青岛大学数学与统计学院，山东 青岛

收稿日期：2020年12月27日；录用日期：2021年1月28日；发布日期：2021年2月4日

摘要

算术函数的均值问题是数论中的重要问题之一，尤其是与gcd函数有关的均值问题。本文在已知整数环上广义gcd和函数的均值的基础上，通过类比，讨论有限域多项式环上相应的广义gcd和函数的均值。

关键词

广义gcd和函数，均值，有限域

The Mean Value of the Generalized gcd-Sum Function on the Polynomial Ring over Finite Field

Meijie Lu

School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Dec. 27^th, 2020; accepted: Jan. 28^th, 2021; published: Feb. 4^th, 2021

ABSTRACT

The mean value of arithmetic functions is one of the most important problems in number theory, especially the mean value of the gcd function. In this paper, the mean values of the corresponding generalized gcd-sum function on polynomial rings over finite fields are discussed by analogy on the basis of given mean values of the generalized gcd-sum function over integer ring.

Keywords:Generalized gcd-Sum Function, Mean Value, Finite Field

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

在整数环 $\mathbb{Z}$ 上，设 $m,n\in \mathbb{Z}$ 且不全为0，对于gcd函数 $\gcd \left(m,n\right)=\max \left\{d\in \mathbb{N}:d|m,d|n\right\}$，定义其和函数

$P\left(n\right)={\displaystyle \underset{j\le n}{\sum }\gcd \left(j,n\right)}$，

2001年，Broughan [1] 证明了 $P\left(n\right)$ 的均值的渐近公式，对 $\forall x\ge 1$，

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }P\left(n\right)}=\frac{1}{2\zeta \left(2\right)}{x}^2\log x+\frac{{\zeta }^2\left(2\right)}{2\zeta \left(3\right)}{x}^2+O\left(x^{\frac{3}{2}}\log x\right)$，

其中 $\zeta \left(s\right)$ 为Riemann zeta函数。

在2007年，Bordellès [2] 得出

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }P\left(n\right)}=\frac{1}{2\zeta \left(2\right)}{x}^2\log x+\left(\gamma -\frac{1}{2}+\log \left(\frac{A^{12}}{2\pi }\right)\right)\frac{x^2}{2\zeta \left(2\right)}+O\left(x^{1+\theta +\epsilon }\right)$，

其中A表示Glaisher-Kinkelin常数， $\gamma$ 表示欧拉常数。

2010年，Tóth [3] 证明出，对 $\forall \epsilon >0$，

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }P\left(n\right)}=\frac{1}{2\zeta \left(2\right)}{x}^2\log x+\left(2\gamma -\frac{1}{2}+\frac{{\zeta }^{\prime }\left(2\right)}{\zeta \left(2\right)}\right)x^2+O\left(x^{1+\theta +\epsilon }\right)$，

其中 $\theta$ 出现在除数函数的均值的渐近公式：

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }d\left(n\right)}=x\log x+\left(2\gamma -1\right)x+O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)$。

对于 $P\left(n\right)$ 还有更深一步的研究，设 $\alpha \in ℝ$ 为实数，我们定义

$G_{\alpha }\left(x\right)={\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }\frac{P\left(n\right)}{n^{\alpha }}}$，

当 $\alpha =0$ 时上式表示 $P\left(n\right)$ 的均值。2001年，Broughan [1] 详细的研究了 $G_{\alpha }\left(x\right)$，并且得出

$G_{\alpha }\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2-\alpha }\log x}{\left(2-\alpha \right)\zeta \left(2\right)}+O\left(x^{2-\alpha }\right),\hfill & \alpha <2\hfill \\ \frac{{\log }^{2}x}{2\zeta \left(2\right)}+O\left(\log x\right),\hfill & \alpha =2\hfill \\ \frac{x^{2-\alpha }\log x}{\left(2-\alpha \right)\zeta \left(2\right)}+\frac{\zeta {\left(\alpha -1\right)}^2}{\zeta \left(\alpha \right)}+O\left(x^{2-\alpha }\right),\hfill & \alpha >2\hfill \end{array}$

