某类顶点拟本原和二部拟本原的3度对称图的分类 A Classification on a Class of Vertex Quasiprimitive and Bi-Quasiprimitive Cubic Symmetric Graphs

doi:10.12677/PM.2019.99125

Pure Mathematics
Vol. 09 No. 09 ( 2019 ), Article ID: 32842 , 9 pages
10.12677/PM.2019.99125

A Classification on a Class of Vertex Quasiprimitive and Bi-Quasiprimitive Cubic Symmetric Graphs

Junjie Huang

●How to Cite this Article

School of Statistics and Mathematics, Yunnan University of Finance and Economics, Kunming Yunnan

Received: Oct. 9^th, 2019; accepted: Oct. 30^th, 2019; published: Nov. 6^th, 2019

ABSTRACT

Let $Γ$ be a graph and $G \leq A u t Γ$ . Then $Γ$ is called a G-basic graph, if G is quasiprimitive or bi-quasiprimitive on vertex set $V Γ$ . In this paper, we classify cubic symmetric G-basic graphs of order $2 p^{m} q^{n}$ , where $p < q$ are primes, and $m, n \geq 1$ .

Keywords:Symmetric Graph, Quasiprimitive Group, Bi-Quasiprimitive Group, Almost Simple Group

某类顶点拟本原和二部拟本原的3度对称图的分类

黄俊杰

云南财经大学统计与数学学院，云南昆明

收稿日期：2019年10月9日；录用日期：2019年10月30日；发布日期：2019年11月6日

摘要

设 $Γ$ 是一个图， $G \leq A u t Γ$ ，则称 $Γ$ 是一个G-基图，如果G在顶点集 $V Γ$ 上是拟本原的或者二部拟本原的。在这篇文章中，我们将分类阶为 $2 p^{m} q^{n}$ 的3度对称G-基图，其中 $p < q$ 为素数， $m, n \geq 1$ 。

关键词 :对称图，拟本原群，二部拟本原群，几乎单群

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1. 引言

对于一个图 $Γ$ ，我们设 $V Γ$ ， $E Γ$ 和 $A Γ$ 分别表示 $Γ$ 的顶点集，边集和弧集， $Aut Γ$ 表示 $Γ$ 的全自同构群； $| V Γ |$ 称为图 $Γ$ 的阶。如果群 $G \leq Aut Γ$ 作用在 $V Γ$ ， $E Γ$ 或 $A Γ$ 上传递，则分别称 $Γ$ 为G-点传递图，G-边传递图或G-弧传递图。特别地，弧传递图也称为对称图。对任意的 $u \in V Γ$ ，定义 $Γ (u) = {u \in V Γ | {u, v} \in E Γ}$ 为点u的邻域，称 $| Γ (u) |$ 为点u的度数，记为 $| Γ (u) |$ 。如果对任意的 $u, v \in V Γ$ ，u和v的度数相等，则称为正则图， $| Γ (u) |$ 为图 $Γ$ 的度数，记作 $val (Γ) = val (u)$ 。给定一个正整数s和 $V Γ$ 上的 $s + 1$ 个点 $u_{0}, u_{1}, \dots, u_{s}$ ，称 $(u_{0}, u_{1}, \dots, u_{s})$ 是一条s-弧，如果 $u_{i - 1} \neq u_{i + 1} (i = 1, 2, \dots, s - 1)$ ，且 $u_{j - 1}$ 和 $u_{j} (j = 1, 2, \dots, s)$ 是邻接的。若 $G \leq Aut Γ$ 在 $Γ$ 的s-弧集上传递，则称 $Γ$ 为 $(G, s)$ -弧传递图；如果 $Γ$ 是 $(G, s)$ -弧传递图但不是 $(G, s + 1)$ -弧传递图，则称 $Γ$ 为 $(G, s)$ -传递图。特别地，一个 $(Aut Γ, s)$ -传递图可简单的称为s-传递图。

在代数图论中，阶数特定的对称图受到了国内外学者的广泛关注。例如：文献( [1] )给出了不大于768个点的三度图的分类。设 $p, q$ 为素数，在文献( [2] [3] [4] )中，作者分别分类了p，2p，3p阶的对称图；之后，Praeger等在( [5] )和( [6] )中分别将其推广到pq阶的对称图。1947年，Tutte在文献( [7] )中确定了3度图的点稳定子群的结构，在此之后的几十年里，3度对称图引起了大量学者的研究，他们给出了3度对称图的各种构造方法及其分类。例如，Du和Wang在文献( [8] )中考虑了单群 $PSL (2, r)$ 上的3度Cayley图，其中r为一个素数的方幂；Feng等在( [9] )中分类了阶为8p和8p²的3度对称图；Zhou和Feng在( [10] )中对2pq阶的3度对称图进行了分类。

