ABSTRACT

This paper primarily studies the decay of higher-order derivatives of the solution to the Cauchy problem on the compressible micropolar fluid system in ${ℝ}^3$ . The L² norm decay rates have been investigated by Liu and Zhang [1] . We show that the decay rate of the first order spatial derivatives of solution is ${(1+t)}^{-\frac{5}{4}}$ by applying the Fourier splitting method and have generalized the result of the paper [1] .

Keywords:Compressible Micropolar Fluids, Fourier Splitting Method, Optimal Time Decay

可压缩微极流体系统解的衰减估计

毛亮，刘青青^*

华南理工大学，数学学院，广东 广州

收稿日期：2018年12月24日；录用日期：2019年1月11日；发布日期：2019年1月18日

摘 要

本文主要研究了可压缩微极流体系统在 ${ℝ}^3$ 中柯西问题解的高阶导数的衰减估计。解的L²范数的衰减率已经被刘和张 [1] 研究，本文利用傅里叶变换的方法证明了该系统解的一阶导数的衰减率为 ${(1+t)}^{-\frac{5}{4}}$ ，推广了文 [1] 的结果。

关键词 :可压缩微极流体，傅里叶变换，衰减估计

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1. 前言

我们下面考虑的系统满足下列方程：

$\{\begin{array}{l}{\rho }_t+div\left(\rho u\right)=0,\\ {\left(\rho u\right)}_t+div\left(\rho u\otimes u\right)+\nabla p\left(\rho \right)=\left(\mu +\zeta \right)\Delta u+\left(\mu +\lambda -\zeta \right)\nabla divu+2\zeta \nabla \times \omega ,\\ {\left(\rho \omega \right)}_t+div\left(\rho u\otimes \omega \right)+4\zeta \omega ={\mu }^{\prime }\Delta \omega +\left({\mu }^{\prime }+{\lambda }^{\prime }\right)\nabla div\omega +2\zeta \nabla \times u.\end{array}$ (1.1)

该方程中的 $\rho =\rho \left(x,t\right)\ge 0,u=u\left(x,t\right)\in {ℝ}^3,\omega =\omega \left(x,t\right)\in {ℝ}^3$ 和 $p\left(\rho \right)$ 分别表示密度，速度，微自转速度和压力，其中 $\left(t,x\right)\in \left(0,+\infty \right)\times {ℝ}^3$ 。常数 $\mu ,\lambda ,{\mu }^{\prime },{\lambda }^{\prime },\zeta$ 是流体的一些粘性系数，并且满足 $\mu >0$ 、 $2\mu +3\lambda -4\zeta \ge 0$ 、 ${\mu }^{\prime }>0$ 、 $2{\mu }^{\prime }\text{+}3{\lambda }^{\prime }\ge 0$ 和 $\zeta >0$ 。

初始值为

$\left(\rho ,u,\omega \right)\left(0,x\right)=\left({\rho }_0,u_0,{\omega }_0\right)\left(x\right),x\in {ℝ}^3$ (1.2)

在无穷远处

$\left(\rho ,u,\omega \right)\left(t,x\right)\to \left(1,0,0\right)\left|x\right|\to \infty ,t\ge 0$ (1.3)

这个系统被称为微极流体模型，可以描述等熵可压缩微极流体的运动 [2] 。与经典的Navier-Stokes方程相比，这个模型引入了一种新的向量场，即粒子旋转的角速度场。在数学上，这种微旋转速度可能导致一些新的困难；物理上，微极流体可能代表由悬浮在粘性介质中的刚性、随机定向(或球形)粒子组成的流体，在这种介质中，粒子的形变被忽略，多元悬浮液、动物血液和液晶都是这种介质。

由于微极流体系统在数学和物理学的重要性，有非常多的文献研究了它的数学理论。对不可压缩的流体，也即是 $\rho$ 为常数， $\nabla \cdot u=0$ ，我们可以参考文献 [3] [4] [5] 。

对于可压缩的微极流体方程，Mujaković在一维空间或具有球对称的三维空间中，对该模型解的局部存在性、整体存在性和正则性做了一系列的研究 [6] - [12] 。其他作者，如陈 [13] 证明了初始带真空的一维模型强解的整体存在性。在三维模型中，陈、黄、张 [14] 证明了柯西问题强解的爆破准则。陈、徐、张 [15] 解决了具有真空和不连续初始值的整体弱解。Mujaković和她的合作者Dražić建立了可压缩的球对称、等方性、粘性和热传导的微极流体模型，对于这个模型他们分别先后证明了齐次边界条件下解的局部存在性，整体存在性，长时间行为和解的唯一性 [16] [17] [18] [19] 。

