ABSTRACT

With the Chinese people’s living standards achieving a well-off level, the spiritual material is further protected, and the average life expectancy is extended gradually. Hence aging population appears inevitably, and other problems emerge with it. It is quite a challenge for a developing country, which is very difficult to deal with. In this paper, the ARIMA model is used to forecast the China’s aging population in a short term. We can find that the current situation of China’s population ageing is quite severe, and some policy suggestions are proposed aimed at solving the social problems currently produced from China’s aging population.

Keywords:Aging Population, Short-Term Prediction, ARIMA Model, Suggestion

基于ARIMA模型的中国老龄化人口 预测研究

李恩来

云南财经大学统计与数学学院，云南 昆明

收稿日期：2016年7月26日；录用日期：2016年8月9日；发布日期：2016年8月16日

摘 要

随着中国人民的生活水平达到小康水平，精神物质得到进一步保障，人口平均寿命逐渐向后延迟。人口老龄化问题必然出现，相继的问题也随之出现。这样的问题对于一个发展中国家来讲是非常有挑战性的，也是非常棘手的。本文利用ARIMA模型来对中国老龄化人口进行短期预测，通过对老龄人口的短期预测，我们可以发现目前我国的老龄化形势相当严峻，同时针对目前我国所面临的人口老龄化所产生的一些社会问题提供了一些政策性的建议。

关键词 :人口老龄化，短期预测，ARIMA模型，建议

1. 研究背景

人口老龄化通常是指人口生育率降低和人均寿命延长导致的总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态。其具有两个含义：一是指老年人口相对增多，在总人口中所占比例不断上升的过程；二是指社会人口结构呈现老年状态，进入老龄化社会。国际上通常看法是，当一个国家或地区60岁以上老年人口占人口总数的10%，或65岁以上老年人口占人口总数的7%，即意味着这个国家或地区的人口处于老龄化社会。本文选用65岁以上老年人口进行我国人口老龄化的研究。从新中国成立到现在，我国经济突发猛进的发展，我国人民的生活水平得到很大的提高，而且我国医疗水平也在不断地发展，导致我国人口平均寿命逐渐向后延迟，因此我国人口老龄化问题必然出现，这将导致我国一些社会问题相继随之出现。这些问题对于一个发展中的国家来说是赋有挑战性，也是非常棘手的问题。能否处理和解决好此问题，是关系我国能否顺利实现下个目标的关键。因此对我国人口老龄化预测就有重要的意义。

国外有许多的学者对人口老龄化的预测模型的研究，相比我国要早一些，国外研究是从John Graunt对人口预测模型的研究开始，其中他发布的关于人口预测的文章《死亡表的观察》比较著名，他在死亡表当中引进了一种新的比率，那就是死亡率，据此对以后人口的演变趋势进行预测。从而开创了人口预测的先河。随后日本的Ueda Masco以及瑞典的Grstav Sundbarg [1] 等人口学家在1898年都对人口老龄化问题做了进一步的研究，找出社会经济发展与人口老龄化之间的关系，从而做了更深入的研究。Grstav Sundbarg在研究人口预测的时候提出了一个新的假设条件：世界人口的生育率水平首先会随着时间的推移下降至更替水平，然后维持在这个水平长期保持不变。

国内也有许多的学者对人口老龄化的研究方法有很多种。尹春华 [2] 在2005年利用数据挖掘中的BP神经网络技术，构建了人口预测模型。安和平 [3] 在2005年研究了中国人口预测的自回归分布滞后模型。朱兴造 [4] 在2009年将人口预测模型中的自回归模型和经典的logistic离散模型进行了对比分析，并且对这两个模型理论进行了推广。甘蓉蓉 [5] 在2010年运用生态足迹法、灰色模型法和回归分析法对2015年汉中市总人口进行预测，并对预测结果进行比较分析；蒋远营 [6] 在2011年将人口发展方程模型应用到我国人口的预测中；任强 [7] 在2011年研究了人口预测的随机方法。陈毅华 [8] 在2012年运用径向基函数神经网络(Radial Basis Function, RBF)方法建立了人口老龄化的定量预测模型。

本文基于ARIMA模型对我国老龄化人口进行预测研究。主要因为我国老龄化人口可以看作一个不平稳的时间序列，而且ARIMA模型是一种精度较高的时序短期预测方法，能够从本质上认识时间序列的结构和特征，可以达到最小均方误差意义下的最有预测。

2. 数据分析

2.1. 数据来源及说明

本文所用的65岁及以上的人口数据来源于2015年中国统计年鉴。本文基于2015年中国统计年鉴上收集了我国1990~2014年的我国人口年龄结构数据(具体数据见表1)。可以通过表1，对我国人口老龄化的现状进行简单的了解。本文将1990~2012年的数据作为训练集，根据该数据建立预测模型，然后将2013~2014年的数据作为测试集，说明所建模型的预测效果。最后，对我国未来5年的人口老龄化情况做预测，进一步说明其未来发展趋势(数据来源网址：http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/2015/indexch.htm)。

