青岛大学数学与统计学院，山东 青岛

收稿日期：2020年10月8日；录用日期：2020年10月23日；发布日期：2020年10月30日

摘要

本文介绍了与权函数相关的一维实变Q型空间 $Q_K^p\left(ℝ\right)$。本文利用Poisson积分，得到了 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 空间的Carleson型刻画。

关键词

$Q_K^p\left(ℝ\right)$ 空间，Poisson积分，Carleson测度

Carleson Type Characterization of One Dimensional Real Variable Q-Type Spaces Related to Weights

Xuan Chen

School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Oct. 8^th, 2020; accepted: Oct. 23^rd, 2020; published: Oct. 30^th, 2020

ABSTRACT

This paper introduces one-dimensional real variable Q-type spaces $Q_K^p\left(ℝ\right)$ related to weights. By the aid of Poisson integral, this paper establishes the Carleson type characterization of $Q_K^p\left(ℝ\right)$ .

Keywords:$Q_K^p\left(ℝ\right)$ Space, Poisson Integral, Carleson Measure

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

近年来，Q型空间作为有界平均振荡空间和Campanato-Morrey空间的推广被研究者们引入。在单位圆盘D上，Q型空间 $Q_p\left(D\right)$ 最初作为解析函数空间 $BMOA\left(D\right)$ 的Möbius不变子空间而被引入。2006年，Essén-Wulan-Xiao [1] 推广了 $Q_p\left(D\right)$，研究了与单位圆盘D上的权函数K相关的一类Q型空间。随后，Bao-Wulan在文献 [2] 和 [3] 中研究了 $Q_K\left(D\right)$ 空间相对应的实变形式 $Q_K\left({ℝ}^n\right)$。关于 $Q_K\left({ℝ}^n\right)$ 空间的更多研究见文献 [4] 和 [5]。

本文将一维 $Q_K\left(ℝ\right)$ 推广到一维 $Q_K^p\left(ℝ\right)$，$1<p<\infty$，定义如下：

定义1 令 $1<p<\infty$，$f\in L_{loc}^p\left(ℝ\right)$。若

${\Vert f\Vert }_{Q_K^p\left(ℝ\right)}^p=\underset{I\subseteq ℝ}{\sup }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}K\left(\frac{\left|x-y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}y}}<\infty$，

则称f属于 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 空间，其中 $K:\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是一个单调递增函数，I为 $ℝ$ 上的一个平行于坐标轴的线段， $\mathcal{l}\left(I\right)$ 表示I的长度。当 $p=2$ 时， $Q_K^p\left(ℝ\right)=Q_K\left(ℝ\right)$。

对于 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 空间非常重要的辅助函数定义为 ${\phi }_K\left(s\right)=\underset{0<t\le 1}{\sup }\frac{K\left(st\right)}{K\left(t\right)}$，$0<s<\infty$。在本文中，我们假设 ${\phi }_K$ 满足以下两个条件：

${\displaystyle {\int }_1^{\infty }\frac{{\phi }_K\left(s\right)}{s^p}\text{d}s}<\infty ,$ (1)

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\phi }_K\left(s\right)}{s^{p-1}}\text{d}s}<\infty .$ (2)

本文在第2节介绍了 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 空间上的一些基本性质，在第3节引入了Carleson型测度，并利用Poisson积分，得到了 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 空间的Carleson型刻画。

2. $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 的基本性质

$Q_K^p\left(ℝ\right)$ 与 $Q_K\left(ℝ\right)$ 有相同的辅助函数。在文献 [2] 中，我们知道 $Q_K\left(ℝ\right)$ 具有平移不变性，伸缩不变性和旋转不变性。类似可证这些性质在 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 上也成立，并且我们发现 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 是非平凡的。

定义1 令 $1<p<\infty$，$f\in L_{loc}^p\left(ℝ\right)$。若

${\Vert f\Vert }_{Q_{1-1/p}^p\left(ℝ\right)}^p=\underset{I\subseteq ℝ}{\sup }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}\text{d}x\text{d}y}}<\infty$，

则称f属于 $Q_{1-1/p}^p\left(ℝ\right)$ 空间，其中I为 $ℝ$ 上的一个平行于坐标轴的线段。

定理1令 $1<p<\infty$。 $Q_{1-1/p}^p\left(ℝ\right)\subseteq Q_K^p\left(ℝ\right)$，所以 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 是非平凡的。