设 $X \leq Sym (Ω)$ 是一个传递置换群，则称X是拟本原的，如果X的每个极小正规子群都在 $Ω$ 上传递；称X是二部拟本原的，如果X的每个极小正规子群在 $Ω$ 上至多有两个轨道并且存在一个极小正规子群作用在 $Ω$ 上恰有两个轨道。给定一个图 $Γ$ ， $G \leq Aut Γ$ ，称 $Γ$ 是一个G-基图，如果G在顶点集 $V Γ$ 上是拟本原的或者二部拟本原的。研究对称图的一般分为以下两步：

第一步，研究对称图的基图；

第二步，刻画对称图的基图的正规覆盖。

基图的分类是研究对称图的基础，它不仅可以为学习对称图提供一些图例，而且对于后续研究基图的覆盖有着重要的参考作用。设 $Γ$ 是一个阶为 $2 p^{m} q^{n}$ 的3度对称图，本文将分类 $Γ$ 的G-基图，其中 $p < q$ 为素数， $G \leq Aut Γ$ ， $m, n \geq 1$ ，所得主要结论如下：

定理1.1：设 $p < q$ 为素数， $Γ$ 是一个阶为 $2 p^{m} q^{n}$ 的3度G-基对称图，其中 $G \leq Aut Γ$ ， $m, n \geq 1$ ，则 $Γ$ 满足表1。

2. 预备知识

本文所考虑的所有图均为有限的、非空的、无向的、连通的、以及没有圈和重边的正则图。关于本文所使用的群论和图论的符号和基本概念都是标准的，可以参看学者们的著作( [11] [12] [13] [14] )等。例如：

Table 1. 3 degree G-based symmetry diagram of order 2 p m q n

表1. 阶为 $2 p^{m} q^{n}$ 的3度G-基对称图

我们用 $ℤ_{n}$ 表示n阶循环群， $A_{n}$ 和 $S_{n}$ 分别表示交错群和对称群。

本节的主要内容是给出一些重要的结论和例子。首先我们给出由Tutte于1947年确定的3度对称图的点稳定子群的结构，它为我们研究3度对称图奠定了基础。

引理2.1 ( [7] )：设 $Γ$ 是一个连通的3度 $(G, s)$ -弧传递图。则 $s \leq 5$ ，并且 $(G_{α}, | G_{α} |, s)$ 满足表2，其中α∈VΓ。

Table 2. Point-stabilized subgroups of 3-degree symmetry maps

表2. 3度对称图的点稳定子群

设G是一个有限群，H是G的子群。令D为H在G中的若干个形如 $H x H (x \notin H)$ 的双陪集之并。定义群G上关于H和D的陪集(有向)图 $Γ = Cos (G, H, D)$ 如下：顶点集 $V Γ = [G : H]$ ，即H在G中的所有右陪集之并，边集 $E Γ = {{H a, H d a} | a \in G, d \in D}$ 。陪集图有如下的性质。

引理2.2 ( [14] )：设 $Γ = Cos (G, H, D)$ 是群G关于H和D的陪集有向图，则

1) $Γ$ 是点传递图，并且 $val (Γ) = | D | / | H |$ ；

2) $Γ$ 是连通图当且仅当 $G = 〈 D 〉$ ；

3) $Γ$ 是无向图当且仅当 $D = D^{- 1}$ ；

4) $Γ$ 是G-弧传递的当且仅当 $D = H x_{i} H (x_{i} \notin H)$ 是一个单个的双陪集。

陪集图通常用于构造一些图例，下面的4个例子是根据3度图的点稳定子群的结构以及陪集图的性质构造而成，可参看文献( [1] )和( [10] )。

例2.3：1) 设 $G = PSL (2, 13)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{3}$ ，且存在一个对合x使得 $| H x H | / | H | = 3$ ， $〈 H, x 〉 = G$ 。于是由引理2.2知陪集图 $Cos (G, H, H x H)$ 是一个阶为182的3度对称图，记为 $N C_{182}^{1}$ ，且 $Aut (N C_{182}^{1}) ≅ PSL (2, 13)$ 。

2) 设 $G = PGL (2, 13)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{3} \times S_{2}$ ，且存在一个对合x使得 $| H x H | / | H | = 3$ ， $〈 H, x 〉 = G$ 。于是由引理2.2知陪集图 $Cos (G, H, H x H)$ 是一个阶为182的3度对称图，记为 $N C_{182}^{2}$ ，且。

