一致模糊极小集及其序同态 Uniformly Fuzzy Minimal Posets and Its Order Homomorphism

doi:10.12677/ORF.2019.91001

Operations Research and Fuzziology
Vol. 09 No. 01 ( 2019 ), Article ID: 28100 , 5 pages
10.12677/ORF.2019.91001

Uniformly Fuzzy Minimal Posets and Its Order Homomorphism

Lu Chen, Hui Li

●How to Cite this Article

School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui

Received: Nov. 28^th, 2018; accepted: Dec. 12^th, 2018; published: Dec. 19^th, 2018

ABSTRACT

In this paper, the concept of uniformly fuzzy minimal posets is introduced on the basis of uniformly fuzzy posets, and its related properties and some equivalent characterizations are discussed. Secondly, under the condition of fuzzy order homomorphism, the concept of preserving uniformly fuzzy minimal posets is given. Finally, an equivalent characterization of preserving uniformly fuzzy minimal posets is given.

Keywords:Uniformly Fuzzy Minimal Poset, Uniformly Fuzzy Scott Continuous Mapping, Fuzzy Ordered Homomorphism

一致模糊极小集及其序同态

陈璐，李辉

淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北

收稿日期：2018年11月28日；录用日期：2018年12月12日；发布日期：2018年12月19日

摘要

本文在一致模糊偏序集的基础上引入一致模糊极小集的概念，探讨其相关性质和若干等价刻画。其次在模糊序同态的条件下给出保一致模糊极小集的概念，最后给出保一致模糊极小集的一个等价刻画。

关键词 :一致模糊极小集，一致模糊Scott连续映射，模糊序同态

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1. 引言

模糊集 [1] 的概念首先是由Zadeh. L. A提出的，它的提出开辟了一个新的数学研究方向，使得数学的发展又前进了一步。文献 [2] [3] 给出了L-fuzzy偏序集上的L-fuzzy定向集及L-fuzzy domain的概念，但这种模糊的方法比较复杂。文献 [4] 弥补了这一缺陷，重新定义了模糊dcpo和模糊domain，这很大程度上是对文献 [2] [3] 的一种简化。文献 [5] 引入了模糊定向极小集和模糊序同态的概念，给出了模糊定向极小集的若干性质和等价刻画。文献 [6] 引入了一致模糊偏序集，进而给出一致模糊完备集和一致模糊Domain的概念。本文在以上文献的基础上，主要是在文献 [6] 的基础上引入一致模糊极小集的概念，其次给出一个模糊序同态的概念，讨论在模糊序同态下一致模糊极小集的若干性质和等价刻画。

2. 预备

定义2.1 [2] ：设 $X$ 是非空偏序集， $e : X \times X \to L$ 为映射，称 $e$ 是 $X$ 上的一个模糊偏序关系，若 $e$ 满足：

1) 自反性： $\forall x \in X$ ， $e (x, x) = 1$ ；

2) 传递性： $\forall x, y, z \in X$ ， $e (x, y) \land e (y, z) \leq e (x, z)$ ；

3) 反对称性： $\forall x, y \in X$ ， $e (x, y) = e (y, x) = 1 \Rightarrow x = y$ ；

称偶对 $(X, e)$ 为模糊偏序集，简称模糊集。

例2.1 [2] ：设 $X$ 为非空集合，定义 $s u b_{X} : L^{X} \times L^{X} \to L$ 为 $\forall A, B \in L^{X}$ ，

$s u b_{X} (A, B) = \underset{x \in X}{\land} A (x) \to B (x)$

定义2.2 [3] ：设 $(X, e)$ 是模糊偏序集， $x_{0} \in X$ ， $A \in L^{X}$ ，如果：

1) $\forall x \in X$ ， $A (x) \leq e (x, x_{0})$ ；(相应的， $\forall x \in X$ ， $A (x) \leq e (x_{0}, x)$ )

2) $\forall y \in X$ ， $\underset{x \in X}{\land} (A (x) \to e (x, y)) \leq e (x_{0}, y)$ 界)，记作 $x_{0} = ∐ A$ (相应的， $x_{0} = \prod A$ )。

定义2.3 [3] ：设 $(X, e)$ 是模糊偏序集， $A \in L^{X}$ ，若 $\forall x, y \in X$ ， $e (x, y) \land_{L} A (x) \leq A (y)$ ( $e (x, y) \land_{L} A (y) \leq A (x)$ )，则称 $A$ 为模糊上集(模糊下集)。

