Pure Mathematics
Vol.
10
No.
05
(
2020
), Article ID:
35582
,
10
pages
10.12677/PM.2020.105058
Representation of BiHom-Jordan Algebra
Chao Jia
School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning
Received: Apr. 18th, 2020; accepted: May 8th, 2020; published: May 15th, 2020
ABSTRACT
This article mainly introduces the definition, representation and
-operator of BiHom-Jordan algebra. Firstly, we give the definition of BiHom-Jordan algebra and its representation, the conditions for judging the representation of BiHom-Jordan algebra and an example of representation. At the same time, it is given that the dual mapping of BiHom-Jordan algebra representation is the condition that the representation satisfies. Secondly, we give the definition of BiHom-pre-Jordan algebra. The relation between BiHom-pre-Jordan algebra and BiHom-Jordan algebra is found. Finally, we give the definition of
-operator and Rota-Baxter operator on BiHom-Jordan algebra, and the relationship between
-operator on BiHom-Jordan algebra and BiHom-pre-Jordan algebra.
Keywords:BiHom-Jordan Algebra, BiHom-pre-Jordan Algebra,
-Operator, Rota-Baxter Operator
BiHom-Jordan代数的表示
贾超
辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连
收稿日期:2020年4月18日;录用日期:2020年5月8日;发布日期:2020年5月15日
摘 要
本文主要介绍了BiHom-Jordan代数的定义、表示和
-算子。首先,给出了BiHom-Jordan代数及其表示的定义和例子、BiHom-Jordan代数表示的等价条件,同时给出BiHom-Jordan代数表示的对偶映射是表示所满足的条件。其次,给出了BiHom-pre-Jordan代数的定义,找到BiHom-pre-Jordan代数与BiHom-Jordan代数之间的关系。最后,给出了BiHom-Jordan代数上的
-算子、Rota-Baxter算子的定义,以及BiHom-Jordan代数上的
-算子与BiHom-pre-Jordan代数之间的关系。
关键词 :BiHom-Jordan代数,BiHom-pre-Jordan代数,
-算子,Rota-Baxter算子
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1. 引言
Jordan代数是由物理学家P. Jordan在研究量子力学时所提出来的 [1],后来逐渐成为了一个独立的代数体系 [2] [3]。Jordan代数与李代数有密切的关系。在李代数中一个比较基本的问题是李代数上的经典Yang-Baxter方程,它对于构造李双代数有非常重要的作用。对于Jordan代数及pre-Jordan代数,许多学者也研究了它们的双代数结构以及与经典Yang-Baxter方程类似的方程 [4] [5]。作为Jordan代数的推广,BiHom-Jordan代数也是现在研究的热点,许多学者对它的结构作了研究 [6] [7],本文将进一步研究BiHom-Jordan代数的表示。
2. BiHom-Jordan代数的表示
本文所说的线性空间都指域F上的线性空间。
定义1.1 [6] 设J是线性空间,
,J中定义双线性代数运算
,若满足下面的条件
(1.1)
(1.2)
(1.3)
其中
,则称
是BiHom-Jordan代数。
注记1.1 等式(1.3)有以下等价形式
(1.4)
其中
。
证明:设
是BiHom-Jordan代数,
,由(1.3)得
故有(1.4)成立。反之,在(1.4)中,令
即可得(1.3)。
定义1.2 设
是BiHom-Jordan代数,V是一个线性空间,
且均可逆,
为线性映射,若满足
(1.5)
(1.6)
(1.7)
其中
,则称
为
的表示。
例1.3 设
是BiHom-Jordan代数且
均可逆,定义
,其中
,,则