例2.4：1) 设 $G = PSL (2, 23)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{3} \times S_{2}$ ，且存在和一个对合x使得 $| H x H | / | H | = 3$ ， $〈 H, x 〉 = G$ 。于是由引理2.2知陪集图 $Cos (G, H, H x H)$ 是一个阶为506的3度对称图，记为 $N C_{506}$ ，且 $Aut (N C_{506}) ≅ PSL (2, 23)$ 。

2) 设 $G = PGL (2, 23)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{4}$ ，且存在和一个对合x使得 $| H x H | / | H | = 3$ 且 $〈 H, x 〉 = G$ 。于是由引理2.2知陪集图 $Cos (G, H, H x H)$ 是一个阶为506的3度对称图，记为 $C_{506}$ ，且 $Aut (C_{506}) ≅ PGL (2, 23)$ 。

例2.5：设 $G = PSL (2, 47)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{4}$ 和一个对合x使得 $| H x H | / | H | = 3$ 且 $〈 H, x 〉 = G$ 。于是由引理2.2知陪集图 $Cos (G, H, H x H)$ 是一个阶为2162的3度对称图，记为 $N C_{2162}$ ，且其全自同构群为 $PSL (2, 23)$ 。

例2.6：1) Levi图 $N C_{30}$ 是唯一的一个阶为30的3度对称图，它是5-正则的二部图且 $Aut (N C_{30}) ≅ S_{6} . ℤ_{2}$ 。

2) Smith-Biggs图 $N C_{102}$ 是唯一的一个阶为102的3度对称图，且 $Aut (N C_{102}) ≅ PSL (2, 17)$ 。

3) Coxter-Frucht图 $C_{110}$ 是唯一的一个阶为110的3度对称图，且 $Aut (C_{110}) ≅ PGL (2, 11)$ 。

对于给定的较小群G，利用Magma ( [15] )软件计算包可以确定所有同构意义下的G-弧传递图。通过Magma ( [15] )直接计算，我们可得以下的5个例子。值得注意的是，在例子中所出现图，它们在同构意义下都是唯一的。

例2.7：1) 设 $G = A_{5}$ ，则G有一个子群 $H ≅ ℤ_{3}$ ，由Magma ( [15] )可知，存在一个阶为20的3度对称图，记为 $G_{20}^{1}$ ，且 $Aut (G_{20}^{1}) ≅ S_{5}$ 。

2) 设 $G = S_{5}$ ，则G有一个子群，于是通过Magma ( [15] )计算，存在一个阶为20的3度对称图，记为 $G_{20}^{2}$ ，且 $Aut (G_{20}^{2}) ≅ S_{5} \times ℤ_{2}$ 。

例2.8：设 $G = PSL (2, 7)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{3}$ 或 $ℤ_{3}$ ，于是存在两个3度对称图，分别记为 $G_{28}^{1}$ 和 $G_{56}^{1}$ ，它们的阶分别为28和56，且 $Aut (G_{28}^{1}) ≅ PGL (2, 7)$ ， $Aut (G_{56}^{1}) ≅ PGL (2, 7)$ 。

例2.9：设 $G = PGL (2, 7)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{3} \times S_{2}$ 或 $S_{3}$ 。通过Magma ( [15] )计算可得：

1) 如果 $H ≅ S_{3} \times S_{2}$ ，则存在一个阶为28的3度对称图，记为 $G_{28}^{2}$ ，且 $Aut (G_{28}^{2}) ≅ PGL (2, 7)$ 。

2) 如果 $H ≅ S_{3}$ ，则存在两个阶为56的3度对称图，分别记为 $G_{56}^{2}$ 和 $G_{56}^{3}$ ，且 $Aut (G_{56}^{2}) ≅ PGL (2, 7)$ ， $Aut (G_{56}^{3}) ≅ PGL (2, 7) \times ℤ_{2}$ 。

例2.10：1) 设 $G = PGL (2, 25)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{4}$ ，通过Magma ( [15] )计算，存在一个阶为650的3度对称图，记为 $G_{650}^{1}$ ，且 $Aut (G_{650}^{1}) ≅ Aut (PSL (2, 25))$ 。

2) 设 $G = Aut (PSL (2, 25))$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{4} \times S_{2}$ ，由Magma ( [15] )可知，存在一个阶为650的3度对称图，记为 $G_{650}^{2}$ ，且 $Aut (G_{650}^{2}) ≅ Aut (PSL (2, 25))$ 。

例2.11：1) 设 $G = PSL (3, 3)$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{4}$ ，存在一个阶为234的3度对称图，记为 $G_{234}^{1}$ ，且 $Aut (G_{234}^{1}) ≅ Aut (PSL (3, 3))$ 。

