天津职业技术师范大学理学院，天津

收稿日期：2023年1月6日；录用日期：2023年2月8日；发布日期：2023年2月16日

摘要

本文讨论的是指数函数曲线上的矩阵值Riemann边值问题，我们主要是对一类特殊的下三角矩阵值Riemann边值问题进行求解。首先使用双线性形式给出指数函数曲线上的伪正交多项式；其次给出特殊的下三角矩阵值边值问题并转化为边值问题；最后使用Liouville定理和伪正交多项式给出矩阵值Riemann边值问题的求解。

关键词

指数函数曲线，Cauchy型积分，矩阵值Riemann边值问题

Matrix Value Riemann Boundary Value Problems on the Exponential Function Curve

Yannan Liu, Hua Liu

School of Science, Tianjin University of Technology and Education, Tianjin

Received: Jan. 6^th, 2023; accepted: Feb. 8^th, 2023; published: Feb. 16^th, 2023

ABSTRACT

In this paper, we mainly discussed matrix value Riemann boundary value problems on the exponential function curve and solved a special class of lower triangular matrix value Riemann boundary value problems. Firstly, the pseudo-orthogonal polynomial on the curve of exponential function is given by using bilinear form. Secondly, a special boundary value problem of lower triangular matrix values is presented and transformed into a boundary value problem. Finally, the solution of Riemann boundary value problem with matrix values is given by Liouville theorem and pseudo-orthogonal polynomials.

Keywords:The Exponential Function Curve, Cauchy-Type Integral, Matrix Value Riemann Boundary Value Problem

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

正交多项式理论是分析数学的一个重要分支，它联系着数学和物理的许多重要方向，前有王莹，段萍，杜金元研究正实轴上的矩阵值Riemann边值问题，还有余密密基于Riemann-Hilbert方法的第二类正交三角多项式渐近分析，而Riemann边值问题是一种复变函数的重要特性，所以基于Riemann-Hilbert方法对指数函数曲线上的矩阵值Riemann边值问题的研究尤为重要。

Riemann-Hilbert方法是近年20来形成的研究正交多项式的一种全新方法。1992年，FoKas A.S.，Its A.R.和Kitaev A.V.在 [1] 中构造了一个矩阵值Riemann-Hilbert边值问题，其唯一解是实轴上的正交多项式。1993年，Deift P.和Zhou X.在 [2] 中引入关于振荡型Riemann-Hilbert边值问题。并应用到正交多项式的研究中，因此，形成了Riemann-Hilbert方法 [2] 。

本文首先叙述了沿指数函数曲线剖开的复平面上的全纯函数在无穷远处主部的定义，这是一个新概念，因为其在无穷远点不再是孤立奇点，这在 [3] 中有详细的介绍。在此基础上提出了带有无穷远处增长性条件的指数函数曲线上的矩阵值边值Riemann问题，并对其进行求解。

本文的结构安排：

第一部分：使用双线性形式给出指数函数曲线上的伪正交多项式。

第二部分：基于第一部分给出特殊的下三角矩阵值边值问题并转化为边值问题，并使用Liouville定理和伪正交多项式给出矩阵值Riemann边值问题的解。

2. 基础知识

为方便读者，我们在此简述相关基础知识。在这篇文章中，对任意的 $a\in ℝ$ ，我们记 $l_a=a+i{e}^a$ ，在指数函数曲线上我们任取 $L_{ab}$ 表示从 $l_a$ 到 $l_b$ 上的一段弧(其中 $\stackrel{⌢}{l_a{l}_b}$ 是一段有限弧)。

在复平面的一般曲线上内积处理起来不太方便，有时候我们需要用双线性形式来代替内积，如 [4] 中，就用这种方式给出奇异积分方程的可积条件 [4] 。Deift P.等在 [5] 中用双线性形式定义了类似正交多项式的多项式组。我们在指数函数曲线L上研究类似的多项式组 [5] 。

设 $\omega$ 为L上的权函数，我们在次数不超过n的多项式空间 ${\prod }_n$ 上引进双线性形式如下：

$\left(f,g\right)={\displaystyle {\int }_L\omega fg\text{d}t},f,g\in {\prod }_n$ (2.1)

取 ${\prod }_n$ 的一组基 $1,t,t^2,\cdots ,t^n$ ，我们对这组基作类似于Schmidt正交化，即

$\begin{array}{l}{p}_0\left(z\right)=\frac{1}{{\left({\displaystyle {\int }_{L}w}\text{d}t\right)}^{\frac{1}{2}}}\\ p_1\left(z\right)=\frac{t-\frac{\left(t,p_0\right)}{\left(p_0,p_0\right)}{p}_0}{{\left(t-\frac{\left(t,p_0\right)}{\left(p_0,p_0\right)}{p}_0,t-\frac{\left(t,p_0\right)}{\left(p_0,p_0\right)}{p}_0\right)}^{\frac{1}{2}}}\\ ⋮\\ p_n\left(z\right)=\frac{t^n-\frac{\left(t^n,p_{n-1}\right)}{\left(p_{n-1},p_{n-1}\right)}{p}_{n-1}-\cdots -\frac{\left(t^n,p_1\right)}{\left(p_1,p_1\right)}{p}_1-\frac{\left(t^n,p_0\right)}{\left(p_0,p_0\right)}{p}_0}{\left(A_n,A_n\right)}\end{array}$ (2.2)