为
的表示,称为伴随表示。
证明:由
是BiHom-Jordan代数可知
。由(1.4)和
的定义知
同理可得,
因此,
为
的表示。
命题1.4 设
是BiHom-Jordan代数,V是一个线性空间,
且
均可逆,
为线性映射,在
上定义
(1.8)
(1.9)
其中
,,则
为BiHom-Jordan代数的充分必要条件是
为
的表示。
证明:
,则
为BiHom-Jordan代数当且仅当在
上(1.1)~(1.3)成立。
由于在J上(1.2)成立,所以有
(1.10)
因此在
上(1.2)成立。
又由于
(1.11)
(1.12)
因此,在
上(1.1)成立当且仅当(1.5)成立,(1.3)成立当且仅当(1.6)和(1.7)成立。因此,命题成立。
设
,,定义线性映射
,,其中
命题1.5 设
是BiHom-Jordan代数,
为
的表示,则
为
的表示当且仅当
满足下列条件
(1.13)
(1.14)
其中
。
证明:
为
的表示当且仅当对于
有(1.5)~(1.7)成立。
,,,因为
由此可知(1.6)成立当且仅当(1.13)成立,(1.7)成立当且仅当(1.14)成立。因此,命题成立。
推论1.6 设
是BiHom-Jordan代数且
均可逆,则
是
的表示当且仅当下面的等式成立
(1.15)
(1.16)
其中
。
证明:由命题1.5,取
,利用
的定义可直接通过计算得出。
3. BiHom-pre-Jordan代数
定义2.1 设J是线性空间,J上有双线性的代数运算
, 且
均可逆,若满足下面的条件
(2.1)
(2.2)
(2.3)
其中
,则称
是BiHom-pre-Jordan代数。
定理2.2 设
是BiHom-pre-Jordan代数,在J上定义
(2.4)
则
是BiHom-Jordan代数。
证明:由(2.4)可知
经直接计算,可得
所以,
是BiHom-Jordan代数。
4. BiHom-Jordan代数的O-算子
定义3.1 设
是BiHom-Jordan代数,
为
的表示,如果线性映射
满足下面的条件
(3.1)
(3.2)
则称T为
上与表示
相关的一个O-算子。
定义3.2 设
是BiHom-Jordan代数且
均可逆,R是J上的线性变换,若满足下面的条件
(3.3)
(3.4)
则称R为
上的Rota-Baxter算子。
定理3.3 设
是BiHom-Jordan代数,
是它的表示,如果T是
上的与表示
相关的O-算子,在V上定义
(3.5)
则
是BiHom-pre-Jordan代数。
证明:由为
的表示知
并且有(1.6)、(1.7)成立。对任意的
,令
,,
,,经直接计算,可得
所以,
是一个BiHom-pre-Jordan代数。
5. 结论
本文给出了BiHom-Jordan代数表示和O-算子的定义,同时研究了BiHom-Jordan代数与BiHom-pre-Jordan代数之间的关系,但是没有给出BiHom-pre-Jordan代数的表示,未来还需要进一步研究。
文章引用
贾 超. BiHom-Jordan代数的表示
Representation of BiHom-Jordan Algebra[J]. 理论数学, 2020, 10(05): 478-487. https://doi.org/10.12677/PM.2020.105058
参考文献
- 1. Albert, A.A. (1947) A Structure Theory for Jordan Algebras. Annals of Mathematics, 48, 446-467.
- 2. Jacobson, N. (1968) Structure and Representations of Jordan Algebras. American Mathematical Society, Providence, Rhode Is-land.
- 3. Braun, H. and Koecher, M. (1966) Jordan-Algebren. Springer-Verlag, Berlin.
- 4. 候冬平. 预约当双代数和Loday代数的约当代数类似[D]: [博士学位论文]. 天津: 南开大学, 2010: 1-118.
- 5. Hou, D.P. and Bai. C.M. (2013) Pre-Jordan Algebras. Mathematica Scandinavica, 112, 19-48.
- 6. Chtioui, T., Mabrouk, S. and Makhlouf, A. (2018) BiHom-Alternative, BiHom-Malcev and BiHom-Jordan Algebras. arXiv:1811.10394 https://doi.org/10.1216/rmj.2020.50.69
- 7. Abdaoui, E.K., Ammar, F. and Makhlouf, A. (2017) Hom-Alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan Superalgebras. Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 40, 439-472. https://doi.org/10.1007/s40840-016-0323-5