2) 设 $G = Aut (PSL (3, 3))$ ，则G有一个子群 $H ≅ S_{4} \times S_{2}$ ，故由Magma ( [15] )计算，存在一个阶为234的3度对称图，记为 $G_{234}^{2}$ ，且 $Aut (G_{234}^{2}) ≅ Aut (PSL (3, 3))$ 。

下面的引理是( [16]，引理2.5])的一个特例，它略微改进了Praeger的结论( [17]，定理4.1])。

引理2.12 ( [16] )：设 $Γ$ 是一个连通的奇素数度的G-弧传递图， $G \leq Aut Γ$ 有一个非传递的正规子群N在上至少有两个轨道。则下面的陈述成立：

1) N在 $V Γ$ 上半正则， $G / N \leq Aut (Γ_{N})$ ， $Γ_{N}$ 是G/N-弧传递的，并且 $Γ$ 是 $Γ_{N}$ 的正规N-覆盖。

2) $Γ$ 是 $(G, s)$ -弧传递的当且仅当 $Γ_{N}$ 是 $(G / N, s)$ -弧传递的，其中 $1 \leq s \leq 5$ 或 $s = 7$ 。

3) $G_{α} ≅ {(G / N)}_{δ}$ ，其中 $α \in V Γ$ ， $δ \in V Γ_{N}$ 。

3. 定理1.1的证明

为了完整的证明定理1.1，我们先证明以下两个引理，第一个引理分类了一类单群。

引理3.1：设T是一个非交换单群且满足 $| T | | 2^{5} \cdot 3 \cdot r^{m} \cdot s^{n}$ ，且 $3 r^{m} s^{n} | | T |$ ，其中 $r < s$ 为素数， $m, n \geq 1$ 。则下列之一成立，其中 $| π (T) |$ 表示 $| T |$ 的所有素因子的个数。

1) 如果 $| π (T) | = 3$ ，则 $(T, | T |)$ 满足表3。

Table 3. Single group T with 3 prime factors

表3. 含有3个素因子的单群T

2) 如果 $| π (T) | = 4$ ，则 $(T, | T |)$ 满足表4。

Table 4. Single group T with 4 prime factors

表4. 含有4个素因子的单群T

证明：因为 $3 r^{m} s^{n} | | T |$ ，所以 $3 \leq | π (T) | \leq 4$ ，因此T满足( [18]，定理I)。

如果 $| π (T) | = 3$ ，则 $r = 2$ 或3， $s \geq 5$ ，因此T是一个 ${2, 3, s}$ -群。如果 $r = 2$ ，则 $| T | | 2^{5 + m} \cdot 3 \cdot s^{n}$ ，于是 $3^{2} ∤ | T |$ ，故由( [18]，表1)可知： $T ≅ A_{5}$ 或 $PSL (2, 7)$ ，此时， $| T | = 2^{2} \times 3 \times 5$ 或 $2^{3} \times 3 \times 7$ 。如果 $r = 3$ ，则 $| T | | 2^{5} \cdot 3^{m + 1} \cdot s^{n}$ ，故 $2^{6} ∤ | T |$ 。再由( [18]，表1)可得： $T ≅ A_{5}$ ， $A_{6}$ ， $PSL (2, 7)$ ， $PSL (2, 8)$ ， $PSU (3, 3)$ ， $PSL (3, 3)$ 或 $PSL (2, 17)$ 。

如果 $| π (T) | = 4$ ，由 $| T | | 2^{5} \cdot 3 \cdot r^{m} \cdot s^{n}$ 可知 $3 < r < s$ ，因此T是一个 ${2, 3, r, s}$ -群，于是由( [18]，定理I)可知：T满足( [18]，表2)或者T同构于单群 $PSL (2, q)$ ，其中 $q > 3$ 为一个素数的方幂。如果T满足( [18]，表2)，则通过检查它们的阶可得： $T ≅ PSL (3, 5)$ ，此时 $| T | = 2^{5} \cdot 3 \cdot 5^{3} \cdot 31$ 。如果 $T ≅ PSL (2, q)$ ，则由( [18]，定理3.2和引理3.4(2)，3.5(2))可知：要么 $q \in {5^{2}, 7^{2}, 2^{4}, 2^{5}}$ ，要么 $q \geq 11$ 是一个素数。

假设 $T ≅ PSL (2, q)$ ，其中 $q \geq 11$ 是一个素数，则 $| T | = \frac{1}{2} q (q + 1) (q - 1)$ 。注意到，，因此，