基于多值函数 $\sqrt{z}$ 取主分支，如果 $\langle P_k,P_k\rangle$ 始终不为0，则这个过程可以一直进行下去，最后我们得到L上权函数 $\omega$ 的伪正交多项式组：

$P_0\left(z\right),P_1\left(z\right),P_2\left(z\right),\cdots ,P_n\left(z\right)$ (2.3)

设 $P_k\left(z\right)=\frac{1}{{\alpha }_k}{p}_k\left(z\right),k=0,1,\cdots ,n$ ，其中 ${\alpha }_k$ 为 $p_k\left(z\right)$ 的首项系数，则 $p_k\left(z\right)$ 是次数为k的首1伪正交多项式 [4] [5] 。

显然，如果伪正交多项式组为 $P_0\left(z\right),P_1\left(z\right),P_2\left(z\right),\cdots ,P_n\left(z\right)$ ，则它们是唯一存在的 [5] 。

无穷远处广义主部及阶的定义，细节见 [3] 。

定义2.1设 $F\in A\left(ℂ\backslash L\right)$ 。如果存在一个整函数 $E\left(z\right)$ ，使得

$\underset{z\to \infty }{\lim }\left[F\left(z\right)-E\left(z\right)\right]=0$ (2.4)

那么称 $E\left(z\right)$ 为F在 $z=\infty$ 处的广义主部，记为 $G.P\left[F,\infty \right]\left(z\right)$ 。

引理2.1 [3] 设F在 $z=\infty$ 处有孤立奇点，那么

$G.P\left[F,\infty \right]=P.P\left[F,\infty \right]$ (2.5)

定义2.2设函数F为定义在以指数函数曲线L为跳跃曲线上的分区全纯函数，即 $F\in A\left(ℂ\backslash L\right)$ ，指的是f在 $ℂ\backslash L$ 解析且在L的正负边值存在。

定义2.3 设 $f\left(t\right)$ 是定义在指数函数曲线L上，如果存在 $\Delta >0$ ，使得当 $\left|a^{\prime }\right|>\Delta$ ， $\left|a^{″}\right|>\Delta$ 时，(其中 $l_{a^{\prime }}=t^{\prime },l_{a^{″}}=t^{″}$ ， $t^{\prime }$ 和 $t^{″}$ 是L上的任意两点)，有

$\left|f\left(t^{\prime }\right)-f\left(t^{″}\right)\right|\le A{\left|\frac{1}{t^{\prime }}-\frac{1}{t^{″}}\right|}^{\mu },0<\mu \le 1$ (2.6)

其中上式中的A和μ是确定的常数，那么称f在∞附近满足μ阶的 $\hat{H}$ 条件，记作 $f\left(t\right)\in {\hat{H}}^{\mu }\left(\infty \right)$ 。另外，如果 $f\left(t\right)\in H^{\mu }\left(L\right)$ ，记作 $f\in {\hat{H}}^{\mu }\left(L\right)$ 。若不强调μ，可分别记为 $f\left(t\right)\in \hat{H}\left(\infty \right)$ 和 $f\in \hat{H}\left(L\right)$ 。如果 $f\left(\infty \right)=0$ ，其也可被记为 $f\in {\hat{H}}_0^{\mu }\left(\infty \right)$ 或 $f\in {\hat{H}}_0\left(\infty \right)$ 。

定义2.4如果存在 $f^{*}\in H^{\mu }\left(L_{-\infty \Delta }\cup L_{\Delta \infty }\right)$ 且 $f^{*}\in H\left(\infty \right)$ 使得

$f\left(t\right)=\frac{f^{*}\left(t\right)}{t^v}$ (2.7)

其中 $t=a+i{\text{e}}^a$ 且 $\left|a\right|>\Delta$ ，记作 $f\in H_v^{\mu }\left(\infty \right)$ 。

另外，如果对于 $t^{m}f\left(t\right)\in H_v^{\mu }\left(\infty \right)$ ( $m\in \mathbb{N}$ )，我们记其为 $f\in H_{m,v}^{\mu }\left(\infty \right)$ ，同理 $H_{m,0}^{\mu }\left(\infty \right)$ 也有类似的含义。若不强调μ，则把它们分别记为 $f\left(t\right)\in H_{m,v}\left(\infty \right)$ 和 $f\left(t\right)\in H_{m,0}\left(\infty \right)$ 。