最近，刘和张 [1] 证明了该系统的平衡解的整体稳定性和最优衰减估计，主要结果如下。

引理1.1：当 $N\ge 4$ 时，存在 ${\delta }_0>0,C_0$ 使得

${\Vert \left[{\rho }_0-1,u_0,{\omega }_0\right]\Vert }_N\le {\delta }_0$ (1.4)

对于该微极流体系统的柯西问题(1.1)~(1.3)有唯一的整体解 $\left[\rho \left(t,x\right),u\left(t,x\right),\omega \left(t,x\right)\right]$ 满足

${\Vert \left[\rho \left(t\right)-1,u\left(t\right),\omega \left(t\right)\right]\Vert }_N^2+{\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert \nabla \rho \left(s\right)\Vert }_{N-1}^2+{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }_N^2+{\Vert \nabla \omega \left(s\right)\Vert }_N^2\right)}ds\le C_0{\Vert \left[{\rho }_0-1,u_0,{\omega }_0\right]\Vert }_N^2$ (1.5)

并且，存在 ${\delta }_1>0,C_1$ 使得

${\Vert \left[{\rho }_0-1,u_0,{\omega }_0\right]\Vert }_N\text{+}{\Vert \left[{\rho }_0-1,u_0,{\omega }_0\right]\Vert }_{L^1}\le {\delta }_1$ (1.6)

则 $\left[\rho \left(t,x\right),u\left(t,x\right),\omega \left(t,x\right)\right]$ 满足

$\Vert \left[\rho -1,u\right]\Vert \le C_1{\left(1+t\right)}^{-\frac{3}{4}},\Vert \omega \Vert \le C_1{\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}}$ (1.7)

注1.1：在本文中，我们假设 $N=4$ ，那么在引理1.1中，结合(1.4)和(1.5)可以得到

${\Vert \left[\rho \left(t\right)-1,u\left(t\right),\omega \left(t\right)\right]\Vert }_{H^4}^2\le C_0{\delta }_0^2$ (1.8)

这里我们用 $C_0{\delta }_0^2$ 代表小量 ${\epsilon }_0^2$ 。

受稳定性和 $L^2$ 范数衰减结果的影响，本文的主要工作是研究该微极流体系统解的一阶衰减估计。我们的主要结果是下面的定理。

定理1.1：假设初始值 $\Vert \left[{\rho }_0-1,u_0,{\omega }_0\right]\Vert \in H^4$ ，并且满足(1.1)~(1.3)中所有的条件，那么该微极流体系统柯西问题的整体解 $\left(\rho -1,u,\omega \right)$ 存在时间衰减估计为

$\Vert \nabla \left[\rho -1,u,\omega \right]\Vert \le C{\left(1+t\right)}^{-\frac{5}{4}}$ (1.9)

最后，我们需要引入时间球 $S_0$ 的概念，

$S_0:=\left\{\xi \in {ℝ}^3|\left|\xi \right|\le {\left(\frac{R}{1+t}\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}$

$S_0$ 在我们的证明中起到了非常重要的作用，它可以帮助我们通过使用低阶导数的衰减得到高阶导数的衰减估计，可以参看Navier-Stokes系统 [20] [21] 。本文用这种方法得到高阶导数的衰减估计。

注1.2：在本文中，我们用 $H^s\left({ℝ}^3\right)\left(s\in ℝ\right)$ 来表示通常意义下的Sobolev空间的范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{H^s}$ 和 $L^p\left({ℝ}^3\right)\left(1\le p\le \infty \right)$ 来表示通常意义下的 $L^p$ 空间的范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{L^p}$ 。我们定义

${\nabla }^{k}v=\left\{{\partial }_x^{\alpha }{v}_i|\left|\alpha \right|=k;i=1,2,3\right\},v=\left(v_1,v_2,v_3\right)$