$\frac{1}{2} (q + 1) (q - 1) | 2^{5} \cdot 3 \cdot r^{m},$

即

$\frac{q + 1}{2} \cdot \frac{q - 1}{2} | 2^{4} \cdot 3 \cdot r^{m} .$

因为 $(\frac{q + 1}{2}, \frac{q - 1}{2}) = 1$ ，所以 $\frac{q + 1}{2} | r^{m}$ 或 $\frac{q - 1}{2} | r^{m}$ ，即 $\frac{q - 1}{2} | 2^{4} \cdot 3$ 或 $\frac{q + 1}{2} | 2^{4} \cdot 3$ 。由此可得： $q = 11$ ，13，17，23，31，47或97。通过检查它们对应单群 $PSL (2, q)$ 的阶可知：满足条件的q为11，13，23，31，47，97。□

假设 $p < q$ 为素数， $Γ$ 是一个连通的阶为 $2 p^{m} q^{n}$ 的3度G-弧传递图，其中 $G \leq Aut Γ$ ， $m, n \geq 1$ 。设N是的一个极小正规子群，则 $N = T^{d}$ ，其中T是一个单群且。令 $α \in V Γ$ 。

引理3.2：应用上面的符号说明。如果N是非交换的，则 $d = 1$ 。

证明：反证法。假设 $d \geq 2$ ，则由 $N = T^{d}$ 可知： $| N | ∤ 2 p^{m} q^{n}$ 。如果N在 $V Γ$ 上至少有3个轨道，则由引理2.12可知，N在 $V Γ$ 上半正则，于是 $| N | | | V Γ |$ ，注意到 $| V Γ | = 2 p^{m} q^{n}$ ，矛盾。故N在 $V Γ$ 上至多有2个轨道。令 $N = T_{1} \times T_{2} \times \dots \times T_{d}$ ，其中 $T_{i} ≅ T (i = 1, 2, \dots, d)$ 。

假设N在 $V Γ$ 上传递。由 $1 \neq N_{α} ⊲ G_{α}$ 且 $Γ$ 是连通图可得： $1 \neq N_{α}^{Γ (α)} ⊲ G_{α}^{Γ (α)}$ 。因此， $N_{α}^{Γ (α)}$ 是传递的且 $Γ$ 是N-弧传递的。如果 $T_{1}$ 在 $V Γ$ 上传递，则由( [12]，定理4.2A)可知：中心化子 $C_{N} (T_{1})$ 在 $V Γ$ 上半正则，从而 $T_{2}$ 在 $V Γ$ 上半正则，这与 $| T_{2} |$ 不能整除 $| V Γ | = 2 p^{m} q^{n}$ 相矛盾。如果 $T_{1}$ 在 $V Γ$ 上至少有3个轨道，则由引理2.12可知： $T_{1}$ 在 $V Γ$ 上半正则，矛盾。因此， $T_{1}$ 在 $V Γ$ 上恰好有2个轨道，记为U和W。因为 $T_{1} ⊲ N$ ，故U和W构成 $V Γ$ 上的一个N-不变块系，于是 $N_{U}$ 在N中的指数为2。但是， $N = T^{d}$ 没有指数为2的子群，矛盾。

假设N在 $V Γ$ 上恰有两个轨道，记为 $Δ_{1}, Δ_{2}$ 。此时， $Γ$ 是一个二部图，其二部分别为 $Δ_{1}$ 和 $Δ_{2}$ 。令 $G^{+} = G_{Δ_{1}} = G_{Δ_{2}}$ 。如果 $G^{+}$ 作用在 $Δ_{1}$ 上是非忠实的，则由( [19]，引理5.2)可知：是一个完全二部图，于是 $Γ = K_{3, 3}$ ，因此， $| V Γ | = 6$ ，矛盾。如果 $G^{+}$ 作用在 $Δ_{1}$ 上是忠实的，则 $N \leq G^{+}$ 可以看作 $Δ_{1}$ 上的一个传递置换群。如果 $T_{1}$ 在 $Δ_{1}$ 上传递，则由( [12]，定理4.2A)可知： $T_{2}$ 在 $Δ_{1}$ 上半正则，故 $| T_{2} | | p^{m} q^{n}$ ，矛盾。因此， $T_{1}$ 在 $Δ_{1}$ 上至少有2个轨道，故由( [20]，引理3.2)可知： $T_{1}$ 在 $Δ_{1}$ 上半正则，矛盾。□

