单纯3-设计与群PSL(2,q)，q≡1(mod4) Simple 3-Designs and Group PSL(2,q), q≡1(mod4)

doi:10.12677/PM.2021.1110188

Pure Mathematics
Vol. 11 No. 10 ( 2021 ), Article ID: 45727 , 6 pages
10.12677/PM.2021.1110188

单纯3-设计与群 $P S L (2, q)$ ， $q \equiv 1 (m o d 4)$

韦萌萌，李伟霞^*

●How to Cite this Article

青岛大学数学与统计学院，山东青岛

收稿日期：2021年9月5日；录用日期：2021年10月6日；发布日期：2021年10月13日

摘要

在本文中，我们以特殊射影线性群 $P S L (2, q)$ 为自同构群，考虑了 $P S L (2, q)$ 在射影直线 $X = G F (q) \cup {\infty}$ 上的作用，其中q是一个素数幂且 $q \equiv 1 (m o d 4)$ 。通过取 $P S L (2, q)$ 作用下的轨道的并，我们构建了一些单纯3-设计。

关键词

3-齐次的，自同构群，3-设计

Simple 3-Designs and Group $P S L (2, q)$ , $q \equiv 1 (m o d 4)$

Mengmeng Wei, Weixia Li^*

School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Sep. 5^th, 2021; accepted: Oct. 6^th, 2021; published: Oct. 13^th, 2021

ABSTRACT

In this paper, we consider the action of $P S L (2, q)$ acting as a group of automorphisms on the projective line $X = G F (q) \cup {\infty}$ , where q is a prime power and congruent to 1 modulo 4. We construct some simple 3-designs by taking a union of orbits under the action of $P S L (2, q)$ .

Keywords:3-Homogeneous, Automorphism Group, 3-Design

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1. 引言

设 $t, v, k$ 和 $λ$ 是整数，其中 $0 < t \leq k < v$ ， $λ > 0$ 。令X是一个v-集合， $B$ 是X的一组k-子集，若X的任意给定的t-子集都恰好出现在 $B$ 的 $λ$ 个成员之中，则称有序对 $(X, B)$ 是一个 $t - (v, k, λ)$ 设计，其中X的元素称为点， $B$ 中的成员称为区组。若 $B$ 中的任意两个区组都不相同，则称这个设计为单纯的。在本文中，我们只考虑单纯t-设计。

设 $G \leq s y m (X)$ ，对于任意 $g \in G$ ， $S \subseteq X$ ，令 $g (S) = {g (x) | x \in S}$ 。 $G (S) = {g (S) | g \in G}$ 和 $G_{S} = {g \in G | g (S) = S}$ 分别称为S的轨道和稳定子群，且 $| G | = | G (S) | | G_{S} |$ [1] 。长度为 $| G |$ 的轨道 $G (S)$ 称为正则轨道，即 $| G (S) | = | G |$ ，其它的轨道称为非正则轨道。对于任意的 $x, y \in X$ ，若存在 $g \in G$ 使 $g (x) = y$ ，则称G在X上的作用是传递的。若G在集合 $P_{k} (X)$ 上的作用是传递的，其中 $P_{k} (X)$ 是X的所有k-子集

的集合，则称G是k-齐次的。

在本文中，设 $q = p^{n}$ ，其中 $q \equiv 1 (\mod 4)$ 且p为素数， $X = G F (q) \cup {\infty}$ 为射影直线。对于任意的 $a, b, c, d \in G F (q)$ ，定义映射f：

$x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d} = f (x),$

其中 $a d - b c$ 是 $G F (q)$ 中的一个非零平方元。所有形如f的映射的集合构成一个群，称为射影特殊线性群 $PSL (2, q)$ 。以下总是用G表示 $PSL (2, q)$ 。