2007年，Broughan [4] 又改进了其之前得到的关于 $G_{\alpha }\left(x\right)$ 的上述结论。除此之外，Tóth [5]，Zhang和Zhai [6] 还研究了关于模n的正则整数的gcd和函数的均值问题。

以上都是基于常义的gcd和函数的研究，设 $b\ge 2$，$m,n\in \mathbb{Z}$ 且不全为0，定义广义的gcd函数

${\gcd }_b\left(m,n\right):=\max \left\{d\in \mathbb{N}:d^b|m,d^b|n\right\}$，

并且定义广义的gcd和函数

$h_b\left(n\right):={\displaystyle \underset{j\le n}{\sum }{\gcd }_b\left(j,n\right)}$，

Chaubey和Goel [7] 证明了的 $h_b\left(n\right)$ 的均值

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{h}_b\left(n\right)}=\frac{\zeta \left(2b-1\right)}{2\zeta \left(2b\right)}{x}^2+O\left(E_b\left(x\right)\right)$，

其中 $E_2\left(x\right)=O\left(x\log x\right)$，当 $b\ge 3$ 时 $E_b\left(x\right)=O\left(x\right)$。

基于以上在整数环 $\mathbb{Z}$ 上的研究，类比到函数域上，我们同样可以研究算术函数的均值问题。本文将在有限域多项式环上讨论广义的gcd和函数的均值问题。

设 ${\mathbb{F}}_q$ 为具有q个元素的有限域，令 $\mathcal{A}:={\mathbb{F}}_q\left[T\right]$ 表示 ${\mathbb{F}}_q$ 上的一元多项式环，其元素形如：

${\alpha }_n{T}^n+\cdots +{\alpha }_{1}T+{\alpha }_0$，${\alpha }_i\in {\mathbb{F}}_q$ ；

令 $\mathcal{M}$ 表示 $\mathcal{A}$ 中首项系数为1的多项式的集合； ${\mathbb{M}}_n$ 表示 $\mathcal{A}$ 中次数为n的首项系数为1的多项式的集合；设多项式 $f\in \mathbb{A}-\left\{0\right\}$，令 $\Vert f\Vert :=q^{\mathrm{deg}f}$ 表示f的范数，当 $f=0$ 时，定义 $\Vert f\Vert =0$。

定义多项式环 $\mathcal{A}$ 上广义的gcd函数：

设多项式 $f,g\in \mathcal{A}$ 并且不全为0，多项式 $d\in \mathcal{M}$，$b\ge 2$ 为整数，若d满足：

1) $d^b|f$，$d^b|g$，

2) 若有任意的多项式h满足 $h^b|f$，$h^b|g$，则一定有 $h|d$。

则称d为 $f,g$ 的广义的最大公因式，记为 $d={\gcd }_b\left(f,g\right)$ 或 $d={\left(f,g\right)}_b$。

设 $f\in \mathcal{M}-\left\{0\right\}$，定义广义gcd函数的和函数

$\alpha \left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\Vert {\left(h,f\right)}_b\Vert }$，

其中求和历遍所有的 $h\in \mathcal{A}$，则我们有以下定理成立：

定理1.1设 $n\ge 0$ 为整数，则我们有

${\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_n}{\sum }\alpha \left(f\right)}={\displaystyle \underset{k+bm=n}{\sum }{q}^{2k+2m}-}{\displaystyle \underset{k+b\left(m+1\right)=n}{\sum }{q}^{2k+2m+1}}$。

