Cauchy-Schwarz不等式的证明与推广 Proof and Generalization of Cauchy-Schwarz Inequality

doi:10.12677/PM.2022.122036

Pure Mathematics
Vol. 12 No. 02 ( 2022 ), Article ID: 48972 , 6 pages
10.12677/PM.2022.122036

Cauchy-Schwarz不等式的证明与推广

刘鑫

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贵州师范大学，贵州贵阳

收稿日期：2022年1月15日；录用日期：2022年2月17日；发布日期：2022年2月24日

摘要

Cauchy-Schwarz不等式在数学领域中是一类重要的不等式。本文归纳了Cauchy-Schwarz不等式几种典型证明方法，并给出了其推广形式。

关键词

Cauchy-Schwarz不等式，积分不等式，判别式，矩阵

Proof and Generalization of Cauchy-Schwarz Inequality

Xin Liu

Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou

Received: Jan. 15^th, 2022; accepted: Feb. 17^th, 2022; published: Feb. 24^th, 2022

ABSTRACT

Cauchy-schwarz inequality is an important inequality in mathematics. In this paper, several typical proof methods of Cauchy-Schwarz inequality are summarized and their generalized forms are given.

Keywords:Cauchy-Schwarz Inequality, Integral Inequality, Discriminant, Matrix

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

柯西不等式是一类著名不等式 [1] [2]，在实数域或复数域上的内积空间 $Y$ ， $\exists x, y \in Y$ ， ${| (x, y) |}^{2} \leq {‖ x ‖}^{2} {‖ y ‖}^{2}$ 为Cauchy-Schwarz不等式最基本形式。此不等式在数学领域中有着广泛的应用，是区别于均值不等式的另一类重要不等式。通过变形可以推广出很多形式，从而应用在不同领域中。本文主要介绍了Cauchy-Schwarz不等式的离散形式与积分形式，并给出了几种具有代表性的证明方法，以便于对柯西不等式更好的理解。

2. Cauchy不等式的定理证明

2.1. 柯西不等式的离散形式

定理1 [3]：对 $\forall a_{i}, b_{i} \in R (i = 1, 2, \dots, n)$ ，有 ${(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2})$ 。等号成立的充要是， $\exists 实数 k \in R$ , $st a_{i} = k b_{i}$ ，即当 $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \dots \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 时等号成立。

引理1 [2] [4] 设矩阵 $A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ \dots & \dots \\ b_{n 1} & \dots & b_{n m} \end{matrix})$ ，令 $C = A B = C_{i j}$ , $C = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} b_{j i}$ ，则 $| C |$ 等于 $A$ 中所需要的 $m$ 阶子式与 $B$ 中对应同阶子式乘积和。

证法1 令矩阵 $A = (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots \\ b_{1} & b_{2} & \dots \end{matrix} & \begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix} \end{matrix})$ ， $A^{'} = (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ \dots & \dots \\ a_{n} & b_{n} \end{matrix} \end{matrix})$ ，则 $C = A A^{'} = (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} & \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} & \sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2} \end{matrix})$ 。

故 $| C | = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) - {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2}$ ，由引理 $| C | = \sum^{} | \begin{matrix} a_{i} & a_{j} \\ b_{i} & b_{j} \end{matrix} | | \begin{matrix} a_{i} & b_{i} \\ a_{j} & b_{j} \end{matrix} | = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} {(a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})}^{2} \geq 0$ 。

故 ${(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2})$ 。

证法2 [5] 构造二次函数

令

$\begin{matrix} f (x) = {(a_{1} x + b_{1})}^{2} + {(a_{2} x + b_{2})}^{2} + \dots + {(a_{n} x + b_{n})}^{2} \\ = (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) x^{2} + 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}) x + (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) \end{matrix}$

其中 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} \geq 0$ 。

又 $∵ \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \dots = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ $∴ f (x) \geq 0$

$∴ Δ = 4 {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2} - 4 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) \leq 0$ 恒成立

即 ${(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2})$ ，当且仅当 $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \dots = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 时等号成立。

引理2 在规定的欧式空间中，对 $\forall$ 两个向量，回顾两个性质：

1) 令 $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ , $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，有 $(α, β) = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n}$ 。

2) 在一个欧式空间里，对 $\forall$ 向量 $α, β$ 有不等式 ${(α, β)}^{2} \leq (α, α) (β, β)$ ，等号成立当且仅当 $α, β$ 线性相关。

证法3 通过欧式空间，取 $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ， $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ 则 ${(α, β)}^{2} = {(x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n})}^{2}$ ， ${(α, α)}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}$ ， ${(β, β)}^{2} = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \dots + y_{n}^{2}$ ，根据引理 ${(α, β)}^{2} \leq (α, α) (β, β)$ 可得 ${(x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) (y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \dots + y_{n}^{2})$ 等号成立当且仅当 $α, β$ 线性相关。

