﻿ RLW-Burgers方程的势对称及其精确解 Potential Symmetry and Exact Solutions of RLW-Burgers Equation

Vol.05 No.01(2016), Article ID:17014,9 pages
10.12677/AAM.2016.51015

Potential Symmetry and Exact Solutions of RLW-Burgers Equation

Chunling Bao, Bilige Sudao*, Yanqing Han

College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot Inner Mongolia

Received: Feb. 2nd, 2016; accepted: Feb. 20th, 2016; published: Feb. 26th, 2016

ABSTRACT

We expanded the classical symmetries of RLW-Burgers equation by calculating the potential symmetries, and we obtained a series of new exact solutions of RLW-Burgers equation. Firstly, we determined the classical symmetries and potential symmetries of RLW-Burgers equation based on differential characteristic set algorithm. Secondly, we constructed the invariant solutions of Burgers equation by using the extended Tanh function method, and these solutions with arbitrary parameters are expressed by the hyperbolic functions, the trigonometric functions and the rational functions, respectively. Finally, new exact solutions for RLW-Burgers equation are obtained by acting Lie transformation group of potential symmetry and the classical symmetry on the invariant solutions. It is important that these solutions can not be obtained from classical symmetries of Burgers equation.

Keywords:Potential Symmetry, Differential Characteristic Set Algorithm, Extended Tanh Function Method, RLW-Burgers Equation, Exact Solutions

RLW-Burgers方程的势对称及其精确解

1. 引言

Lie对称是公认的普适性最广的方法。近几十年，古典对称的概念得到了很多的推广，人们提出了各种新对称的概念。1988年，Bluman和Cole在Lie群基础上提出了势对称概念[1] 。在诸多新对称中，势对称具有理论简单，算法实现容易，扩展对称性良好的特点。势对称是由微分方程守恒律(守恒形式)引出的扩充方程组来发现原方程的更多相应方程组的古典对称，它可以有效扩大方程对称，并且可以得到方程的更多的精确解。但求偏微分方程的势对称具有很大的局限性，只有少数的偏微分方程具有势对称，具有什么条件的偏微分方程才有势对称也自然而然成为了国内外学者研究的重要课题，并且已有了相关研究 [2] - [10] 。

Lie算法是确定对称的主要方法，该算法的计算过程将涉及到大量、复杂的机械化计算，并且传统的Lie算法中未能考虑未知量的序关系，导致计算机上的无穷循环及工作量大等许多困难。研究发现微分特征列集算法是有效克服Lie算法缺陷的方法之一，该算法主要考虑控制计算过程中符号堆积及易于在机器上实现的问题 [11] 。目前该算法已成功的应用在微分方程的古典对称、非古典对称、高阶对称、近似对称、势对称、守恒律、对称分类、最优系统 [17] 等方面得到了广泛的应用 [4] - [6] [12] - [17] 。本文将基于微分特征列集算法，确定RLW-Burgers方程的古典对称和势对称。

2. RLW-Burgers方程的古典对称和势对称

(1)

2.1. 古典对称分类

(2)

2.2. 势对称

(3)

(4)

(5)

Table 1. The classification of Classical symmetry

Table 2. The classification of potential symmetry

(6)

(7)

1) 取时，得到势对称

. (8)

2) 取时，得到势对称

. (9)

3. RLW-Burgers方程的精确解

3.1. RLW-Burgers方程的精确行波解

，即在中选取其余可得到，则的特征方程为

(10)

(11)

(12)

(13)

3.2. 利用Lie变换群作用得到的新精确解

1) 三角函数解：

， (14)

(15)

(16)

(17)

2) 双曲函数解：

， (18)

， (19)

(20)

(21)

4. 本文结论

Potential Symmetry and Exact Solutions of RLW-Burgers Equation[J]. 应用数学进展, 2016, 05(01): 112-120. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.51015

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*通讯作者。