湖北汽车工业学院数理与光电工程学院，湖北 十堰

收稿日期：2023年5月5日；录用日期：2023年5月28日；发布日期：2023年6月6日

摘要

本文主要研究Banach空间上线性斜积半流非一致指数渐近行为的Datko型特征以及平均型特征。借助Lyapunov范数技术得到了线性斜积半流满足非一致指数稳定与膨胀的若干充要条件。所得结果推广了微分系统稳定性理论中一些已有结果。

关键词

线性斜积半流，稳定性，膨胀性

Some Characterizations of Nonuniform Exponential Asymptotic Behaviors for Linear Skew-Product Semiflows

Ting Wang^*, Ziyi Liu, Tian Yue

School of Mathematics, Physics and Optoelectronic Engineering, Hubei University of Automotive Technology, Shiyan Hubei

Received: May 5^th, 2023; accepted: May 28^th, 2023; published: Jun. 6^th, 2023

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the Datko’s characterization for the nonuniform exponential stability and the nonuniform exponential expansiveness of linear skew-product semiflows in Banach spaces, respectively. The necessary and sufficient conditions for the nonuniform exponential asymptotic behaviors are obtained via Lyapunov norms. The obtained conclusions are generalizations of the well-known results in stability theory.

Keywords:Linear Skew-Product Semiflows, Stability, Expansiveness

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

自上世纪70年代以来，关于发展方程指数渐近行为的研究获得了大量学者的关注，若干重要公开问题的解决，使其成为了微分系统定性理论的一个热点领域，促进了相关理论的快速发展与完善 [1] - [6] 。众所周知，作为强连续算子半群、演化族等概念的推广，斜积半流已成为微分动力系统定性理论研究的一个重要工具 [7] - [13] ，且这一概念已被用于研究航天控制、流体力学等方面的问题。如文献 [7] 与 [8] 基于Datko-Pazy技术分别得到了刻画线性斜积半流一致指数稳定的平均型特征与Datko型特征。由于一致渐近行为的条件太强，基于遍历理论的知识，研究微分系统的非一致渐近行为有着重要意义。如文献 [9] 与 [10] 利用Lyapunov范数分别获取了线性斜积半流在非一致视角下指数稳定与二分的若干充要条件；文献 [13] 基于Lyapunov范数建立了Banach空间上刻画线性斜积半流非一致指数膨胀的若干连续与离散形式的Datko型定理，同时建立了线性斜积半流非一致指数膨胀性与Lyapunov算子方程之间的联系。

受文献 [8] 与 [9] 的启发，本文将运用适当的范数技术获得线性斜半流非一致指数渐近行为的系列Datko型与平均型特征，所得结果将指数稳定性理论中一些结果推广到了更一般的非一致情形。

2. 预备知识

设X是一个Banach空间， $\Theta$ 是一个度量空间， $\mathcal{B}\left(X\right)$ 表示从X到自身的有界线性算子的全体，I为恒等算子，集合 $\mathcal{F}$ 表示满足 $f\left(0\right)=0$ 及 $f\left(t\right)>0\left(\forall t>0\right)$ 的单调不减函数 $f:R_{+}\to R_{+}$ 的全体。

定义2.1 [10] 若映射 $\sigma :\Theta \times R_{+}\to \Theta$ ， $\left(\theta ,t\right)\mapsto \sigma \left(\theta ,t\right)$ 满足

(i) $\sigma \left(\theta ,0\right)=\theta ,\forall \theta \in \Theta$ ；

(ii) $\sigma \left(\theta ,t+s\right)=\sigma \left(\sigma \left(\theta ,s\right),t\right),\forall t,s\ge 0,\theta \in \Theta$ ；

(iii) $\left(\theta ,t\right)\mapsto \sigma \left(\theta ,t\right)$ 在 $\Theta \times R_{+}$ 上连续，

则称 $\sigma$ 为 $\Theta$ 上的线性连续半流。

定义2.2 [10] 设 $\sigma$ 为 $\Theta$ 上的线性连续半流，若映射 $\Phi :\Theta \times R_{+}\to \mathcal{B}\left(X\right)$ ， $\left(\theta ,t\right)\mapsto \Phi \left(\theta ,t\right)$ 满足