为方便后面的使用，下面是一些需要用到的不等式。

引理1.2：若 $f\in H^4\left({ℝ}^3\right)$ ，那么我们有下列不等式：

$\begin{array}{l}(1){\Vert f\Vert }_{L^6}\le C{\Vert \nabla f\Vert }_{L^2}，\\ (2){\Vert f\Vert }_{L^p}\le C{\Vert f\Vert }_{H^1},2\le p\le 6,\\ (3){\Vert f\Vert }_{L^{\infty }}\le C{\Vert \nabla f\Vert }_{H^1}.\end{array}$ (1.10)

引理1.3：(Moser-type型积分不等式)若 $s\ge 1$ 是整数，那么就有

1) 对于 $f,g\in H^s\cap L^1$ 并且 $m\le s$ ，

${\Vert {\nabla }^m\left(fg\right)\Vert }_{L^2}\le C\left({\Vert f\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}g\Vert }_{L^2}+{\Vert g\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}f\Vert }_{L^2}\right).$ (1.11)

2) 对于 $f\in H^m,\nabla f\in L^{\infty },g\in H^{m-1}\cap L^{\infty }$ 并且 $m\le s$ ，

${\Vert {\nabla }^m\left(fg\right)-f{\nabla }^{m}g\Vert }_{L^2}\le C\left({\Vert \nabla f\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m-1}g\Vert }_{L^2}+{\Vert g\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}f\Vert }_{L^2}\right).$ (1.12)

2. 微极流体系统的线性化

问题重塑

假设稳态的微级流体系统是平凡的，取 $\rho \text{=}1,u\text{=}0,\omega \text{=}0$ 。令 $n=\rho -1$ 。

那么 $U:=\left[n,u,\omega \right]$ 满足

$n_t+divu=S_1,$ (2.1)

$u_t+\gamma \nabla n-\left(\mu +\zeta \right)\Delta u-\left(\mu +\lambda -\zeta \right)\nabla divu-2\zeta \nabla \times \omega =S_2,$ (2.2)

${\omega }_t+4\zeta \omega -{\mu }^{\prime }\Delta \omega -\left({\mu }^{\prime }+{\lambda }^{\prime }\right)\nabla div\omega -2\zeta \nabla \times u=S_3.$ (2.3)

这里的 $S_i\left(i=1,2,3\right)$ 分别为

$\{\begin{array}{l}{S}_1\text{=}-ndivu-u\cdot \nabla n,\\ S_2=-u\cdot \nabla u-f\left(n\right)\left[\left(\mu +\zeta \right)\Delta u+\left(\mu +\lambda -\zeta \right)\nabla divu+2\zeta \nabla \times \omega \right]-h\left(n\right)\nabla n,\\ S_3=-u\cdot \nabla \omega -f\left(n\right)\left[{\mu }^{\prime }\Delta \omega +\left({\mu }^{\prime }+{\lambda }^{\prime }\right)\nabla div\omega -4\zeta \omega +2\zeta \nabla \times u\right].\end{array}$ (2.4)

其中

初始值为

$\left(n,u,\omega \right)\left(x,0\right)=\left(n_0,u_0,{\omega }_0\right)\left(x\right).$

3. 证明定理1.1

引理3.1：在(1.1)~(1.3)式的条件下，我们有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla \left(\sqrt{\gamma }n,u,\omega \right)\Vert }_{H^3}^3+C_1{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{H^3}^2\text{+}{C}_2{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{H^3}^2\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{H^2}^2+C{\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}^2{\Vert \omega \Vert }_{L^2}^2.$ (3.1)

证明：对(2.1)，(2.2)，(2.3)式中左右两边同时关于空间求 $m\left(m=1,\text{2,3,4}\right)$ 阶空间导数，再分别乘以，然后在 ${ℝ}^3$ 上积分，我们可以得到

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2\text{+}\langle {\nabla }^{m}n,{\nabla }^m\nabla divu\rangle =\langle {\nabla }^{m}n,{\nabla }^m{S}_1\rangle ,\\ \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2\text{+}\gamma \langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m\nabla n\rangle -(\mu +\zeta )\langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m\Delta u\rangle \\ -\left(\mu +\lambda -\zeta \right)\langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m\nabla divu\rangle -\text{2}\zeta \langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m\nabla \times \omega \rangle \text{=}\langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m{S}_2\rangle \text{,}\\ \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2+4\zeta \langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m\omega \rangle -{\mu }^{\prime }\langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m\Delta \omega \rangle -({\mu }^{\prime }+{\lambda }^{\prime })\langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m\nabla divu\rangle \\ -\text{2}\zeta \langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m\nabla \times u\rangle =\langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m{S}_3\rangle .\end{array}$ (3.2)

