贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳

收稿日期：2022年11月6日；录用日期：2022年12月6日；发布日期：2022年12月27日

摘要

本文对于求解板振动特征值问题，给出了基于Cialet-Raviart (C-R)混合方法移位反迭代的二网格离散化方法。利用我们的方案可知，求解细网格 ${\pi }_h$ 上的板振动特征值问题可以简化为求粗网格 ${\pi }_H$ 上的板振动问题和细网格上 ${\pi }_h$ 线性方程组的解。我们证明了当 $H>h\ge O\left(H^2\right)$ 时，求得的解仍然保持渐近最优精度。最后，我们用得到的数值结果表明了该方案的高效性。

关键词

二网格离散化，Ciarlet-Raviart混合方法，板振动特征值问题，移位反迭代

Two-Grid Method Based on Hybrid Scheme for Plate Vibration Eigenvalue Problem

Yunfei Zhang, Limei Duan, Liangkun Xu

School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou

Received: Nov. 6^th, 2022; accepted: Dec. 6^th, 2022; published: Dec. 27^th, 2022

ABSTRACT

In this paper, for plate vibration eigenvalue problem, we primarily give the two-grid discretization based on the shifted-inverse iteration of Ciarlet-Raviart mixed method. According to this scheme, the eigenvalue problem of plate vibration on ${\pi }_h$ grid can be simplified to the solution of plate vibration on ${\pi }_H$ grid and the solution of system of linear equations on ${\pi }_h$ grid. In this paper, it is proved that when $H>h\ge O\left(H^2\right)$, the solution still keeps asymptotically worst-case accuracy. Finally, the numerical results show the high efficiency of the proposed scheme.

Keywords:Two-Grid Dispersion, Ciarlet-Raviart Mixed Method, Plate Vibration Eigenvalue Problem, Shifted-Inverse Iteration

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

板振动特征值问题在物理科学中起到了十分重要的作用。C-R混合有限元法是处理四阶问题的一种合适的经典方法，由Glowinski和Mercier提出，然后由Ciarlet和Raviart进一步发展而来，之后该方法得到了广泛的关注和研究。在实际的计算中，我们希望在不损失精度的情况下，用更少的CPU时间得到近似解。为了满足这一要求，在有限元中引入了二网格和多网格离散化方法，这两种离散化方法具有较高的效率。Xu首先提出了非对称非线性椭圆问题的二网格离散化技术。后来，它被成功地应用于 [1] 中的特征值问题。在上述的工作基础上， [2] 提出了基于移位逆迭代的二网格离散化方法，随后将其应用于 [3] 中的Maxwell特征值问题、 [4] 中的Stokes特征值问题、 [5] 中的积分算子特征值问题等。 [6] 使用了基于移位逆迭代的多网格离散化方法。Boff将特征值问题的混合公式分为两类，上述的Stokes和Maxwell特征值问题的混合方法属于第一类，C-R混合公式属于第二类。C-R混合有限元法的误差分析是基于Ciarlet、Scholz和Falk-Osborn的论证，但并不是Brezzi-Babuska定理中的所有条件都成立。虽然二网格离散化的应用广泛，但移位反迭代的二网格离散化很少应用于第二类混合公式。本文主要讨论板振动特征值问题基于C-R混合方法移位反迭代的二网格离散化的研究。

2. 基础理论准备

考虑下面的特征值问题：

$\begin{array}{l}{\Delta }^{2}u=\lambda u,在\Omega 内\\ \Delta u=u=0,在\partial \Omega 上\end{array}$ (2.1)

令 $\Omega \subset R^2$，此时(2.1)是一个板振动特征值问题。定义以下内积：

$a\left(v,\psi \right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }v}\psi \text{d}x$，$b\left(\psi ,v\right)=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\nabla }\psi \cdot \nabla v\text{d}x$，$\left(\psi ,v\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\psi }v\text{d}x$

很明显我们能得到 $\left(\cdot ,\cdot \right)$ 是 $L^2\left(\Omega \right)$ 上的内积，我们用 ${\Vert f\Vert }_0$ 来表示f在 $L^2\left(\Omega \right)$ 空间中的范数，有 ${\left(\cdot ,\cdot \right)}^{1/2}$ 等价于 ${\Vert \cdot \Vert }_0$。

下面引出辅助变量，设 $\sigma =-\Delta u$，则(2.1)可以写成两个等价的拉普拉斯方程，当 $\Omega \subset R^d\left(d\ge 2\right)$，$u\in H^3\left(\Omega \right)$ 时，有：

$-\Delta u=\sigma$，在 $\Omega$ 内 $u=0$，在 $\partial \Omega$ 上 (2.2)

