Pure Mathematics
Vol. 10  No. 01 ( 2020 ), Article ID: 33713 , 5 pages
10.12677/PM.2020.101001

The Homological Properties of the Residue Rings of Skew Power Series

Zhaoqing Gong, Lunqun Ouyang

School of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan Hunan

Received: Dec. 4th, 2019; accepted: Dec. 23rd, 2019; published: Dec. 31st, 2019

ABSTRACT

Let R be a perfect coherent commutative ring, α be an automorphism of a ring R, and f ( x ) be a skew power series of R x ; α . In this paper, we mainly investigate the flat property or the faithfully flat property of the residue ring R x ; α / ( f ( x ) ) when the coefficients of f ( x ) satisfy some additional conditions.

Keywords: α -Compatible Ideal, Flat Module, Faithfully Flat Module

斜幂级数剩余类环的同调性质

龚朝庆,欧阳伦群

湖南科技大学,数学与计算科学学院,湖南 湘潭

收稿日期:2019年12月4日;录用日期:2019年12月23日;发布日期:2019年12月31日

摘 要

设R是一个完全凝聚的交换环, α 是环R的自同构, f ( x ) R x ; α 中的一个斜幂级数。该文对一些特殊的 f ( x ) ,即 f ( x ) 的某些系数满足一定条件时,得到了斜幂级数剩余类环 R x ; α / ( f ( x ) ) 作为R-模的平坦与忠实平坦等同调性质。

关键词 : α -相容理想,平坦模,忠实平坦模

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 前言

设R是有单位元1的完全凝聚的交换环, α 是环R上的一个自同构。记 R x ; α = { i = 0 a i x i | a i R , i N } ,其中加法运算为普通的幂级数加法,乘法运算为满足下列关系式的乘法运算:对于任意 r R x r = α ( r ) x ,则 R x ; α 按上述运算构成一个环,称为环R上的斜幂级数环。设I是环R的理想,如果对任意 a , b R a b I a α ( b ) I ,则称I是环R的 α -相容理想。如果环R的任意理想都是 α -相容理想,则称环R是 α -相容环。

f ( x ) R x ; α ,本文主要研究当 f ( x ) 的某些系数满足一定条件时,斜幂级数剩余类环 R x ; α / ( f ( x ) ) 作为R-模是一个平坦R-模以及忠实平坦R-模,并且将该结论推广到了幂级数剩余类环上。

2. 预备知识

引理1 设R是有单位元1的结合环, α 是环R的自同构,I是环R的 α -相容理想,则对任意 a , b R ,下列结论成立:

1) 若 a b I ,则对任意正整数n,有 a α n ( b ) I α n ( a ) b I

2) 若存在正整数n,使得 a α n ( b ) I α n ( a ) b I ,则必有 a b I

证明:1) 若 a b I ,则有 a α ( α 1 ( b ) ) I 。于是由 α -相容理想的定义可得 a α 1 ( b ) I ,再由 a α 1 ( b ) I 可推出 a α ( α 2 ( b ) ) I ,从而同样可推出 a α 2 ( b ) I 。依此类推可得对任意正整数n,有 a α n ( b ) I

a b I ,则有 α n ( α n ( a ) α n ( b ) ) = 1 α n ( α n ( a ) α n ( b ) ) I ,其中n是正整数,于是由上面的证明可得 1 α n ( α n ( α n ( a ) α n ( b ) ) ) = α n ( a ) α n ( b ) I 。由于I是环R的 α -相容理想,于是可得 α n ( a ) α n + 1 ( b ) I ,依此类推可得 α n ( a ) b I

2) 若存在正整数n,使得 a α n ( b ) I α n ( a ) b I ,则由文献 [1] 中的命题2.3可得 a α n ( α n ( b ) ) = a b I α n ( α n ( a ) ) b = a b I

推论1:设R是有单位元1的结合环, α 是环R的自同构,I是环R的 α -相容理想,则对任意 a , b R ,下列结论成立:

1) 若 a b I ,则对任意非零整数n,有 a α n ( b ) I α n ( a ) b I

2) 若存在非零整数n,使得 a α n ( b ) I α n ( a ) b I ,则必有 a b I

证明:由引理1及文献 [1] 中的命题2.3可知上述结论成立。

引理2:设R是有单位元1的结合环, α 是环R的自同构,对任意正整数n,任意 r R ,有 x n r = α n ( r ) x n r x n = x n α n ( r )