(i) $\Phi \left(\theta ,0\right)=I,\forall \theta \in \Theta$ ；

(ii) 对每个 $\theta \in \Theta$ 及 $x\in X$ ， $\Phi \left(\theta ,.\right)x$ 连续；

(iii) $\Phi \left(\theta ,t+s\right)=\Phi \left(\sigma \left(\theta ,t\right),s\right)\Phi \left(\theta ,t\right),\forall t,s\ge 0,\theta \in \Theta$ ；

(iv) $\exists \omega \in R$ 及 $M:\Theta \to R_{+}$ 使得对 $\forall t\ge 0,\theta \in \Theta$ 有 $\Vert \Phi \left(\theta ,t\right)\Vert \le M\left(\theta \right){\text{e}}^{\omega t}$ ，

则称 $\Phi$ 为强连续上闭链。

基于定义2.1与2.2，称 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 为定义在 $\epsilon =X\times \Theta$ 上的线性斜积半流，其中

$\pi :X\times \Theta \times R_{+}\to X\times \Theta ,\left(x,\theta ,t\right)\mapsto \pi \left(x,\theta ,t\right)=\left(\Phi \left(\theta ,t\right)x,\sigma \left(\theta ,t\right)\right).$ (1)

下面我们引入Lyapunov范数记号：

${\Vert x\Vert }_{\theta }=\underset{t\ge 0}{\sup }{\text{e}}^{-\omega t}\Vert \Phi \left(\theta ,t\right)x\Vert ,\forall \theta \in \Theta ,x\in X,$ (2)

注2.1 [10] $\forall \theta \in \Theta ,x\in X,t\ge 0$ ，有 ${\Vert \Phi \left(\theta ,t\right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,t\right)}\le {\text{e}}^{\omega t}{\Vert x\Vert }_{\theta }$ 。

定义2.3 [10] 若存在常数 $N,v>0$ 使得对 $\forall \theta \in \Theta ,x\in X,t\ge 0$ ，有

${\Vert \Phi \left(\theta ,t\right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,t\right)}\le N{\text{e}}^{-vt}{\Vert x\Vert }_{\theta }$ (3)

则称 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 称为非一致指数稳定的。

定义2.4 若存在常数 $N,v>0$ 使得对 $\forall \theta \in \Theta ,x\in X,t\ge 0$ ，有

${\Vert \Phi \left(\theta ,t\right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,t\right)}\ge N{\text{e}}^{vt}{\Vert x\Vert }_{\theta },$ (4)

则称 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 称为非一致指数膨胀的。

引理2.1 [10] $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数稳定的的充要条件为存在 $c\in \left(0,1\right)$ 和 $T>0$ ，使得对 $\forall \theta \in \Theta ,\forall x\in X$ ， $\exists t_{\theta ,x}\in \left(0,T\right]$ 满足

${\Vert \Phi \left(\theta ,t_{\theta ,x}\right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,t_{\theta ,x}\right)}\le c{\Vert x\Vert }_{\theta }.$ (5)

引理2.2 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀的充要条件为存在 $c>1$ 和 $T>0$ ，使得对 $\forall \theta \in \Theta$ ， $\forall x\in X$ ， $\exists t_{\theta ,x}\in \left(0,T\right]$ 满足

${\Vert \Phi \left(\theta ,t_{\theta ,x}\right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,t_{\theta ,x}\right)}\ge c{\Vert x\Vert }_{\theta }.$ (6)

3. 主要结论

定理3.1 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数稳定的充要条件为存在 $K>0$ 以及 $f\in \mathcal{F}$ 使得对 $\forall \theta \in \Theta$ ， $x\in X$ ，有

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left({\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,\mathcal{T}\right)}\right)\text{d}\tau }\le Kf\left({\Vert x\Vert }_{\theta }\right).$ (7)

证 必要性。取 $f\left(t\right)=t,K=N/v$ 即可，其中 $N,v$ 见定义2.3。

充分性。采用反证法。若 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 不是非一致指数稳定的，则由引理2.1可得，对任意 $c\in \left(0,1\right)$ 和 $T>0$ ，存在 $\theta \in \Theta$ ，以及 $x_0\in X$ ， ${\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}=1$ 使得对 $\forall \tau \in \left(0,T\right]$ 有

${\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}>c{\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}=c.$ (8)