$-\Delta \sigma =\lambda u$，在 $\Omega$ 内 $\sigma =0$，在 $\partial \Omega$ 上 (2.3)

然后通过分部积分公式。得到如下关于(2.2)和(23)的C-R混合变分形式。

即寻找 $\left(\lambda ,\sigma ,u\right)\in R\times H_0^1\left(\Omega \right)\times H_0^1\left(\Omega \right)$，$\left(\sigma ,u\right)\ne \left(0,0\right)$ 有：

$a\left(\sigma ,\psi \right)+b\left(\psi ,u\right)=0,\forall \psi \in H_0^1\left(\Omega \right)$ (2.4)

$b\left(\sigma ,\phi \right)=-\lambda \left(u,\phi \right),\forall \phi \in H_0^1\left(\Omega \right)$ (2.5)

设P是单元上 $\kappa$ 满足包含 $P\supset P_m$ 的多项式空间， $P_m$ 是有两个变量并且次数 $\le m$ 的所有多项式的集合。上述有限元空间是拉格朗日有限元，本文设 $m\ge 2$。

将(2.4)和(2.5)限制在上述有限元空间，得到离散混合变分形式：

寻找 $\left({\lambda }_h,{\sigma }_h,u_h\right)\in R\times V_h\times V_h^0$ 且 $\left({\sigma }_h,u_h\right)\ne \left(0,0\right)$，有：

$a\left({\sigma }_h,\psi \right)+b\left(\psi ,u_h\right)=0,\forall \psi \in V_h$ (2.6)

$b\left({\sigma }_h,\phi \right)=-{\lambda }_h\left(u_h,\phi \right),\forall \phi \in V_h^0$ (2.7)

根据 [7] 第11节，我们定义相应的解算子如下：

$T:L^2\left(\Omega \right)\to H_0^1\left(\Omega \right)$，$S:L^2\left(\Omega \right)\to H_0^1\left(\Omega \right)$，对所有的 $f\in D$ 有：

$\begin{array}{l}a\left(Sf,\psi \right)+b\left(\psi ,Tf\right)=0,\forall \psi \in H_0^1\left(\Omega \right)\\ b\left(Sf,\phi \right)=-\left(f,\phi \right),\forall \phi \in H_0^1\left(\Omega \right)\end{array}$ (2.8)

$T_h:L^2\left(\Omega \right)\to V_h^0\subset H_0^1\left(\Omega \right)$，$S_h:L^2\left(\Omega \right)\to V_h\in H_0^1\left(\Omega \right)$，对所有的 $f\in D$ 有：

$a\left(S_{h}f,\psi \right)+b\left(\psi ,T_{h}f\right)=0,\forall \psi \in V_h$ (2.9)

$b\left(S_{h}f,\phi \right)=-\left(f,\phi \right),\forall \phi \in V_h^0$ (2.10)

定义 ${\mu }_k={\lambda }_k^{-1}$，${\mu }_{k,h}={\lambda }_{k,h}^{-1}$ 在接下来的讨论中，如果没有说明，则 $\mu ,{\mu }_h,\lambda ,{\lambda }_h$ 都表示第k个特征值。

假设 $\lambda$ 的代数多重度为q，有 $\lambda ={\lambda }_k={\lambda }_{k+1}={\lambda }_{k+2}=\cdot \cdot \cdot ={\lambda }_{k+q-1}$，设 $M\left(\lambda \right)$ 表示关于T的 $\lambda$ 的所有特征函数 ${\left\{u_j\right\}}_k^{k+q-1}$ 所张成的空间， $M_h\left(\lambda \right)$ 表示关于 $T_h$ 的所有收敛到 $\lambda$ 的特征函数 ${\left\{u_{j,h}\right\}}_k^{k+q-1}$ 所张成的空间，定义：

${\Vert {\left(T-T_h\right)|}_{M\left(\lambda \right)}\Vert }_s=\underset{u\in M\left(\lambda \right),u\ne 0}{\sup }\frac{{\Vert \left(T-T_h\right)u\Vert }_s}{{\Vert u\Vert }_s},s=0,1$ (2.11)

通过 [8] 中的推论2.1可得， ${\Vert T-T_h\Vert }_1\to 0\left(h\to 0\right)$ 和：

${\Vert {\left(T-T_h\right)|}_{M\left(\lambda \right)}\Vert }_0\le C{h}^{\alpha +\beta },{\Vert {\left(T-T_h\right)|}_{M\left(\lambda \right)}\Vert }_1\le C{h}^{\beta }$

由 [9] 中可知，我们有以下椭圆估计：

${\Vert Sg\Vert }_{1+\alpha }\le C_{\Omega ,\alpha }{\Vert g\Vert }_0,\forall g\in L^2\left(\Omega \right)$ (2.12)

