ABSTRACT

The sufficient conditions are obtained that the is a periodic function with period 2T, 3T or 4T for the functional equation. The results generalize the existing conclusions.

Keywords:Functional Equation, Period

一类函数方程的周期性

周小利¹，周铁军^1,2

¹湖南农业大学理学院，湖南 长沙

²湖南农业大学东方科技学院，湖南 长沙

收稿日期：2017年4月22日；录用日期：2017年5月6日；发布日期：2017年5月10日

摘 要

本文针对函数方程分别获得是周期为2T、3T、4T函数的充分条件，推广了已有结论。

关键词 :函数方程，周期

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

对于函数方程的解，我们经常要讨论它的周期性，并确定它的周期 [1] [2] [3] [4] [5] 。文献 [1] 中讨论了8种特殊形式的函数方程并给出了它们的周期。本文将该文相关结果推广到如下一般形式的函数方程：

(1)

显然，当时，方程(1)存在平凡周期解：

不难验证，当时，方程(1)有常数解或，这是平凡周期解。那么对于不为常数的情形，方程(1)是否存在周期解？如果存在周期解，它的周期是多少?这是本文要解决的问题。

2. 主要定理

对于方程(1)是否存在非常数周期解的问题，我们有如下结论：

定理 设f(x)不为常数，

(i) 如果，那么是周期为2T的函数。

(ii) 如果，那么是周期为3T的函数。

(iii) 如果，那么是周期为4T的函数。

证明：由于不为常数，则由(1)式可得：

(2)

于是有。将(2)式代入并整理得：

(3)

(i) 如果，则由(3)式可得，即是周期为2T的函数。

(ii) 由(2)式得

将(3)式代入上式并整理得

(4)

如果，那么有，即是周期为3T的函数。

(iii) 由(3)式得

再将(3)式代入上式并整理得

当时，有，于是得

从而，故有

所以是周期为4T的函数。

3. 几个实例

下面举例说明上述定理的应用。

例1. 若函数满足，其中，则是周期为的函数(文献 [3] 定理3)。

证明：令，则有，对应方程(1)中，，，故由定理中(i)知，是周期为的函数。

注：文献 [1] 中第7点结论是本例在时的特殊情形，文献 [2] 中定理1的两个方程是本例在时的情形。

例2. 若函数满足，则是以3T为周期的函数。

证明：由条件可得

，

因此在方程(1)中，，由定理中(ii)知道，是以3T为周期的函数。

注：若a = 1，则得到文献 [1] 中第8点结论。

例3. 若函数满足，则是以2T为周期的函数。

证明：由条件可得

因此在方程(1)中，由定理1中(i)知道，是以2T为周期的函数。

注：若，，则得到文献 [1] 中第9点结论及文献 [2] 定理2的推论；若，，则得到文献 [1] 中第11点结论及文献 [2] 中的定理2。

例4. 若函数满足，则是以4T为周期的函数。

证明：由条件可得

，

因此在方程(1)中，显然，故由定理1中(iii)知道，是以4T 为周期的函数。

注：如果，就得到文献 [1] 中第10点结论及文献 [2] 中定理3的推论；如果，就得到文献 [2] 中定理3的结论。

4. 结论

我们的研究表明，抽象函数方程(1)除了在系数满足条件或时存在常数形式的平凡周期解外，还可能在不同条件下分别存在周期为2T、3T和4T的非常数的周期解。

文章引用

周小利,周铁军. 一类函数方程的周期性
Periodicity of a Class of Functional Equations[J]. 理论数学, 2017, 07(03): 137-140. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.73016

参考文献 (References)