定义2.4 [4] ：设 $(X, e)$ 是模糊偏序集， $\forall A \in L^{X}$ ，定义 $↓ A \in L^{X}$ 为：

$\forall y \in X$ ， $↓ A (x) = \underset{y \in X}{\lor} A (y) \land e (x, y)$ ( $↑ A (x) = \underset{y \in X}{\lor} A (y) \land e (y, x)$ )。

对于 $A \subseteq X$ ， $χ_{A} \in L^{X}$ (称为 $A$ 的特征函数)定义为 $χ_{A} (x) = 1$ ，若 $x \in A$ ；否则为0。

定义2.5 [4] ：设 $(X, e_{X})$ ， $(Y, e_{Y})$ 是模糊完备集，映射 $f : X \to Y$ 称为模糊Scott连续映射，如果 $f$ 是保模糊序的，对任意模糊定向集 $A$ ， $f (∐ D) = ∐ f^{\to} (D)$ 。其中， $f^{\to} : L^{X} \to L^{Y}$ 为 $\forall A \in L^{X}$ ， $y \in Y$ ， $f^{\to} (A) (y) = \underset{x \in X}{\lor} A (x) \land e_{Y} (y, f (x))$ 。称为模糊向前算子。相反地 $\forall B \in L^{Y}$ ，令 $f^{\leftarrow} (B) = B \circ f$ ，称为模糊向后算子。即 $f^{\leftarrow} : L^{Y} \to L^{X}$ 。

定义2.6 [6] ：设 $(X, e)$ 为模糊偏序集， $A \in L^{X}$ 为模糊子集，若 $\forall D \subseteq A$ ， $\forall x, y \in X$ 满足：

1) $\underset{x \in X}{\lor} A (x) = 1$ ；

2) $D (x) \land D (y) \leq \underset{z \in X}{\lor} A (z) \land e (x, z) \land e (y, z)$ 。

则称 $A$ 为一致模糊偏序集。 $(X, e)$ 上的一致模糊偏序集的全体记为 $U F (X)$ ，若 $A$ 还是一个模糊下集，则称 $A$ 为一致模糊理想，全体一致模糊理想记为 $U F I (X)$ 。

定义2.7 [6] ：设 $(X, e)$ 为模糊偏序集，若 $\forall A \in U F (X)$ ， $∐ A$ 存在，则称 $(X, e)$ 为一致模糊完备偏序集。记为UFCPO。

定义2.8 [6] ：设 $(X, e)$ 为UFCPO，定义其上的一致模糊way-below关系为， $\forall x, y \in X$ ，

$⇓_{U F} x (y) = \underset{I \in U F I (X)}{\land} (e (x, ∐ I) \to I (y))$ 。

称 $⇓_{U F} : X \times X \to L$ 为 $(X, e)$ 上的一致模糊way-below关系，且 $⇓_{U F} x (y) = ⇓_{U F} (y, x)$ 。如果 $\forall x \in X$ ， $⇓_{U F} x \in U F (X)$ 且 $x = ⇓_{U F} ∐ x$ ，则称 $(X, e)$ 为一致模糊连续偏序集或一致模糊Domain。

3. 主要结果

定义3.1：设 $(X, e)$ 为UFCPO， $x \in X$ 且 $A \in U F (X)$ ，如果 $A$ 满足：

1) $x = ∐ A$ ；2) $\forall B \in U F (X)$ ， $\forall y \in X$ ， $e (x, ∐ B) \land A (y) \leq \underset{a \in X}{\lor} B (a) \land e (y, a)$ 。

则称 $A$ 为 $x$ 的一致模糊极小集。

定理3.1：设 $(X, e)$ 为UFCPO， $x \in X$ 且 $A \in L^{X}$ ，则下列条件等价：

(1) $A$ 是 $x$ 一致模糊极小集；(2) $A \in U F (X)$ ， $A \leq ⇓_{U F} x$ 且 $x = ∐ A$ 。

证明： $(1) \Rightarrow (2)$ $\forall B \in U F (X)$ ， $\forall y \in X$ 。因为 $e (x, ∐ B) \land A (y) \leq \underset{a \in X}{\lor} B (a) \land e (y, a) \leq B (y)$ ，故