下面给出定理1.1的完整证明。

定理1.1的证明：设 $Γ$ 是一个连通的阶为 $2 p^{m} q^{n}$ 的3度对称G-基图，则G在 $V Γ$ 上是拟本原的或者二部拟本原的，其中 $p < q$ 为素数， $G \leq Aut Γ$ ， $m, n \geq 1$ 。设N是G的一个极小正规子群，则 $N = T^{d}$ ，其中T是一个单群且 $d \geq 1$ 。令 $α \in V Γ$ ，下面我们分两种情形来完成定理1.1的证明。

情形1：假设G在 $V Γ$ 上是拟本原的。

此时N在 $V Γ$ 上是传递的。如果N是一个交换群，则N在 $V Γ$ 上正则，从而 ${| T |}^{d} = | N | = 2 p^{m} q^{n}$ ，矛盾。因此N是非交换的，于是由引理3.2可知： $d = 1$ ，从而 $N = T$ 。进一步，由于 $T_{α} \neq 1$ ，则 $Γ$ 是T-弧传递的，因此 $T_{α}$ 满足引理2.1，于是 $| T_{α} | | 48$ 。由T的传递性可得： $| T | = | V Γ | \cdot | T_{α} |$ 整除 $2^{5} \cdot 3 \cdot p^{m} \cdot q^{n}$ 。另一方面，由于 $Γ$ 是T-弧传递的，则 $3 | | T_{α} |$ ，于是 $3 p^{m} q^{n} | | T |$ 。故T满足引理3.1。

假设 $| π (T) | = 3$ ，则T和 $(p^{m}, q^{n})$ 满足下表5。

Table 5. Single group T with three prime factors and its corresponding ( p m , q n )

表5. 含有3个素因子的单群T及其对应的 $(p^{m}, q^{n})$

如果 $T ≅ A_{5}$ ，则 $| T_{α} | = | T | / | V Γ | = 3$ ，从而 $T_{α} ≅ ℤ_{3}$ ，故由例2.7可知 $Γ ≅ G_{20}^{1}$ 。如果 $T ≅ A_{6}$ ， $PSL (2, 8)$ 或 $PSL (2, 17)$ ，则 $| V Γ | = 2 p q$ ，从而由( [10] )可知：只有当 $T ≅ PSL (2, 17)$ 时才存在满足条件的图 $Γ$ ，此时T有一个子群 $T_{α} ≅ S_{4}$ 。由例2.6可知 $Γ ≅ N C_{102}$ 。如果 $T ≅ PSL (2, 7)$ ，且 $(p^{m}, q^{n}) = (2, 7)$ 或 $(2^{2}, 7)$ ，则 $| T_{α} | = 6$ 或3，从而由引理2.1可得， $T_{α} ≅ S_{3}$ 或 $ℤ_{3}$ 。由例2.8可知 $Γ ≅ G_{28}^{1}$ 或 $G_{56}^{1}$ 。如果 $T ≅ PSU (3, 3)$ ，则 $| T_{α} | = 2^{4} \cdot 3$ ，但是， $PSU (3, 3)$ 没有子群同构于 $S_{4} \times S_{2}$ ，这与引理2.1相矛盾。如果 $T ≅ PSL (3, 3)$ ，则 $| T_{α} | = 2^{3} \cdot 3$ 且 $T_{α} ≅ S_{4}$ 。由例2.11可知： $Γ ≅ G_{234}^{1}$ 。

假设 $| π (T) | = 4$ ，则T和 $(p^{m}, q^{n})$ 满足下表6。

Table 6. Single group T with four prime factors and their corresponding ( p m , q n )

表6. 含有4个素因子的单群T及其对应的 $(p^{m}, q^{n})$

如果 $T ≅ PSL (2, q)$ ，其中，则 $| V Γ | = 2 p q$ ，由( [10] )可知，只有当 $q = 13$ ，23或47时才存在满足条件的图 $Γ$ ，进一步，由例2.3，2.4和2.5可得， $Γ ≅ N C_{182}^{1}$ ， $N C_{506}$ 或 $N C_{2162}$ 。如果 $T ≅ PSL (2, 97)$ 或 $PSL (3, 5)$ ，则 $| T_{α} | = 2^{4} \cdot 3$ 。但是， $PSL (2, 97)$ 和 $PSL (3, 5)$ 都没有子群同构于 $S_{4} \times S_{2}$ ，这与引理2.1相矛盾。如果 $T ≅ PSL (2, 25)$ 或 $PSL (2, 49)$ ，则 $| T_{α} | = 2^{2} \cdot 3$ 或 $2^{3} \cdot 3$ ，此时 $T_{α} ≅ S_{3} \times S_{2}$ 或 $S_{4}$ ，由Magma ( [15] )计算可知，此时不存在满足条件的图 $Γ$ 。

