ABSTRACT

The energy of a graph has closed links to chemistry, since an important quantum-chemical characteristic of a conjugated molecule is its total π-electron energy. In this paper, we compared the characteristic polynomial coefficients of oriented bicyclic graphs and gave the skew energy’s partial relation of oriented bicyclic graphs, and thus we got the second minimal skew energy of oriented bicyclic graphs.

Keywords:Oriented Bicyclic Graphs, Skew Adjacency Matrix, Skew Energy

有向双圈图的第二小斜能量

高育博，冶成福

青海师范大学数学系，青海 西宁

Email: 610506630@qq.com

收稿日期：2015年3月19日；录用日期：2015年4月2日；发布日期：2015年4月8日

摘 要

斜能量在化学能量方面具有广泛的应用，由于共轭分子的量子化学的一个重要特性是它的π-电子能量。在本篇文献中，我们通过比较有向双圈图的斜特征多项式的系数，给出有向双圈图的斜能量的偏序关系，从而得到有向双圈图的第二小斜能量。

关键词 :有向双圈图，斜邻接矩阵，斜能量

1. 预备知识

设是所有特征值的集合，则它们也称为有向图的特征值。因为是斜对称矩阵，所以它的特征值都是实数。定义有向图的斜能量等于这个图的所有特征值的绝对值之和，记为，则有。根据斜能量积分公式，对于两个阶定向图我们有：。

为方便起见，我们定义(或)为单圈图中的圈定向为+ (或−)，以及为单圈图中的圈定向为任意定向*。如果，我们定义为双圈图中的圈定向是和双圈图中的圈定向是，其中。如果，定义为双圈图中的圈定向是，双圈图中的圈定向是，和双圈图中的圈定向是，其中。

根据文献[1] 对于一个有向图，我们只需要考虑偶圈的定向。为方面定义，我们采用文献[2] 图的记号。为了给出证明，我们给出一些注记：图，，及它们的定向如图1。令，是双圈图中具有个公共点的两个圈。如果，则包含两个圈；若，则包含三个圈。第三个圈我们记为，其中。不失一般性，假定。

引理1 [3] 令是一个无向图，是图的一个定向，则。其中，分别为有向图线性子图偶向圈的个数，奇向圈的个数。

引理2 [4] 令是一个具有个顶点条弧的有向图。若。

则，且等号成立当且仅当所有的有向四边形为偶定向，其中为中四边形的个数。

引理3 [5] 令是图的一条边，并且图不包含偶圈，则我们有

. (2.1)

通过等同于多项式(2.1)的系数，我们有

. (2.2)

此外，如果是图的一条悬挂边，则

. (2.3)对于一个不包含偶圈图 (特别地，一棵树或单圈非二部图)任意定向，根据引理1我们有。引理4 [2] 对于一个图的匹配数目，我们有以下结论：令是图的一条边，则。

图1. 有向双圈图最小斜能量

2. 主要结论

定理1.是阶双圈图，基础图，则。

证明：我们通过对进行归纳假设证明。根据引理1我们可得到，，的斜特征多项式分别为：；；。

首先我们证明对于，。令。

情形1.1.。

情形1.1.1.。我们适当的在某一个上选择一条边使得是连通的。根据引理2，我们有

情形1.1.2.或者等于4。不失一般性，假定。我们在上选择一条边使得至少有4条边。根据引理2，我们有

情形1.1.3. 不论还是都不等于4。则或，。我们在任意的一个圈上选择一条边使得包含至少4条边。根据引理2。我们可以得到

情形1.2.。

情形1.2.1. 每一个圈长为4。则当时，在圈外我们有3个顶点，令作。令是图的一个悬挂点，与相邻，是图的一个悬挂点，与相邻，是图的一个悬挂点，与相邻。根据公式(2.3)，我们有

情形1.2.2. 图中有两个圈长为4，记作，，则当时，。我们有两个顶点不属于。类似于情形1.2.1的证法，我们可以得到。

情形1.2.3. 图中仅有一个圈长为4，记作。如果，则当时，我们有三个顶点不属于。类似于情形1.2.1的证法，我们可以得证。若，我们在圈选择一条边使得。类似于情形1.1.2的证法，我们可以得到。

情形1.2.4. 图中不含圈长为4的圈。类似于情形1.1.3的证法，当时，结论成立。

假定，当时，对于任意的阶有向双圈图有。定义为图中悬挂点的数目。

若，则不含悬挂点。以下我们分三种情况进行考虑：

情形2.1.。令是的一条边以及是和的公共顶点。根据，以及引理2和4，我们有

由于当时。

情形2.2.。令是圈的一条边以及是和的公共顶点。根据引理2和引理4，我们有

由于当时。

情形2.3.。假定圈，由一条长为的路连接。令是圈的一条边，其中顶点的度为3。类似于情形2.1的证法，则。因此，当时。

当时，是图的一个悬挂点,以及它对应的悬挂边为。由于至少含有3条边，根据公式(2.2)及归纳假设，有

命题得证。

当时，类似于定理1对的讨论，为有向双圈图的第二小斜能量。因为则当时。类似于定理1对的讨论，我们可以得到不论还是为有向双圈图的最小斜能量当时。

定理2. 在所有阶有向双圈图中，当时，为有向双圈图第二小斜能量；当时，为有向双圈图第二小斜能量；当时，不论还是为有向双圈图最小斜能量。

文章引用

高育博,冶成福, (2015) 有向双圈图的第二小斜能量
The Second Minimal Skew Energy of Oriented Bicyclic Digraphs. 应用数学进展,02,77-82. doi: 10.12677/AAM.2015.42010

参考文献 (References)