$A (y) \leq e (x, ∐ B) \to B (y)$ ，所以 $A (y) \leq ⇓_{U F} x (y)$ ，即 $A \leq ⇓_{U F} x$ 。

$(2) \Rightarrow (1)$ $\forall B \in U F (X)$ ， $\forall y \in X$ ， $e (x, ∐ B) \land A (y) = e (x, ∐ ↓ B) \land A (y) \leq ↓ B (y) = \underset{a \in X}{\lor} B (a) \land e (y, a)$ 。

引理3.1：设 $(X, e)$ 为UFCPO， $\forall x \in X$ ，若 $\exists A \in U F (X)$ ，满足 $x = ∐ A$ 和 $A \leq ⇓_{U F} x$ ，则 $⇓_{U F} x \in U F I (X)$ 且 $x = ∐ ⇓_{U F} x$ 。

证明： $\forall y \in X$ ，

$\begin{array}{l} ⇓_{U F} x = \underset{I \in U F I (X)}{\land} (e (x, ∐ I) \to (\underset{d \in X}{\lor} I (d) \land e (y, d))) \\ \leq e (x, ∐ ↓ A) \to (\underset{d \in X}{\lor} A (d) \land e (y, d)) \\ = 1 \to (\underset{d \in X}{\lor} A (d) \land e (y, d)) \underset{d \in X}{\lor} A (d) \land e (y, d) \end{array}$ 。

从而 $\forall c \in X$ ，有

$\begin{array}{l} \underset{c \in X}{\land} ⇓_{U F} x (c) \leq \underset{c \in X}{\land} \underset{y_{1} \in X}{\lor} A (y_{1}) \land e (c, y_{1}) \\ \leq \underset{c \in X}{\land} \underset{y_{1} \in X}{\lor} \underset{y \in X}{\lor} A (y_{1}) \land e (y_{1}, y) \land e (c, y_{1}) \\ = \underset{c \in X}{\land} \underset{y \in X}{\lor} A (y) \land e (c, y) \\ \leq \underset{y \in X}{\lor} A (y) \land (\underset{c \in X}{\land} e (c, y)) \end{array}$ 。

因此 $⇓_{U F} x$ 是一致模糊的，故为一致模糊理想。又因为

$1 = s u b (A, ⇓_{U F} x) \leq e (∐ A, ∐ ⇓_{U F} x) = e (x, ⇓_{U F} x)$ 。

同时 $1 = s u b (⇓_{U F} x ， ↓ x) \leq e (∐ ⇓_{U F} x, ∐ ↓ x) = e (⇓_{U F} x, x)$ ，故 $x = ∐ ⇓_{U F} x$ 。

由定理3.1及引理3.1易到下面的定理3.2和定理3.3。

定理3.2：设 $(X, e)$ 为UFCPO，则 $(X, e)$ 是一致模糊domain当且仅当 $\forall x \in X$ ， $x$ 有一致模糊极小集。

定理3.3：设 $(X, e)$ 为UFCPO，若 $\forall x \in X$ ， $x$ 有一致模糊极小集，则 $⇓_{U F} x$ 是 $x$ 的最大一致模糊极小集。

定理3.4：设 $(X, e)$ 为UFCPO，则下列条件等价：

(1) $(X, e)$ 是一致模糊Domain；

(2) $\forall x \in X$ ， $x$ 有一致模糊极小集；

(3) $\forall x \in X$ ， $\exists A \in U F (X)$ 满足 $x = ∐ A$ 且 $A \leq ⇓_{U F} x$ ，使得 $A$ 为 $x$ 的一致模糊极小集。

证明：(1) $\Rightarrow$ (2)若 $(X, e)$ 为一致模糊domain，由定义3.1知 $\forall x \in X$ ， $⇓_{U F} x$ 是 $x$ 处的一个一致模糊极小集。

(2) $\Rightarrow$ (3)由定理3.1即得。

(3) $\Rightarrow$ (1)由条件(3)知 $A$ 为一致模糊极小集，故 $(X, e)$ 为一致模糊domain。

定义3.2：设 $(X, e_{X})$ ， $(Y, e_{Y})$ 是UFCPO，称映射 $f : X \to Y$ 为一致模糊Scott连续映射，如果 $f$ 是保模糊序的，即 $\forall A \in U F (X)$ ， $f (∐ D) = ∐ f^{\to} (D)$ 。其中 $f^{\to} : L^{X} \to L^{Y}$ 为 $\forall A \in L^{X}$ ， $y \in Y$ ，

