永磁体的磁场分布是其工程应用的基础。本文以六边形永磁体和八边形永磁体为例,应用等效面电流法对多边形永磁体的磁场分布进行数值分析,经有限元仿真结果验证了数值表达式的正确性。分析了八边形永磁体较相应尺寸的矩形永磁体的磁场分布优势。 The magnetic field distribution of permanent magnet is the basis of its engineering application. In this paper, taking hexagon permanent magnet and octagon permanent magnet as examples, the equivalent surface current method is used to analyze the magnetic field distribution of polygon permanent magnet. The finite element simulation results verify the correctness of the numerical expression. The advantages of magnetic field distribution of octagonal permanent magnet com-pared with rectangular permanent magnet of corresponding size are analyzed.
永磁体的磁场分布是其工程应用的基础。本文以六边形永磁体和八边形永磁体为例,应用等效面电流法对多边形永磁体的磁场分布进行数值分析,经有限元仿真结果验证了数值表达式的正确性。分析了八边形永磁体较相应尺寸的矩形永磁体的磁场分布优势。
多边形永磁体,六边形永磁体,八边形永磁体,磁通量密度,数值分析,有限元分析
Tao Song, Zhiqin He*
College of Electrical Engineering, Guizhou University, Guiyang Guizhou
Received: Dec. 9th, 2022; accepted: Jan. 10th, 2023; published: Jan. 18th, 2023
The magnetic field distribution of permanent magnet is the basis of its engineering application. In this paper, taking hexagon permanent magnet and octagon permanent magnet as examples, the equivalent surface current method is used to analyze the magnetic field distribution of polygon permanent magnet. The finite element simulation results verify the correctness of the numerical expression. The advantages of magnetic field distribution of octagonal permanent magnet compared with rectangular permanent magnet of corresponding size are analyzed.
Keywords:Polygonal Permanent Magnet, Hexagonal Permanent Magnet, Octagonal Permanent Magnet, Magnetic Flux Density, Numerical Analysis, Finite Element Analysis
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
永磁体的空间磁场分布是其工程应用 [
矩形永磁体的使用较为广泛 [
但目前还没有六边形永磁体 [
等效面电流法以安培分子环流假说和毕奥–萨伐尔定律为基础。永磁体的面磁化电流J和磁化矢量M之间的关系为
J = M × n (1)
其中n为磁介质表面单位外法线方向,二者在数值上相等。永磁体的磁化强度M、面磁化电流大小J与其剩余磁通量密度Br的关系为
M = J = B r / μ 0 . (2)
其中, μ 0 为真空磁导率,取值为 4 π × 10 − 7 ,单位为H/m。则薄层电流环dz0的电流强度I为
I = J d z 0 . (3)
由毕奥–萨伐尔定律 [
d B = μ 0 4 π I d l × ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 . (4)
其中,r表示坐标原点到场点P(x, y, z)的矢径; r ′ 表示坐标原点到源点(x0, y0, z0)的矢径; r − r ′
表示源点到场点的矢径;且
d l × ( r − r ′ ) = | i j k d x 0 d y 0 d z 0 x − x 0 y − y 0 z − z 0 | , (5)
| r − r ′ | = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 . (6)
(4)式在闭合回路及永磁体厚度h上的积分,即为整个永磁体在场点P(x, y, z)处产生的磁通量密度。
图1. 六边形永磁体的三维分子环流模型
图2. 六边形永磁体的二维解析模型
