Advances in Applied Mathematics
Vol.
08
No.
12
(
2019
), Article ID:
33236
,
4
pages
10.12677/AAM.2019.812218
The Solution of a Type of Functional Set-Valued Stochastic Differential Equation
Jungang Li, Zhu Xue
Department of Statistics, North China University of Technology, Beijing
Received: Nov. 8th, 2019; accepted: Nov. 25th, 2019; published: Dec. 2nd, 2019
ABSTRACT
In this paper, we shall introduce set-valued and its properties, and discuss the functional set-valued stochastic differential equation. When the initial value is given, we shall prove the existence and uniqueness of solution of the type of functional set-valued stochastic differential equation.
Keywords:Functional, Set-Valued Equation, Solution, Existence, Uniqueness
一类泛函集值随机微分方程的解
李俊刚,薛竹
北方工业大学理学院,北京
收稿日期:2019年11月8日;录用日期:2019年11月25日;发布日期:2019年12月2日
摘 要
本文介绍了集值及其性质,泛函集值随机微分方程,在给定初值的情况下,给出了一类泛函集值随机微分方程的强解的存在性和唯一性的证明。
关键词 :泛函,集值方程,解,存在性,唯一性
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 前言及基础不等式
在许多金融、医学、控制等实际问题中,随机微分方程有着广泛的应用 [1] [2] [3]。
本文给出 表示d-维欧氏空间的闭子集, 表示d-维欧氏空间的紧子集。Hausdorff距离定义如下:
其性质(见 [4] 引理1.1.11)
(1)
更多的记号详见 [4]。
关于集值Lebesgue积分的不等式(见 [5] 定理5),
(2)
令 , 是所有的从 到 的Hausdorff距离连续的集值映射的全体。集值泛函随机微分方程
其中, 是 -值随机过程,映射 是可测的集值随机过程,映射 是有界可料可测的随机过程, 是集值平方可积鞅(见 [6] )。
2. 初值问题
不同于一般的随机微分方程,它应该是包含 在 的所有信息,而不是只有 是已知的,因此假设:
是 可测的 -值的随机映射,且满足 。
3. 方程解的存在唯一性证明
在集值泛函随机积分方程中,第一部分积分 是集值随机Lebesgue积分;第二部分积分 是随机过程关于集值平方可积鞅的随机积分(见 [6] )。为简化,在本文中我们省去了集值随机Lebesgue积分前的“(L)”及关于集值平方可积鞅的随机积分前的“(M)”。
1) 线性增长条件:对 , 常数a,s.t.对
2) Lipschitz连续条件:对 , 常数 ,s.t.对
3) 集值积分不等式:
对于任意满足条件且为紧集值的初值 (即 为 值映射),集值泛函微分方程存在唯一强解。
证明:
存在性
定义 ,并且令,利用Picard迭代,对任意,定义
由(1)式,Hausdorff距离的性质,
由Cauchy-Schwarz不等式和集值积分不等式,
由线性增长条件,可知
由(2)式,闭集值Lebesgue积分的不等式和集值积分不等式可得
由Lipschitz连续条件,可得
定义,因此有
故有且为完备距离空间,则存在,使得,
容易证明满足集值泛函随机微分方程且为连续适应的。
唯一性
采用反证法,假设存在均为集值泛函随机微分方程的强解,,记
利用上面同样的方法,得
由Gronwall不等式,有,即唯一性成立。
文章引用
李俊刚,薛 竹. 一类泛函集值随机微分方程的解
The Solution of a Type of Functional Set-Valued Stochastic Differential Equation[J]. 应用数学进展, 2019, 08(12): 1881-1884. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.812218
参考文献
- 1. 蒲兴成, 张毅. 随机微分方程及其在数理金融中的应用[M]. 北京: 科学出版社, 2010.
- 2. 厄克森达尔, 刘金山, 吴付科. 随机微分方程导论与应用[M]. 北京: 科学出版社, 2012.
- 3. Mao, X.R. (2003) Numerical Solutions of Stochastic Functional Differential Equations. Journal of Computation and Mathematics, 6, 141-161.
https://doi.org/10.1112/S1461157000000425 - 4. Li, S.M., Ogura, Y. and Kreinovich, V. (2002) Limit Theorems and Applications of Set-Valued and Fuzzy Set-Valued Random Variables. Springer, Dordrecht.
https://doi.org/10.1007/978-94-015-9932-0 - 5. Li, J.G. and Li, S.M. (2009) Ito Type Set-Valued Stochastic Differential Equation. Journal of Uncertain Systems, 3, 52-63.
- 6. Li, S.M., Li, J.G. and Li, X.H. (2010) Stochastic Integral with Respect to Set-Valued Square Integrable Martingales. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 370, 659-671.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.04.040