符号说明：

p $\mathcal{A}$ 中的不可约多项式；

s 表示一个复数；

${\mathbb{F}}_q$ 含有q个元素的有限域；

$\mathcal{A}$ 有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上的多项式环；

$\mathcal{M}$ $\mathcal{A}$ 中首1多项式的集合；

${\mathbb{M}}_n$ $\mathcal{A}$ 中次数为n的首1多项式的集合；

$\Vert f\Vert$ 表示f的范数；

$\mathrm{Re}\left(s\right)$ 复数s的实部；

${\zeta }_{\mathbb{A}}\left(s\right)$ $\mathcal{A}$ 上的Riemann zeta函数。

在本篇文章以下的讨论中，如无特别说明，我们所用的f都是 ${\mathbb{F}}_q$ 上的首一的非零多项式，即 $f\in \mathcal{M}-\left\{0\right\}$。

2. 预备知识

2.1. 基本定义

2.1.1. Riemann zeta函数

$\mathcal{A}$ 上的Riemann zeta函数定义为

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{1}{{\Vert f\Vert }^s}}$，$\mathrm{Re}\left(s\right)>1$。

由 [8] 可知，

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)=\frac{1}{1-q^{1-s}}$，$\mathrm{Re}\left(s\right)>1$，

其中q表示有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 的元素个数。

若令 $q^{-s}=u$，则我们可以将 ${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)$ 定义为

$Z\left(u\right)=\frac{1}{1-qu}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^n{u}^n}$，$\left|u\right|<q^{-1}$。

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)$ 的欧拉乘积形式为

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{p}{\prod }{\left(1-\frac{1}{{\Vert p\Vert }^s}\right)}^{-1}}$，

其中乘积历遍所有首1的不可约多项式。

2.1.2. Dirichlet卷积和Dirichlet级数

设 $\lambda$ 和 $\rho$ 为两个算术函数，他们的Dirichlet卷积定义为

$\left(\lambda \ast \rho \right)\left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}h,g\in \mathcal{M}\\ hg=f\end{array}}{\sum }\lambda \left(h\right)\rho \left(g\right)}$，$f\in \mathcal{M}$。

设 $\lambda$ 为一个算术函数，定义其Dirichlet级数为

$D_{\lambda }\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\lambda \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}$。

设 $\lambda$ 为算术函数，设 $f,g\in \mathcal{M}$ 并且 $\left(f,g\right)=1$，若 $\lambda \left(fg\right)=\lambda \left(f\right)\lambda \left(g\right)$，则称 $\lambda$ 为可乘函数。显然有 $\lambda \left(f\right)=\Vert f\Vert$ 为可乘函数，两个可乘函数的乘积以及Dirichlet卷积仍为可乘函数。

若设 $\lambda \left(f\right)$ 为可乘函数，则我们有

$D_{\lambda }\left(s\right)={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\lambda \left(p^k\right)}{{\Vert p\Vert }^{ks}}}\right)}$，

其中乘积历遍所有首1的不可约多项式。

设 $D_{\lambda }\left(s\right),D_{\rho }\left(s\right),D_{\lambda \ast \rho }\left(s\right)$ 分别为函数 $\lambda ,\rho$ 和 $\lambda \ast \rho$ 的Dirichlet级数，则我们有

$D_{\lambda }\left(s\right)D_{\rho }\left(s\right)=D_{\lambda \ast \rho }\left(s\right)$，

2.2. 所需引理

引理2.2.1设d为一个多项式， ${\left(f,g\right)}_b$ 为广义的gcd函数，则有下列结论成立：

1) $d|{\left(f,g\right)}_b\iff d^b|f$ 且 $d^b|g$.

2) $d={\left(f,g\right)}_b\iff d^b|f,d^b|g,{\left(\frac{f}{d^b},\frac{g}{d^b}\right)}_b=1$.