然后将 $\gamma {\left(3.2\right)}_1,{\left(3.2\right)}_2和{\left(3.2\right)}_3$ 求和，我们可以得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\gamma {\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2\right)+\left(\mu +\zeta \right){\Vert {\nabla }^m\nabla u\Vert }_{L^2}^2\\ +\left(\mu +\lambda -\zeta \right){\Vert {\nabla }^{m}divu\Vert }_{L^2}^2+\text{4}\zeta {\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2+{\mu }^{\prime }{\Vert {\nabla }^m\nabla \omega \Vert }_{L^2}^2+\left({\mu }^{\prime }+{\lambda }^{\prime }\right){\Vert {\nabla }^{m}div\omega \Vert }_{L^2}^2\\ =4\zeta \langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m\nabla \times u\rangle +\gamma \langle {\nabla }^{m}n,{\nabla }^m{S}_1\rangle +\langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m{S}_2\rangle +\langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m{S}_3\rangle \end{array}$ (3.3)

根据柯西不等式，我们知道

$4\zeta \langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m\nabla \times u\rangle \le 4\zeta {\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2+\zeta {\Vert {\nabla }^m\nabla \times u\Vert }_{L^2}^2$ (3.4)

结合(3.3)和(3.4)，我们可以得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\gamma {\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2\right)+\mu {\Vert {\nabla }^m\nabla u\Vert }_{L^2}^2+\left(\mu +\lambda -\zeta \right){\Vert {\nabla }^{m}divu\Vert }_{L^2}^2+{\mu }^{\prime }{\Vert {\nabla }^m\nabla \omega \Vert }_{L^2}^2\\ +\left({\mu }^{\prime }+{\lambda }^{\prime }\right){\Vert {\nabla }^{m}div\omega \Vert }_{L^2}^2\le \gamma \langle {\nabla }^{m}n,{\nabla }^m{S}_1\rangle +\langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m{S}_2\rangle +\langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m{S}_3\rangle \end{array}$ (3.5)

第一步：我们处理 $\langle {\nabla }^{m}n,{\nabla }^m{S}_1\rangle$ 这一项。

1) 当 $m=1$ 时，根据分部积分法和引理(1.1)，我们可以得到

$\langle \nabla \left(ndivu\right),\nabla n\rangle =-\langle ndivu,{\nabla }^{2}n\rangle \le {\Vert n\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla divu\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla n\Vert }_{L^2}^2\le {\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}^2+{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2$ (3.6)

类似的，我们可以得到

$\langle \nabla \left(u\cdot \nabla n\right),\nabla n\rangle =-\langle u\cdot \nabla n,{\nabla }^{2}n\rangle \le {\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}^2$ (3.7)

结合(3.6)和(3.7)，可以得到

$\langle \nabla S_1,\nabla n\rangle \le {\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }^2{}_{L^2}+{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2$ (3.8)

2) 当 $m=2,3,4$ 时，利用Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以得到

$\langle {\nabla }^m\left(ndivu\right),{\nabla }^{m}n\rangle \le C{\Vert {\nabla }^m\left(ndivu\right)\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2$ (3.9)

对于第二部分

$\begin{array}{l}\langle {\nabla }^m\left(u\cdot \nabla n\right),{\nabla }^{m}n\rangle =\langle {\nabla }^m\left(u\cdot \nabla n\right)-u\cdot {\nabla }^m\nabla n,{\nabla }^{m}n\rangle +\langle u\cdot {\nabla }^m\nabla n,{\nabla }^{m}n\rangle \\ {\text{=I}}_1+{\text{I}}_2\end{array}$ (3.10)

利用柯西不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们有

$\begin{array}{c}{\text{I}}_1\le C\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m-1}\nabla n\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla n\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}\\ \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.11)

利用分部积分法和Hőlder不等式，可以得到

${\text{I}}_2\text{=}\langle u,\frac{1}{2}\nabla {\left|{\nabla }^{m}n\right|}^2\rangle =-\langle \nabla \cdot u,\frac{1}{2}{\left|{\nabla }^{m}n\right|}^2\rangle \le {\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2$ (3.12)