证明 设I为 $ℝ$ 中的一条线段， $x,y\in I$，则有 $\left|x-y\right|\le l\left(I\right)$ 成立。因为K是一个增函数，所以 $K\left(\frac{\left|x-y\right|}{l\left(I\right)}\right)\le K\left(1\right)$。对于 $\forall f\in Q_{1-1/p}^p\left(ℝ\right)$，下式成立

${\displaystyle {\iint }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}K\left(\frac{\left|x-y\right|}{l\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}y}\le K\left(1\right){\displaystyle {\iint }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^p}\text{d}x\text{d}y}$。

所以， $Q_{1-1/p}^p\left(ℝ\right)\subseteq Q_K^p\left(ℝ\right)$。由 [6] 可知 $Q_{1-1/p}^p\left(ℝ\right)$ 是非平凡的，所以 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 也是非平凡的。

3. $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 空间的Carleson型刻画

在本节中，我们引入了 $K_p$ -Carleson测度，并用 $K_p$ -Carleson测度来刻画 $Q_K^p\left(ℝ\right)$ 空间。设I是 $ℝ$ 上任意一条平行于坐标轴的线段， ${ℝ}_{+}^2=\left\{\left(x,t\right):x\in ℝ,t>0\right\}$。Carleson方形 $S\left(I\right)$ 定义为 $S\left(I\right)=\left\{\left(x,t\right)\in {ℝ}_{+}^2:x\in I,0<t<\mathcal{l}\left(I\right)\right\}$。 $K_p$ -Carleson测度定义如下：

定义4设 $\mu \left(\cdot ,\cdot \right)$ 为 ${ℝ}_{+}^2$ 上的一个正Borel测度，若

$\underset{I\subseteq ℝ}{\sup }{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\mu \left(x,t\right)}<\infty$，

则称 $\mu \left(\cdot ,\cdot \right)$ 是 ${ℝ}_{+}^2$ 上的一个 $K_p$ -Carleson测度。

引理1 [7] 令 $1<p<\infty$，$1/p+1/q=1$，$0<b\le \infty$。设非负函数 $\mu$ 和 $\nu$ 在 $\left(0,b\right)$ 上可测，对于所有可测函数 $f\ge 0$，可得到以下Hardy型不等式：

(i) ${{\displaystyle {\int }_0^b\left({\displaystyle {\int }_0^{s}f\left(t\right)\text{d}t}\right)}}^p\mu \left(s\right)\text{d}s\le C{\displaystyle {\int }_0^b{f}^p\left(s\right)\nu \left(s\right)\text{d}s}$ 成立，当且仅当

$A:=\underset{0<s<b}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_s^b\mu \left(t\right)\text{d}t}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_0^s\nu {\left(t\right)}^{1-q}\text{d}t}\right)}^{1/q}<\infty$，

(ii) ${{\displaystyle {\int }_0^b\left({\displaystyle {\int }_s^{b}f\left(t\right)\text{d}t}\right)}}^p\mu \left(s\right)\text{d}s\le C{\displaystyle {\int }_0^b{f}^p\left(s\right)\nu \left(s\right)\text{d}s}$ 成立，当且仅当

$B:=\underset{0<s<b}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_0^s\mu \left(t\right)\text{d}t}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_s^b\nu {\left(t\right)}^{1-q}\text{d}t}\right)}^{1/q}<\infty$，

其中C取决于p，A或者B。

设f是 $ℝ$ 上的可测函数，且满足

${\displaystyle {\int }_{ℝ}\frac{\left|f\left(x\right)\right|}{1+{\left|x\right|}^2}\text{d}x}<\infty$， (3)

$P_t\left(x\right)=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{t}{t^2+{\left|x\right|}^2}$ 为Poisson核，记 $f\left(\cdot ,\cdot \right)$ 为f的Poisson积分， $f\left(x,t\right)={\displaystyle {\int }_{ℝ}{P}_t\left(x-y\right)f\left(y\right)\text{d}y}$，$\nabla f\left(x,t\right)=\left(\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x},\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial t}\right)$。

定理2令 $1<p<\infty$，$f\in L_{loc}^p\left(ℝ\right)$ 满足(3)式。若K满足条件(1)和(2)，那么 $f\in Q_K^p\left(ℝ\right)$ 当且仅当 ${\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}t$ 是 $K_p$ -Carleson测度。