情形2：假设G在 $V Γ$ 上是二部拟本原的。

此时，G有一个极小正规子群 $N = T^{d}$ 在 $V Γ$ 上恰有两个轨道，分别记为 $Δ_{1}$ 和 $Δ_{2}$ 。于是， $Γ$ 是一个二部图，并且其二部分别为 $Δ_{1}$ 和 $Δ_{2}$ 。令 $G^{+} = G_{Δ_{1}} = G_{Δ_{2}}$ ，则 $N \leq G^{+}$ ， $| G : G^{+} | = 2$ ， $G_{α} = G_{α}^{+}$ 。如果N是交换的，则N在 $Δ_{1}$ 上正则，从而 ${| T |}^{d} = | N | = p^{m} q^{n}$ ，矛盾。因此N是非交换的。由引理3.2可知： $N = T$ 是一个非交换单群。如果 $G^{+}$ 作用在 $Δ_{1}$ 或 $Δ_{2}$ 上是非忠实的，则由( [19]，引理5.2)可知： $Γ$ 是一个完全二部图，于是 $Γ = K_{3, 3}$ 。故， $| V Γ | = 6$ ，矛盾。假设 $G^{+}$ 作用在 $Δ_{1}$ 和 $Δ_{2}$ 上是忠实的，则由( [21]，定理1.5)可知下列之一成立：

(a) $G^{+}$ 在 $Δ_{i} (i = 1, 2)$ 上是拟本原的；

(b) $G^{+}$ 有两个正规子群 $M_{1}$ ， $M_{2}$ 满足 $M_{1} ≅ M_{2}$ 且它们在 $V Γ$ 半正则。进一步，群 $M_{1} \times M_{2}$ 在 $Δ_{i}$ 上正则。

对于情形(b)，有： ${| M_{1} |}^{2} = | Δ_{i} | = p^{m} q^{n}$ ，矛盾。下面考虑情形(a)。假设 $G^{+}$ 在 $Δ_{i}$ 上是拟本原的，则 $G^{+}$ 有一个极小正规子群T且T是一个单群，于是由O’Nan-Scott-Praeger定理( [17] )可知： $soc (G^{+}) = T$ 或 $T^{2}$ 。如果 $soc (G^{+}) = T^{2}$ ，则 $G^{+}$ 是全形单型，且T在 $Δ_{i}$ 上正则。因此，矛盾。故 $soc (G^{+}) = T$ 。进一步，如果T不是G的唯一极小正规子群，则由 $G = G^{+} . ℤ_{2}$ 可知 $G = G^{+} \times ℤ_{2}$ ，于是G的正规子群在 $V Γ$ 上有 $p^{m} q^{n}$ 个轨道，这与G在 $V Γ$ 上是二部拟本原的相矛盾。故，T是G的唯一极小正规子群，即G是几乎单的且其基柱 $soc (G) = T$ 。令 $G = T . o$ ，，其中 $ℤ_{2} \leq o \leq Out (T)$ 且 $| o : o^{'} | = 2$ 。由于 $T_{α} \leq G_{α}$ ，于是由引理2.1可知，因此 $| T | = | Δ_{1} | \cdot | T_{α} |$ 整除 $2^{5} \cdot 3 \cdot p^{m} \cdot q^{n}$ 。另一方面，由于 $T_{α} \neq 1$ ，则 $3 | | T_{α} |$ ， $3 p^{m} q^{n} | | T |$ 。故T满足引理3.1。