当 $q \equiv 3 (\mod 4)$ 时，群G是3-齐次的，即G作用在集合 $P_{3} (X)$ 上是传递的。因此，G在 $P_{k} (X)$ 上作用的轨道可以构造出单纯3-设计。文献 [2] [3] 给出了以G为自同构群，区组长度为4，5和6的单纯3-设计的完整结果。目前，这种设计的最好结果在文献 [4] 中，给出了所有以G为自同构群，区组长度为k的所有单纯3-设计，其中 $k \equiv 0, 1 (\mod p)$ 。然而，当 $q \equiv 1 (\mod 4)$ 时，G不是3-齐次的。因此，G在 $P_{k} (X)$ 上作用的轨道不一定能构造出单纯3-设计。但在文献 [5] 中提供了一种方法，可以利用G在 $P_{k} (X)$ 上作用的轨道的并来构造单纯3-设计。通过这种方法，文献 [6] [7] 找到了一些单纯3-设计存在的例子。

本文在文献 [6] [7] 的基础上，借助上述方法给出了其它单纯3-设计的一些例子。

2. 预备知识

下面的引理给出了G的所有子群。

引理1 [8] G的一个子群必为下列之一：

1) $p^{m}$ 阶初等Abel群，其中 $m \leq n$ ；

2) 循环群 $C_{d}$ ， $d | \frac{q \pm 1}{2}$ ；

3) 2d阶二面体群， $d | \frac{q \pm 1}{2}$ ；

4) $A_{4}$ ；

5) $S_{4}$ ，当 $q^{2} \equiv 1 (\mod 16)$ 时；

6) $p^{m}$ 阶初等Abel群和d阶循环群的半直积，其中 $d | \frac{q - 1}{2}$ 且 $d | (p^{m} - 1)$ ；

7) $A_{5}$ ，当 $q^{2} \equiv 1 (\mod 5)$ 时；

8) $PSL (2, p^{m})$ ，其中 $m | n$ ；

9) $PGL (2, p^{m})$ ，其中 $2 m | n$ 。

以下总假设K是群G的一个子群， $N_{l}$ 表示K在X上作用的长度为的轨道的条数。在文献 [7] [9] [10] 中都介绍了下面引理所列举的结果。

引理2设K是一个d阶循环群，则

1) 若 $d | (q + 1) / 2$ ，则 $N_{d} = \frac{q + 1}{d}$ ；

2) 若 $d | (q - 1) / 2$ ，则 $N_{1} = 2$ ， $N_{d} = \frac{q - 1}{d}$ ；

3) 若 $d = p$ ，则 $N_{1} = 1$ ， $N_{d} = \frac{q}{d}$ 。

引理3设K是一个 $p^{m}$ 阶初等Abel群和一个d阶循环群的半直积，其中 $d | \frac{q - 1}{2}$ 且 $d | (p^{m} - 1)$ ，则 $N_{1} = 1$ ， $N_{p^{m}} = 1$ 且其他轨道是正则的。

引理4设 $K = PSL (2, p^{m})$ ，其中 $m | n$ ，则

1) 若n/m是奇数，则 $N_{p^{m} + 1} = 1$ 且其他轨道是正则的；

2) 若n/m是偶数，则 $N_{p^{m} + 1} = 1$ ， $N_{p^{m} (p^{m} - 1)} = 1$ 且其他轨道是正则的。

3. 主要结果

以下总假设 $θ$ 是 $G F (q)$ 的一个本原元。下面的引理指出，我们可以通过G在 $P_{k} (X)$ 上作用轨道的并来构造一个3-设计。设 $B$ 是X的k-子集的一个集合，Δ是X的一个t-子集，其中 $t < k$ 。令 $λ_{B} (Δ)$ 表示 $B$ 中包含Δ的k-子集的个数，即 $λ_{B} (Δ) = | {B | B \in B, Δ \subseteq B} |$ 。

引理5 [6] 设Γ是G在X的k-子集上作用的一个轨道，则

$λ_{Γ} ({0, 1, \infty}) = λ_{θ Γ} ({0, θ, \infty}),$

$λ_{θ Γ} ({0, 1, \infty}) = λ_{Γ} ({0, θ, \infty}) .$

若 $B = Γ \cup θ Γ$ ，则 $λ_{B} ({0, 1, \infty}) = λ_{B} ({0, θ, \infty})$ 。因此， $(X, B)$ 是一个3- $(q + 1, k, λ)$ 设计，其中 $λ = \frac{k (k - 1) (k - 2)}{| G_{B} |}$ 。