$\alpha$ 通常属于 $\left(0,\text{1}\right]$，当区域为凸型时， $\alpha =1$ ；当区域为L型时， $\alpha \le \frac{2}{3}$。

引理2.1设 $\lambda$ 为(2.4)~(2.5)的第k个特征值，则 $M\left(\lambda \right)\subset H^{\beta +1}\left(\Omega \right)\left(\beta \le m\right)$ 且 $\left({\lambda }_h,{\sigma }_h,u_h\right)$ 是(2.6)~(2.7)的第k个特征对，有 ${\Vert u_h\Vert }_0=1$，存在关于 $\lambda$ 的一个特征函数 $\left(\sigma ,u\right)\left(\sigma =S\left(\lambda u\right)\right)$，${\Vert u\Vert }_0=1$ 有：

$\left|{\lambda }_h-\lambda \right|\le C{h}^{2\beta }$ (2.13)

${\Vert \sigma -{\sigma }_h\Vert }_0\le C{h}^{\alpha +\beta }$ (2.14)

${\Vert u-u_h\Vert }_0\le C{h}^{\alpha +\beta }$ (2.15)

${\Vert u-u_h\Vert }_1\le C{h}^{\beta }$ (2.16)

设 $u\in M\left(\lambda \right)$ 和 ${\Vert u\Vert }_0=1$，然后存在 $u_h\in M_h\left(\lambda \right)$ 有：

${\Vert u-u_h\Vert }_1\le C{h}^{\beta }$ (2.17)

证明. 通过 [10] 中的定理2.2和推论2.1可证。 $\square$

对于 $\left({\sigma }^{*},u^{*}\right)\in H^1\left(\Omega \right)\times H_0^1\left(\Omega \right)$，$u^{*}\ne 0$，定义瑞利商：

${\lambda }^r=\frac{a\left({\sigma }^{*},{\sigma }^{*}\right)+2b\left({\sigma }^{*},u^{*}\right)}{-\left(u^{*},u^{*}\right)}$ (2.18)

引理2.2假设 $\left(\lambda ,\sigma ,u\right)$ 是(2.4)~(2.5)的特征对，对于任意的 $\left({\sigma }^{*},u^{*}\right)\in H^1\left(\Omega \right)\times H_0^1\left(\Omega \right)$，$u^{*}\ne 0$，则有瑞利商 ${\lambda }^r$ 满足：

${\lambda }^r-\lambda =\frac{a\left({\sigma }^{*}-\sigma ,{\sigma }^{*}-\sigma \right)+2b\left({\sigma }^{*}-\sigma ,u^{*}-u\right)}{-\left(u^{*},u^{*}\right)}+\lambda \frac{\left(u^{*}-u,u^{*}-u\right)}{-\left(u^{*},u^{*}\right)}$ (2.19)

证明. 通过(2.4)和(2.5)，我们有：

$\begin{array}{l}a\left({\sigma }^{*}-\sigma ,{\sigma }^{*}-\sigma \right)+2b\left({\sigma }^{*}-\sigma ,u^{*}-u\right)+\lambda \left(u^{*}-u,u^{*}-u\right)\\ =a\left({\sigma }^{*},{\sigma }^{*}\right)+b\left({\sigma }^{*},u^{*}\right)+b\left({\sigma }^{*},u^{*}\right)+\lambda \left(u^{*},u^{*}\right)\\ -\left(a\left({\sigma }^{*},\sigma \right)+b\left(\sigma ,u^{*}\right)+b\left({\sigma }^{*},u\right)+\lambda \left(u^{*},u\right)\right)\\ -\left(a\left(\sigma ,{\sigma }^{*}-\sigma \right)+b\left({\sigma }^{*}-\sigma ,u\right)+b\left(\sigma ,u^{*}-u\right)+\lambda \left(u,u^{*}-u\right)\right)\\ =a\left({\sigma }^{*},{\sigma }^{*}\right)+2b\left({\sigma }^{*},u^{*}\right)+\lambda \left(u^{*},u^{*}\right)\end{array}$

然后对两边同除以 $-\left(u^{*},u^{*}\right)$ 就得到了(2.29)。 $\square$

在我们的分析中需要得出下面的结论。

引理2.3对于任意的 $f\in L^2\left(\Omega \right)$，我们有：

${\Vert T_{h}f\Vert }_1\le C{\Vert f\Vert }_0$ (2.20)

${\Vert S_{h}f\Vert }_0\le C{\Vert f\Vert }_0$ (2.21)