从而借助式(7)，对所有的 $T>0$ 有

$\begin{array}{c}Kf\left(1\right)\ge {\displaystyle {\int }_0^{\infty }f}\left({\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}\right)\text{d}\tau \\ \ge {\displaystyle {\int }_0^{T}f}\left({\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}\right)\text{d}\tau \\ \ge {\displaystyle {\int }_0^{\infty }f}\left(c\right)\text{d}\tau \\ =Tf\left(c\right).\end{array}$

即 $T\frac{f\left(c\right)}{f\left(1\right)}\le K$ 对 $\forall c\in \left(0,1\right)$ 和 $\forall T>0$ 成立。现将c固定，令 $T\to \infty$ ，则 $K\ge \infty$ ，进而矛盾，故 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数稳定的。

注3.1 定理3.1可视作文献 [9] 中的定理3在非一致情形下的推广。

定理3.2 若单调不减函数 $\phi ,\psi :R_{+}\to R_{+}$ 满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }\phi \left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\psi \left(t\right)=\infty$ ，且对 $\forall \theta \in \Theta$ ， $\forall x\in X$ ，有

$\underset{t>0}{\sup }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\phi \left(\psi \left(\tau \right){\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,\tau \right)}\right)\text{d}\tau }<\infty .$ (9)

则 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数稳定的。

证 若 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 不是非一致指数稳定的，则由引理2.1可得，对任意 $c\in \left(0,1\right)$ 和 $T>0$ ，存在 ${\theta }_0\in \Theta$ 以及 $x_0\in X$ ， ${\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}=1$ 使得对所有的 $\tau \in \left(0,T\right)$ 有式(8)成立。由此根据式(9)可得，对所有的 $T>0$ 有

$\begin{array}{c}\rho :=\underset{t>0}{\sup }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\phi }\left(\psi \left(\tau \right){\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}\right)\text{d}\tau \\ \ge \underset{t\in \left(0,T\right]}{\sup }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\phi }\left(c\phi \left(\tau \right)\right)\text{d}\tau \\ \ge \frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T\phi }\left(c\phi \left(\tau \right)\right)\text{d}\tau .\end{array}$

故由L’Hospital法则可得

$\rho \ge \underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T\phi }\left(c\phi \left(\tau \right)\right)\text{d}\mathcal{T}=\underset{T\to \infty }{\lim }\phi \left(c\phi \left(\tau \right)\right)=\infty ,$

从而矛盾。故结论成立。

注3.2 定理3.2可视作文献 [9] 中的定理2在非一致情形下的推广。

定理3.3 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数稳定的充要条件为存在 $K,p>0$ ，以及 $\phi :R_{+}\to R_{+}$ 满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }\phi \left(t\right)=\infty$ ，使得对 $\forall \theta \in \Theta$ ， $\forall x\in X$ ，有

$\underset{t>0}{\sup }\frac{\phi \left(t\right)}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,\tau \right)}^p\text{d}\mathcal{T}}\le K{\Vert x\Vert }_{\theta }^p.$ (10)

证 必要性显然。令 $\phi \left(t\right)=t,K=\frac{N^P}{vp}$ 即可，其中 $N,v$ 见定义2.3。

充分性。若 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 不是非一致指数稳定的，则由引理2.1可得，对 $\forall c\in \left(0,1\right)$ 和 $\forall T>0$ ， $\exists {\theta }_0\in \Theta$ 及 $x_0\in X$ 使得对 $\forall \tau \in \left(0,T\right)$ 有

${\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}>c{\Vert x\Vert }_{{\theta }_0}.$

结合式(10)，有

$c^p{\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}^p\phi \left(T\right)<\frac{\phi \left(T\right)}{T}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,\tau \right)}^p\text{d}\mathcal{T}}\le K{\Vert x\Vert }_{{\theta }_0}^P.$

即 $c^p\phi \left(T\right)<K$ 对 $\forall c\in \left(0,1\right)$ 和 $\forall T>0$ 成立。现将c固定，令 $T\to \infty$ ，则 $\frac{K}{c^p}\ge \infty$ ，进而矛盾，故 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数稳定的。

