Pure Mathematics
Vol.
09
No.
06
(
2019
), Article ID:
31735
,
6
pages
10.12677/PM.2019.96098
Series Expansion of Generalized Ramanujan Constant
Xiaoyu Wang1, Peigui Zhou2, Fei Wang1*
1Teaching Section of Mathematics, Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou Zhejiang
2Keyi College of Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou Zhejiang
Received: Jul. 21st, 2019; accepted: Jul. 31st, 2019; published: Aug. 16th, 2019
ABSTRACT
In this paper, the authors present several kinds of series expansion expressions of generalized Ramanujan constant by the nth order derivative of . By these results, some known results about can be easily improved.
Keywords:Generalized Ramanujan Constant, Psi Function, Series Expansion
广义Ramanujan常数 的级数展开
王晓宇1,周培桂2,王飞1*
1浙江机电职业技术学院数学教研室,浙江 杭州
2浙江理工大学科技与艺术学院,浙江 杭州
收稿日期:2019年7月21日;录用日期:2019年7月31日;发布日期:2019年8月16日
摘 要
本文通过 的n阶导数,给出了广义Ramanujan常数 的不同类型的级数展开式,这些级数展开式可以改进 的一些已知结果。
关键词 :广义Ramanujan常数,Psi函数,级数展开
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
在本文中,对于正实数x和y,Γ-函数、B-函数以及ψ-函数分别定义 [1] 为:
(1.1)
令 ,是Euler-Mascheroni常数,则
(1.2)
在上定义Ramanujan常数 [2] [3] [4] 为:
(1.3)
当时,式(1.3)记为
,
结合式(1.2)~(1.3)知。
当时,式(1.3)记为
(1.4)
另外,Rieman-zeta函数
(1.5)
对,有下面一些常用到的等式:
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
.
众周所知,Ramanujan常数在零平衡的高斯超几何函数的研究中有着重要的应用,在特殊函数的一些其他领域也是必不可少的。而高斯超几何函数在特殊函数中有着极为重要的地位,与很多类型的特殊函数相关,它的性质和Γ-函数、B-函数以及ψ-函数密切相关,在研究这些函数的性质时经常用到Ramanujan常数,而的级数展开是重要而有效的研究工具 [5] [6] [7] [8] 。但目前的一些已知性质主要考虑的是的情况,本文的主要目的是建立广义Ramanujan常数(即的情形)的不同类型的级数展开。
2. 主要结果
本节给出主要结果,本节出现的均是。
首先,建立广义Ramanujan常数在点处的级数展开。
定理2.1. 设,广义Ramanujan常数有如下的级数展开式:
(2.1)
其中,。
下面的定理中给出的级数展开式。
定理2.2. 设,则有如下的级数展开式:
,(2.2)
其中,
.
下面的定理中,我们将展开成的级数。
定理2.3. 设,则有如下的级数展开式:
, (2.3)
其中,。
3. 主要结果的证明
本节给出定理2.1~2.3的证明。
定理2.1的证明:令
,则,,且
,
根据式(1.5)和(1.9)可知,
,
于是,
(3.1)
另外,由式(1.7)可知:
(3.2)
有:
(3.3)
由式(3.2)、(3.3)可得,
由可得出第二个等式
.
定理2.2的证明:令
由式(1.4)及(3.3)可将写成如下形式:
(3.4)
当时,式(3.4)化为
,
对求n阶导数,则
,
由式(3.4)和(1.9)可知:
(3.5)
因此,在处有如下的级数展开式:
.
由此可得式(2.2)中的第一个等式。根据可得式(2.2)中第二个等式。
定理2.3的证明:令,,
易知。由式(1.4)知,
(3.6)
根据式(3.3)及,可以写成
(3.7)
对求n阶导数,可得
(3.8)
其中
.
结合式(3.8),有如下的级数展开式:
(3.9)
由式(3.9),可直接证得等式(2.3)。
基金项目
浙江省教育厅科研基金项目(Y201635387),浙江机电职业技术学院科研项目(A027117021),浙江机电职业技术学院课堂教学改革项目(A015219393),浙江省高等学校访问学者项目(FX2018093)。
文章引用
王晓宇,周培桂,王 飞. 广义Ramanujan常数R(a,c-a)的级数展开
Series Expansion of Generalized Ramanujan Constant R(a,c-a)[J]. 理论数学, 2019, 09(06): 749-754. https://doi.org/10.12677/PM.2019.96098
参考文献
- 1. Abramwitz, M. and Stegun, I.A. (1965) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Dover Publications, New York, 253-294.
- 2. Qiu, S.L. and Vuorinen, M. (2005) Special Functions in Geometric Function Theory. In: Kühnau, R., Ed., Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory, Elsevier, Amsterdam, 621-659.
https://doi.org/10.1016/S1874-5709(05)80018-6 - 3. Anderson, G.D., Vamanamurthy, M.K. and Vuorinen, M. (1997) Con-formal Invariants, Inequalities, and Quasiconformal Maps. John Wiley & Sons, New York, 32-47.
- 4. Qiu, S.L. and Vuorinen, M. (2005) Some Properties of the Gamma and Psi Functions with Applications. Mathematics of Computation, 74, 723-742.
https://doi.org/10.1090/S0025-5718-04-01675-8 - 5. Anderson, G.D., Barnard, R.W., Richards, K.C., Vamanamurthy, M.K. and Vuorinen, M. (1995) Inequalities for Zero-Balanced Hypergeometric Functions. Transactions of the American Mathematical Society, 347, 1713-1723.
https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1995-1264800-3 - 6. Qiu, S.L. and Feng, B.P. (2007) Some Properties of the Ramanujan Constant. Journal of Hangzhou Dianzi University, 27, 88-91.
- 7. Zhou, P.G., Qiu, S.L., Tu, G.Y., et al. (2010) Some Properties of the Ramanujan Constant. Journal of Zhejiang Sci-Tech University, 27, 835-841.
- 8. Wang, M.K., Chu, Y.M. and Qiu, S.L. (2015) Sharp Bounds for Generalized Elliptic Integrals of the First Kind. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 429, 744-757.
NOTES
*通讯作者。