证明. 分别令(2.9)和(2.10)中的 $\psi =S_{h}f,\phi =T_{h}f$，我们有：

${\Vert S_{h}f\Vert }_0^2=\left(f,T_{h}f\right)\le C{\Vert f\Vert }_0{\Vert T_{h}f\Vert }_0\le C{\Vert f\Vert }_0{\Vert T_{h}f\Vert }_1$ (2.22)

令(2.9)中 $\psi =T_{h}f$，然后有：

${\Vert T_{h}f\Vert }_1^2\le -a\left(S_{h}f,T_{h}f\right)\le C{\Vert S_{h}f\Vert }_0{\Vert T_{h}f\Vert }_0$

对上式两边同除以 ${\Vert T_{h}f\Vert }_1$ 得到：

${\Vert T_{h}f\Vert }_1\le C{\Vert S_{h}f\Vert }_0$ (2.23)

将(2.23)带入(2.22)中得到(2.21)，将(2.21)带入(2.23)中得到(2.20)。 $\square$

3. 基于移位反迭代的二网格离散化方案

在本节中，我们将参考 [11] 针对板振动特征值问题C-R混合变分公式建立基于移位反迭代的二网格离散化方案。设 $V_H\in V_h\in H_0^1\left(\Omega \right)$，$V_H^0\in V_h^0\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 和 $h<H$。

方案3.1 (基于移位反迭代的二网格离散化)

第1步求解粗网格 ${\pi }_H$ 上的特征值问题(2.6)~(2.7)。寻找 $\left({\lambda }_H,{\sigma }_H,u_H\right)\in R\times V_H\times V_H^0$，${\Vert u_H\Vert }_0=1$ 满足：

$a\left({\sigma }_H,\psi \right)+b\left(\psi ,u_H\right)=0,\forall \psi \in V_H$ (3.1)

$b\left({\sigma }_H,\phi \right)=-{\lambda }_H\left(u_H,\phi \right),\forall \phi \in V_H^0$ (3.2)

第2步在细网格 ${\pi }_h$ 上解决这个方程：寻找 $\left({\sigma }^{\prime },u^{\prime }\right)\in V_h\times V_h^0$ 成立

$a\left({\sigma }^{\prime },\psi \right)+b\left(\psi ,u^{\prime }\right)=0,\forall \psi \in V_h$ (3.3)

$b\left({\sigma }^{\prime },\phi \right)+{\lambda }_H\left(u^{\prime },\phi \right)=-\left(u_H,\phi \right),\forall \phi \in V_h^0$ (3.4)

设 $u^h=\frac{u^{\prime }}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}$，${\sigma }^h=\frac{{\sigma }^{\prime }}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}$。

第3步计算瑞利商

${\lambda }^h=\frac{a\left({\sigma }^h,{\sigma }^h\right)+2b\left({\sigma }^h,u^h\right)}{-\left(u^h,u^h\right)}$

设 $\left({\lambda }_H,{\sigma }_H,u_H\right)$ 是(3.1)~(3.2)的第k个特征对，则方案(3.1)得到的 $\left({\lambda }^h,{\sigma }^h,u^h\right)$ 为(2.4)~(2.5)的第k个近似特征对。

虽然第2步中的系统几乎是奇异的，但求解(3.3)~(3.4)的系统并不困难，接下来将讨论3.1方案的效率，定义 $dist\left(u,W\right)=\underset{v\in W}{\inf }{\Vert u-v\Vert }_1$，以下的有效性引理将为我们在本文中的后续工作提供基础。

引理3.1设 $\left({\mu }_0,w_0\right)$ 是 $\left(\mu ,u\right)$ 的第k个近似特征对，其中 ${\mu }_0$ 不是 $T_h$ 的特征值， $w_0\in V_h^0$，$\Vert w_0\Vert =1$ 设 $u_0=\frac{T_h{w}_0}{{\Vert T_h{w}_0\Vert }_0}$ 假设：

(C1) $\underset{v\in M_h\left(\lambda \right)}{\inf }{\Vert w_0-v\Vert }_0\le \frac{1}{2}$ ；

(C2) $\left|{\mu }_0-\mu \right|\le \frac{\rho }{4}$，$\left|{\mu }_{j,h}-{\mu }_j\right|\le \frac{\rho }{4}$，$j=k-1,k,k+q\left(j\ne 0\right)$ 其中 $\rho =\underset{j\ne k}{\min }\left|{\mu }_j-\mu \right|$ 是特征值 $\mu$ 的第k个分隔常数；

(C3) 令 $u^{\prime }\in V_h^0$，$u^h\in V_h^0$ 满足

$\left({\mu }_0-T_h\right)u^{\prime }=u_0$，$u^h=\frac{u^{\prime }}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}$ (3.5)