2.2. 我国老龄化人口的现状分析

根据表1可以看出我国人口结构出现两头小中间大，青少年(0~14岁)人口数比重逐年在减少，而老龄人口(65岁以上)却在逐年在增加。按照国际上通常看法，我国早在2000年，老龄人口的比重就达到了7.0%。这说明我国早在2000年就进入了老龄化社会。而且我国中间人口(15~64岁)也逐年在增加，这势必会在加剧我国今后几十年老龄人口的增长速度，导致我国老龄化问题加剧。在1990~2014年期间，我国老龄化人口比重增加了4.6，平均每年老龄化人口比重增长约0.184。由此可见，我国老龄化人口在逐年增长，老龄化程度越来越严重。

2.3. 老龄化人口数据分析

根据1990~2014年我国老龄化人口数，做出其散点图，如图1所示。由图1，可以发现我国老龄化人口数呈逐年递增的趋势，而从老龄化人口所占比重来看，我国老龄化人口比重均在5.6%~6.9%之间，但是在2000年之后，我国老龄化人口均在7.0%之上。按照国际上通常看法，我国从2000年就开始进入了老龄化社会，而且我国老龄化程度在逐年加剧。我国老龄化人口逐年在增加，老龄化程度不断加剧，我国所面临的问题也越来越严峻。因此，对我国老龄化人口预测，这样有利于我国出台相应的政策来应对我国老龄化问题是很大的帮助。这就使得我国老龄化人口预测有重要的实际意义。

图1. 我国1990~2014年老龄化人口

表1. 中国1990~2014年历年人口结构数据(单位：万人)

3. 模型构建

3.1. ARIMA模型

自回归积分移动平均模型 [9] - [11] (Autoregressive Integrated Moving Average Model，简记ARIMA)是由Box 和Jenkins提出的一个著名时间序列预测方法，又称为Box-Jenkins模型。它作为一元时间序列分析中的经典模型，是时间序列分析中较为成熟和应用较为广泛的方法之一。由自回归AR(p)、差分I(d)和移动平均MA(q)三个部分组成，模型中p表示模型的自回归阶数、d表示非平稳资料转化成平稳资料的差分阶数、q表示模型移动平均阶数。ARIMA模型按照季节性波动分为非季节性ARIMA模型与季节性ARIMA模型。本文主要基于非季节性ARIMA模型进行建模。非季节性ARIMA模型表达式如下：

其中为所分析的时间序列，表示差分算子，表示后移算子，为常数项，属于白噪声，此时模型记为ARIMA(p, d, q)。由上面第一个式子可知，ARIMA模型的实质就是差分算子与ARMA模型的结合。其中上面第二个式子为平稳可逆ARMA(p, q)模型的自回归系数多项式，其中上面第三个式子为平稳可逆ARMA(p, q)模型的移动平均系数多项式。这一关系意义重大，这说明非平稳的序列可以通过适当阶数的差分实现差分后平稳，就可以对差分后的序列进行ARMA模型拟合。而如今ARMA模型的分析方法非常成熟，这意味着对差分后的平稳序列的分析也将是非常简单、极其可靠。需要特别指出的是：

当p = 0时，ARIMA(p, d, q)模型实际上就是IMA(d, q)模型。

当d = 0时，ARIMA(p, d, q)模型实际上就是ARMA(p, q)模型。

当q = 0时，ARIMA(p, d, q)模型实际上就是ARI(p, d)模型。

ARIMA(p, d, q)模型是指d阶差分后自相关最高的阶数为p，移动平均最高的阶数为q，模型通常包含p + q个独立的未知系数。

3.2. 模型的识别

ARIMA建模是把含有趋势的序列通过差分后转换为平稳的序列，对差分后平稳的序列拟合ARMA模型，这也就是指时间序列的平稳是模型建立的必要条件。本文通过时序图，自相关图以及纯随机性检验来确定序列的平稳性与平稳性的纯随机检验。在利用ARIMA模型时如何确定其阶数较为关键。常见的方法是Box-Jenkins定阶法，主要是根据样本自相关、偏相关函数的截尾与拖尾的性质初步判断序列的合适阶数(表2)。

利用自相关、偏相关函数的统计特性来判断模型的阶数，虽然简单，但是在在实践中却不是一件容易的事，同时也不能保证精确度。需要与其他模型定阶方法一起使用，提高精确度。本文选用AIC，BIC来提高模型的精准度。

