本文主要研究了四体GHZ量子态在开放环境中非惯性系下的纠缠变化,探究了当三个观察者加速时,系统A和系统AB与环境接触时,纠缠的变化情况。接着探究了当四个观察者加速时,只有系统A与环境接触时,它们的纠缠变化情况。 In this paper, we mainly study the entanglement of tetrapartite GHZ quantum states in an open environment in a noninertial system, and explore the entanglement changes when the three observers accelerate, and when the system A and system AB contact with the environment. Then we explore the entanglement changes of four observers when they all accelerate, only when the system A contacts the environment.
史萌*,钟海梅
华南理工大学数学学院,广东 广州
收稿日期:2020年2月22日;录用日期:2020年3月10日;发布日期:2020年3月17日
本文主要研究了四体GHZ量子态在开放环境中非惯性系下的纠缠变化,探究了当三个观察者加速时,系统A和系统AB与环境接触时,纠缠的变化情况。接着探究了当四个观察者加速时,只有系统A与环境接触时,它们的纠缠变化情况。
关键词 :纠缠,GHZ态,相位阻尼
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在量子计算和量子信息中,纠缠是一个很重要的概念 [
本文主要研究了四体GHZ量子态在开放环境中非惯性系下的纠缠变化,探究了当三个观察者加速时,系统A和系统AB与环境接触时,纠缠的变化情况。接着探究了当四个观察者加速时,只有系统A与环境接触时,它们的纠缠变化情况。最后比较了当只有系统A与环境接触时,当有三个观察者和四个观察者时,它们的纠缠变化情况。
在非惯性系下,Rindler坐标适合描述一类具有均匀加速的观察者,而另一个保持惯性系的观察者可以用Minkowski坐标描述。我们利用单模近似模型,将Minkowski空间的真空态 | 0 〉 和单粒子态 | 1 〉 转化为Rindler空间的粒子态的张量积的形式,通过变换运算符,可以得到下列运算关系 [
| 0 〉 M = cos r | 0 〉 Ⅰ | 0 〉 Ⅱ + sin r | 1 〉 Ⅰ | 1 〉 Ⅱ (1)
| 1 〉 M = | 1 〉 Ⅰ | 0 〉 Ⅱ (2)
其中 cos r = ( e − 2 π w c / a + 1 ) − 1 / 2 ,式子中的 a , r 分别代表加速观察者的加速度和加速参数,w代表对应的频率。另一方面加速观察者是在Rindler区域一,与Rindler区域二是不相联系的,对不相关的区域二求迹,可以得到所需要的四体态。
接下来介绍计算纠缠的测量方法。对于一个多体系统 ρ α β γ ,我们常用的测量是负度 [
N α β = ‖ ρ α β Τ α ‖ − 1 (3)
N α ( β γ ) = ‖ ρ α β γ Τ α ‖ − 1 (4)
另一方面,对于一个矩阵M, λ i ( − ) 是它的所有负的特征值,有下面的公式:
‖ M ‖ − 1 = 2 ∑ | λ i ( − ) |
所以等式(3)和(4)可以改写如下形式:
N α β = 2 ∑ | λ α β ( − ) | i
N α ( β γ ) = 2 ∑ | λ α ( β γ ) ( − ) | i
剩余纠缠定义如下 [
π α = N α ( β γ ) 2 − N α β 2 − N α γ 2
π β = N β ( α γ ) 2 − N β γ 2 − N β α 2
π γ = N γ ( α β ) 2 − N γ α 2 − N γ β 2
一般 π α ≠ π β ≠ π γ ,于是 π -纠缠定义为:
π α β γ = 1 3 ( π α + π β + π γ )
用类似于上述定义纠缠度的方法,我们可以把定义扩展到四个量子位,定义如下 [
π α = N α ( β γ δ ) 2 − N α β 2 − N α γ 2 − N α δ 2
π β = N β ( α γ δ ) 2 − N β α 2 − N β γ 2 − N β δ 2
π γ = N γ ( α β δ ) 2 − N γ α 2 − N γ β 2 − N γ δ 2
π δ = N δ ( α β γ ) 2 − N δ α 2 − N δ β 2 − N δ γ 2
因此我们可以定义总的纠缠:
π 4 = 1 4 ( π α + π β + π γ + π δ )
由于开放的量子系统总是处在复杂的环境中,本文所涉及的环境是:相位阻尼环境,在这里的子系统分别只与自己的环境相互作用,与其他子系统不相互交流。相位阻尼环境有如下形式:
E 0 i = ( 1 0 0 1 − P i ) , E 1 i = ( 0 0 0 P i )
其中i是从1到N的整数,也表示第i个系统的相位阻尼算符, p i 是一个与时间有关的参数。另外系统与环境之间的相互作用可以写成下列关系式:
L ( ρ ) = ∑ u ⋯ v E u 1 ⊗ ⋯ ⊗ E v N ρ E u 1 Τ ⊗ ⋯ ⊗ E v N Τ (5)
其中 ρ 是量子系统没有与环境接触就出之前所处的状态, L ( ρ ) 是与环境作用后的系统的状态。
我们将考虑由Alice,Bob,Charlie 和Daniel四个观察者共享的四体GHZ态,定义如下:
| G H Z 〉 = 1 2 [ | 0 A 0 B 0 C 0 D 〉 + | 1 A 1 B 1 C 1 D 〉 ]
其中GHZ态的下标 A , B , C , D 分别代表四个观察者。当只有Bob,Charlie和Daniel这三个观察者都以相同的加速参数r加速时,我们运用式子(1)和(2),并通过对区域二分别求偏迹,可以得到下面量子态:
ρ A B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ = 1 2 [ cos 6 r | 0000 〉 〈 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 | + cos 4 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 | + cos 4 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 | + cos 2 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 | + cos 3 r | 1111 〉 〈 0000 | + cos 3 r | 0000 〉 〈 1111 | + | 1111 〉 〈 1111 | ]
接下来量子态 ρ A B 1 C 1 D 1 中只有A系统与相位阻尼环境相接触,运用式子(5),可以得到与环境作用后的态,再通过分别对四个子系统求部分转置,可以得到下列矩阵:
ρ A B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ Τ B 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 〉 〈 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 | + cos 4 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 | + cos 4 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 | + cos 2 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 | + | 1111 〉 〈 1111 | + 1 − p cos 3 r | 0100 〉 〈 1011 | + 1 − p cos 3 r | 1011 〉 〈 0100 | ]
ρ A B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ Τ C 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 〉 〈 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 | + cos 4 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 | + cos 4 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 | + cos 2 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 | + | 1111 〉 〈 1111 | + 1 − p cos 3 r | 0010 〉 〈 1101 | + 1 − p cos 3 r | 1101 〉 〈 0010 | ]
ρ A B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ Τ D 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 〉 〈 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 | + cos 4 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 | + cos 4 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 | + cos 2 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 | + | 1111 〉 〈 1111 | + 1 − p cos 3 r | 0001 〉 〈 1110 | + 1 − p cos 3 r | 1110 〉 〈 0001 | ]
经过一些计算,我们可以得到:
N A ( B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) = − 2 × ( 3 4 cos 4 r − 3 4 cos 2 r − 1 4 cos 6 r + 1 4 − 1 4 ( 15 cos 4 r − 6 cos 2 r − 4 p cos 6 r − 16 cos 6 r + 15 cos 8 r − 6 cos 10 r + cos 12 r + 1 ) 1 2 )
N B Ⅰ ( A C Ⅰ D Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 4 r − 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r − 4 p − 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 − 1 4 cos 6 r )
N C Ⅰ ( A B Ⅰ D Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 4 r − 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r − 4 p − 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 − 1 4 cos 6 r )
N D Ⅰ ( A B Ⅰ C Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 4 r − 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r − 4 p − 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 − 1 4 cos 6 r )
N i j = 0 , i , j = A , B Ⅰ , C 1 , D Ⅰ , i ≠ j
π 4 = 1 4 ( N A ( B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) 2 + 3 N B Ⅰ ( A C Ⅰ D Ⅰ ) 2 ) , ∏ 4 = N A ( B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) 2 × N B Ⅰ ( A C Ⅰ D Ⅰ ) 6 4
从下面的图1中我们可以看出,只有系统A与环境接触,对于加速参数r分别取三个特殊值,随着退化参数p增大, π 4 都是减少的,最后都是减少到0,没有纠缠。对于相同的退化参数p,加速参数r越大,相应的纠缠度就越小。 ∏ 4 的变化趋势如图2所示,它随着加速参数r和退化参数p也是逐步减少。类似上面的的算法,我们假设系统A和BI都与相同的相位阻尼环境相接触,通过计算得到:
N B Ⅰ ( A C Ⅰ D Ⅰ ) = N C Ⅰ ( A B Ⅰ D Ⅰ ) = N D Ⅰ ( A B Ⅰ C Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 4 r − 1 4 cos 6 r − 1 4 ( cos 3 r × ( cos 2 r − 8 p − 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 p 2 + 4 ) 1 2 ) )
图1. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况
图2. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况
由于其他的纠缠公式比较复杂,所以没有写出来, π 4 如图3所示,它也是随着退化参数减少到0,从图中可以看出加速参数最大的, π 4 最先减少到0。