然后有

$dist\left(u^h,M_h\left(\lambda \right)\right)\le \frac{C}{\rho }\underset{k\le j\le k+q-1}{\max }\left|{\mu }_0-{\mu }_{j,h}\right|dist\left(w_0,M_h\left(\lambda \right)\right)$ (3.6)

证明. 注意到关于 $T_h$ 的特征值函数 ${\left\{u_{j,h}\right\}}_1^d$ 可作为 $V_h^0$ 关于 $\left(\cdot ,\cdot \right)$ 的标准正交基。 $u_0={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{d}{\sum }}\left(u_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}}$ 由于 ${\mu }_0$ 不是 $T_h$ 的特征值，通过(3.5)，我们有

$\left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^{\prime }=\left({\mu }_0-{\mu }_h\right){\left({\mu }_0-T_h\right)}^{-1}{u}_0={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{d}{\sum }}\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left(u_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}$ (3.7)

使用三角不等式和(C2)条件有

$\begin{array}{l}\left|{\mu }_0-{\mu }_h\right|\le \left|{\mu }_0-\mu \right|+\left|\mu -{\mu }_h\right|\le \frac{\rho }{4}+\frac{\rho }{4}=\frac{\rho }{2}\\ \left|{\mu }_0-{\mu }_{j,h}\right|\ge \left|\mu -{\mu }_j\right|-\left|{\mu }_0-\mu \right|-\left|{\mu }_j-{\mu }_{j,h}\right|\ge \rho -\frac{\rho }{4}-\frac{\rho }{4}=\frac{\rho }{2}\end{array}$

当 $j=k-1,k+q\left(j\ne 0\right)$ 时，我们能得到

$\left|{\mu }_0-{\mu }_{j,h}\right|\ge \frac{\rho }{2},j\ne k,k+1,\cdots ,k+q-1$ (3.8)

由于 $T_h$ 对于 $\left(\cdot ,\cdot \right)$ 是自共轭的，并且有 $T_h{u}_h={\mu }_{j,h}{u}_h$，对于所有的 $j=1,2,\cdots ,d$ 成立

$\begin{array}{c}\left(T_h{\omega }_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}=\left({\omega }_0,T_h{u}_{j,h}\right)u_{j,h}=\left({\omega }_0,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right)u_{j,h}\\ =\left({\omega }_0,u_{j,h}\right){\mu }_{j,h}{u}_{j,h}=\left({\omega }_0,u_{j,h}\right)T_h{u}_{j,h}\end{array}$ (3.9)

注意到 ${\left\{u_{j,h}\right\}}_k^{k+q-1}$ 是 $M_h\left(\lambda \right)$ 的一个标准正交基，通过 $u_0=\frac{T_h{\omega }_0}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}$，(3.7)，(3.9)，(2.20)和(3.8)，我们可以推导

$\begin{array}{l}{\Vert \left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^{\prime }-{\displaystyle \underset{j=k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left(u_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_1\\ ={\Vert {\displaystyle \underset{j\ne k,k+1,\cdots ,k+q-1}{\sum }\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left(u_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_1\\ =\frac{1}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}{\Vert {\displaystyle \underset{j\ne k,k+1,\cdots ,k+q-1}{\sum }\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left(T_h{\omega }_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_1\\ =\frac{1}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}{\Vert T_h{\displaystyle \underset{j\ne k,k+1,\cdots ,k+q-1}{\sum }\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left({\omega }_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_1\\ \le \frac{C}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}{\Vert {\displaystyle \underset{j\ne k,k+1,\cdots ,k+q-1}{\sum }\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left({\omega }_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_0\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{2C}{\rho {\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}\left|{\mu }_0-{\mu }_h\right|{\left({\displaystyle \underset{j\ne k,k+1,\cdots ,k+q-1}{\sum }{\left({\omega }_0,u_{j,h}\right)}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le \frac{C}{\rho {\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}\left|{\mu }_0-{\mu }_h\right|{\Vert {\omega }_0-{\displaystyle \underset{j=k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left({\omega }_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}}\Vert }_0\\ =\frac{C}{\rho {\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}\left|{\mu }_0-{\mu }_h\right|\underset{v\in M_h\left(\lambda \right)}{\inf }{\Vert {\omega }_0-v\Vert }_0\\ \le \frac{C}{\rho {\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}\left|{\mu }_0-{\mu }_h\right|dist\left({\omega }_0,M_h\left(\lambda \right)\right)\end{array}$ (3.10)

对(3.7)两边取范数，通过 $u_0=\frac{T_h{\omega }_0}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}$ 和(3.9)，我们能得到