所以，结合(3.11)和(3.12)，可以得到

$\langle {\nabla }^m\left(u\cdot \nabla n\right),{\nabla }^{m}n\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2$ (3.13)

结合(3.9)和(3.13)，我们有

$\langle {\nabla }^m{S}_1,{\nabla }^{m}n\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2,\left(m=2,3,4\right)$ (3.14)

对 $\langle {\nabla }^m{S}_1,{\nabla }^{m}n\rangle$ 从 $m=1$ 到 $m=4$ 求和，根据(3.8)和(3.14)，可以得到

${\displaystyle \underset{m=1}{\overset{4}{\sum }}\langle {\nabla }^m{S}_1,{\nabla }^{m}n\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{H^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{H^3}^2}$ (3.15)

第二步：接下来处理 $\langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m{S}_2\rangle$ 这一项。

1) 当 $m=1$ 时，我们有

$\begin{array}{c}\langle \nabla u,\nabla S_2\rangle =-\langle \nabla \left(u\cdot \nabla u\right),\nabla u\rangle -\langle \nabla \left(n\Delta u\right),\nabla u\rangle -\langle \nabla \left(n\nabla divu\right),\nabla u\rangle \\ -\langle \nabla \left(n\nabla \times \omega \right),\nabla u\rangle -\langle \nabla \left(n\nabla n\right),\nabla u\rangle \\ \text{=}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}{\text{I}}_i}\end{array}$ (3.16)

利用分部积分法，Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以得到

$\begin{array}{l}{\text{I}}_1=\langle u\cdot \nabla u,{\nabla }^{2}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_2=\langle n\Delta u,{\nabla }^{2}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_3=\langle n\nabla divu,{\nabla }^{2}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_4=\langle n\nabla \times \omega ,{\nabla }^{2}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_5=\langle n\nabla n,{\nabla }^{2}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.17)

将(3.17)代入(3.16)中，我们可以得到

$\langle \nabla u,\nabla S_2\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}^2$ (3.18)

2) 当 $$ 时。首先利用柯西不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，可以得到

$\begin{array}{c}\langle {\nabla }^m\left(u\cdot \nabla u\right),{\nabla }^{m}u\rangle \le C\left({\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^m\nabla u\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}\\ \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.19)

同理，我们可以得到

$\begin{array}{l}\langle {\nabla }^m\left(n\nabla \times \omega \right),{\nabla }^{m}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}\omega \Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2\\ \langle {\nabla }^m\left(n\nabla n\right),{\nabla }^{m}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.20)

另一方面，我们需要处理 $\langle {\nabla }^m\left(n\Delta u\right),{\nabla }^{m}u\rangle$ 这一项。利用分部积分法，可以得到

$\begin{array}{c}\langle {\nabla }^m\left(n\Delta u\right),{\nabla }^{m}u\rangle =\langle {\nabla }^m\left[\nabla \left(n\cdot divu\right)-\nabla n\cdot divu\right],{\nabla }^{m}u\rangle \\ \text{=}\langle {\nabla }^m\left[\nabla \left(n\cdot divu\right)\right],{\nabla }^{m}u\rangle -\langle {\nabla }^m\left[\nabla n\cdot divu\right],{\nabla }^{m}u\rangle {\text{=I}}_1+{\text{I}}_2\end{array}$ (3.21)

再利用柯西不等式、Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以分别得到

$\begin{array}{c}{\text{I}}_1\le C\left({\Vert n\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m\text{+}1}u\Vert }_{L^2}+{\Vert divu\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}\\ \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_2\le C\left({\Vert \nabla n\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}+{\Vert divu\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}\\ \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.22)

将(3.22)代入到(3.21)中，得到

$\langle {\nabla }^m\left(n\Delta u\right),{\nabla }^{m}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2\text{+}C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2$ (3.23)

同理可以得到

$\langle {\nabla }^m\left(n\nabla divu\right),{\nabla }^{m}u\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2\text{+}C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2$ (3.24)

将 $\langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m{S}_2\rangle$ 从 $m=1$ 到求和，根据(3.18)，(3.19)，(3.20)，(3.23)，(3.24)得到

${\displaystyle \underset{m=1}{\overset{4}{\sum }}\langle {\nabla }^{m}u,{\nabla }^m{S}_2\rangle }\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{H^3}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{H^3}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{H^2}^2$ (3.25)

第三步：最后我们来处理 $\langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m{S}_3\rangle$ 这一项.