以下我们总假设 $H = {1, θ^{2}, θ^{4}, \dots, θ^{q - 3}}$ ， $f (x) = θ^{2} x$ ， $g (x) = \frac{1}{x}$ ，其中 $x \in X$ ，则 $f, g \in G$ ，易见 $f, g \in G_{H}$ 。因 $| f | = \frac{q - 1}{2}$ ， $| g | = 2$ ， $g f = f^{- 1} g$ ，故 $〈 f, g 〉 ≅ D_{q - 1}$ ，易见 $〈 f, g 〉 \subseteq G_{H}$ 。

定理1设 $q \equiv 1 (\mod 8)$ ， $q > 11$ 且 $k = \frac{q - 1}{2}$ ，则存在一个单纯3- $(q + 1, k, \frac{(k - 1) (k - 2)}{2})$ 设计。

证明取 $B = H$ ，令 $B = Γ \cup θ Γ$ ，其中 $Γ = G (B) = {g (B) | g \in G}$ ，由引理5知， $(X, B)$ 是一个3- $(q + 1, k, λ)$ 设计，其中

$λ = \frac{k (k - 1) (k - 2)}{| G_{B} |} .$

因 $〈 f, g 〉 \subseteq G_{B}$ ，故 $(2 k) | | G_{B} |$ ，可得 $λ | \frac{(k - 1) (k - 2)}{2}$ 。又 $q \equiv 1 (\mod 8)$ ，故 $k \equiv 0 (\mod 4)$ ，从而 $\frac{(k - 1) (k - 2)}{2}$ 为奇数，可得 $λ$ 为奇数。所以 $(X, B)$ 是一个单纯3-设计。

因 $〈 f, g 〉 \subseteq G_{B}$ ，由引理1知， $G_{B}$ 不为循环群或初等Abel群。又 $| f | = k > 5$ ，故 $G_{B}$ 中含有阶数大于5的元素，从而 $G_{B}$ 不为 $A_{4}$ ， $S_{4}$ 或 $A_{5}$ 。又 $k = \frac{q - 1}{2}$ ，故 $(k, p) = 1$ 。若 $G_{B}$ 是阶数为 $p^{m} d$ 的半直积，则 $(2 k) | p^{m} d$ 。又p是奇素数，故 $(2 k, p^{m}) = 1$ ，所以 $(2 k) | d$ ，可得 $d > k$ 。由引理2知，这是不可能的。

若 $G_{B} = PSL (2, p^{m})$ ，其中 $m | n$ ，则B是由 $PSL (2, p^{m})$ 在X上作用的轨道的并构成。由引理4知， $| B | \geq p^{m} + 1$ 。又 $f \in G_{B}$ 且 $| B | = k$ ，故 $G_{B}$ 中元素的最大阶为k。而 $PSL (2, p^{m})$ 中元素的最大阶为 $\frac{p^{m} + 1}{2}$ ，故 $k = \frac{p^{m} + 1}{2}$ ，即 $| B | = \frac{p^{m} + 1}{2}$ ，与 $| B | \geq p^{m} + 1$ 矛盾。

若 $G_{B} = PGL (2, p^{m})$ ，其中 $(2 m) | n$ ，则 $G_{B}$ 中元素的最大阶为 $p^{m} + 1$ 。因此 $k = p^{m} + 1$ ，即

$p^{m} + 1 = \frac{q - 1}{2} = \frac{p^{n} - 1}{2},$

可得 $p^{m} | 3$ 。所以 $p = 3$ ， $m = 1$ ，故 $k = 4$ ，与 $k > 5$ 矛盾。

综上所述， $G_{B}$ 是阶数为2d的二面体群，其中 $d | \frac{q \pm 1}{2}$ 。因 $f \in G_{B}$ ，故 $d = \frac{q - 1}{2}$ ，从而 $G_{B} = 〈 f, g 〉$ ，所以 $λ = \frac{(k - 1) (k - 2)}{2}$ 。

定理2设 $q \equiv 1 (\mod 8)$ ， $q > 11$ 且 $k = \frac{q - 1}{2} + 2$ ，则存在一个单纯3- $(q + 1, k, \frac{k (k - 1)}{2})$ 设计。