$\begin{array}{c}{\Vert \left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^{\prime }\Vert }_0=\frac{1}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}{\Vert {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{d}{\sum }}\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left(T_h{\omega }_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_0\\ =\frac{1}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}{\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{d}{\sum }}{\left(\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}\left({\omega }_0,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right)\right)}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \ge \frac{1}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}\underset{k\le j\le k+q-1}{\min }\left|\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}\right|{\left({\displaystyle \underset{j=k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left({\omega }_0,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{c}=\frac{1}{{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}\underset{k\le j\le k+q-1}{\min }\left|\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}\right|{\Vert {\omega }_0-\left({\omega }_0-{\displaystyle \underset{j=k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left({\omega }_0,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right)u_{j,h}}\right)\Vert }_0\\ \ge \frac{1}{2{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0}\underset{k\le j\le k+q-1}{\min }\left|\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}\right|\end{array}$ (3.11)

从(3.10)和(3.11)，我们能获得

$\begin{array}{c}dist\left(u^h,M_h\left(\lambda \right)\right)=dist\left(sign\left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^h,M_h\left(\lambda \right)\right)\\ \le {\Vert sign\left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^h-\frac{1}{{\Vert \left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^{\prime }\Vert }_0}{\displaystyle \underset{j=k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left(u_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_1\\ \le {\Vert \frac{\left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^{\prime }}{{\Vert \left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^{\prime }\Vert }_0}-\frac{1}{{\Vert \left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^{\prime }\Vert }_0}{\displaystyle \underset{j=k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left(u_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_1\\ \le 2{\Vert T_h{\omega }_0\Vert }_0\underset{k\le j\le k+q-1}{\max }\left|\frac{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}{{\mu }_0-{\mu }_h}\right|{\Vert \left({\mu }_0-{\mu }_h\right)u^{\prime }-{\displaystyle \underset{j=k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\frac{{\mu }_0-{\mu }_h}{{\mu }_0-{\mu }_{j,h}}}\left(u_0,u_{j,h}\right)u_{j,h}\Vert }_1\\ \le \frac{C}{\rho }\underset{k\le j\le k+q-1}{\max }\left|{\mu }_0-{\mu }_{j,h}\right|dist({\omega }_0,M_h(\; \lambda \; ))\end{array}$

证明完成。 $\square$

引理3.1适用于一般的离散混合公式，包括求解四旋度特征值问题的混合有限元法和求解Kirchhoff板振动问题的Hell-Herrmann-Johnson混合有限元法等，它对证明二网格近似 $u^h$ 的误差估计有重要作用。

定理3.1假定 $M\left(\lambda \right)\subset H^{\beta +1}\left(\Omega \right)$，设 $\left({\lambda }^h,{\sigma }^h,u^h\right)$ 是由方案3.1获得的第k个近似特征对，且H足够小，则存在 $u\in M\left(\lambda \right)$，$\sigma =S\left(\lambda u\right)$ 使

${\Vert u^h-u\Vert }_1\le C\left(H^{3\beta }+h^{\beta }\right)$ (3.12)

${\Vert {\sigma }^h-\sigma \Vert }_0\le C\left(H^{2\beta }+h^{\alpha +\beta }\right)$ (3.13)

${\Vert {\lambda }^h-\lambda \Vert }_0\le C{\left(H^{2\beta }+h^{\alpha +\beta }\right)}^2$ (3.14)

证明. 我们先使用引理3.1来证明(3.12)，要验证引理3.1的所有条件。首先，我们先证明引理3.1的条件(C1)成立。

设 $\left({\lambda }_H,{\sigma }_H,u_H\right)$ 由方案3.1的步骤1得到，选择 ${\mu }_0=\frac{1}{{\lambda }_H}$，${\omega }_0=u_H$ 有 $u_0=\frac{T_h{u}_H}{{\Vert T_h{u}_H\Vert }_0}$，使用三角不等式和(2.15)和(2.17)，我们可以推导出

$dist\left(u_H,M_h\left(\lambda \right)\right)\le {\Vert u_H-u\Vert }_1+dist\left(u,M_h\left(\lambda \right)\right)\le C{H}^{\beta }$ (3.15)

即条件(C1)成立。

第二，我们验证条件(C2)是正确的，根据(2.13)我们有

$\begin{array}{l}\left|{\mu }_0-\mu \right|=\frac{\left|{\lambda }_H-\lambda \right|}{{\lambda }_H\lambda }\le C{H}^{2\beta }\le \frac{\rho }{4}\\ \left|{\mu }_j-{\mu }_{j,h}\right|\frac{\left|{\lambda }_{j,h}-{\lambda }_j\right|}{{\lambda }_{j,h}{\lambda }_j}\le C{h}^{2\beta }\le \frac{\rho }{4}\end{array}$