证明 若K满足条件(1)和(2)，类似 [2] 中引理7和引理8的证明，可推出以下式子成立：

$\underset{0<s<1}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_s^1{t}^{-p}K\left(t\right)\text{d}t}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_0^s{\left(K\left(t\right)\right)}^{1/\left(1-p\right)}\text{d}t}\right)}^{\left(p-1\right)/p}<\infty$， (4)

$\underset{0<s<\infty }{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(t\right)\text{d}t}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }{t}^{p/\left(1-p\right)}{\left(K\left(t\right)\right)}^{1/\left(1-p\right)}\text{d}t}\right)}^{\left(p-1\right)/p}<\infty$。 (5)

(i) 充分性。设I是一条线段， $f\left(x,t\right)$ 为f的Poisson积分。由三角不等式可得

$\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}\frac{1}{{\left|y\right|}^p}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y}\lesssim M_1+M_2+M_3$，

其中，

$\{\begin{array}{l}{M}_1=\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{1}{{\left|y\right|}^p}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x,\left|y\right|\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y,}}\hfill \\ M_2=\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{1}{{\left|y\right|}^p}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y,\left|y\right|\right)-f\left(x+y\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y}}\hfill \\ M_3=\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{1}{{\left|y\right|}^p}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y,\left|y\right|\right)-f\left(x,\left|y\right|\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y.}}\hfill \end{array},$

对于 $M_1$，由Minkowski不等式可得

${\left({\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x,\left|y\right|\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}={\left({\displaystyle {\int }_I{\left({\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial t}\text{d}t}\right)}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\le {\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\left({{\displaystyle {\int }_I\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}}^p\text{d}x\right)}^{1/p}\text{d}t}$。

所以，由(4)和引理1可推出

$\begin{array}{c}{M}_1\le \underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}\frac{1}{{\left|y\right|}^p}{\left({\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}t}\right)}^p\text{d}y\\ \le \underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\mathcal{l}\left(I\right)K\left(r\right)}{r^p}}{\left({{\displaystyle {\int }_0^r\left({{\displaystyle {\int }_I\left|\nabla f\left(x,\mathcal{l}\left(I\right)s\right)\right|}}^p\text{d}x\right)}}^{1/p}\text{d}s\right)}^p\text{d}r\\ \lesssim \underset{I}{\sup }\mathcal{l}\left(I\right){\displaystyle {\int }_0^1\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla f\left(x,\mathcal{l}\left(I\right)r\right)\right|}^p\text{d}x}\right)K\left(r\right)\text{d}r}\\ \lesssim \underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}t<\infty .\end{array}$

对于 $M_2$，得到 $M_2\le \underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}\frac{1}{{\left|y\right|}^p}{\displaystyle {\int }_{3I}{\left|f\left(x,\left|y\right|\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y}\lesssim M_1<\infty$。

由Minkowski不等式，我们得到

$\begin{array}{c}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y,\left|y\right|\right)-f\left(x,\left|y\right|\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\le {\left({\displaystyle {\int }_I{\left({\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}\left|\nabla f\left(x+\frac{ty}{\left|y\right|},\left|y\right|\right)\right|\text{d}t}\right)}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla f\left(x+\frac{ty}{\left|y\right|},\left|y\right|\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\text{d}t}\\ \le \left|y\right|{\left({\displaystyle {\int }_{3I}{\left|\nabla f\left(x,\left|y\right|\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}.\end{array}$

所以，

$M_3\le \underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right){\displaystyle {\int }_{3I}{\left|\nabla f\left(x,\left|y\right|\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y}}\lesssim \underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^{p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}t}<\infty$。

综上所述， $\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}\frac{1}{{\left|y\right|}^p}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|}^p\text{d}x\text{d}y}<\infty$。所以， $f\in Q_K^p\left(ℝ\right)$。

(ii) 必要性。设I和J是 $ℝ$ 上以 $x_0$ 为中心的线段， $\mathcal{l}\left(J\right)=3\mathcal{l}\left(I\right)$。由(4)可推出

$\underset{0<s<1}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_s^1{t}^{-2p}K\left(t\right)\text{d}t}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle {\int }_0^s{t}^{p/\left(p-1\right)}{\left(K\left(t\right)\right)}^{1/\left(1-p\right)}\text{d}t}\right)}^{\left(p-1\right)/p}<\infty .$ (6)

