Pure Mathematics
Vol.08 No.03(2018), Article ID:25070,6
pages
10.12677/PM.2018.83033
Simultaneous Approximation Properties of Complex Baskakov-Kantorovich Operators in Compact Disks
Wenxia Li, Qiulan Qi
College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei
Received: May 3rd, 2018; accepted: May 17th, 2018; published: May 25th, 2018
ABSTRACT
In this paper, the approximation properties of the Baskakov-Kantorovich operators in the complex space are studied according to the definition and properties of the operator in the complex space. We obtain the simultaneous approximation order for complex Baskakov-Kantorovich operators attached to entire functions or to analytic functions in compact disks.
Keywords:Baskakov-Kantorovich Operators, Simultaneous Approximation, Voronovskaja-Type Results
Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上的 同时逼近性质
李文霞,齐秋兰
河北师范大学数学与信息科学学院,河北 石家庄
收稿日期:2018年5月3日;录用日期:2018年5月17日;发布日期:2018年5月25日
摘 要
本文根据Baskakov-Kantorovich算子在复空间的定义及性质研究Baskakov-Kantorovich算子在复空间的逼近性质,得到了Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上的同时逼近性质。
关键词 :Baskakov-Kantorovich算子,同时逼近,Voronovskaja型结果
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
在复空间C上,令 , 表示 上解析函数空间。
函数 在 上连续,在 上解析。若 ,对所有的 ,有 ,其中 。则复的改进的Baskakov-Kantorovich型算子的定义为:
其中
[1] - [10]
引理1.1 [11] :[Cauchy积分公式]设区域D的边界是周线(或复周线) C,函数 在D内解析,在 上连续,则有
引理1.2 [11] :[泰勒展式]设 在区域D内解析, ,只要圆 含于D,则 在L内能展成幂级数
其中系数
且展式是惟一的。
定理1.1:设 且有界于 , ,若 ,对任意 以及 ,有
其中
定理1.2:设 且有界于 , ,若 ,对任意 以及 ,假设f在 上不是阶小于等于 的多项式,当引理2.2中级数收敛时,有
其中 依赖于f和 ,但 与无关。
推论:设 且有界于 , ,若 ,对任意 以及 ,假设f在 上不是阶小于等于 的多项式,当引理2.2中级数收敛时,有
其中 依赖于f和 ,但 与无关。
注:本文C表示不依赖于x或者z与n的常数,不同地方代表不同数值。
2. 重要引理
引理2.1 [12] :设 且有界于 , ,若 ,对任意 以及 ,有
其中
引理2.2 [12] :设 且有界于 , ,若 ,对任意 以及 ,有
其中
引理2.3 [12] :设 且有界于 , ,若 ,对任意 以及 ,有
其中 依赖于f和r,但与n无关。
3. 定理的证明
定理1.1的证明
证明:令 是以 为圆心,半径 的圆,对任意 和 ,此时, ,由高阶Cauchy积分公式得
命题得证。
定理1.2的证明
证明:对所有的 和 ,有
运用高阶Cauchy积分公式,可得:
所以对所有的 和 ,有
由引理2.2,对所有的 和 ,有
由f的假设条件,知 。事实上,若否,则任意 ,有 ,其中 为阶小于等于 的多项式,故 。令 ,对任意 ,有 ,由于 解析,令 代入上述微分方程,比较系数可知: 为阶小于等于 的多项式,故 为阶小于等于 的多项式,与假设矛盾。令 ,参照引理2.3证明过程(参见文献 [12] ),可以得到定理1.2。即存在一个整数 取决于 和 ,使得 ,有 。当 时类似可证。
基金项目
国家自然科学基金(10571040)。
文章引用
李文霞,齐秋兰. Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上的同时逼近性质
Simultaneous Approximation Properties of Complex Baskakov-Kantorovich Operators in Compact Disks[J]. 理论数学, 2018, 08(03): 259-264. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83033
参考文献
- 1. Ditzian, Z. and Totik, V. (1987) Modulus of Smoothness. Springer-Verlag, Berlin/New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4778-4
- 2. Guo, S. and Qi, Q. (2003) Strong Converse Inequalities for Baskakov Opera-tors. Journal of Approximation Theory, 124, 219-231. https://doi.org/10.1016/S0021-9045(03)00119-9
- 3. Ispir, N. (2007) Rate of Convergence of Generalized Rational Type Baskakov Operators. Mathematical and Computer Modelling, 46, 625-631. https://doi.org/10.1016/j.mcm.2006.11.025
- 4. Govil, N.K. and Gupta, V. (2008) Convergence Rate for Generalized Baskakov Type Operators. Nonlinear Analysis, 69, 3795-3801. https://doi.org/10.1016/j.na.2007.10.015
- 5. Gal, S.G. (2009) Ap-proximation by Complex Bernstein and Convolution-Type Operators. World Scientific Publ Co., Singapore, Hong Kong, London, New Jersey. https://doi.org/10.1142/7426
- 6. Mahmudov, N.I. and Kara, M. (2013) Approximation Theorems for Complex Szász-Kantorovich Operators. Journal of Computational Analysis and Applications, 15, 32-38.
- 7. Gal, S.G. and Opris, B.D. (2015) Approximation with an Arbitrary Order by Modified Baskakov-Type Operators. Applied Mathematics and Computation, 265, 329-332. https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.05.034
- 8. Gal, S.G. and Opris, B.D. (2016) Approximation of Analytic Functions with an Arbitrary Order by Generalized Baskakov-Faber Operators in Compact Sets. Complex Analysis and Operator Theory, 10, 369-377. https://doi.org/10.1007/s11785-015-0467-6
- 9. Gal, S.G., Mahmudov, N.I. and Opris, B.D. (2016) Approximation with an Arbitrary Order by Szász-Kantorovich and Baskakov Complex Operators in Compact Disks. Azerbaijan Journal of Mathematics, 6, 3-12.
- 10. Gal, S.G. and Gupta, V. (2014) Approximation by Complex Szasz-Durrmeyer Operators in Compact Disks. Acta Mathe-matica Scientia, 34B, 1157-1165. https://doi.org/10.1016/S0252-9602(14)60076-X
- 11. 钟玉泉. 复变函数论[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2004.
- 12. 李文霞, 齐秋兰. Baskakov-Kantorovich型算子在紧圆盘上的逼近性质[J]. 数学物理学报, 2018, 38A(4).