2.2. 柯西不等式的积分形式

定理2 [6] [7] (Cauchy-Schwarz不等式)设在 $[a f (x) 和 g (x), b]$ 上的实可积函数，则 ${(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq {(\int_{a}^{b} f (x) d x)}^{2} {(\int_{a}^{b} g (x) d x)}^{2}$ (当且仅当 $f (x), g (x)$ 线性相关时等号成立)。

证法1 $∵ f (x), g (x)$ 都在 $[a, b]$ 上可积，利用积分定义将 $[a, b]$ 区间 $n$ 等分

令 $x_{i} = a + \frac{i}{n} (b - a) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，由定积分的性质 $f^{2}$ , $f \cdot g$ ，在 $[a, b]$ 上均可积

$\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) g (x_{i}) \frac{b - a}{n}$

$\int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f {(x_{i})}^{2} \frac{b - a}{n}$

$\int_{a}^{b} g {(x)}^{2} d x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} g {(x_{i})}^{2} \frac{b - a}{n}$

由Cauchy-Schwarz不等式离散形式 ${(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2})$

得 ${(\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) g (x_{i}))}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} f {(x_{i})}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} g {(x_{i})}^{2})$ 并由极限的保号性证明成立即

${(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq {(\int_{a}^{b} f (x) d x)}^{2} {(\int_{a}^{b} g (x) d x)}^{2}$ 。

证法2(判别式法)

对 $\forall 实数 m$ ，有 $\int_{a}^{b} {(m f (x) + g (x))}^{2} d x \geq 0$

即

$m^{2} {(\int_{a}^{b} f (x) d x)}^{2} + 2 m \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x + {(\int_{a}^{b} g (x) d x)}^{2} \geq 0$

$∴ Δ = {(2 \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} - 4 {(\int_{a}^{b} f (x) d x)}^{2} {(\int_{a}^{b} g (x) d x)}^{2} \leq 0$

即 ${(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq {(\int_{a}^{b} f (x) d x)}^{2} {(\int_{a}^{b} g (x) d x)}^{2}$ 证明成立。

证法3 利用定积分的性质

令 $A \geq 0$ ，即 $A^{2} = \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

$B = {[\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x]}^{1 / 2} > 0$ 即 $B^{2} = \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x$ 其中 $f (x) \cdot g (x) \neq 0$

$(\frac{| f (x) |}{A} - \frac{| g (x) |}{B}) {[\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x]}^{1 / 2}^{^{2}} = \frac{f^{2} (x)}{A^{2}} + \frac{g^{2} (x)}{B^{2}} - \frac{2}{A B} | f (x) g (x) |$ 取积分

$\begin{matrix} \int_{a}^{b} {(\frac{| f (x) |}{A} - \frac{| g (x) |}{B})}^{2} d x = \int_{a}^{b} \frac{f^{2} (x)}{A^{2}} d x + \int_{a}^{b} \frac{g^{2} (x)}{B^{2}} d x - \frac{2}{A B} \int_{a}^{b} | f (x) g (x) | d x \\ = \frac{\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x}{A^{2}} + \frac{\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x}{B^{2}} - \frac{2}{A B} \int_{a}^{b} | f (x) g (x) | d x \\ = 2 - \frac{2}{A B} \int_{a}^{b} | f (x) g (x) | d x \geq 0 \end{matrix}$

化简得 $\frac{\int_{a}^{b} | f (x) g (x) | d x}{A B} \leq 1$ 因此 $\int_{a}^{b} | f (x) g (x) | d x \leq A B$

由 $A = {[\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x]}^{1 / 2}$ , $B = {[\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x]}^{1 / 2}$

代入得 $\int_{a}^{b} | f (x) g (x) | d x \leq {[\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x]}^{1 / 2} \cdot {[\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x]}^{1 / 2}$

因此 ${(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq (\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x) (\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x)$ 。

3. Cauchy-Schwarz不等式其他推广及应用

定理3 [8] 将不等式 ${(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)}^{2} \leq (\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x) (\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x)$ 改写成行列式的形式 $| \begin{matrix} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x & \int_{a}^{b} g (x) f (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x & \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x \end{matrix} | > 0$ ，再设另一函数 $u (x)$ ， $st f (x), g (x), u (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，那么 $| \begin{matrix} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x & \int_{a}^{b} g (x) f (x) d x & \int_{a}^{b} u (x) f (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x & \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x & \int_{a}^{b} u (x) g (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) u (x) d x & \int_{a}^{b} g (x) u (x) d x & \int_{a}^{b} u^{2} (x) d x \end{matrix} | \geq 0$ 。