设 $b\ge 2$ 为整数， $f\in \mathbb{M}-\left\{0\right\}$ 为非零的首1多项式，定义广义的欧拉函数

${\phi }_b\left(f\right)=\#\left\{h\in \mathbb{A}:\mathrm{deg}h<\mathrm{deg}f,{\left(h,f\right)}_b=1\right\}$。

引理2.2.2 设 $f\in \mathbb{M}-\left\{0\right\}$,${\phi }_b\left(f\right)$ 表示广义的欧拉函数，则我们有以下结论成立：

1) ${\phi }_b\left(f\right)$ 为可乘函数；

2) 设m为非负整数，则有

${\phi }_b\left(p^m\right)=\{\begin{array}{ll}{\Vert p\Vert }^m,\hfill & 0\le m\le b-1\hfill \\ {\Vert p\Vert }^m-{\Vert p\Vert }^{m-b},\hfill & m\ge b\hfill \end{array}$

3) ${\phi }_b\left(f\right)$ 的Dirichlet级数表示为

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{{\phi }_b\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}=\frac{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right)}{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs\right)}}$，

并且在 $\mathrm{Re}\left(s\right)>2$ 时该级数收敛。

证 1) 由 ${\phi }_b\left(f\right)$ 的定义可知，

${\phi }_b\left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}h\in \mathcal{A}\\ \mathrm{deg}h<\mathrm{deg}f,\\ {\left(h,f\right)}_b=1\end{array}}{\sum }1}={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ {\left(h,f\right)}_b=1\end{array}}{\sum }1}$，

利用公式

${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}g\in \mathcal{M}\\ g|f\end{array}}{\sum }\mu \left(g\right)}=\{\begin{array}{cc}1,& f=1\\ 0,& 其他\end{array}$

其中 $\mu \left(g\right)$ 为莫比乌斯函数，我们可得

${\phi }_b\left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}g\in \mathcal{M}\\ g|{\left(h,f\right)}_b\end{array}}{\sum }\mu \left(g\right)}}={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}g\in \mathcal{M}\\ g^b|h,g^b|f\end{array}}{\sum }\mu \left(g\right)}}$，

交换求和顺序，我们有

${\phi }_b\left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}g\in \mathcal{M}\\ g^b|f\end{array}}{\sum }\mu \left(g\right)}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ g^b|h\end{array}}{\sum }1}={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}g\in \mathcal{M}\\ g^b|f\end{array}}{\sum }\mu \left(g\right)}{\displaystyle \underset{\Vert l\Vert <\Vert \frac{f}{g^b}\Vert }{\sum }1}={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}g\in \mathcal{M}\\ g^b|f\end{array}}{\sum }\mu \left(g\right)}\Vert \frac{f}{g^b}\Vert$。 (2.1)

令 $g^b=t$，则有

${\phi }_b\left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}t\in \mathcal{M},t|f\\ g^b=t\end{array}}{\sum }\mu \left(t^{\frac{1}{b}}\right)}\Vert \frac{f}{t}\Vert ={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}t\in \mathcal{M}\\ t|f\end{array}}{\sum }\mu \left(t^{\frac{1}{b}}\right)}\Vert \frac{f}{t}\Vert {\chi }_b\left(t\right)$，

其中

${\chi }_b\left(f\right)=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & 对某些g有f=g^b\hfill \\ 0,\hfill & 其他\hfill \end{array}$

是一个可乘函数。

若我们令 $\lambda \left(f\right)=\Vert f\Vert$，$\eta \left(f\right)={\chi }_b\left(f\right)\mu \left(f^{\frac{1}{b}}\right)$，由Dirichlet卷积可知， ${\phi }_b\left(f\right)=\left(\lambda \ast \eta \right)\left(f\right)$，又 $\lambda \left(f\right),\eta \left(f\right)$ 为可乘函数，则 ${\phi }_b\left(f\right)$ 为可乘函数。

2) 将 $f=p^m$ 带入到公式(2.1)可得结论成立。

3) 由 ${\phi }_b\left(f\right)$ 为可乘函数，我们有

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{{\phi }_b\left(f\right)}{\Vert f\Vert }}={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\phi }_b\left(p^k\right)}{{\Vert p\Vert }^{ks}}}\right)}={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{b-1}{\sum }}\frac{{\phi }_b\left(p^k\right)}{{\Vert p\Vert }^{ks}}}+{\displaystyle \underset{k=b}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\phi }_b\left(p^k\right)}{{\Vert p\Vert }^{ks}}}\right)}$。