六边形永磁体的三维分子环流模型和二维解析模型,分别如图1和图2所示。设图2中斜线的斜率为k,截距为b。x1、x2、x3及y1、y2、y3、y4分别为各顶点的坐标值。永磁体的边长为a mm,高为h mm,其磁化电流密度为J。根据2.1节介绍的永磁体磁场分布的解析原理,以图2中标号为3的载流导体l3在场点P(x, y, z)处产生的磁通量密度的法向分量 B z 3 的计算为例,展开多边形永磁体的磁场分布的解析研究。载流导体3满足(7)式,则由(4)式在闭合回路l及永磁体厚度h上的积分,得到图1所示整个六边形永磁体在场点P(x, y, z)处产生的磁通量密度的法向分量 B z 3 为(8)式,进一步化简得到(9)式。
{ y 0 = k x 0 + b d z 0 = 0 d y 0 = k d x 0 , (7)
B z 3 = μ 0 J 4 π ∫ 0 h d z 0 ∫ x 2 x 1 ( y − k x − b ) d x 0 [ ( 1 + k 2 ) ( x + k y − k b 1 + k 2 − x 0 ) 2 + ( k x + b − y 1 + k 2 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ] 3 2 , (8)
B z 3 = μ 0 J 4 π ∫ 0 h ( y − k x − b ) d ( x + k y − k b 1 + k 2 − x 1 ) [ ( k x + b − y 1 + k 2 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ] [ ( 1 + k 2 ) ( x + k y − k b 1 + k 2 − x 1 ) 2 + ( k x + b − y 1 + k 2 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ] 1 2 d ( z − z 0 ) − μ 0 J 4 π ∫ 0 h ( y − k x − b ) d ( x + k y − k b 1 + k 2 − x 2 ) [ ( k x + b − y 1 + k 2 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ] [ ( 1 + k 2 ) ( x + k y − k b 1 + k 2 − x 2 ) 2 + ( k x + b − y 1 + k 2 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ] 1 2 d ( z − z 0 ) . (9)
式较复杂,按照常规方法难以计算,需先将其化简成文 [
F ( x , y , z ) = { x 2 | x | ln [ | x | − x 2 + y 2 + ( z − z 0 ) 2 | x | + x 2 + y 2 + ( z − z 0 ) 2 ] } | z 0 = 0 z 0 = h (10)
F 1 ( x , y , z ) = { { arctan [ x y z − z 0 x 2 + y 2 + ( z − z 0 ) 2 ] } | z 0 = 0 z 0 = h , ( y ≠ 0 ) 0 , ( y = 0 ) , (11)
F 2 ( x , y , z ) = { { 1 y arctan [ x y z − z 0 x 2 + y 2 + ( z − z 0 ) 2 ] } | z 0 = 0 z 0 = h , ( y ≠ 0 ) 0 , ( y = 0 ) . (12)
其中, { f ( x , y , z , z 0 ) } | z 0 = 0 z 0 = h 表示整个 { f ( x , y , z , z 0 ) } 表达式中 z 0 分别取值h和0时的差值。
同理,可计算其余载流导体在场点P(x, y, z)处产生的磁通量密度。则由磁场叠加原理整理得到图1所示六边形永磁体的磁通量密度的解析表达式为
B x = K [ F ( y − y 3 , x − x 3 , z ) − F ( y − y 2 , x − x 3 , z ) + F ( y − y 2 , x − x 1 , z ) − F ( y − y 3 , x − x 1 , z ) + T 1 ( F ( 1 + k 2 ( x + k b − k y 1 + k 2 − x 3 ) , k x + y − b 1 + k 2 , z ) − F ( 1 + k 2 ( x + k b − k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x + y − b 1 + k 2 , z ) )
+ T 1 ( F ( 1 + k 2 ( x − k b + k y 1 + k 2 − x 1 ) , k x − y + b 1 + k 2 , z ) − F ( 1 + k 2 ( x − k b + k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x − y + b 1 + k 2 , z ) ) + T 1 ( F ( 1 + k 2 ( x − k b − k y 1 + k 2 − x 1 ) , k x + y + b 1 + k 2 , z ) − F ( 1 + k 2 ( x − k b − k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x + y + b 1 + k 2 , z ) ) + T 1 ( F ( 1 + k 2 ( x + k b + k y 1 + k 2 − x 3 ) , k x − y − b 1 + k 2 , z ) − F ( 1 + k 2 ( x + k b + k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x − y − b 1 + k 2 , z ) ) ] , (13)