证明对 $\forall 实数 m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ，有

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} {(m_{1} f (x) + m_{2} g (x) + m_{3} u (x))}^{2} d x \\ = m_{1}^{2} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x + m_{2}^{2} \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x + m_{3}^{2} \int_{a}^{b} u^{2} (x) d x + 2 m_{1} m_{2} \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x \\ + 2 m_{1} m_{3} \int_{a}^{b} f (x) u (x) d x + 2 m_{2} m_{3} \int_{a}^{b} g (x) u (x) d x \geq 0 \end{array}$

可以看到 $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ 的二次型为半正定二次型，从而系数矩阵行列式为

$| \begin{matrix} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x & \int_{a}^{b} g (x) f (x) d x & \int_{a}^{b} u (x) f (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x & \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x & \int_{a}^{b} u (x) g (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) u (x) d x & \int_{a}^{b} g (x) u (x) d x & \int_{a}^{b} u^{2} (x) d x \end{matrix} | \geq 0$ 。

引理3 [9] [10] $\forall α, β \geq 0$ 。 $α, β \in R$ 。有 $α β \leq \frac{α^{p}}{p} + \frac{β^{q}}{q}$ ， $(p, q > 1)$ ，且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 。

定理4

1) 在欧式空间 $R^{n}$ ，若 $ξ$ ， $η \in R^{n}$ ，则 ${(ξ, η)}^{2} \leq (ξ, ξ) (η, η)$ ，当且仅当线性相关时等号成立。

2) 设概率空间 $P$ 中， $\forall$ 随机变量 $ξ$ ， $η \in P$ 。有 ${| E ξ η |}^{2} \leq {| E ξ |}^{2} {| E η |}^{2}$ ，当且仅当 $η = C ξ$ 时，等号成立， $C$ 为任意常数。

证明 1) 设 $η \neq 0$ 。令 $m$ 是一个实数，作向量 $γ = ξ + m η$ ，不论 $m$ 取何值一定有

$(γ, γ) = (ξ + m η, ξ + m η) \geq 0$

即 $(ξ, ξ) + 2 (ξ, η) m + (η, η) m^{2} \geq 0$

取 $m = - \frac{(ξ, η)}{(η, η)}$ 代入(1)式得

$(ξ, ξ) - \frac{{(ξ, η)}^{2}}{(η, η)} \geq 0$

${(ξ, η)}^{2} \leq (ξ, ξ) (η, η)$

证明成立。

2) 当 $E (ξ^{2}) = 0$ 时， $ξ = 0$ ，故 $E (ξ η) = 0$ 不等式成立；当 $E (ξ^{2}) > 0$ 时，令 $f (t) = E [{(t ξ - η)}^{2}] = t^{2} E (ξ^{2}) - 2 t E (ξ, η) + E (η^{2}) \geq 0$ ，其中 $f (t)$ 大于等于0，于是 $Δ = 4 {(E ξ η)}^{2} - 4 E (ξ^{2}) E (η^{2}) \leq 0$ ，即 ${(E ξ η)}^{2} \leq E (ξ^{2}) E (η^{2})$ ，证明成立。

定理5 [11] 对 $\forall ξ_{k}$ ， $η_{k} \in C (k = 1, 2, \dots, n)$ ，有 $\sum_{i = 1}^{n} | ξ_{k} | | η_{k} | \leq {(\sum_{k = 1}^{n} {| ξ_{k} |}^{p})}^{1 / p} \cdot {(\sum_{k = 1}^{n} {| η_{k} |}^{q})}^{1 / q}$ ， $(p > 1, q > 1 且 \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1)$ 。

证明当 $ξ = η = 0 (k = 1, 2, \dots, n)$ 时，结论成立。设 $ξ$ 不全为0， $η$ 也不全为零，由引理3，得

$\begin{matrix} \frac{\sum_{k = 1}^{n} | ξ | | η |}{{(\sum_{k = 1}^{n} {| ξ |}^{p})}^{1 / p} {(\sum_{k = 1}^{n} {| η |}^{q})}^{1 / q}} = \sum_{k = 1}^{n} [\frac{| ξ |}{{(\sum_{k = 1}^{n} {| ξ |}^{p})}^{1 / p}}] [\frac{| η |}{{(\sum_{k = 1}^{n} {| η |}^{q})}^{1 / q}}] \\ \leq \sum_{k = 1}^{n} [\frac{{| ξ |}^{p}}{p (\sum_{k = 1}^{n} {| ξ |}^{p})} + \frac{{| η |}^{q}}{q (\sum_{k = 1}^{n} {| η |}^{q})}] \\ = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. \end{matrix}$

因此结论成立。

文章引用

刘鑫. Cauchy-Schwarz不等式的证明与推广
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