注3.3 定理3.3可视作文献 [8] 中的定理2.1在非一致情形下的推广。

定理3.4 若对任一 $\left(\theta ,t\right)\in \Theta \times R_{+}$ ， $\Phi \left(\theta ,t\right)$ 为双射，则 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀的充要条件为存在 $K>0$ 及 $f\in \mathcal{F}$ 使得对 $\forall \theta \in \Theta$ ，有

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(\frac{1}{{\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,\tau \right)}}\right)\text{d}\mathcal{T}}\le Kf\left(\frac{1}{{\Vert x\Vert }_{\theta }}\right).$ (11)

证 必要性。取 $f\left(t\right)=t,K=\frac{1}{Nv}$ 即可，其中 $N,v$ 见定义2.4。

充分性。若 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 不是非一致指数膨胀的，则由引理2.2可得，对任意 $c<1$ 和 $T>0$ ，存在 ${\theta }_0\in \Theta$ 以及 $x_0\in X$ ， ${\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}=1$ 使得对 $\forall \tau \in \left(0,T\right)$ 有

${\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}<c{\Vert x\Vert }_{{\theta }_0}.$ (12)

从而借助式(11)，对所有的 $T>0$ 有

$\begin{array}{c}Kf\left(1\right)\ge {\displaystyle {\int }_0^{\infty }f}\left(\frac{1}{{\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}}\right)\text{d}\mathcal{T}\\ \ge {\displaystyle {\int }_0^{T}f}\left(\frac{1}{{\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}}\right)\text{d}\mathcal{T}\\ \ge {\displaystyle {\int }_0^{T}f}\left(\frac{1}{c}\right)\text{d}\tau \\ =Tf\left(\frac{1}{c}\right).\end{array}$

即 $T\frac{f\left(c^{-1}\right)}{f\left(1\right)}\le K$ 对 $\forall c<1$ 和 $\forall T>0$ 成立。现将固定c，令 $T\to \infty$ ，则 $K\ge \infty$ ，进而矛盾，故 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀的。

注3.4 定理3.4可视作文献 [9] 中的定理3在非一致膨胀情形下的变形。

定理3.5 若对任一 $\left(\theta ,t\right)\in \Theta \times R_{+}$ ， $\Phi \left(\theta ,t\right)$ 为双射，单调不减函数 $\phi ,\psi :R_{+}\to R_{+}$ 满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }\phi \left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\psi \left(t\right)=\infty$ 若对 $\forall \theta \in \Theta$ ， $\forall x\in X\backslash \left\{0\right\}$ ，有

$\underset{t>0}{\sup }\frac{1}{t}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\phi \left(\frac{\psi \left(\tau \right)}{{\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,\tau \right)}}\right)\text{d}\tau }<\infty$ (13)

则 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀的。

证 若 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 不是非一致指数膨胀的，由引理2.2可知对任意 $c>1$ 和 $T>0$ ，存在 ${\theta }_0\in \Theta$ 以及 $x_0\in X$ ， ${\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}=1$ 使得对所有的 $\tau \in \left(0,T\right]$ 有式(21)成立。由此结合式(13)可得，对所有的T > 0有

$\begin{array}{c}\rho :=\underset{t>0}{\sup }\frac{1}{t}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\phi \left(\frac{\psi \left(\tau \right)}{{\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}}\right)\text{d}\tau }\\ \ge \underset{t\in \left(0,T\right]}{\sup }\frac{1}{t}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\phi }\left(\frac{\psi \left(\tau \right)}{c}\right)\text{d}\tau \\ \ge \frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}\phi \left(\frac{\psi \left(\tau \right)}{c}\right)\text{d}\tau }\end{array}$

故由L’Hospital法则可得

$\rho \ge \underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}\phi \left(\frac{\psi \left(\tau \right)}{c}\right)\text{d}\tau }=\underset{T\to \infty }{\lim }\phi \left(\frac{\psi \left(T\right)}{c}\right)=\infty$

从而矛盾。故 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀的。

注3.5 定理3.5可视作文献 [9] 中的定理2在非一致膨胀情形下的变形。

定理3.6 若对任一 $\left(\theta ,t\right)\in \Theta \times R_{+}$ ， $\Phi \left(\theta ,t\right)$ 为双射，则 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀的充要条件为存在 $K,p>0$ ，以及 $\phi :R_{+}\to R_{+}$ 满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }\phi \left(t\right)=\infty$ ，使得对 $\forall \theta \in \Theta$ ， $\forall x\in X\backslash \left\{0\right\}$ ，有

