Pure Mathematics
Vol.
10
No.
08
(
2020
), Article ID:
36995
,
6
pages
10.12677/PM.2020.108082
Strict Mittag-Leffler Modules over Gorenstein Injective Modules
Jingjing Lei, Xiaoyan Yang
College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu
Received: Jul. 15th, 2020; accepted: Aug. 5th, 2020; published: Aug. 12th, 2020
ABSTRACT
In this paper, the strict Mittag-Leffler module over the class GI of Gorenstein injective modules is introduced, and some homological properties of GI-projective module at the strict Mittag-Leffler module over the class GI are proved by cotorsion pair.
Keywords:Strict Mittag-Leffler Module, GI-Projective Module, Gorenstein Injective Module
Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模
雷靖靖,杨晓燕
西北师范大学,数学与统计学院,甘肃 兰州
收稿日期:2020年7月15日;录用日期:2020年8月5日;发布日期:2020年8月12日
摘 要
本文介绍了Gorenstein内射模的类GI上的严格的Mittag-Leffler模,并用余挠对证明了GI-投射模在Gorenstein内射模的类GI上的严格的Mittag-Leffler模的一些同调性质。
关键词 :严格的Mittag-Leffler模,GI-投射模,Gorenstein内射模
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
设 是abelian群上的逆向系统, 是R-模同态,其中 。考虑 的逆向极限A,它是由典范映射 , 诱导的。称逆向系统 满足严格的Mittag-Leffler条件,如果对于任意的 ,存在 ,其中 ,使得 。
设M是左R-模,假定 ,其中 是有限表示模的正向系统。设B是左R-模类,如果 满足严格的Mittag-Leffler条件,那么称M在B上是严格的Mittag-Leffler模。Raynaud和Gruson在文献 [1] 中定义了Mittag-Leffler模和严格的Mittag-Leffler条件。Zimmermann在文献 [2] 中进一步定义了严格的Mittag-Leffler模。近年来,严格的Mittag-Leffler条件成功地解决了同调代数和表示论中的一些问题。
Enochs和Jenda在文献 [3] 中研究了Gorenstein内射模。Enochs和Iacob在文献 [4] 中证明了如果R是交换Noetherian环,使得任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,那么Gorenstein内射模的类GI是包络类。其后,Iacob在文献 [5] 中将该结果推广到双边Noetherian环上,证明了如果R是双边Noetherian环,使得任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,那么Gorenstein内射模的类GI是包络类。杨彦炯,朱晓胜和颜晓光在文献 [6] 中证明了如果R是左Noetherian环,使得所有内射模在GI上是严格的Mittag-Leffler模,那么任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模。杨彦炯和颜晓光在文献 [7] 中研究了GI上严格的Mittag-Leffler模并引入GI-投射模,并且在Noetherian上证明了有限表示GI-投射模的正向极限在GI上是严格的Mittag-Leffler模。受以上工作启发,我们在余挠对和对偶对上进一步研究了Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模。
本文所提到的环均指有单位元的结合环,模均指左R-模。用I,P,F分别表示内射,投射,平坦左R-模的类,用R-Mod表示R-模范畴。
2. 预备知识
引理1.1 [7] 设M和N是左R-模,则以下条件等价:
(2) 对任意可除Abelian群D ,自然变 被定义为 ,其中 ,,,则 是单的。
定义1.2 称模M是N上的严格的Mittag-Leffler模,如果满足以上等价条件之一。
我们用SML(N)表示N上严格的Mittag-Leffler模的类。设N是左R-模的类,如果对任意的 ,有 ,那么 。称M是严格的Mittag-Leffler模,如果 。
注记1.3 (1) 如果模M是有限表示的,那么由( [8],定理3.2.11)知,引理1.1(2)中自然变换 是同构的。
(2) 由( [9],引理8.9)知,SML(N)关于直和封。
定义1.4 设D是R-模的类。称 是余挠对,如果 且 。称 是完备的余挠对,如果对任意的模M,存在正合列 和 ,其中 ,。称 是完全的余挠对,如果B是包络类,A是覆盖类。称 是遗传的余挠对,如果对任意的 ,,,有 。