即条件(C2)有效。

最后，我们验证条件(C3)，由(3.3)和(3.4)，我们可以推导

$\begin{array}{l}a\left({\sigma }^{\prime },\psi \right)+b\left(\psi ,u^{\prime }\right)=0,\forall \psi \in V_h\\ b\left({\sigma }^{\prime },\phi \right)=-\left(u_H+{\lambda }_H{u}^{\prime },\phi \right),\forall \phi \in V_h^0\end{array}$

由(2.9)和(2.10)可以得到

${\sigma }^{\prime }=S_h\left({\lambda }_H{u}^{\prime }+u_H\right)$ (3.16)

$u^{\prime }=T_h\left({\lambda }_H{u}^{\prime }+u_H\right)$ (3.17)

从(3.17)，我们可以推导

$\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)u^{\prime }={\lambda }_H^{-1}{T}_h{u}_H$，$u^h=\frac{u^{\prime }}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}$ (3.18)

注意到 ${\lambda }_H^{-1}{T}_h{u}_H={\Vert {\lambda }_H^{-1}{T}_h{u}_H\Vert }_0{u}_0$ 不同于 $u_0$ 的是仅相差一个常数，那么方案3.1的第2步等价于

$\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)u^{\prime }=u_0$，$u^h=\frac{u^{\prime }}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}$

从上面的论证我们可以看到引理3.1的所有条件都成立。

我们将利用引理3.1证明(3.12)是正确的，由于 $M_h\left(\lambda \right)$ 是一个维数为q的空间，必定有 $u^{*}\in M_h(\; \lambda \; )$

成立

${\Vert u^h-u^{*}\Vert }_1=dist\left(u^h,M_h\left(\lambda \right)\right)$ (3.19)

另外，对于 $k\le j\le k+q-1$，我们知道

$\left|{\mu }_0-{\mu }_{j,h}\right|=\left|\frac{1}{{\lambda }_H}-\frac{1}{{\lambda }_{j,h}}\right|\le \frac{\left|{\lambda }_H-{\lambda }_{j,h}\right|}{{\lambda }_H{\lambda }_{j,h}}\le C\left|{\lambda }_H-{\lambda }_{j,h}\right|\le C\left(\left|{\lambda }_H-\lambda \right|+\left|\lambda -{\lambda }_{j,h}\right|\right)\le C{H}^{2\beta }$ (3.20)

结合(3.19)将(3.20)和(3.15)代入(3.6)，得到

${\Vert u^h-u^{*}\Vert }_1=dist\left(u^h,M_h\left(\lambda \right)\right)\le C\underset{k\le j\le k+q-1}{\max }\left|{\mu }_0-{\mu }_{j,h}\right|dist\left(u_H,M_h\left(\lambda \right)\right)\le C{H}^{3\beta }$ (3.21)

通过(2.16)可知，存在一个 $u\in M\left(\lambda \right)$，使得 ${\Vert u^{*}-u\Vert }_1=dist\left(u^{*},M\left(\lambda \right)\right)$ 和 ${\Vert u^{*}-u\Vert }_1\le C{h}^{\beta }$，然后可得

${\Vert u^h-u\Vert }_1\le {\Vert u^h-u^{*}\Vert }_1+{\Vert u-u^{*}\Vert }_1\le C\left(H^{3\beta }+h^{\beta }\right)$ (3.22)

即(3.12)是有效的，接下来我们证明(3.13)。

由(2.16)和(2.17)，我们可知存在一个 $u_h\in M_h\left(\lambda \right)$ 满足

${\Vert u_H-u_h\Vert }_1\le C{H}^{\beta }+C{h}^{\beta }\le C{H}^{\beta }$

根据(2.20)和和自伴随算子范数的定义，我们可以推导

$\begin{array}{l}{\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}{T}_h\left(u_H-u_h\right)\Vert }_1\\ ={\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}\left[{\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_H,{\mu }_{j,H}{u}_{j,h}\right)u_{j,H}}-{\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right)u_{j,h}}\right]\Vert }_1\\ ={\Vert {\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_H,{\mu }_{j,H}{u}_{j,h}\right){\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}}{u}_{j,H}-{\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right){\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}}{u}_{j,h}\Vert }_1\\ \le {\Vert {\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_H,{\mu }_{j,H}{u}_{j,h}\right){\left({\lambda }_H^{-1}-{\lambda }_h^{-1}\right)}^{-1}}{u}_{j,H}-{\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right){\left({\lambda }_H^{-1}-{\lambda }_h^{-1}\right)}^{-1}}{u}_{j,h}\Vert }_1\end{array}$