设f是定义在L上的函数，我们引入下面的Cauchy型积分：

设

$C\left[f\right]\left(z\right)=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{f\left(\tau \right)}{\tau -z}}\text{d}\tau ,z\notin L$ (2.8)

以及Cauchy奇异积分

$C\left[f\right]\left(z\right)=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_{\left|s-\sigma \right|>r}\frac{f\left(s+i{\text{e}}^s\right)\left(1+i{\text{e}}^s\right)}{s-\sigma +\left(i{\text{e}}^s-i{\text{e}}^{\sigma }\right)}\text{d}s}$ (2.9)

其中 $\tau =s+i{\text{e}}^s$ ， $z=\sigma +i{\text{e}}^{\sigma }$ ，为指数函数曲线上带核密度f的Cauchy型积分或简称为Cauchy型积分。

定理2.1 如果 $f\in H_v^{\mu }\left(\infty \right)\cap {\hat{H}}^{\mu }\left(L\right)\left(v>0\right)$ ，那么它的Cauchy型积分有正负边值，且有下面的Plemelj公式成立。

${\left(C\left[f\right]\right)}^{\pm }\left(t\right)=\pm \frac{1}{2}f\left(t\right)+\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{f\left(\tau \right)}{\tau -t}\text{d}\tau }$ (2.10)

定理2.2 [5] 如果 $f\in H_v^{\mu }\left(\infty \right)\cap {\hat{H}}^{\mu }\left(L\right)\left(v>0\right)$ ，那么有

$P.P\left[C\left[f\right],\infty \right]=0$ (2.11)

注：这些结果是求解指数函数曲线上的Cauchy型积分在无穷远处的性状，是指数函数曲线上Riemann边值问题的基础。在一些文章中，这些结果被认为和有限曲线的情况一样，是显而易见的结果。事实上，在无限长曲线的情况下，得到的这些结果并不明显。

3. 矩阵值Riemann边值问题

设

$\Phi \left(z\right)=\left(\begin{array}{cc}{\Phi }_{1,1}& {\Phi }_{1,2}\\ {\Phi }_{2,1}& {\Phi }_{2,2}\end{array}\right)$ (3.1)

是一个定义在复平面 $ℂ$ 的开集Ω上的2 × 2矩阵值函数，这里我们规定只要是Φ有的性质，Φ中的所有元素 ${\Omega }_{j,k}$ 也都具有相应的性质，比如连续性、解析性等。因此， $\Phi \in A\left(ℂ\backslash L\right)$ ， $\Phi \in \hat{H}\left(L\right)$ ， $P.P\left[\Phi ,\infty \right]\left(z\right)$ ， $\Phi \in A\left(\Omega \right)$ 和分段全纯函数等含义是显而易见的 [6] 。特别地，

$\underset{z\to z_0}{\lim }\Phi \left(z\right)=a=\left(\begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\right)$ (3.2)

其中a是一个复值2 × 2矩阵

$a_{j,k}=\underset{z\to z_0}{\lim }{\Phi }_{j,k},j,k=1,2$ (3.3)

接下来，我们讨论指数函数曲线L上的一个特殊的下三角矩阵值Riemann边值问题。

问题1找一个以L为跳跃曲线的2 × 2矩阵值分区全纯函数Y，让其满足

$\{\begin{array}{l}{Y}^{+}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \omega \left(t\right)& 1\end{array}\right)Y^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[\Xi Y,\infty \right]\left(z\right)=I\end{array}$ (3.4)

其中

$\Xi \left(z\right)=\left(\begin{array}{cc}{z}^{-n}& 0\\ 0& z^n\end{array}\right),n>1$ (3.5)

其中I是2 × 2的单位矩阵， $\omega \in {\hat{H}}^{\mu }\left(L\right)\cap H_{2n,0}\left(\infty \right)$ ，且 $\omega$ 对应的伪正交多项式组存在。

(3.4)可以转化成为下面四个分区全纯函数的Riemann边值问题组：

$\{\begin{array}{l}{Y}_{1,1}^{+}\left(t\right)=Y_{1,1}^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^{-n}{Y}_{1,1}\left(z\right),\infty \right]\left(z\right)=1\end{array}$ (3.6)

$\{\begin{array}{l}{Y}_{1,2}^{+}\left(t\right)=Y_{1,2}^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^{-n}{Y}_{1,2}\left(z\right),\infty \right]\left(z\right)=0\end{array}$ (3.7)

$\{\begin{array}{l}{Y}_{2,1}^{+}\left(t\right)=Y_{2,1}^{-}\left(t\right)+\omega \left(t\right)Y_{1,1}^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^n{Y}_{2,1}\left(z\right),\infty \right]\left(z\right)=0\end{array}$ (3.8)