由引理1，(5)和(6)，类似 [2] 中引理12的证明，我们可以得到

${\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^{p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}t}\lesssim A_1+A_2+A_3$，

其中

$\{\begin{array}{l}{A}_1={\displaystyle {\int }_{\left|y\right|\le \mathcal{l}\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_{x\in J}\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(x+y\right)\right|}^p}{{\left|y\right|}^p}K\left(\frac{\left|y\right|}{\mathcal{l}\left(J\right)}\right)\text{d}x\text{d}y,}}\hfill \\ A_2=\left({\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{1/8}^{\infty }\frac{K\left(t\right)}{t^p}\text{d}t}\right){\left(\mathcal{l}\left(J\right)\right)}^{1-p}{\displaystyle {\int }_{y\in J}{\left|f\left(y\right)-f_J\right|}^p\text{d}y}\hfill \\ A_3={\left(\mathcal{l}\left(J\right)\right)}^2{\displaystyle {\int }_0^{1}K\left(t\right)\text{d}t{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ\backslash \left(2/3\right)J}\frac{\left|f\left(y\right)-f_J\right|}{{\left|y\right|}^2}\text{d}y}\right)}^p.}\hfill \end{array},$

显然， $A_1\lesssim {\Vert f\Vert }_{Q_K^p\left(ℝ\right)}^p$。若 $\delta >0$ 足够的小， $z\in I$ 且 $\min \left\{\left|x-z\right|,\left|y-z\right|\right\}>\delta \mathcal{l}\left(I\right)$，易得

$C_{\delta }K\left(\delta \right)\left|I\right|\le {\displaystyle {\int }_{I}min\left(K\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right),K\left(\frac{\left|y-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\right)\text{d}z}$。

则

$\begin{array}{c}{A}_2\lesssim {\left(\mathcal{l}\left(J\right)\right)}^{-p-1}{\displaystyle {\int }_J{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^p\left({\displaystyle {\int }_I\min \left\{K\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right),K\left(\frac{\left|y-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\right\}\text{d}z}\right)\text{d}x\text{d}y}}\\ \lesssim {\displaystyle {\int }_J{\displaystyle {\int }_J\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(z\right)\right|}^p}{{\left|x-z\right|}^p}K\left(\frac{\left|x-z\right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}z}}\lesssim {\Vert f\Vert }_{Q_K^p\left(ℝ\right)}^p.\end{array}$

对于 $A_3$，有

$\begin{array}{c}{A}_3\lesssim {\left(\mathcal{l}\left(J\right)\right)}^2{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^k\mathcal{l}\left(J\right)\le \left|x-x_0\right|<2^{k+1}\mathcal{l}\left(J\right)}\frac{\left|f\left(x\right)-f_J\right|}{{\left|x-x_0\right|}^2}\text{d}x}}\right)}^p\\ \le {\left(\mathcal{l}\left(J\right)\right)}^2\{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(2^k\mathcal{l}\left(J\right)\right)}^{-2}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}J}\left|f\left(x\right)-f_{2^{k+1}J}\right|\text{d}x}}\\ +{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}{\left(2^k\mathcal{l}\left(J\right)\right)}^{-2}{\displaystyle {\int }_{2^{k+1}J}\left|f_{2^{i+1}J}-f_{2^{i}J}\right|\text{d}x}}}\}}^p\\ \lesssim {\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-2k/p}}{\Vert f\Vert }_{Q_K^p\left(ℝ\right)}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}{2}^{-k}\cdot 2^{i\left(1-2/p\right)}{\Vert f\Vert }_{Q_K^p\left(ℝ\right)}}}\right)}^p\\ \lesssim {\Vert f\Vert }_{Q_K^p\left(ℝ\right)}^p.\end{array}$

所以，

${\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla f\left(x,t\right)\right|}^{p}K\left(\frac{t}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}x\text{d}t}\lesssim {\Vert f\Vert }_{Q_K^p\left(ℝ\right)}^p$。

致谢

作者衷心感谢李澎涛教授对这一课题的指导和建议。

文章引用

陈 萱. 与权函数相关的一维实变Q型空间的Carleson型刻画
Carleson Type Characterization of One Dimensional Real Variable Q-Type Spaces Related to Weights[J]. 理论数学, 2020, 10(10): 990-995. https://doi.org/10.12677/PM.2020.1010116

参考文献