海南大学理学院，海南 海口

收稿日期：2020年11月22日；录用日期：2020年12月7日；发布日期：2020年12月14日

摘要

本文旨在研究Krasner交换超环R与其上的全矩阵环 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 之间的一些内在联系，建立了一个从R的超理想集合到 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 的超理想集合之间的双射。进一步，又得到了结论：R是单(素)超环当且仅当 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 是单(素)超环。

关键词

Krasner超环，Salvo超环，超理想

Matrices over Commutative Hyperrings

Dongming Huang, Xin Wang

School of Science, Hainan University, Haikou Hainan

Received: Nov. 22^nd, 2020; accepted: Dec. 7^th, 2020; published: Dec. 14^th, 2020

ABSTRACT

The main aim of this paper is to study the interplay between a commutative Krasner hyperring R and the matrix ring $M_{n\times n}\left(R\right)$ over it. A bijection from the hyperideals set of R to the hyperideals set of $M_{n\times n}\left(R\right)$ is established. Furthermore, it is concluded that R is a simple (res. prime) hyperring if and only if $M_{n\times n}\left(R\right)$ is a simple (res. prime) hyperring.

Keywords:Krasner Hyperrings, Salvo Hyperrings, Hyperideals

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

1934年，在第八届斯堪的纳维亚数学家大会上，F. Marty [1] 引入了超运算的概念，进而定义了一种叫超群的代数结构。超运算是二元运算的推广，具体地，对于一个非空集合H，两个元素在超运算作用下不再是一个元素而是H的一个非空子集。1972年，Mittas [2] [3] [4] 引入了正规超群的概念，它是Marty所定义超群的一个特殊子类。作为环的推广，超环也被引入并被研究。超环有着不同的定义，主要是来自于对环的两种运算推广的不同组合。大致分为三种情况：1) 两种运算都是超运算。这种超环被DeSalvo [5] 和Barghi以及A. Asokkumar [6] 和Velrajan [7] 所研究，这种超环称为Salvo超环；2) 乘法是超运算而加法是二元运算。这种超环通常称为乘法超环，它被Rota [8] 引入并研究；3) 加法是超运算而乘法是二元运算。这种超环称为加法超环，也称为Krasner超环，它被Krasner [9] 引入并研究。近年来，超代数的研究取得了很多进展，代数中许多经典结论都可以推广到超代数中来，比如中国剩余定理，同构定理都已推广到超环上，相关的结果可以参考文献 [10] [11] [12] [13]。同时，超代数对象被发现广泛地存在于多个领域，如二次型理论 [14]，MilnorK理论 [15]，热带几何(tropical geometry) [16] 和数论 [17] 等领域。

另一方面，交换环上的线性代数被充分研究，它有着重要的理论和应用价值 [18]。在其中，交换环上的矩阵以及交换环上的矩阵环的理想是重要的基础。一个自然的问题就是，能否对超环上的矩阵以及超环上矩阵的超理想作研究，并得到一些好的结论，为研究超环上的线性代数奠定基础。本文在这方面作了初步的研究。

2. 超环

这一节我们先回顾一些相关的概念与性质，具体内容也可以参考文献 [13]。

定义2.1 一个Krasner超环指的是一个代数结构 $\left(R,+,\cdot \right)$，它满足如下条件：

1) $\left(R,+\right)$ 是一个正规超群，即

i) $\forall x,y,z\in R$，$x+\left(y+z\right)=\left(x+y\right)+z$ ；

ii) $\forall x,y\in R$，$x+y=y+x$ ；

iii) 存在 $0\in R$，使得 $\forall x\in R$，有 $0+x=\left\{x\right\}$ ；

Iv) $\forall x\in R,\exists !x^{\prime }\in R$，使得 $0\in x+x^{\prime }$ (元素 $x^{\prime }$ 称为x的负元，并记为 $-x$ )；

v) 由 $z\in x+y$ 可推得 $y\in -x+z$ 及 $x\in z-y$ ；

2) $\left(R,\cdot \right)$ 是一个半群，存在一个元素0，且0关于乘法满足性质： $0\cdot x=x\cdot 0=0$ ；

3) 乘法关于超运算加法满足分配律，即 $\forall x,y,z\in R$，有 $x\cdot \left(y+z\right)=x\cdot y+x\cdot z$ 及 $\left(y+z\right)\cdot x=y\cdot x+z\cdot x$。