证明取 $B = H \cup {0, \infty}$ ，易知 $f, g \in G_{B}$ 且 $〈 f, g 〉 \subseteq G_{B}$ 。令 $B = Γ \cup θ Γ$ ，其中 $Γ = G (B) = {g (B) | g \in G}$ ，由引理5知， $(X, B)$ 是一个3- $(q + 1, k, λ)$ 设计，其中

$λ = \frac{k (k - 1) (k - 2)}{| G_{B} |} .$

因 $〈 f, g 〉 \subseteq G_{B}$ ，故 $(2 k - 4) | | G_{B} |$ ，从而 $λ | \frac{k (k - 1)}{2}$ 。又 $q \equiv 1 (\mod 8)$ ，故 $k \equiv 2 (\mod 4)$ ，从而 $\frac{k (k - 1)}{2}$ 为奇数，可得为奇数。所以， $(X, B)$ 是一个单纯3-设计。

因 $〈 f, g 〉 \subseteq G_{B}$ ，由引理1知， $G_{B}$ 不为循环群或初等Abel群。又 $k > 7$ ，则 $| f | = k - 2 > 5$ ，从而 $G_{B}$ 中含有阶数大于5的元素，所以 $G_{B}$ 不为 $A_{4}$ ， $S_{4}$ 或 $A_{5}$ 。又 $k = \frac{q - 1}{2} + 2$ ，故 $(k - 2, p) = 1$ 。若 $G_{B}$ 是阶数为 $p^{m} d$ 的半直积，则 $(2 k - 4) | p^{m} d$ 。又p是奇素数，故 $(2, p) = 1$ ，从而 $(2 (k - 2), p) = 1$ ，所以 $(2 k - 4) | d$ ，可得 $d > k$ 。由引理2知，这是不可能的。

若 $G_{B} = PSL (2, p^{m})$ ，其中 $m | n$ ，则 $G_{B}$ 中元素的最大阶为 $\frac{p^{m} + 1}{2}$ ，而 $G_{B}$ 中含有阶数为 $k - 2$ 的元素，故 $k - 2 \leq \frac{p^{m} + 1}{2}$ ，即 $q \leq p^{m} + 2$ 。所以 $m = n$ ，即 $G_{B} = PSL (2, q)$ ，从而 $G_{B}$ 中含有 $\frac{q + 1}{2}$ 阶元 $h_{1}$ ，而 $h_{1}$ 无不动点，与 $k = \frac{q + 1}{2} + 1$ 矛盾。

若 $G_{B} = PGL (2, p^{m})$ ，其中 $(2 m) | n$ ，设 $h_{2}$ 是 $G_{B}$ 中阶数为 $p^{m} + 1$ 的元素，则 $k - 2 \leq | h_{2} | \leq k$ ，而 $h_{2}$ 无不动点，故

$p^{m} + 1 = k = \frac{q - 1}{2} + 2 = \frac{p^{n} + 3}{2},$

可得 $p^{m} | 1$ 。所以 $p = 1$ ，从而 $q = 1$ ，与 $q > 11$ 矛盾。

综上所述， $G_{B}$ 是阶数为2d的二面体群，其中 $d | \frac{q \pm 1}{2}$ 。因 $f \in G_{B}$ ，故 $d = \frac{q - 1}{2}$ ，从而 $G_{B} = 〈 f, g 〉$ ，所以 $λ = \frac{k (k - 1)}{2}$ 。

定理3设 $q \equiv 1 (\mod 4)$ ， $q > 11$ 且 $k = \frac{q - 1}{2} + 1$ ，则存在一个单纯3- $(q + 1, k, k (k - 2))$ 设计。

证明取 $B = H \cup {0}$ ，易知 $f \in G_{B}$ ，从而 $〈 f 〉 \subseteq G_{B}$ 。令 $B = Γ \cup θ Γ$ ，其中 $Γ = G (B) = {g (B) | g \in G}$ ，由引理5知， $(X, B)$ 是一个3- $(q + 1, k, λ)$ 设计，其中

$λ = \frac{k (k - 1) (k - 2)}{| G_{B} |} .$

因 $f \in G_{B}$ ，故 $(k - 1) | | G_{B} |$ ，从而 $λ | k (k - 2)$ 。又 $q \equiv 1 (\mod 4)$ ，故k为奇数，从而 $k (k - 2)$ 为奇数，可得 $λ$ 为奇数。所以， $(X, B)$ 是一个单纯3-设计。

