 2 ⋯ i m 。 A , B 的内积也记为AB。
记 x = ( x 1 , x 2 ) T ∈ R 2 为一个2维随机向量, m i j = E [ x 1 i x 2 j ] 。则
m 10 = E [ x 1 ] , m 01 = E [ x 2 ] , m 20 = E [ x 1 2 ] , m 02 = E [ x 2 2 ] , m 11 = E [ x 1 x 2 ] = E [ x 2 x 1 ]
若记随机向量x的均值向量和协方差矩阵分别为 μ 和 Σ ,那么有
定理3.1 设 x = ( x 1 , x 2 ) T 为随机向量。则其矩生成函数Mx满足以下条件:
1)
2)
一个随机向量
, (3.1)
这里
定理3.2 设随机变量
证明:
我们由定理3.2,不难证明定理3.1。
定理3.3 设
或
证明:因为
为了说明
令
因此
但是
因此,
定理3.4 设
证明:(3.5)可由下式证得:
定理3.5 随机变量X的累积量满足以下条件:
证明:由(3.3)式知
由式(2.1)和(2.4)得,X的累积生成函数可表为
注意到
取
由(3.8~3.10)知
比较
例3.1设
因此有
它对应正态分布
现设
因此S1 (因此每个Si)的密度函数为
(3.15)为
随机向量的矩生成函数可以推广至随机张量的矩生成函数的情形:
定义4.1 一个随机张量
其中
推论4.2 设
其中
定理4.1 设
即Y的矩生成函数为
证明:因为
定义4.2 张量
定理4.2 Y的张量矩生成函数的对数是
证明:
同样,定义
并且
由公式(4.2)知,当
取
由公式(4.10)知,
将累积量与
冯 岩,宋 珊,张子明,徐常青. 矩生成函数及其应用Moment Generating Function and Its Application[J]. 理论数学, 2020, 10(03): 143-149. https://doi.org/10.12677/PM.2020.103021