如果还满足：

4) $\forall x,y\in R$，有 $x\cdot y=y\cdot x$ ；

则称 $\left(R,+,\cdot \right)$ 是交换Krasner超环。

若存在 $1\in R$，使得 $\forall x\in R$，$x\cdot 1=1\cdot x=x$，则称1是R的单位元。

注：在记号方面，把 $x\cdot y$ 简记为 $xy$，$0+x=\left\{x\right\}$ 简写为 $0+x=x$。

接下来给出Krasner超环的一些简单性质。

命题2.2 在Krasner超环中，下列性质成立：

1) 零元是唯一的；

2) $-\left(-x\right)=x$ ；

3) $-\left(x+y\right)=-x-y$，其中 $-A=\left\{-a|a\in A\right\}$ ；

4) $x\left(-y\right)=\left(-x\right)y=-xy$ ；

5) $\left(-x\right)\left(-y\right)=xy$ ；

6) $0\in x-y\Rightarrow x=y$ ；

7) $\forall x,y,z,w\in R$，有 $\left(x+y\right)\left(z+w\right)\subseteq xz+xw+yz+yw$。

特别要注意的是(7)中的等号不一定成立，即在超环中分配律成立不能得到双分配律也成立。可参见例子[6.2.1节II]。

注：从现在起，本文的Krasner超环均指含有单位元的交换Krasner超环。

定义2.3 Krasner超环 $\left(R,+,\cdot \right)$ 的非空子集I称为R的Krasner超理想，若满足下列条件：

1) $\forall x,y\in I$，有 $x-y\subseteq I$ ；

2) $\forall x\in I,r\in R$，有 $xr\in I$。

下面再来介绍另一类超环：Salvo超环。Salvo超环与Krasner超环的区别在于Salvo超环的乘法运算也是超运算，定义如下：

定义2.4 一个Salvo超环指的是一个代数结构 $\left(R,+,\cdot \right)$，它满足如下条件：

1) $\left(R,+\right)$ 是一个正规超群；

2) $\left(R,\cdot \right)$ 是一个半超群，且0关于乘法满足性质： $0\cdot x=x\cdot 0=0$ ；

3) 超运算乘法关于超运算加法满足分配律。

若存在 $1\in R$，使得 $\forall x\in R$，$x\cdot 1=1\cdot x=x$，则称1是R的单位元。

命题2.2中的性质(1)，(2)，(3)，(6)和(7)仍然成立，但对(4)，有如下结论：

命题2.5 [6] 设 $\left(R,+,\cdot \right)$ 是一个Salvo超环。若 $xy=t$，其中 $x,y,t\in R$，则有 $x\left(-y\right)=\left(-x\right)y=-xy$。

定义2.6 [6] 一个Salvo超环 $\left(R,+,\cdot \right)$ 称为准超环(quasi-hyperring)，若R还满足条件： $\forall x,y\in R$，$x\left(-y\right)=\left(-x\right)y=-xy$。

相应地，也有Salvo超理想的概念。

定义2.7 Salvo超环 $\left(R,+,\cdot \right)$ 的非空子集I称为R的Salvo右(左)超理想，若满足下列条件：

1) $\forall x,y\in I$，有 $x-y\subseteq I$ ；

2) $\forall x\in I,r\in R$，有 $xr\subseteq I\left(rx\subseteq I\right)$。

当I既是R的Salvo左超理想又是R的Salvo右超理想时，称为R的Salvo双边超理想，简称为R的超理想。

注：从现在起，本文的Salvo超环均指含有单位元的Salvo超环。

类似于一般环，我们给出超环上素超理想和素超环的定义。

定义2.7 Krasner(Salvo)超环 $\left(R,+,\cdot \right)$ 的超理想 $P\subset R$ 称为R的素超理想，若对R的超理想 $I,J$，由 $IJ\subseteq P$ 可得 $I\subseteq P$，或 $J\subseteq P$。

定义2.8 一个Krasner(Salvo)超环 $\left(R,+,\cdot \right)$ 称为素超环，若(0)理想是R的素超理想。

定义2.9 一个Krasner(Salvo)超环 $\left(R,+,\cdot \right)$ 称为单超环，若R只有平凡理想：(0)和R。

3. 超环上的矩阵及其理想

设 $\left(R,+,\cdot \right)$ 是一个Krasner (Salvo)超环。

定义3.1 集合

$\left\{A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}|a_{ij}\in R,i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots ,n\right\}$

称为R上的全矩阵集，记为 $M_{m\times n}\left(R\right)$。

若 $A\in M_{m\times n}\left(R\right)$，用 ${\left[A\right]}_{ij}$ 表示A的第i行第j列的元素。在 $M_{m\times n}\left(R\right)$ 上定义超加法如下：

$A+B=\left\{C|{\left[C\right]}_{ij}\in {\left[A\right]}_{ij}+{\left[B\right]}_{ij},i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots ,n\right\}$。