$\underset{t>0}{\sup }\frac{\phi \left(t\right)}{t}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{\text{d}\tau }{{\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,\tau \right)}^p}}\le \frac{K}{{\Vert x\Vert }_{\theta }^p}$ (14)

证必要性显然，令 $\phi \left(t\right)=t,K=\frac{1}{vp{N}^p}$ 即可，其中 $N,\upsilon$ 见定义2.4。

充分性。若 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 不是非一致指数膨胀的，由引理2.2可知对任意 $c>1$ 和 $T>0$ ，存在 ${\theta }_0\in \Theta$ 以及 $x_0\in X\backslash \left\{0\right\}$ 使得对所有的 $\tau \in (0,T]$ 有

${\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}<c{\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}$ (15)

结合式(14)，有

$\frac{\phi \left(T\right)}{c^p{\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}^p}\le \frac{\phi \left(T\right)}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{\text{d}\tau }{{\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}^p}}\le \frac{K}{{\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}^p}$

这意味着， $\phi \left(T\right)<K{c}^p$ 对 $\forall c>1$ 和 $\forall T>0$ 成立。现将c固定，令 $T\to \infty$ ，则 $K{c}^p\ge \infty$ ，进而矛盾，故 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀的。

注3.6 定理3.6可视作文献 [8] 中的定理2.3在非一致情形下的推广。

定理3.7 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀的充要条件为存在 $K,p>0$ ，以及 $\phi :\left(0,\infty \right)\to \left(0,\infty \right)$ 满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }\phi \left(t\right)=0$ ，使得对 $\forall \theta \in \Theta$ ， $\forall x\in X$ ，有

$K{\Vert x\Vert }_{\theta }^p\le \underset{t>0}{\inf }\frac{\phi \left(t\right)}{t}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\Vert \Phi \left(\theta ,\tau \right)x\Vert }_{\sigma \left(\theta ,\tau \right)}^p\text{d}\tau }.$ (16)

证 必要性。取 $\phi \left(t\right)=\frac{t}{{\text{e}}^{vpt}-1},K=\frac{N^p}{vp}$ ，即可，其中详见定义2.4。

充分性。若 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 不是非一致指数膨胀的，由引理2.2可知对任意 $c>1$ 和 $T>0$ ，存在 ${\theta }_0\in \Theta$ 以及 $x_0\in X$ 使得对所有的 $\tau \in (0,T]$ 有式(15)成立。那么结合式(16)，有

$K{\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}^p\le \frac{\phi \left(T\right)}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\Vert \Phi \left({\theta }_0,\tau \right)x_0\Vert }_{\sigma \left({\theta }_0,\tau \right)}^p\text{d}\tau }<\phi \left(T\right)c^p{\Vert x_0\Vert }_{{\theta }_0}^p$

这意味着， $K<\phi \left(T\right)c^p$ 对 $\forall c>1$ 和 $\forall T>0$ 成立。现将c固定，并令 $T\to \infty$ ，则有 $\frac{K}{c^p}\le 0$ ，从而矛盾，故 $\pi =\left(\Phi ,\sigma \right)$ 是非一致指数膨胀。

注3.6 定理3.7可视作文献 [8] 中的定理2.4在非一致情形下的推广。

4. 总结与展望

本文主要研究了Banach空间上线性斜积半流非一致指数渐近行为的Datko型特征以及平均型特征。具体来讲，得到了2个Datko型刻画(定理3.1与定理3.4)与5个平均型刻画(定理3.2、定理3.3、定理3.5、定理3.6、定理3.7)，所得结果将部分一致情形下的结论推广到了非一致情形。后期我们将进一步研究线性斜积半流的其他非一致渐近行为，如非一致多项式稳定、膨胀、二分、三分等。

基金项目

湖北汽车工业学院大学生创新创业训练计划项目(No. DC2022096)。

文章引用

汪 婷,刘紫依,岳 田. 线性斜积半流非一致指数渐近行为的若干刻画
Some Characterizations of Nonuniform Exponential Asymptotic Behaviors for Linear Skew-Product Semi?ows[J]. 应用数学进展, 2023, 12(06): 2623-2629. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.126263

参考文献