B y = K [ T 2 ( F ( 1 + k 2 ( x + k b − k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x + y − b 1 + k 2 , z ) − F ( 1 + k 2 ( x + k b − k y 1 + k 2 − x 3 ) , k x + y − b 1 + k 2 , z ) ) + T 2 ( F ( 1 + k 2 ( x − k b + k y 1 + k 2 − x 1 ) , k x − y + b 1 + k 2 , z ) − F ( 1 + k 2 ( x − k b + k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x − y + b 1 + k 2 , z ) ) + T 2 ( F ( 1 + k 2 ( x − k b − k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x + y + b 1 + k 2 , z ) − F ( 1 + k 2 ( x − k b − k y 1 + k 2 − x 1 ) , k x + y + b 1 + k 2 , z ) ) + T 2 ( F ( 1 + k 2 ( x + k b + k y 1 + k 2 − x 3 ) , k x − y − b 1 + k 2 , z ) − F ( 1 + k 2 ( x + k b + k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x − y − b 1 + k 2 , z ) ) ] , (14)
B z = K [ F 1 ( y − y 2 , x − x 3 , z ) − F 1 ( y − y 3 , x − x 3 , z ) + F 1 ( y − y 3 , x − x 1 , z ) − F 1 ( y − y 2 , x − x 1 , z ) + G 2 ( F 2 ( 1 + k 2 ( x + k b − k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x + y − b 1 + k 2 , z ) − F 2 ( 1 + k 2 ( x + k b − k y 1 + k 2 − x 3 ) , k x + y − b 1 + k 2 , z ) ) + G 3 ( F 2 ( 1 + k 2 ( x − k b + k y 1 + k 2 − x 1 ) , k x − y + b 1 + k 2 , z ) − F 2 ( 1 + k 2 ( x − k b + k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x − y + b 1 + k 2 , z ) ) + G 5 ( F 2 ( 1 + k 2 ( x − k b − k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x + y + b 1 + k 2 , z ) − F 2 ( 1 + k 2 ( x − k b − k y 1 + k 2 − x 1 ) , k x + y + b 1 + k 2 , z ) ) + G 6 ( F 2 ( 1 + k 2 ( x + k b + k y 1 + k 2 − x 3 ) , k x − y − b 1 + k 2 , z ) − F 2 ( 1 + k 2 ( x + k b + k y 1 + k 2 − x 2 ) , k x − y − b 1 + k 2 , z ) ) ] . (15)
其中,
{ G 2 = y + k x − b 1 + k 2 , G 3 = y − k x − b 1 + k 2 G 5 = y + k x + b 1 + k 2 , G 6 = y − k x + b 1 + k 2 , (16)
{ x 1 = − 3 a x 2 = 0 x 3 = 3 a K = μ 0 J 4 π , (17)
{ y 1 = − 2 a y 2 = − a y 3 = a y 4 = 2 a , (18)
{ T 1 = k 1 + k 2 T 2 = 1 1 + k 2 . (19)
图3、图4分别为八边形永磁体的三维分子环流模型和二维解析模型。永磁体的高度为h1 mm,边长为a1 mm,其磁化电流密度为J1。设图4中斜线的斜率为k1,截距为b1,xi (i = 4, 5, 6, 7)和yj (j = 5, 6, 7, 8)为其各坐标顶点。遵循上述解析过程,且定义如(21)~(23)式所示的系数,则图3所示的八边形永磁体的磁通量密度的由(24)~(26)式描述。
图3. 八边形永磁体的三维分子环流模型
图4. 八边形永磁体的二维解析模型
{ G ′ 2 = y + k 1 x − b 1 1 + k 1 2 , G 4 = y − k 1 x − b 1 1 + k 1 2 G ′ 6 = y + k 1 x + b 1 1 + k 1 2 , G 8 = y − k 1 x + b 1 1 + k 1 2 , (20)
{ x 4 = − ( 2 + 1 ) a 1 x 5 = − a 1 x 6 = a 1 x 7 = ( 2 + 1 ) a 1 , (21)
{ y 5 = − ( 2 + 1 ) a 1 y 6 = − a 1 y 7 = a 1 y 8 = ( 2 + 1 ) a 1 , (22)