定义1.5 设D是R-模的类,则
定义1.6 称左R-模M是Gorenstein内射模,如果存在内射左R-模的正合序列
使得 ,且对任意内射左R-模 ,序列 正合。
定义1.7 称左R-模N是Gorenstein平坦模,如果存在平坦左R-模的正合序列
使得 ,且对任意内射左R-模 ,有 正合。
我们用GI和GF分别表示Gorenstein内射模类和Gorenstein平坦模类。
定义1.8 [5] 设M是左R-模类,C是右R-模类。称 是对偶对,如果满足以下条件:
(1) 对任意的R-模A, 的特征模属于C。
(2) C关于直和项和有限直和封闭。
引理1.9 [5] [6] 设R是双边Noetherian环,使得 ,则GI是包络类。
引理1.10 [10] 设D是R-模类。若D关于直积和正向极限封闭,则 。
3. 主要结果
引理2.1 设F是有限表示模的正向系统 的正向极限。若 ,对任意的 ,有 ,则 。
证明对任意的Gorenstein内射模M,我们有短正合列 ,其中 ,。又因为 ,即 ,所以对上述的 ,有 。我们用函子 作用短正合列 ,则有正合列 。因此对任意同态 ,以及满同态 ,存在同态 ,满足等式 。又因为 ,所以由引理1.1(1)知,对上述同态g,存在同态 ,满足等式 。考虑以下交换图2。
我们令 ,那么有 ,由引理1.1(1)知, ,再由M的任意性知,有 。
图2定义2.2 [7] 称左R-模M是GI-投射模,如果 。
我们用 表示GI-投射模的类。
注记2.3 (1) 。
(2) 。
(3) 设 是左R-模短正合列。若 ,则 ;若R是左Noetherian环, ,则 。
证明 (3)设 ,由定义知, ,,则有 ,即 。因为 ,所以由定义有 ,。又因为R是左Noetherian环,所以由( [5],引理1)和(1)知, 是完备遗传的余挠对,即当 时,上述等式仍然成立。则对任意的模 ,我们用函子 去作用短正合列 ,则有短正合列 ,因此 ,即 。
命题2.4 设GI关于正向极限封闭。则 。
证明因为GI关于直积封闭,所以由题设和引理1.10知, ,再由注记2.3知, 。
定理2.5 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,则GI是关于纯商模封闭的包络类。
证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,所以由( [6],定理4.3)知, 。又因为R是双边Noetherian环,所以由引理1.9知,GI是包络类。再由( [5],定理4)知, 是对偶对。再次由( [11],定理3.1)知,GI关于纯商模封闭。
推论2.6 设R是n-Gorenstein环,则GI是关于纯商模封闭的包络类。
证明因为R是n-Gorenstein环,所以由( [8],引理11.1.2)知,GI关于正向极限封闭。又由注记2.3知, 。再由命题2.4知, ,则 。再次由定理2.5的证明知,GI是关于纯商模封闭的包络类。
定理2.7 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模, 关于直积封闭,则 。
证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,所以由( [5],定理2)知, 是对偶对,由( [11],定理3.1)知, 关于纯商模和纯子模封闭。由定义知, 关于扩张封闭。再由( [4],命题1)知, 是完全的余挠对,即 是覆盖类。又因为 关于直积封闭。所以由( [12],定理3.4)知, 关于正向极限封闭。再次由引理1.10以及注记2.3知, 。
我们用 表示内射维数小于等于n的模类。
推论2.8 设R是n-Gorenstein环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模, 关于直积封闭,则 。
证明因为R是n-Gorenstein环,所以 。再由定理2.7知, ,则有 。
命题2.9 设R是双边Noetherian环,使得对任意的正整数n,有 。则对任意的可除abelian群D,有 ,其中 。
证明 因为R是双边Noetherian环,使得对任意的正整数n,有 ,所以由( [5],定理8)知,任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模,由( [5],定理4)知, 是对偶对,再由( [11],定理3.1)知,GI关于纯商模和纯子模封闭,再次由( [4],引理2)知,GI关于正向极限封闭。又因为GI关于直积封闭,所以由命题2.4知, 。由注记2.3和( [5],引理1)知, 是遗传的余挠对,即 是可解的,则 中有足够的投射对象,且它关于满同态的核封闭。对任意的模 ,则M有投射分解 ,其中 。我们记 是M的第i个合冲,其中 ,由 是可解的知, 。又因为 ,所以有 。再由( [10],引理2.5)知,对任意的可除abelian群D,以及任意的模 ,我们有映射 是单的,其中 。则有 ,再次由B和M的任意性,则有 。
推论2.10 设R是双边Noetherian 环,使得对任意的正整数n,有 ,则GI是覆盖类。
证明由命题2.9的证明知, ,再由注记2.3知, 。再次由( [7],引理2.6)知,GI是覆盖类。
基金项目
国家自然科学基金项目(11761060)。
文章引用
雷靖靖,杨晓燕. Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模
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