若 $r\in R$，可以定义r与A的数量积如下：

${\left[rA\right]}_{ij}=r{\left[A\right]}_{ij}.$

$\left(rA=\left\{C|{\left[C\right]}_{ij}\in r{\left[A\right]}_{ij},i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots ,n\right\}\right)$

若 $A\in M_{m\times n}\left(R\right),B\in M_{n\times l}\left(R\right)$，可以定义A与B的超乘法如下：

$AB=\left\{C|{\left[C\right]}_{ij}\in {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\left[A\right]}_{ik}}{\left[B\right]}_{kj},i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots ,l\right\}$。

当 $m=n=l$ 时，上面定义的矩阵的乘法是 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 上的超乘法，即 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 中两个矩阵的乘积是它的一个非空子集。

关于准超环，文献 [6] 有如下结论：

引理3.2 [6，命题1.5]若 $\left(R,+,\cdot \right)$ 是一个准超环，则 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 在上面定义的超加法和超乘法运算下也是一个准超环。

定理3.3 设 $\left(R,+,\cdot \right)$ 是一个Krasner超环，则 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 是一个准超环。

证明：由命题2.2(4)，Krasner超环是准超环。再由引理3.2， $M_{n\times n}\left(R\right)$ 是一个准超环。

命题3.4 设I是Krasner超环R的一个超理想，那么

$M_{n\times n}\left(I\right)=\left\{A\in M_{n\times n}\left(R\right)|{\left[A\right]}_{ij}\in I,\forall i,j=1,\cdots ,n\right\}$

是准超环 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 的超理想。

证明： $\forall A,B\in M_{n\times n}\left(I\right)$，则有 ${\left[A\right]}_{ij},{\left[B\right]}_{ij}\in I,i,j=1,\cdots ,n$。从而， ${\left[A\right]}_{ij}-{\left[B\right]}_{ij}\in I$。这表明： $A-B\in M_{n\times n}\left(I\right)$。而 $\forall C\in M_{n\times n}\left(R\right)$，显然有 $AC,CA\in M_{n\times n}\left(I\right)$，所以 $M_{n\times n}\left(I\right)$ 是 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 的超理想。

下面我们证明 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 的超理想都具有命题3.4中 $M_{n\times n}\left(I\right)$ 这种形式，即对 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 的每个超理想 $U$，我们都存在R的一个超理想I，使得 $U=M_{n\times n}\left(I\right)$。

先定义一类特殊矩阵 $E_{ij}$ ：

$E_{ij}=\{\begin{array}{l}1,若\left(p,q\right)=\left(i,j\right)\\ 0,其他\end{array}$

$\forall A\in M_{m\times n}\left(R\right)$，显然有 $A={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\left[A\right]}_{ij}{E}_{ij}}}$。

引理3.5 关于特殊矩阵 $E_{ij}$，有如下性质：

1) $E_{ij}{E}_{kl}=\{\begin{array}{l}{E}_{il},若j=k\\ O,若j\ne k\end{array}$ ；

2) 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_{n\times n}\left(R\right)$，则 $\forall p,q=1,\cdots ,n$，有

$\begin{array}{l}A{E}_{pq}=\left[\begin{array}{ccccccc}0& \cdots & 0& a_{1p}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& a_{2p}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{np}& 0& \cdots & 0\end{array}\right]\\ 第q列\end{array}$ ；

3) 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_{n\times n}\left(R\right)$，则 $\forall p,q=1,\cdots ,n$，有

$E_{pq}A=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\\ a_{q1}& a_{q2}& \cdots & a_{qn}\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]第p行$ ；

4) 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_{n\times n}\left(R\right)$，则 $\forall k,s,p,q=1,\cdots ,n$，有 $E_{ks}A{E}_{pq}=a_{sp}{E}_{kq}$。

证明：直接验证可得。

定理3.6 设R是Krasner超环， $U$ 是准超环 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 的一个超理想，则存在R的唯一的超理想I，使得 $U=M_{n\times n}\left(I\right)$。

证明：令

$I=\left\{r\in R|r是U中矩阵的元素\right\}$。

1) 先证I是R的超理想。

$\forall a,b\in I$，存在 $A,B\in U$，使得 $a,b$ 分别是矩阵 $A,B$ 的元素，设 $a={\left[A\right]}_{kp},b={\left[B\right]}_{sq}$，其中 $k,p,s,q\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$。由引理3.5， $a-b=\left\{{\left[C\right]}_{kq}|C\in A{E}_{pq}-E_{ks}B\right\}$。而 $A{E}_{pq}-E_{ks}B\subseteq U$，所以 $a-b\subseteq I$。 $\forall a\in I,r\in R$，存在 $A\in U$，使得a是矩阵A的元素，设 $a={\left[A\right]}_{kp}$，其中 $k,p\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$。注意到 $ra={\left[rEA\right]}_{kp}$。而 $rEA\in U$，因此 $ra\in I$。所以I是R的超理想。

