Pure Mathematics
Vol.
10
No.
04
(
2020
), Article ID:
35085
,
5
pages
10.12677/PM.2020.104041
Some Research on L-Semi-Topology Space
Fei Li, Peiyong Zhu
School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu Sichuan
Received: Mar. 22nd, 2020; accepted: Apr. 9th, 2020; published: Apr. 17th, 2020
ABSTRACT
Firstly, we explore the properties of point set on L-semi-topology space, discuss the properties of L-semi-topology subspace, and then get some results in the L-semi-topology space. On this basis, we discuss the comparison of L-semi-topology and L-semi-topology; thus, L-semi-topology theory is further enriched.
Keywords:L-Semi-Topology, L-Semi-Topology Subspace, L-Semi Topological Basis, L-Semi Topology Comparison
关于L-半拓扑空间上的一些探究
李飞,朱培勇
电子科技大学数学科学学院,四川 成都
收稿日期:2020年3月22日;录用日期:2020年4月9日;发布日期:2020年4月17日
摘 要
本文首先对L-半拓扑空间中的点集性质进行了研究,然后对L-半拓扑子空间的性质进行了研究,得到了L-半拓扑空间中的一些结果,在此基础上对L-半拓扑的比较、L-半拓扑基进行了讨论,从而进一步地丰富了L-半拓扑空间理论。
关键词 :L-半拓扑,L-半拓扑子空间,L-半拓扑基,L-半拓扑的比较
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言与预备知识
匈牙利数学家A. Csaszar 2002年在文献 [1] 中提出广义拓扑空间的概念,并且对广义拓扑空间的性质进行研究,此后不少学者也积极投入,例如文献 [2] - [9],在广义拓扑空间的点集性质、映射性质以及收敛性质等方面取得了一系列的研究成果。由于广义拓扑实际上是一类半拓扑,2015年文献 [10] 把广义拓扑重新命名为上半拓扑,进而引入了下半拓扑的概念,并且获得了关于下半拓扑中的一些很有意义的结果,在此,一个问题自然地被提出:
问题 能否类比文献 [10],将拓扑定义中(O1)、(O2)、(O3)三个条件(参见文献 [11])重新组合,将其重新分成两个半拓扑(左半拓扑和右半拓扑),进而得到一些比拓扑空间理论更弱的一些数学结果?
关于这个问题,文献 [12] [13] [14] [15] 做了一些工作。本文将在文献 [15] 的基础上对L-半拓扑进行更进一步研究。主要讨论了L-半拓扑空间中的点集性质、L-半拓扑的比较、L-半拓扑基。
下面是文献 [15] 引入关于L-半拓扑空间的一些基本概念。
1) 设X是任一非空集合, 是X的一些子集构成的集族,如果下列条件被满足:
(O1) ;(O2) 若 ,则 (其中 为任意指标集)。则称 为集合X的L-半拓扑,并且称有序偶 为一个L-半拓扑空间,集族 中的每一个集合都称为L-半拓扑空间
的L-开集。
2) 设 为L-半拓扑空间, ,如果 ,使得 ,则称U为点x的一个L-邻域,x点邻域的全体称为点x的L-邻域系,记作 ,并称 为由L-半拓扑 导出
的X的L-邻域系。
3) 设 为L-半拓扑空间, ,若 (即 ,使得 ),则称点x为点集A的L-内点。点集A的内点的全体称为A的内部,记为 或 。
4) 设 为L-半拓扑空间, ,如果 ,有 ,则称x为点集A的L-聚点,点集A的聚点的全体称为A的L-导集,记为 。
5) 设 为L-半拓扑空间, ,记 ,则称 为A的L-闭包。
6) 设 为L-半拓扑空间, 。若 ,则称F为X的L-闭集。
7) 设A为X中任意非空子集,并记 ,则 为A上的一个L-半拓扑,为此,称 为X上L-半拓扑 的一个子拓扑。其中 称为是 的L-半拓扑子空间,
为了方便,常常简称A为X的L-子空间。
如果没有特别声明,本文所涉及的一切概念、记号等都取自于文献 [15] 或者文献 [11]。
2. 关于L-半拓扑空间中的基本点集
首先,在文献 [15] 的基础上,我们有如下进一步的结果:
定理2.1 集合Χ上的任意两个L-半拓扑的交也是Χ上的一个L-半拓扑;集合Χ上的任意两个L-半拓扑的并不一定是Χ上的一个L-半拓扑。
证明:因为 且,则;,有且,则且,故。因此两个L-半拓扑的交仍是Χ上的一个L-半拓扑。
下面用反例说明:集合Χ上的任意两个L-半拓扑的并不一定是Χ上的一个L-半拓扑。
事实上,可取,,,则。显然,,故不是一个L-半拓扑。
定理2.2 设为L-半拓扑空间,,则(1)当且仅当;(2)必为闭集;(3)等于包含A的一切L-闭集的交。
证明:1) (必要性) 因为,则对,,使得,故x是A的L-内点,所以,。又因,故有;(充分性),即x是A的L-内点,故,使得。因此,。又因,故。
2) 反证:若不是闭集,则由文献 [15] 定理2.5,有;但又由文献 [15] 定理2.4的(LC3),有,这就产生矛盾。所以,必为闭集。
3) 因为是L-闭集并且,则;反过来,还需证明:,即需证:任何包含A的L-闭集F,必有。事实上,如果存在L-闭集,但,则。取,因为,所以,故。这与矛盾。即,从而。
下面是关于子空间的一个结果:
定理2.3 设A为X的L-子空间,B为A的L-子空间,则B为X的L-子空间。
证明:设为X上的一个L-半拓扑并且,我们只需证明。事实上,,使得。又对于,,使得。从而。所以。
反过来,,,使得,即使得,即。从而。因此是的L-子空间。
作为这一节最后,我们用下面例子说明:点x的L-邻域,未必一定是包含x的L-开集:
例2.4 设,容易验证:是X上一个L-半拓扑,且为点 的一个邻域,但U不是L-半拓扑空间中的L-开集。
3. L-半拓扑的比较
定义3.1 设是Χ上的两个L-半拓扑,如果,则称是比更粗的L-半拓扑,或称是比更细的L-半拓扑。
定理3.1 设是Χ上的两个L-半拓扑,与分别为 关于与的邻域系,则是比更粗的拓扑当且仅当,,使得。
证明:(必要性) 设,,,,使,因为,故,有。
(充分性)若,则有。由已知,,有。因此,使得,所以,从而。
推论3.2 设是Χ上的两个L-半拓扑,若,和分别是关于和的全体闭集构成的集族,则是比更粗的L-半拓扑当且仅当。
证明:(必要性),有,因,则,故,从而。
(充分性) 对于,有,因,则,故,因此,故是比更粗的L-半拓扑。
定理3.3 设是Χ上的两个L-半拓扑,若,则,有。反之,结论不成立。
证明:1) 设,对于,,,使得。因为,则并且,故,所以。
2) 反之,可取,,,则是Χ上的两个L-半拓扑,由L-半拓扑空间中邻域的定义有,,故又,,故,因此,但是。
推论3.4 设是Χ上的两个L-半拓扑,若,则,有。反之,结论不成立。
证明:1),,使得,又,因此,使得,则。
2) 反之可取,,,,则,,有,但,故反之结论不成立。
推论3.5 设是Χ上的两个L-半拓扑,若,则,有。反之,结论不成立。
证明:1),对于,有,又,故,有,则,因此。
2) 反之可取,,,,则,显然有,但,故反之结论不成立。
推论3.6 设是Χ上的两个L-半拓扑,若,则,有。反之,结论不成立。
证明:由推论3.5可知若,则有,又,,由此可得。
反之可取,,,,则,显然有,但,故反之结论不成立。
4. 关于L-半拓扑基以及L-半拓扑基的一些性质
定义4.1 设是L-半拓扑空间,,如果,存在,使得,则称 为L-半拓扑的一个基,为Χ的一个L-拓扑基。
定理4.1 设是一个L-半拓扑空间,为L-半拓扑的一个基当且仅当,,,使得。
证明 (必要性) 设为的一个基,即,,,使得,故,,使得。
(充分性),因为,,使得,故,由定义可知为的一个基。
在一般拓扑空间中有:
定理4.2 [11] 设是一个拓扑空间,为的一个基,则满足下面两个条件:(B1);(B2),,必,使得。
这两条性质在一般拓扑空间中成立,但在L-半拓扑空间中(B1)成立,(B2)不成立。
在L-半拓扑空间中,(B1)成立是不言而喻的。但是,(B2)是不成立的,下面举例子说明这个问题:
取,,则,存在,,,即不存在,使得,故(B2)不成立。
5. 小结
本文首先引入L-半拓扑的概念,然后讨论了L-半拓扑空间的中点集理论、L-半拓扑子空间的性质、L-半拓扑基的性质以及L-半拓扑的比较,并且获得了一些相应的成果,从而,使L-半拓扑的基本性质得到推广。同时,也通过反例举出了在拓扑空间上成立而在L-半拓扑空间中不成立的一些结果。
文章引用
李 飞,朱培勇. 关于L-半拓扑空间上的一些探究
Some Research on L-Semi-Topology Space[J]. 理论数学, 2020, 10(04): 325-329. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104041
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