4. 老龄化人口数据分析及预测结果

本次实验的数据是从中国2015年统计年鉴上收集而来的，本文将1990~2012年的数据作为训练集，而2013~2014年数据作为测试集。本文首先要对数据的平稳性与其纯随机性进行验证，在确保数据的平稳性和非纯随机性后，利用ARMA模型来拟合序列，其次根据Box-Jenkins定阶法和AIC以及BIC来进行模型丁阶，从而确定最优模型。然后利用测试数据来验证模型的优劣，最后进行我国今后五年的老龄化人口的预测。

4.1. 数据平稳性检验

本文首先通过时序图来看序列是否有明显的趋势，如果有明显的趋势，则可以说明该序列是非平稳序列，如果没有明显的趋势，那么需要通过自相关图来检验其是否为平稳序列，如果自相关系数随着延迟期数k的增加，自相关系数会很快地衰减向零，则是平稳序列，否则不是平稳序列。通过图1可以看出其时序图具有明显的上涨趋势。因此可以知道老龄化人口数据是非平稳序列。我们对该数据做一阶差分，得到一个新的序列，对新序列做时序图(见图2)，我们不能看出其具有明显的趋势，故需要做其自相关图进行判断其平稳性。通过其自相关图(见图3)，发现其衰减向零的速度比较快，故可以判断其为平稳

表2. 各个模型的自相关、偏相关函数的统计特性

图2. 老龄化人口一阶差分的时序图

图3. 老龄化人口一阶差分的自相关图

序列，故可以判断其为平稳序列。最后来验证其是否为纯随机性序列，检验结果见表3 ()，可以断定老龄化人口的一阶差分序列属于非白噪声序列。

4.2. ARMA模型拟合和模型识别

通过上面序列的平稳性检验，我们可以知道，通过做一阶差分序列就平稳了，现在我需要拟合老龄化人口一阶差分的数据，本文是基于极大似然估计方法对ARMA模型所涉及的参数进行估计，但是在估计参数之前我们需要对ARMA模型进行定阶数，本文基于Box-Jenkins定阶法，主要是利用自相关图以及偏自相关图来粗略定一个大概的阶数，然后通过AIC以及BIC来选择最优的ARMA模型，通过上面的自相关图(图3)可以看出有拖尾现象，通过下面的偏自相关图(图4)，可以看出也拖尾现象。因此本文选择ARMA模型，通过AIC和BIC在中选择最优模型，各个模型的AIC和BIC值本文就一一给出，仅给出最小五个的值，见表4，可以看出最优的模型是ARMA(1, 1)，可以得到其相应的表达式为：

4.3. ARIMA模型预测

根据上面的分析，可以知道最优的模型为ARIMA(1, 1, 1)，利用Matlab程序来预测2013年和2014年的我国老龄化人口，可知2013年和2014年的预测结果分别为13,049万人和13,657万人。我们可以算出其与2013年和2014年真实值相比都偏小，但是其绝对偏差均低于1% (分别为0.851%和0.713%)，下面是利用ARIMA(1, 1, 1)模型进行预测我国未来五年的老龄化人口，其结果见表5。

图4. 老龄化人口一阶差分的偏自相关图

表3. LB统计量检验结果

表4. ARMA模型的AIC和BIC值

表5. 2015~2019年我国老龄化人口数预测结果

5. 结论与建议

5.1. 结论

经过上面的分析，可以知道利用AMIMA(1, 1, 1)模型对我国老龄化人口(65岁及以上)进行预测，其预测精度相对比较高(测试集的绝对误差均在1%)。通过预测我国老龄化人口未来五年的预测，预测结果表明：随着时间的推移，我国老龄化人口的数量越来越多，呈逐年增加的趋势，这与我国现在人口结构有很大的关系，我国15~64岁的比重高达70%以上。这也我国的医疗越来越发达和我国人民生活水平的提高有关，从而导致我国人均寿命大幅度提高。但可以发现我国老龄化人口增长速度在下降，这主要与我国1971年实行计划生育政策有关，使得我国人口得到有效的控制。

5.2. 建议

随着我国人口老龄化加剧，这会导致许多的社会问题，比如：养老问题，通过上面的分析，可以发现虽然我国人口老龄化程度还在不断地加剧，但是我国老龄化人口的增长速度却在下降，这说明我国实施的计划生育控制我国人口增长的政策是有效的。既然我国人口老龄化是不可避免，那么就需要我们积极面对，首先我们应该完善我国各项养老保险制度，使得我们老有所养；适当地延迟退休年龄，以减轻国家的养老负担；适当地调整人口生育政策，以延迟老龄化人口峰值期的到来。大力促进老年产业的发展，这样不仅有利于我国经济的可持续发展，而且有利提高我国养老保障水平，从而缓解老年人所带来的养老负担。

文章引用

李恩来. 基于ARIMA模型的中国老龄化人口预测研究
Research on the Prediction of China’s Aging Population Based on ARIMA Model[J]. 老龄化研究, 2016, 03(01): 1-9. http://dx.doi.org/10.12677/AR.2016.31001

参考文献 (References)