证明:由于 x r = α ( r ) x ,于是可得 x 2 r = x ( x r ) = x ( α ( r ) x ) = ( x α ( r ) ) x = α 2 ( r ) x 2 ,依此类推可得 x n r = α n ( r ) x n

x n r = α n ( r ) x n ,可得 r x n = α n ( α n ( r ) ) x n = x n α n ( r )

引理3:设R是有单位元1的结合环, α 是环R的自同构,I是环R的 α -相容理想, f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n + 。则对任意正整数n,任意 b I ,有 f ( x ) b I x ; α f ( x ) b x n ( f ( x ) ) I

证明:由于 f ( x ) b = ( i = 0 a i x i ) b = i = 0 a i ( x i b ) = i = 0 a i α i ( b ) x i ,由 b I 可得对任意 0 i < a i b I ,于是由推论1可得 a i α i ( b ) I ,从而可得 f ( x ) b I x ; α

由于 f ( x ) b x n = f ( x ) x n α n ( b ) ,由于 b = 1 b I ,于是由推论1可得 1 α n ( b ) = α n ( b ) I ,从而可得 f ( x ) b x n ( f ( x ) ) I

3. 主要结果

定理1:设R是有单位元1的完全凝聚的 α -相容的交换环, α 是环R的自同构, f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n + 。如果存在n,使得 a 0 , a 1 , , a n 1 都是幂等元, a n = 1 ,那么 A = R x ; α / ( f ( x ) ) 是平坦右R-模。

证明:在R-模正合列:

0 ( f ( x ) ) R x ; α A 0

中, R x ; α R ,由文献 [2],由于R是完全凝聚的环,因此易得 R x ; α 是平坦右R-模。故由文献 [3] 知,A是平坦右R-模的充要条件是对R中任意有限生成的左理想I,有

( f ( x ) ) R x ; α I = ( f ( x ) ) I

显然 ( f ( x ) ) I ( f ( x ) ) R x ; α I ,下证 ( f ( x ) ) R x ; α I ( f ( x ) ) I 。设 k i ( x ) R x ; α c i I ,则由引理3可得 k i ( x ) c i I x ; α 。若 k i ( x ) c i ( f ( x ) ) ,下证一定有 k i ( x ) c i ( f ( x ) ) I

因为 k i ( x ) c i ( f ( x ) ) ,所以存在 g ( x ) R x ; α ,使得 k i ( x ) c i = f ( x ) g ( x )

g ( x ) = b 0 + b 1 x + + b m x m + ,则

f ( x ) g ( x ) = ( i = 0 a i x i ) ( j = 0 b j x j ) = i = 0 a i x i b 0 + i = 0 a i x i b 1 x + + i = 0 a i x i b m x m + = i = 0 a i α i ( b 0 ) x i + i = 0 a i α i ( b 1 ) x i + 1 + + i = 0 a i α i ( b m ) x i + m + = a 0 b 0 + ( a 0 b 1 + a 1 α ( b 0 ) ) x + + ( a 0 b n + m + + a n + m α n + m ( b 0 ) ) x n + m + = k = 0 i + j = k ( a i α i ( b j ) ) x k I x ; α

a 0 , a 1 , , a n 1 都是幂等元, a n = 1 时,依次比较 x k 的系数得:

k = 0 时, a 0 b 0 I

k = 1 时,我们有

a 0 b 1 + a 1 α ( b 0 ) I . (1)

将上式乘上 a 0 后得

a 0 b 1 + a 1 a 0 α ( b 0 ) I .

由于 a 0 b 0 I ,I是环R的 α -相容理想,于是可得 a 0 α ( b 0 ) I ,从而可得 a 0 b 1 I 。再由(1)式可得 a 1 α ( b 0 ) I ,故由推论1可得 a 1 b 0 I

k = 2 时,

a 0 b 2 + a 1 α ( b 1 ) + a 2 α 2 ( b 0 ) I . (2)

将该式乘上 a 0 后得

a 0 b 2 + a 1 a 0 α ( b 1 ) + a 2 a 0 α 2 ( b 0 ) I .