由(2)，我们可得

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{{\phi }_b\left(f\right)}{\Vert f\Vert }}={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{b-1}{\sum }}\frac{{\Vert p\Vert }^k}{{\Vert p\Vert }^{ks}}}+{\displaystyle \underset{k=b}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\Vert p\Vert }^k-{\Vert p\Vert }^{k-b}}{{\Vert p\Vert }^{ks}}}\right)}={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{{\Vert p\Vert }^{k\left(s-1\right)}}}-{\displaystyle \underset{k=b}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{{\Vert p\Vert }^{k\left(s-1\right)+b}}}\right)}$。

计算可知

${\phi }_b\left(f\right)={\displaystyle \underset{p}{\prod }{\left(1-\frac{1}{{\Vert p\Vert }^{s-1}}\right)}^{-1}}{\displaystyle \underset{p}{\prod }\left(1-\frac{1}{{\Vert p\Vert }^{bs}}\right)}$。

由 ${\zeta }_{\mathbb{A}}\left(s\right)$ 的欧拉乘积以及收敛范围可知结论成立。

引理2.2.3设 $f\in \mathbb{M}-\left\{0\right\}$，$\alpha \left(f\right)$ 为广义gcd函数的和函数，则有

1) $\alpha \left(f\right)$ 为可乘函数并且

$\alpha \left(f\right)=\left({\phi }_b\ast \beta \right)\left(f\right)$，

其中 $\beta \left(f\right)={\chi }_b\left(f\right){\Vert f\Vert }^{\frac{1}{b}}$ 为可乘函数。

2) $\alpha \left(f\right)$ 的Dirichlet级数为

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\alpha \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}=\frac{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right){\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs-1\right)}{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs\right)}$，

并且在 $\mathrm{Re}\left(s\right)>2$ 时该级数收敛。

证 1) 由 $\alpha \left(f\right)$ 的定义可知

$\alpha \left(f\right)={\displaystyle \underset{\Vert h\Vert <\Vert f\Vert }{\sum }\Vert {\left(h,f\right)}_b\Vert }$，

令 ${\left(h,f\right)}_b=d$，则我们有

$\alpha \left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ {\left(h,f\right)}_b=d\end{array}}{\sum }\Vert d\Vert }={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ d^b|h,d^b|f,\\ {\left(\frac{h}{d^b},\frac{f}{d^b}\right)}_b=1\end{array}}{\sum }\Vert d\Vert }$，

交换求和次序，可得

$\alpha \left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}d\in \mathcal{M}\\ d^b|f\end{array}}{\sum }\Vert d\Vert {\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert h\Vert <\Vert f\Vert \\ d^b|h,\\ {\left(\frac{h}{d^b},\frac{f}{d^b}\right)}_b=1\end{array}}{\sum }1}}$。

令 $h=d^b\cdot l$ 可得

$\alpha \left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}d\in \mathcal{M}\\ d^b|f\end{array}}{\sum }\Vert d\Vert {\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\Vert l\Vert <\Vert \frac{f}{d^b}\Vert \\ {\left(l,\frac{f}{d^b}\right)}_b=1\end{array}}{\sum }1}}={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}d\in \mathcal{M}\\ d^b|f\end{array}}{\sum }\Vert d\Vert {\phi }_b\left(\frac{f}{d^b}\right)}$，

令 $d^b=t$，则有

$\alpha \left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}t\in \mathcal{M}\\ t|f\end{array}}{\sum }{\Vert t\Vert }^{\frac{1}{b}}}{\chi }_b\left(t\right){\phi }_b\left(\frac{f}{t}\right)$。

从而令 $\beta \left(f\right)={\chi }_b\left(f\right){\Vert f\Vert }^{\frac{1}{b}}$ 以及Dirichlet卷积的定义可知结论成立。

2) 由(1)以及Dirichlet级数的性质可知，我们只需计算 ${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{{\phi }_b\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}$ 和 ${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\beta \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}$。