$\begin{array}{l}={\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-{\lambda }_h^{-1}\right)}^{-1}{T}_h\left(u_H-u_h\right)\Vert }_1\\ \le C{\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-{\lambda }_h^{-1}\right)}^{-1}\left(u_H-u_h\right)\Vert }_0\\ \le C\left|{\left({\lambda }_H^{-1}-{\lambda }_h^{-1}\right)}^{-1}\right|{\Vert u_H-u_h\Vert }_0\\ \le C\frac{1}{\left|{\lambda }_H-{\lambda }_h\right|}{\Vert u_H-u_h\Vert }_0\end{array}$ (3.23)

从(3.18)，我们有

$u^{\prime }={\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}\left({\lambda }_H^{-1}{T}_h{u}_H\right)$ (3.24)

由于 $u_h\in M_h\left(\lambda \right)$ 和 ${\left\{u_{j,h}\right\}}_k^{k+q-1}$ 是 $M_h\left(\lambda \right)$ 的标准正交基，有

$T_h{u}_h=T_h{\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,u_{j,h}\right)}={\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,u_{j,h}\right)T_h{u}_{j,h}}={\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right)u_{j,h}}$

由此我们可以推导

$\begin{array}{c}{\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}{T}_h{u}_h\Vert }_0={\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}{\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right)u_{j,h}}\Vert }_0\\ ={\Vert {\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right){\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}}{u}_{j,h}\Vert }_0\\ ={\Vert {\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}\left(u_h,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right){\left({\lambda }_H^{-1}-{\lambda }_{j,h}^{-1}\right)}^{-1}}{u}_{j,h}\Vert }_0\\ ={\left\{{\displaystyle \underset{k}{\overset{k+q-1}{\sum }}{\left(u_h,{\mu }_{j,h}{u}_{j,h}\right)}^2}{\left|\frac{{\lambda }_{j,h}-{\lambda }_H}{\left(1-{\lambda }_H\right)\left(1-{\lambda }_{j,h}\right)}\right|}^{-2}\right\}}^{\frac{1}{2}}\\ \ge C\underset{k\le j\le k+q-1}{\min }\left\{\left|{\lambda }_H-{\lambda }_{j,h}\right|\right\}{\Vert T_h{u}_h\Vert }_0\\ \ge C{\Vert \frac{1}{{\lambda }_H-{\lambda }_h}{T}_h{u}_h\Vert }_0\end{array}$

将上述等式与(3.24)和(3.23)结合，可以推出

$\begin{array}{c}{\Vert u^{\prime }\Vert }_0={\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}\left({\lambda }_H^{-1}{T}_h{u}_H\right)\Vert }_0\\ ={\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}{\lambda }_H^{-1}{T}_h\left(u_H-u_h+u_h\right)\Vert }_0\\ \ge {\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}{\lambda }_H^{-1}{T}_h{u}_h\Vert }_0-{\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}{\lambda }_H^{-1}{T}_h\left(u_H-u_h\right)\Vert }_0\\ \ge C\left({\Vert {\left({\lambda }_H^{-1}-T_h\right)}^{-1}{\lambda }_H^{-1}{T}_h{u}_h\Vert }_0-\frac{1}{\left|{\lambda }_h-{\lambda }_H\right|}{\Vert u_H-u_h\Vert }_0\right)\\ \ge C{\Vert \frac{1}{{\lambda }_h-{\lambda }_H}{u}_h\Vert }_0\end{array}$ (3.25)

选择 ${\sigma }_h=S_h\left({\lambda }_h{u}^{*}\right)$ 和 $\sigma =S\left(\lambda u\right)$。从(3.16)和(2.21)、(3.25)、(2.13)、(2.13)、(3.21)以及 ${\sigma }^h=\frac{{\sigma }^{\prime }}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}$，可以推导

$\begin{array}{c}{\Vert {\sigma }^h-{\sigma }_h\Vert }_0={\Vert S_h\left(\frac{u_H}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}+{\lambda }_H{u}^h-{\lambda }_h{u}^{*}\right)\Vert }_0\\ \le C{\Vert \frac{u_H}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}+{\lambda }_H{u}^h-{\lambda }_h{u}^{*}\Vert }_0\\ \le C\left({\Vert \frac{u_H}{{\Vert u^{\prime }\Vert }_0}\Vert }_0+{\Vert {\lambda }_H{u}^h-{\lambda }_H{u}^{*}\Vert }_0+{\Vert {\lambda }_H{u}^{*}-{\lambda }_h{u}^{*}\Vert }_0\right)\\ \le C\left(\left|{\lambda }_H-{\lambda }_h\right|+{\Vert u^h-u^{*}\Vert }_0+\left|{\lambda }_H-{\lambda }_h\right|\right)\\ \le C\left(H^{2\beta }+H^{3\beta }\right)\le C{H}^{2\beta }\end{array}$ (3.26)