{ T 3 = k 1 1 + k 1 2 T 4 = k 1 1 + k 1 2 K 1 = μ 0 J 1 4 π . (23)
B x = K 1 [ F ( y − y 7 , x − x 7 , z ) − F ( y − y 6 , x − x 7 , z ) + F ( y − y 6 , x − x 4 , z ) − F ( y − y 7 , x − x 4 , z ) + T 1 ( F ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 7 ) , k 1 x + y − b 1 1 + k 1 2 , z ) − F ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 6 ) , k 1 x + y − b 1 1 + k 1 2 , z ) ) + T 1 ( F ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 4 ) , k 1 x − y + b 1 1 + k 1 2 , z ) − F ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 5 ) , k 1 x − y + b 1 1 + k 1 2 , z ) ) + T 1 ( F ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 4 ) , k 1 x + y + b 1 1 + k 1 2 , z ) − F ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 5 ) , k 1 x + y + b 1 1 + k 1 2 , z ) ) + T 1 ( F ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 7 ) , k 1 x − y − b 1 1 + k 1 2 , z ) − F ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 6 ) , k 1 x − y − b 1 1 + k 1 2 , z ) ) ] , (24)
B y = K 1 [ F ( x − x 5 , y − y 8 , z ) − F ( x − x 6 , y − y 8 , z ) + F ( x − x 6 , y − y 5 , z ) − F ( x − x 5 , y − y 5 , z ) + T 2 ( F ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 6 ) , k 1 x + y − b 1 1 + k 1 2 , z ) − F ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 7 ) , k 1 x + y − b 1 1 + k 1 2 , z ) ) + T 2 ( F ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 4 ) , k 1 x − y + b 1 1 + k 1 2 , z ) − F ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 5 ) , k 1 x − y + b 1 1 + k 1 2 , z ) )
+ T 2 ( F ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 5 ) , k 1 x + y + b 1 1 + k 1 2 , z ) − F ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 4 ) , k 1 x + y + b 1 1 + k 1 2 , z ) ) + T 2 ( F ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 7 ) , k 1 x − y − b 1 1 + k 1 2 , z ) − F ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 6 ) , k 1 x − y − b 1 1 + k 1 2 , z ) ) ] , (25)
B z = K 1 [ F 1 ( y − y 2 , x − x 4 , z ) − F 1 ( y − y 3 , x − x 4 , z ) + F 1 ( x − x 2 , y − y 4 , z ) − F 1 ( x − x 3 , y − y 4 , z ) + F 1 ( y − y 3 , x − x 1 , z ) − F 1 ( y − y 2 , x − x 1 , z ) + F 1 ( x − x 3 , y − y 1 , z ) − F 1 ( x − x 2 , y − y 1 , z ) + G ′ 2 ( F 2 ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 3 ) , k 1 x + y − b 1 1 + k 1 2 , z ) − F 2 ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 4 ) , k 1 x + y − b 1 1 + k 1 2 , z ) ) + G 4 ( F 2 ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 + k 1 k y 1 + k 1 2 − x 1 ) , k 1 x − y + b 1 1 + k 1 2 , z ) − F 2 ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 2 ) , k 1 x − y + b 1 1 + k 1 2 , z ) ) + G ′ 6 ( F 2 ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 2 ) , k 1 x + y + b 1 1 + k 1 2 , z ) − F 2 ( 1 + k 1 2 ( x − k 1 b 1 − k 1 y 1 + k 1 2 − x 1 ) , k 1 x + y + b 1 1 + k 1 2 , z ) ) + G 8 ( F 2 ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 4 ) , k 1 x − y − b 1 1 + k 1 2 , z ) − F 2 ( 1 + k 1 2 ( x + k 1 b 1 + k 1 y 1 + k 1 2 − x 3 ) , k 1 x − y − b 1 1 + k 1 2 , z ) ) ] . (26)
其中,函数符号F、F1、F2同上,仅需将 { f ( x , y , z , z 0 ) } | z 0 = 0 z 0 = h 中h变换为h1即可。
在MATLAB 2021a中建立了(15)和(26)式的数值分析模型,得到六边形永磁体和八边形永磁体外部空间磁场分布的数值分析结果。在有限元仿真分析软件ANSYS 2020R2中,分别建立了六边形永磁体和八边形永磁体的三维仿真模型,得到二者外部空间磁场分布的有限元分析结果。仿真参数设置见表1。通过对比有限元分析和数值分析的结果来验证(15)和(26)式的正确性。
在MATLAB 2021a中建立(15)和(26)式的数值分析模型时,首先需定义用于解析Bz分布的(11)和(12)式以及(15)和(26)式中所用参数。其次,每次循环都需计算每一条载流导体在场点P(x, y, z)处产生的Bz值,并进行加和。最后,经过多次循环,得到永磁体在一条线处所产生的Bz分布。两种方法的对比结果见图5、图6。
六边形永磁体 | 八边形永磁体 | |
---|---|---|
边长 | 1.5 mm | 1 mm |
高 | 2 mm | 2 mm |
k | 3 / 3 | |
k1 | 1 | |
x | 1.8 mm | 2 mm |
y | [−3, 3] mm | [−2.4142, 2.4142] mm |
z | 2.5 mm | 2.1 mm |
Br | 1.31 T |
表1. 仿真参数
图5 表明,由(15)式得到的磁通量密度的法向分量Bz能很好地吻合有限元分析的结果。即本文所推导的六边形永磁体的磁场分布的解析表达式是正确的。图6表明,由(26)式得到的磁通量密度的法向分量Bz分布趋势与有限元分析的结果整体上是一致的。但在图形的顶部,有限元分析的结果存在毛刺,这是由于仿真过程中的数值噪声引起的。此外,由于有限元仿真中边界条件的选取和网格的划分等,导致曲线两端的幅值存在较大的误差,两端的波形并未完全重合。但这些偏差都是有限元分析中合理的存在,故本文所推导的六边形、八边形永磁体磁场的数值表达式是正确的。
图5. 六边形永磁体的磁场分布
图6. 八边形永磁体的磁场分布
为研究八边形永磁体的分布特性,对比分析了八边形永磁体和矩形永磁体的磁场分布特性。参数设置见表2。图7是二者在平面R2上的三维磁场对比结果,图8是八边形永磁体在线x = 2 mm,y = [−2.4142, 2.4142] mm上的磁场分布。
八边形永磁体 | 矩形永磁体 | |
---|---|---|
边长 | 1 mm | 长:4.8284 mm 宽:4.8284 mm |
高 | 3 mm | |
平面R2 | x ∈ [ − 2.4142 , 2.4142 ] mm y ∈ [ − 2.4142 , 2.4142 ] mm | |
x | 2 mm | |
y | [−2.4142, 2.4142] mm | |
z | 4.2 mm | |
Br | 1.31 T |
表2. 八边形和矩形永磁体的参数设置
图7中,八边形永磁体和矩形永磁体Bx、Bz的分布趋势一致;八边形永磁体By的幅值较小,且其波形与矩形永磁体的相差半个周期;二者Bz的峰值均是三个分量中最大的。图8也表明,在相同位置,八边形永磁体和矩形永磁体Bx的分布波形相似,八边形永磁体的分布波形具有更好的正弦性,而矩形永磁体的幅值较大;二者By的分布相差半个周期;二者Bz间的差值稳定。综上,虽然八边形永磁体的磁通量密度的幅值较小,但其波形的正弦性更好,且其Bz的幅值是三个分量中最大的,与Bx、By的差值较大,其磁场的综合分布特性较矩形永磁体的好。
图7. 八边形和矩形永磁体的三维磁场分布
图8. 八边形和矩形永磁体的磁场分布
有限元分析结果验证了本文全参数化的数值表达式的有效性,有助于多边形永磁体结构的动力学建模和仿真。磁场分布的对比结果表明,八边形永磁体较矩形永磁体具有更好的磁场分布特性。结合坐标变换,本文的研究结果可解析任意磁化方向和任意放置方式的棱柱形永磁体的磁场。此外,也可为今后的研究提供更多的永磁体形状选择和理论依据。
宋 涛,何志琴. 多边形永磁体磁场的数值分析Numerical Analysis of Magnetic Field of Polygonal Permanent Magnet[J]. 理论数学, 2023, 13(01): 55-66. https://doi.org/10.12677/PM.2023.131006