$f^{\to} (A) (y) = \underset{x \in X}{\lor} A (x) \land e_{Y} (y, f (x))$ 。

定义3.3：设 $(X, e_{X}), (Y, e_{Y})$ 是UFCPO， $f : X \to Y$ 是映射，如果 $f$ 是一致模糊Scott连续映射且 $f$ 保一致模糊way-below关系，则称 $f$ 是一个模糊序同态。

定义3.4：设 $(X, e_{X}), (Y, e_{Y})$ 是UFCPO， $f : X \to Y$ 是映射，若 $\forall x \in X$ ，当 $A \in L^{X}$ 是 $x$ 的一致模糊极小集时， $f^{\to} (A)$ 是 $f (x)$ 的一致模糊极小集，则称 $f$ 保一致模糊极小集。

定理3.5：设 $(X, e_{X}), (Y, e_{Y})$ 是一致模糊Domain， $f : X \to Y$ 为保模糊序的映射，则下列条件等价：

(1) $f$ 保一致模糊极小集；

(2) $\forall a \in X, f^{\to} (⇓_{U F} a)$ 是 $f (a)$ 的一致模糊极小集；

(3) $f$ 是一致模糊Scott连续映射且 $\forall a \in X, f^{\to} (⇓_{U F} a) \leq ⇓_{U F} f (a)$ ；

(4) $f$ 是模糊序同态。

证明： $(1) \Rightarrow (2)$ 由 $⇓_{U F} a$ 为 $a$ 的一致模糊极小集， $f$ 为保一致模糊极小集映射，故 $f^{\to} (⇓_{U F} a)$ 为 $f (a)$ 的一致模糊极小集。

$(2) \Rightarrow (3)$ $f^{\to} (⇓_{U F} a) \leq ⇓_{U F} f (a)$ 显然成立。下证 $f$ 是一致模糊Scott连续映射。 $\forall y \in Y$ ，有

$\begin{matrix} e_{Y} (∐ f^{\to} (A), y) = \underset{a \in X}{\land} (A (a) \to e_{Y} (f (a), y)) = \underset{a \in X}{\land} (A (a) \to e_{Y} (∐ f^{\to} (⇓_{U F} a), y)) \\ = \underset{a \in X}{\land} (A (a) \to \underset{x \in X}{\land} (⇓_{U F} a (x) \to e_{Y} (f (x), y))) \\ = \underset{x \in X}{\land} ((\underset{a \in X}{\lor} A (a) \land ⇓_{U F} a (x)) \to e_{Y} (f (x), y)) \\ = \underset{x \in X}{\land} (⇓_{U F} (∐ A) (x) \to e_{Y} (f (x), y)) \\ = e_{Y} (∐ f^{\to} (⇓_{U F} (∐ A)), y) = e_{Y} (f (∐ A), y) \end{matrix}$ 。

$(3) \Rightarrow (4)$

$\begin{matrix} \forall x, y \in X, ⇓_{U F} f (y) (f (x)) \geq f^{\to} (⇓_{U F} y) (f (x)) \\ = \underset{a \in X}{\lor} ⇓_{U F} y (a) \land e_{Y} (f (x), f (a)) \geq \underset{a \in X}{\lor} ⇓_{U F} y (a) \land e (x, a) \\ = ⇓_{U F} y (x) \end{matrix}$ 。

$(4) \Rightarrow (1)$ 设 $\forall x \in X$ 且 $A \in L^{X}$ 为 $x$ 的一致模糊极小集，则 $x = ∐ A$ 且 $A \leq ⇓_{U F} x$ 。由 $f$ 保模糊序和一致模糊way-below关系，有 $f^{\to} (A) \leq f^{\to} (⇓_{U F} x) \leq ⇓_{U F} f (x)$ ，故 $f^{\to} (A)$ 是一致模糊理想。而 $f$ 一致模糊Scott连续，故 $∐ f^{\to} (A) = f (∐ A) = f (x)$ ，进而 $f^{\to} (A)$ 是 $f (x)$ 的一致模糊极小集。

文章引用

陈璐,李辉. 一致模糊极小集及其序同态
Uniformly Fuzzy Minimal Posets and Its Order Homomorphism[J]. 运筹与模糊学, 2019, 09(01): 1-5. https://doi.org/10.12677/ORF.2019.91001

参考文献

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