ABSTRACT

In this article, we prove the unboundedness of solutions for the Duffing equations with damping term and under some easier testing conditions.

Keywords:Unbounded Solutions, Duffing Equations, Damping Term

带阻尼项的Duffing方程解的无界性

陈甜甜，张沛文，韩春瑞

中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛

收稿日期：2016年4月1日；录用日期：2016年4月11日；发布日期：2016年4月14日

摘 要

在比较容易验证的条件下，本文证明了带有阻尼项的Duffing方程和的所有解都是无界的。

关键词 :无界解，Duffing方程，阻尼项

1. 引言

1996年，Alonso和Ortega [1] 研究了共振点处Duffing方程的无界解的存在性问题。在和满足的条件下，证明了该方程的所有解都是无界的。这里的无界性指的是满足。我们知道共振常常导致有无界解 [2] [3] 。带有阻尼的常

系数线性方程由于能量的耗散，在周期强迫力的作用下所有解是有界的 [3] 。很自然的问题是，带有阻尼项的非线性方程是否有无界解。本文的目的就是在比较容易验证的条件下证明带有阻尼的Duffing方程和的所有解都是无界的。

2. 关于差分方程的一个抽象结果

设是一个Banach空间。在中考虑差分方程：

， (1)

其中是一个算子。定义，是实数集，并且满足：

。 (2)

Alonso和Ortega [1] 证明了如下引理：

引理2.1 设存在函数满足(2)式，并且存在正常数和满足：

，当。 (3)

设并且满足，则差分方程(1)满足初始条件为的解满足：

。

推论2.2 设是有限维的且是连续的。如果存在一个连续的函数满足：

(4)

则差分方程(1)的所有解都满足。

3. 解的无界性

我们主要讨论以下两种方程：

(5)

和

(6)

的无界解的存在性问题。其中，，，。

引理3.1 存在常数，使得方程(5)、(6)的解均满足：

。

证明：我们只对方程(5)给出证明，对方程(6)同理可证。考虑辅助方程

， (7)

其中。令，则。于是

(8)

其对应的齐次方程组为

。 (9)

由

可得，方程(9)系数矩阵的特征根为：。

求得对应的特征向量为，对应的特征向量为。于是方程(9)的通解为：

。

所以，方程(9)的基解矩阵为：

。

容易计算

。

根据 [4] 中的结果可知，若方程组的一个基解矩阵为，则初值问题

与积分方程组等价。所以方程组(8)的

解可以表示为：

。

记

，

则。

由三角不等式可得，。其中，，而

。

记

，

则

。

1) 当时，，令，则对，有

，所以结论成立。

2) 当时，

。

令，，则有

，所以结论成立。

3) 当但时，即。

此时，所以总会存在，使得

。

令，则有，，

所以结论成立。

4) 当且时，对，有，所以一定存在，使得

。

令，则

。

由得，

，。

综上所述，存在常数，使得方程(5)的解满足：

，。

定理3.2 设有上界、非常数，且，则方程(5)的所有

解都是无界的，即满足：

。 (10)

证明：给定，用表示方程(5)的解，并设初始条件为：，。

我们用抽象的形式定义：。根据引理3.1，为了证明(10)式，我们只需要证明由差分方程，给出的序列及任意给定的初值满足即可。我们仅考虑的情形，可由代换为得到。

定义。由分部积分公式可得

。

所以，

。

因此由推论2.2得，进而可得方程(5)解的无界性，即方程(5)的解满足：。

举例1 考虑摆型方程

。 (11)

因为，，，因此。而

，

。

满足定理3.2的条件，因此方程(11)的所有解无界。另一方面，显然是方程的一个无界解。

定理3.3 设有下界、非常数，且，则方程(6)的所有解都是无界解，即满足：。

证明：由定理3.2的证明可知，

。

所以，由推论2.2得，进而可得方程(6)解的无界性，即方程(6)的解满足：

。

举例2 考虑方程

。 (12)

由于，所以。而有，所以。满足定理3.3的条件，因此方程(12)的所有解无界。另一方面，显然是方程的一个无界解。

致谢

本文作者对朴大雄教授的指导表示感谢。

基金项目

本文得到国家级大学生创新创业训练计划项目(201510423116)和山东省自然科学基金(ZR2013AM026)的资助。

文章引用

陈甜甜,张沛文,韩春瑞. 带阻尼项的Duffing方程解的无界性
Unboundedness of Solutions of Duffing Equations with Damping Term[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 127-133. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63019

参考文献 (References)