1) 当 $m=1$ 时，我们有

$\begin{array}{c}\langle \nabla \omega ,\nabla S_3\rangle =-\langle \nabla (u\cdot \nabla \omega ),\nabla \omega \rangle -\langle \nabla (n\Delta \omega ),\nabla \omega \rangle -\langle \nabla \left(n\nabla div\omega \right),\nabla \omega \rangle \\ -\langle \nabla (n\omega ),\nabla \omega \rangle -\langle \nabla (n\nabla \times u),\nabla \omega \rangle \\ \text{=}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}{\text{I}}_i}\end{array}$ (3.26)

类似于(3.17)，我们有

$\begin{array}{l}{\text{I}}_1\le {\Vert u\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_2\le {\Vert n\Vert }_{L^2}{\Vert \Delta \omega \Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_3\le {\Vert n\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla div\omega \Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_4\le {\Vert n\omega \Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}\le \epsilon {\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}^2+C{\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}^2{\Vert \omega \Vert }_{L^2}^2\\ {\text{I}}_5\le {\Vert n\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.27)

将(3.27)代入到(3.26)中得到

$\langle \nabla \omega ,\nabla S_3\rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{L^2}^2\text{+}C{\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}^2{\Vert \omega \Vert }_{L^2}^2$ (3.28)

2) 当 $2\le m\le 4$ 时。利用柯西不等式、Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，可以得到

$\begin{array}{c}\langle {\nabla }^m\left(u\nabla \omega \right),{\nabla }^m\omega \rangle \le C\left({\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^m\nabla \omega \Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}\\ \le \text{C}{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}u\Vert }_{L^2}^2+\text{C}{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}\omega \Vert }_{L^2}^2+\text{C}{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.29)

同理可以得到，

$\begin{array}{l}\langle {\nabla }^m\left(n\nabla \times u\right),{\nabla }^m\omega \rangle \le \text{C}{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}u\Vert }_{L^2}^2+\text{C}{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2+\text{C}{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2\\ \langle {\nabla }^m\left(n\omega \right),{\nabla }^m\omega \rangle \le \text{C}{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2+\text{C}{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.30)

对于 $\langle {\nabla }^m\left(n\Delta \omega \right),{\nabla }^m\omega \rangle$ 这一项，我们先用引理(1.1)和分部积分法来处理

$\begin{array}{c}\langle {\nabla }^m\left(n\Delta \omega \right),{\nabla }^m\omega \rangle \text{=}\langle {\nabla }^m\left(n\Delta \omega \right)-n{\nabla }^m\Delta \omega ,{\nabla }^m\omega \rangle +\langle n{\nabla }^m\Delta \omega ,{\nabla }^m\omega \rangle \\ \le C\left({\Vert \nabla n\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m-1}\Delta \omega \Vert }_{L^2}+{\Vert \Delta \omega \Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}+\langle n{\nabla }^m\Delta \omega ,{\nabla }^m\omega \rangle \\ \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}\omega \Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.31)

同样的我们可以得到

$\langle {\nabla }^m\left(n\nabla div\omega \right),{\nabla }^m\omega \rangle \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m+1}\omega \Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^m\omega \Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{m}n\Vert }_{L^2}^2$ (3.32)

将 $\langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m{S}_3\rangle$ 从 $m=1$ 到 $m=4$ 求和，根据(3.28)~(3.32)，得到

${\displaystyle \underset{m=1}{\overset{4}{\sum }}\langle {\nabla }^m\omega ,{\nabla }^m{S}_3\rangle }\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{H^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{H^3}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{H^3}^2+C{\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}^2{\Vert \omega \Vert }_{L^2}^2$ (3.33)

第四步：将(3.5)式左右两边从 $m=1$ 到 $m=4$ 求和，根据(3.15)、(3.25)和(3.33)，有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla \left(\sqrt{\gamma }n,u,\omega \right)\Vert }_{H^3}^3+C_1{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{H^3}^2\text{+}{C}_2{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{H^3}^2\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{H^2}^2+C{\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}^2{\Vert \omega \Vert }_{L^2}^2.$

引理3.2：在(1.1)~(1.3)式的条件下，我们可以得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{3}{\sum }}\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla n\rangle }\right)+\gamma {\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{H^2}^2\le C{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{H^3}^2+C{\Vert {\nabla }^2\omega \Vert }_{H^2}^2$ (3.34)