由于 a 0 b 0 I a 0 b 1 I ,于是由推论1可得 a 0 α ( b 1 ) I a 0 α 2 ( b 0 ) I ,从而可得 a 0 b 2 I 。再将(2)式乘上 a 1 后可得

a 1 a 0 b 2 + a 1 α ( b 1 ) + a 2 a 1 α 2 ( b 0 ) I .

由于 a 1 b 0 I ,于是由推论1可得 a 1 α 2 ( b 0 ) I 。又由于 a 0 b 2 I ,于是可得 a 1 α ( b 1 ) I ,故可得 a 1 b 1 I 。再由(2)式可得 a 2 α 2 ( b 0 ) I ,于是由推论1可得 a 2 b 0 I ,依此类推;

k = n 时,由 i + j = n a i α i ( b j ) I 可得 a 0 b n I a 1 b n 1 I a n b 0 = b 0 I

k = n + 1 时,由 i + j = n + 1 a i α i ( b j ) I 可得 a 0 b n + 1 I a 1 b n I a n b 1 = b 1 I a n + 1 b 0 I

依此类推可得 b 0 I b 1 I b m I ,故由引理3可得

k i ( x ) c i = f ( x ) g ( x ) = j = 0 f ( x ) b j x j ( f ( x ) ) I

定理2:设R是有单位元1的完全凝聚的 α -相容的交换环, α 是环R的自同构, f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a n x n + 。如果存在 n 1 ,使得 a 0 = a 1 = = a n 1 = 0 a n = 1 ,那么 A = R x ; α / ( f ( x ) ) 是忠实平坦的右R-模。

证明:显然 a 0 , a 1 , , a n 1 都是幂等元,则由定理1可知A是平坦右R-模。下证对于R的任意有限生成的真左理想I, I R ,一定有 A I A ,则根据文献 [4] 可得A是忠实平坦的右R-模。下证A中的单位元 1 + ( f ( x ) ) 必不在AI中,则 A I A

反设A中的单位元 1 + ( f ( x ) ) A I ,则存在 h i ( x ) R x ; α c i I ,使得

1 + ( f ( x ) ) = ( h i ( x ) + ( f ( x ) ) ) c i = h i ( x ) c i + ( f (x) )

由于 h i ( x ) R x ; α c i I ,于是由引理3知 h i ( x ) c i I x ; α ,从而存在 g ( x ) R x ; α ,使得 1 + f ( x ) g ( x ) I x ; α 。由于 a 0 = a 1 = = a n 1 = 0 ,于是由引理2可得

f ( x ) = a n x n + a n + 1 x n + 1 + + a n + m x n + m + = x n α n ( a n ) + x n α n ( a n + 1 ) x + + x n α n ( a n + m ) x m + = x n ( α n ( a n ) + α n ( a n + 1 ) x + + α n ( a n + m ) x m + )

p ( x ) = α n ( a n ) + α n ( a n + 1 ) x + + α n ( a n + m ) x m + ,

f ( x ) = x n p ( x ) ,所以

1 + f ( x ) g ( x ) = 1 + x n p ( x ) g ( x ) I x ; α .

于是必有 1 I ,由此可得 I = R ,这与假设 I R 相矛盾,故A是忠实平坦的右R-模。

推论2:设R是有单位元1的完全凝聚的交换环, f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + 。如果存在 n 1 ,使得 a 0 = a 1 = = a n 1 = 0 a n = 1 ,那么 R x / ( f ( x ) ) 是忠实平坦的右R-模。

证明:在 R x ; α 中,令 α = 1 ,则有 R x ; α R x ,故由定理2知推论成立。

文章引用

龚朝庆,欧阳伦群. 斜幂级数剩余类环的同调性质
The Homological Properties of the Residue Rings of Skew Power Series[J]. 理论数学, 2020, 10(01): 1-5. https://doi.org/10.12677/PM.2020.101001

参考文献

  1. 1. Hashemi, E. (2006) Compatible Ideals and Radicals of Ore Extensions. New York Journal of Mathematics, 12, 349-356.

  2. 2. 佟文延. 同调代数引论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1998.

  3. 3. 周伯曛. 同调代数[M]. 北京: 科技出版社, 1983: 144-153.

  4. 4. 杨静化. 关于R[X]的剩余类环的同调维数[J]. 南京大学数学半年刊, 1998, 15(2): 251-256.

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