接下来当 r = p i / 4 ,两种情况的 π 4 的变化情况如图4所示,黑色曲线表示只有系统A与环境接触的情况,蓝色曲线表示系统AB与相同环境接触时的情况,从图中可以看出当 p = 0 ,两种情况刚开始纠缠度是一样的,随着p的增大,与环境接触的系统越多,也就是当系统AB都与环境接触,纠缠程度下降的越快,当p接近0.85时, π 4 减少到0。
图3. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况
图4. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况
当四个观察者Alice,Bob,Charlie和Daniel都加速时,加速参数分别是 r A , r B , r C , r D ,GHZ态变成下列形式:
| Φ 〉 A B C D = 1 2 [ cos r A cos r B cos r C cos r D | 00000000 〉 + cos r A cos r B cos r C sin r D | 00000011 〉 + cos r A cos r B sin r c cos r D | 00001100 〉 + cos r A cos r B sin r c sin r D | 00001111 〉 + cos r A sin r B cos r c cos r D | 00110000 〉 + cos r A sin r B cos r C sin r D | 00110011 〉 + cos r A sin r B sin r C cos r D | 00111100 〉 + cos r A sin r B sin r C sin r D | 00111111 〉
+ sin r A cos r B cos r c cos r D | 11000000 〉 + sin r A cos r B cos r C sin r D | 11000011 〉 + sin r A cos r B sin r C cos r D | 11001100 〉 + sin r A cos r B sin r C sin r D | 11001111 〉 + sin r A sin r B cos r C cos r D | 11110000 〉 + sin r A sin r B cos r C sin r D | 11110011 〉 + sin r A sin r B sin r C cos r D | 11111100 〉 + sin r A sin r B sin r C sin r D | 11111111 〉 + | 10101010 〉 ]
为了方便计算,我们让 r A = r B = r C = r D = r ,仅仅只让系统A与相位阻尼环境作用,其他的系统不与环境接触,通过运用等式(5),再对区域二求偏迹后,得到下列式子:
ρ A Ⅰ B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ = 1 2 [ cos 8 r | 0000 〉 〈 0000 | + 1 − p cos 4 r | 0000 〉 〈 1111 | + cos 6 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 | + cos 6 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 4 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 | + cos 6 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 4 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 | + cos 4 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + cos 2 r sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 | + cos 6 r sin 2 r | 1000 〉 〈 1000 |
+ sin 4 r cos 4 r | 1001 〉 〈 1001 | + sin 4 r cos 4 r | 1010 〉 〈 1010 | + sin 6 r cos 2 r | 1011 〉 〈 1011 | + sin 4 r cos 4 r | 1100 〉 〈 1100 | + sin 6 r cos 2 r | 1101 〉 〈 1101 | + sin 6 r cos 2 r | 1110 〉 〈 1110 | + 1 − p cos 4 r | 1111 〉 〈 0000 | + ( sin 8 r + 1 ) | 1111 〉 〈 1111 | ]
再通过分别对系统 A , B , C , D 求偏转置,得到它们的矩阵,再通过一些计算可以得到:
N A Ⅰ ( B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) = N B Ⅰ ( A Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) = N C Ⅰ ( A Ⅰ B Ⅰ D Ⅰ ) = N D Ⅰ ( A Ⅰ B Ⅰ C Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 2 r − 1 4 ( 3 × cos 4 r ) + cos 6 r − 1 2 cos 8 r − cos 2 r × ( 17 × cos 4 r − 6 × cos 2 r − 4 × p × cos 4 r − 12 × cos 6 r + 4 × cos 8 r + 1 ) 1 2 × 1 4 )
图5. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况
图6. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况
这四个纠缠度量的数都是相等的,所以通过计算发现二体纠缠都为0,也即:
N i j = 0 , i , j = A , B Ⅰ , C 1 , D Ⅰ , i ≠ j
π 4 = Π 4 = N A Ⅰ ( B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) 2
图形如图5所示,纠缠度随着参数 p , r 逐渐减少到0,纠缠完全被破坏。
对于GHZ态,接下来我们讨论当仅仅只有系统A与环境接触时,有三个观察者加速时和全部都加速时,它们的加速参数都是 r = p i / 6 ,纠缠度情况变化如图6所示。从图中可以看到当 p = 0 ,只有三个观察者加速时,初始总纠缠度大于0.35,而当全部观察者都加速时,初始总纠缠数接近0.25。随着加速参数的逐渐增大, Π 4 几乎同时逐渐减少到0。我们可以看出环境对纠缠度的影响是大于加速度的。
史 萌,钟海梅. 在非惯性系下开放环境中的四体纠缠Tetrapartite Entanglement of an Open Quantum System in Accelerated Frames[J]. 理论数学, 2020, 10(03): 201-208. https://doi.org/10.12677/PM.2020.103027