2) 再证 $U=M_{n\times n}\left(I\right)$。

显然 $U\subseteq M_{n\times n}\left(I\right)$。下证反包含关系。设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_{n\times n}\left(I\right)$，那么 $a_{ij}\in I$，$\forall i,j=1,\cdots ,n$，同时也有 $A={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}{E}_{ij}}}$。由于 $a_{ij}\in I$，所以存在矩阵 $B\in U$，存在 $p,q\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$。使得 $a_{ij}={\left[B\right]}_{pq}$，由引理3.5(4)，有

$a_{ij}{E}_{ij}={\left[B\right]}_{pq}{E}_{ij}=E_{ip}B{E}_{qj}\in U$。

从而 $A={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}{E}_{ij}}}\in U$。所以 $U=M_{n\times n}\left(I\right)$。

3) 最后证明超理想I的唯一性，即证：若存在R的超理想J，使得 $U=M_{n\times n}\left(J\right)$，则 $I=J$。

由I的定义，显然有 $J\subseteq I$。 $\forall a\in I$，存在矩阵 $B\in U$，存在 $p,q\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$，使得 $a={\left[B\right]}_{pq}$，由引理3.5(4)，有

$a{E}_{11}={\left[B\right]}_{pq}{E}_{11}=E_{1p}B{E}_{q1}\in U=M_{n\times n}\left(J\right)$。

因此， $a\in J$，于是 $I\subseteq J$。所以 $I=J$。

把R与 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 的理想的集合分别记为 $I\left(R\right)$ 与 $I\left(M_{n\times n}\left(R\right)\right)$，由命题3.4和定理3.6的证明过程，有如下结论：

定理3.7 设R是Krasner超环，则 $f:I\left(R\right)\to I\left(M_{n\times n}\left(R\right)\right),I\mapsto M_{n\times n}\left(I\right)$ 是 $I\left(R\right)$ 到 $I\left(M_{n\times n}\left(R\right)\right)$ 的双射。

由定理3.7可直接得到如下推论。

推论3.8 设R是Krasner超环，则R是单超环当且仅当 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 是单超环。

推论3.9 设R是Krasner超环，则R是素超环当且仅当 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 是素超环。

证明：“必要性”设R是素超环。若存在 $U,V\in I\left(M_{n\times n}\left(R\right)\right)$，使得 $UV\subseteq \left(0\right)$。由定理3.7，存在 $I,J\in I\left(R\right)$，使得 $U=M_{n\times n}\left(I\right),V=M_{n\times n}\left(J\right)$。因此， $M_{n\times n}\left(I\right)M_{n\times n}\left(J\right)\subseteq \left(0\right)$。 $\forall a\in I,b\in J$，注意到 $ab{E}_{11}=\left(a{E}_{11}\right)\left(b{E}_{11}\right)\subseteq M_{n\times n}\left(I\right)M_{n\times n}\left(J\right)\subseteq \left(0\right)$。于是， $ab=0$，由 $a,b$ 的任意性 $IJ\subseteq \left(0\right)$。由于R是素超环，我们有 $I\subseteq \left(0\right)$ 或 $J\subseteq \left(0\right)$。从而 $M_{n\times n}\left(I\right)\subseteq \left(0\right)$ 或 $M_{n\times n}\left(J\right)\subseteq \left(0\right)$，即 $U\subseteq \left(0\right)$ 或 $V\subseteq \left(0\right)$。所以 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 是素超环。

“充分性”设 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 是素超环。若存在 $I,J\in I\left(R\right)$，使得 $IJ\subseteq \left(0\right)$。此时，显然有 $M_{n\times n}\left(I\right)M_{n\times n}\left(J\right)\subseteq \left(0\right)$。由于 $M_{n\times n}\left(R\right)$ 是素超环，有 $M_{n\times n}\left(I\right)\subseteq \left(0\right)$ 或 $M_{n\times n}\left(J\right)\subseteq \left(0\right)$。从而有 $I\subseteq \left(0\right)$ 或 $J\subseteq \left(0\right)$。所以R是素超环。

基金项目

海南省自然科学基金项目(编号：118MS003)。

文章引用

黄冬明,王 鑫. 交换超环上的矩阵
Matrices over Commutative Hyperrings[J]. 理论数学, 2020, 10(12): 1131-1137. https://doi.org/10.12677/PM.2020.1012134

参考文献