证明：在方程(2.2)式中，左右两边同时取 $m$ 阶导数，然后同时乘以 ${\nabla }^k\nabla n\left(k=1,2,3\right)$ ，得到

$\begin{array}{c}\langle {\nabla }^k{u}_t,{\nabla }^k\nabla n\rangle +\gamma {\Vert {\nabla }^k\nabla n\Vert }_{L^2}^2=\left(\mu +\zeta \right)\langle {\nabla }^k\nabla n,{\nabla }^k\Delta u\rangle +\left(\mu +\lambda -\zeta \right)\langle {\nabla }^k\nabla n,{\nabla }^{k}divu\rangle \\ \text{+2}\zeta \langle {\nabla }^k\nabla n,{\nabla }^k\nabla \times \omega \rangle +\langle {\nabla }^k\nabla n,{\nabla }^k{S}_2\rangle \end{array}$ (3.35)

为了处理掉 $\langle {\nabla }^k{u}_t,{\nabla }^k\nabla n\rangle$ 这一项，我们需要用到分部积分法和方程(2.1)

$\begin{array}{c}\langle {\nabla }^k{u}_t,{\nabla }^k\nabla n\rangle \text{=}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla n\rangle -\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla n_t\rangle \\ =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla n\rangle -\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla S_1\rangle +\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla divu\rangle \end{array}$ (3.36)

将(3.36)代入(3.35)中得到

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla n\rangle \text{+}\gamma {\Vert {\nabla }^k\nabla n\Vert }_{L^2}^2\text{=}{\Vert {\nabla }^{k}divu\Vert }_{L^2}^2\text{+}\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla S_1\rangle \text{+}\left(\mu +\zeta \right)\langle {\nabla }^k\nabla n,{\nabla }^k\Delta u\rangle \\ \text{+}\left(\mu +\lambda -\zeta \right)\langle {\nabla }^k\nabla n,{\nabla }^k\nabla divu\rangle \text{+2}\zeta \langle {\nabla }^k\nabla n,{\nabla }^k\nabla \times \omega \rangle \\ \text{+}\langle {\nabla }^k\nabla n,{\nabla }^k{S}_2\rangle \end{array}$ (3.37)

第一步：我们需要处理 $\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla S_1\rangle$ 这一项。当 $k=1$ 时，利用分部积分法和柯西不等式，得到

$\begin{array}{c}\langle \nabla u,\nabla \nabla S_1\rangle \text{=}-\langle \nabla divu,\nabla S_1\rangle =\langle \nabla divdivu,S_1\rangle \\ \text{=}\langle \nabla divdivu,ndivu\rangle +\langle \nabla divdivu,u\nabla n\rangle \\ \le {\Vert n\Vert }_{L^3}{\Vert divu\Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^{3}u\Vert }_{L^2}+{\Vert u\Vert }_{L^3}{\Vert \nabla n\Vert }_{L^6}{\Vert {\nabla }^{3}u\Vert }_{L^2}\\ \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{3}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.38)

当 $k=2,3$ 时，利用分部积分法和引理(1.1)~引理(1.3)得

$\begin{array}{c}\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla S_1\rangle \text{=}-\langle {\nabla }^{k}divu,{\nabla }^k{S}_1\rangle \\ =-\langle {\nabla }^{k}divu,{\nabla }^k(ndivu)\rangle -\langle {\nabla }^{k}divu,{\nabla }^k(u\cdot \nabla n)\rangle \\ \le C\left({\Vert \nabla n\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{k+1}u\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla divu\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^{k+1}u\Vert }_{L^2}\\ \text{+}C\left({\Vert \nabla u\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{k+1}n\Vert }_{L^2}+{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{H^1}{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^{k+1}u\Vert }_{L^2}\\ \le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{k+1}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{k+1}n\Vert }_{L^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.39)

对 $\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla S_1\rangle$ 从 $k=1$ 到 $k=3$ 求和，根据(3.38)和(3.39)得到

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{3}{\sum }}\langle {\nabla }^{k}u,{\nabla }^k\nabla S_1\rangle }\le C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}u\Vert }_{H^2}^2+C{\epsilon }_0{\Vert {\nabla }^{2}n\Vert }_{H^2}^2$ (3.40)