因 $〈 f 〉 \subseteq G_{B}$ ，由引理1知， $G_{B}$ 不为初等Abel群。又 $k > 6$ ，则 $| f | = k - 1 > 5$ ，从而 $G_{B}$ 中含有阶数大于5的元素，所以 $G_{B}$ 不为 $A_{4}$ ， $S_{4}$ 或 $A_{5}$ 。若 $G_{B} = D_{2 d}$ ，则 $(k - 1) | d$ ，即 $\frac{q - 1}{2} | d$ ，从而 $d = \frac{q - 1}{2} = k - 1$ ，而 $| G_{B} | = (2 k - 2) | k (k - 1) (k - 2)$ ，故 $2 | k (k - 2)$ ，与 $k (k - 2)$ 为奇数矛盾。所以 $G_{B}$ 不为二面体群。又 $k = \frac{q - 1}{2} + 1$ ，故 $(k - 1, p) = 1$ ，从而 $(k - 1, p^{m}) = 1$ 。若 $G_{B}$ 是阶数为 $p^{m} d$ 的半直积，则 $(k - 1) | p^{m} d$ ，即 $\frac{q - 1}{2} | p^{m} d$ ，从而 $\frac{q - 1}{2} | d$ ，可得 $d = \frac{q - 1}{2}$ 。因 $d | (p^{m} - 1)$ ，故 $\frac{q - 1}{2} | (p^{m} - 1)$ ，所以 $m = n$ ，即 $| G_{B} | = \frac{q (q - 1)}{2}$ 。因B是由 $G_{B}$ 在X上作用的轨道的并构成，由引理3知， $| B | \geq q$ ，而 $| B | = k = \frac{q + 1}{2}$ ，与 $q > \frac{q + 1}{2}$ 矛盾。

若 $G_{B} = PSL (2, p^{m})$ ，其中 $m | n$ ，则B是由 $PSL (2, p^{m})$ 在X上作用的轨道的并构成。由引理4知， $| B | \geq p^{m} + 1$ 。又 $f \in G_{B}$ ，故 $G_{B}$ 中含有阶数为 $k - 1$ 的元素。而 $PSL (2, p^{m})$ 中元素的最大阶为 $\frac{p^{m} + 1}{2}$ ，故 $k - 1 \leq \frac{p^{m} + 1}{2}$ ，即 $k \leq \frac{p^{m} + 1}{2} + 1$ ，因此 $p^{m} + 1 \leq | B | \leq \frac{p^{m} + 1}{2} + 1$ 。所以 $p^{m} + 1 \leq \frac{p^{m} + 1}{2} + 1$ ，即 $p^{m} \leq 1$ ，可得 $p = 1$ ，从而 $q = 1$ ，与 $q > 11$ 矛盾。

若 $G_{B} = PGL (2, p^{m})$ ，其中 $(2 m) | n$ ，设h是 $G_{B}$ 中阶数为 $p^{m} + 1$ 的元素，则 $k - 1 \leq | h | \leq k$ ，而h无不

动点，故

$p^{m} + 1 = k = \frac{q - 1}{2} + 1 = \frac{p^{n} + 1}{2},$

可得 $p^{m} | 1$ 。所以 $p = 1$ ，从而 $q = 1$ ，与 $q > 11$ 矛盾。

综上所述， $G_{B}$ 是d阶循环群，其中 $d | \frac{q \pm 1}{2}$ 。因 $f \in G_{B}$ ，故 $d = \frac{q - 1}{2}$ 。所以 $G_{B} = 〈 f 〉$ ，故 $λ = k (k - 2)$ 。

致谢

衷心感谢导师李伟霞在本文写作过程中的悉心指导。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11501315)。

文章引用

韦萌萌,李伟霞. 单纯3-设计与群PSL(2,q)，q≡1(mod4)
Simple 3-Designs and Group PSL(2,q), q≡1(mod4)[J]. 理论数学, 2021, 11(10): 1685-1690. https://doi.org/10.12677/PM.2021.1110188

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NOTES

^*通讯作者。

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