由 $\beta \left(f\right)$ 的定义以及可乘性可知

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\beta \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\chi }_b\left(p^k\right){\Vert p\Vert }^{\frac{k}{b}}}{{\Vert p\Vert }^{ks}}}\right)}$，

由 ${\chi }_b\left(f\right)$ 的定义，只有当 $p^k=p^{mb},m=0,1,\cdots$ 时才不为0，从而可得

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\beta \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left({\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\chi }_b\left(p^{mb}\right){\Vert p\Vert }^m}{{\Vert p\Vert }^{mbs}}}\right)}={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left({\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{{\Vert p\Vert }^{m\left(bs-1\right)}}}\right)}$，

计算可知

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\beta \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{p}{\prod }{\left(1-\frac{1}{{\Vert p\Vert }^{bs-1}}\right)}^{-1}={\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs-1\right)}$。

从而由

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\alpha \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{{\phi }_b\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}\cdot {\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\beta \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}$

以及 ${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s\right)$ 的收敛范围可知结论成立。

3. 定理1.1的证明

由引理2.2.3可知，

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\alpha \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}=\frac{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right){\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs-1\right)}{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs\right)}}$。 (3.1)

将等式右边的三个函数分别用级数来表示：

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right)=\frac{1}{1-q^{2-s}}=\frac{1}{1-q^{2}u}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2k}{u}^k}$，$\left|u\right|<q^{-2}$，

${\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs-1\right)=\frac{1}{1-q^{2-bs}}=\frac{1}{1-q^2{u}^b}={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2m}{u}^{bm}}$，$\left|u\right|<q^{-\frac{2}{b}}$，

对于 ${\zeta }_{\mathcal{A}}^{-1}\left(bs\right)$，我们有

${\zeta }_{\mathcal{A}}^{-1}\left(bs\right)=1-q^{1-bs}=1-q{u}^b$，$\left|u\right|<q^{-\frac{1}{b}}$。

从而我们有

$\frac{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right){\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs-1\right)}{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs\right)}=\left({\displaystyle \underset{k,m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2k+2m}{u}^{k+bm}}\right)\left(1-q{u}^b\right)={\displaystyle \underset{k,m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2k+2m}{u}^{k+bm}}-{\displaystyle \underset{k,m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{2k+2m+1}{u}^{k+b\left(m+1\right)}}$，

分别令 $k+bm=n$ 和 $k+b\left(m+1\right)=v$，可得

$\frac{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right){\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs-1\right)}{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs\right)}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{bm+k=n}{\sum }{q}^{2m+2k}}{u}^n}-{\displaystyle \underset{v=b}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{b\left(m+1\right)+k=v}{\sum }{q}^{2m+2k+1}}{u}^v}$。

由于上式右边第二项在 $v\le b-1$ 时是无意义的，可定义为0，则有

$\frac{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(s-1\right){\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs-1\right)}{{\zeta }_{\mathcal{A}}\left(bs\right)}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left({\displaystyle \underset{bm+k=n}{\sum }{q}^{2m+2k}-{\displaystyle \underset{b\left(m+1\right)+k=n}{\sum }{q}^{2m+2k+1}}}\right)u^n}$。(3.2)

又由于

${\displaystyle \underset{f\in \mathcal{M}}{\sum }\frac{\alpha \left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_n}{\sum }\frac{\alpha \left(f\right)}{q^{ns}}}}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in {\mathcal{M}}_n}{\sum }\alpha \left(f\right)u^n}}$。 (3.3)

由公式(3.1)，(3.2)和(3.3)比较两边系数可知定理成立。

基金项目

国家自然科学基金(项目编号：12071238)资助。

文章引用

卢美洁. 有限域多项式环上广义gcd和函数的均值
The Mean Value of the Generalized gcd-Sum Function on the Polynomial Ring over Finite Field[J]. 理论数学, 2021, 11(02): 149-156. https://doi.org/10.12677/PM.2021.112021

参考文献