假设 $| π (T) | = 3$ 。此时T和 $(p^{m}, q^{n})$ 满足表5。如果 $T ≅ A_{5}$ ，则由Altas ( [22] )可知 $Out (A_{5}) = ℤ_{2}$ 。因此 $G^{+} = A_{5}$ ， $G = S_{5}$ ，且，于是由引理2.1可知， $G_{α} ≅ S_{3}$ 。故由例2.7可知 $Γ ≅ G_{20}^{2}$ 。如果 $T ≅ A_{6}$ ，则 $Out (A_{6}) = ℤ_{2}^{2}$ ，于是 $G = S_{6}$ 或 $S_{6} . ℤ_{2}$ 。若 $G = S_{6}$ ，则 $| G_{α} | = 24$ ，于是 $G_{α} ≅ S_{4}$ ，由Magma ( [15] )计算可知：此时不存在满足条件的图 $Γ$ 。若 $G = S_{6} . ℤ_{2}$ ，则 $| G_{α} | = 48$ ，于是 $G_{α} ≅ S_{4} \times S_{2}$ ，由例2.6可知 $Γ ≅ N C_{30}$ 。如果 $T ≅ PSL (2, 7)$ ，则 $Out (PSL (2, 7)) = ℤ_{2}$ ，且 $(p^{m}, q^{n}) = (2, 7)$ 或 $(2^{2}, 7)$ 。于是 $G = PGL (2, 7)$ ，并且G有两个子群分别同构于 $S_{3} \times S_{2}$ 和 $S_{3}$ 。故由例2.9可知： $Γ ≅ G_{28}^{2}$ ， $G_{56}^{2}$ ，或 $G_{56}^{3}$ 。如果 $T ≅ PSL (2, 8)$ ，则由Altas ( [6] )可知 $Out (T) = ℤ_{3}$ ，此时与 $ℤ_{2} \leq o \leq Out (T)$ 且 $| o : o^{'} | = 2$ 相矛盾。如果 $T ≅ PSU (3, 3)$ ，则 $Out (T) = ℤ_{2}$ ，于是 $G = Aut (PSU (3, 3))$ ，此时 $| G_{α} | = 2^{5} \cdot 3$ ，这与引理2.1相矛盾。如果 $T ≅ PSL (3, 3)$ ，则 $Out (T) = ℤ_{2}$ ，从而 $G = Aut (PSL (3, 3))$ ，此时 $G_{α} ≅ S_{4} \times S_{2}$ ，由例2.11可知 $Γ ≅ G_{234}^{2}$ 。如果 $T ≅ PSL (2, 17)$ ，则 $Out (T) = ℤ_{2}$ ，故 $G = PGL (2, 17)$ ，此时 $| G_{α} | = 48$ ，但是， $PGL (2, 17)$ 不存在48阶的子群，矛盾。

假设 $| π (T) | = 4$ 。此时T和 $(p^{m}, q^{n})$ 满足表6。如果 $T ≅ PSL (2, 31)$ ， $PSL (2, 97)$ 或 $PSL (3, 5)$ ，则 $Out (T) = ℤ_{2}$ ，于是 $G = PGL (2, 31)$ ， $PGL (2, 97)$ 或 $PGL (3, 5)$ 。此时， $| G_{α} | = | G | / | V Γ | = 2^{5} \cdot 3$ ，这与引理2.1相矛盾。如果 $T ≅ PSL (2, 32)$ ，则 $Out (PSL (2, 32)) = ℤ_{5}$ ，此时与 $ℤ_{2} \leq o \leq Out (T)$ 且 $| o : o^{'} | = 2$ 相矛盾。如果 $T ≅ PSL (2, 16)$ 或 $PSL (2, 49)$ ，则 $Out (T) = ℤ_{2}^{2}$ ，于是 $G = T . ℤ_{2}$ 或 $Aut (T)$ 。若 $G = T . ℤ_{2}$ ，则 $| G_{α} | = 2^{4} \cdot 3$ ，但是，G没有子群同构于 $S_{4} \times S_{2}$ ，这与引理2.1相矛盾。若 $G = Aut (T)$ ，则 $| G_{α} | = 2^{5} \cdot 3$ ，这与引理2.1相矛盾。如果 $T ≅ PSL (2, 47)$ ，则 $Out (T) = ℤ_{2}$ ，于是 $G = PGL (2, 47)$ ， $| G_{α} | = 2^{4} \cdot 3$ ，然而，G没有子群同构于 $S_{4} \times S_{2}$ ，矛盾。如果 $T ≅ PSL (2, 11)$ ， $PSL (2, 13)$ 或 $PSL (2, 23)$ ，则 $Out (T) = ℤ_{2}$ ，故 $G = PGL (2, 11)$ ， $PGL (2, 13)$ 或 $PGL (2, 23)$ ，进一步可得， $G_{α} ≅ S_{3} \times S_{2}$ 或 $S_{4}$ 。故由例2.3，2.4和2.6可知： $Γ ≅ C_{110}$ ， $N C_{182}^{2}$ 或 $C_{506}$ 。如果 $T ≅ PSL (2, 25)$ ，则 $Out (PSL (2, 25)) = ℤ_{2}^{2}$ ，于是 $G = T . ℤ_{2} ≅ P G L (2, 25)$ 或 $Aut (T)$ 。因此， $G_{α} = S_{4}$ 或 $S_{4} \times S_{2}$ 。由例2.10可知 $Γ ≅ G_{650}^{1}$ 或 $G_{650}^{2}$ 。□

基金项目

国家自然科学基金资助项目(80031010061)资助。

文章引用

黄俊杰. 某类顶点拟本原和二部拟本原的3度对称图的分类
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