$\{\begin{array}{l}{Y}_{2,2}^{+}\left(t\right)=Y_{2,2}^{-}\left(t\right)+\omega \left(t\right)Y_{1,2}^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^n{Y}_{2,2}\left(z\right),\infty \right]\left(z\right)=1\end{array}$ (3.9)

设Y为(3.4)的一个解。

(3.6)是一个的Liouville问题。由Painlevé定理可以知道 $Y_{1.1}\left(z\right)$ 在整个复平面是解析的，因此 $z=\infty$ 是孤立奇点。又 $G.P\left[z^{-n}{Y}_{1,1}\left(z\right),\infty \right]\left(z\right)=1$ 。故由广义的Liouville定理知， $Y_{1.1}\left(z\right)$ 是形如

$Y_{1,1}\left(z\right)=P_n\left(z\right)$ (3.10)

其中 $p_n$ 是首项系数为1且次数为n的多项式。

把(3.10)代入(3.8)得

$\{\begin{array}{l}{Y}_{2,1}^{+}\left(t\right)=Y_{2,1}^{-}\left(t\right)+\omega \left(t\right)P_n\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^n{Y}_{2,1}\left(z\right),\infty \right]\left(z\right)=0\end{array}$ (3.11)

上式是一个以无穷远处为主部的跳跃问题。

设

$\psi \left(z\right)=C\left[\omega P_n\right]\left(z\right)=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\tau \right)P_n\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau },z\in L$ (3.12)

这时

$\omega P_n\in {\hat{H}}^{\mu }\left(L\right)\cap H_{n,0}\left(\infty \right)$ (3.13)

因此由Plemelj公式(2.10)和定理2.1可以知道 $\psi \left(z\right)$ 是以L为跳跃曲线的分区全纯函数，且满足

$\{\begin{array}{l}{\psi }^{+}\left(t\right)={\psi }^{-}\left(t\right)+\omega \left(t\right)P_n\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[\psi \left(t\right),\infty \right]\left(z\right)=0\end{array}$ (3.14)

显然 $Y_{2,1}$ 也是(3.14)的解。但由 [3] ，这个方程如果有解，也只能有唯一解，故 $Y_{2,1}=\psi$ 。因此由 $Y_{2,1}$ 在无穷远处的性状，我们有

$G.P\left[z^n\psi ,\infty \right]\left(z\right)=0$ (3.15)

由(3.12)我们有

$z^n\psi \left(z\right)=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\tau \right)P_n\left(\tau \right)\left(z^n-{\tau }^n\right)}{\tau -z}\text{d}\tau }+\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\tau \right)P_n\left(\tau \right){\tau }^n}{\tau -z}\text{d}\tau }$ (3.16)

$=-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{z^k}{2\text{π}i}}{\displaystyle {\int }_L\omega \left(\tau \right)P_n\left(\tau \right){\tau }^{n-1-k}\text{d}\tau }+\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\tau \right)P_n\left(\tau \right){\tau }^n}{\tau -z}\text{d}\tau }$ (3.17)

由 $\omega \left(\tau \right)P\left(\tau \right){\tau }^n\in H_{v,0}^{\mu }$ 和 [3] 知

$\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\tau \right)P\left(\tau \right){\tau }^n}{\tau -z}}\mathrm{d}\tau =0$ (3.18)

故得

$G.P\left[z^n\psi ,\infty \right]=-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{z^k}{2\text{π}i}}{\displaystyle {\int }_L\omega \left(\tau \right)P_n\left(\tau \right){\tau }^{n-1-k}\text{d}\tau }$ (3.19)

则(3.15)等价于

$\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\omega \left(\tau \right)P_n\left(\tau \right){\tau }^k\text{d}\tau }=0,k=0,1,\cdots ,n-1$ (3.20)

即当且仅当(3.20)成立，有

$Y_{2,1}\left(z\right)=C\left[\omega P_n\right]\left(z\right)=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\tau \right)P_n\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }$ (3.21)

(3.20)表明 $P_n$ 是L上关于权函数ω的首项系数为1的伪正交多项式。

定义5

$f^{*}\left(z\right)=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\tau \right)f\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau },z\notin L$ (3.22)

我们称它为f关于权函数ω的相伴函数。

注：上式中的函数在伪正交多项式Riemann-Hilbert中起着非常重要的作用。

接下来，与(3.6)的分析类似，(3.7)也是一个Liouville问题，其解

$Y_{1,2}\left(z\right)=q_{n-1}\left(z\right)$ (3.23)

是一个次数不超过 $n-1$ 的多项式。将上式代入(3.9)中可得

$\{\begin{array}{l}{Y}_{2,2}^{+}\left(t\right)=Y_{2,2}^{-}\left(t\right)+\omega \left(t\right)q_{n-1}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^n{Y}_{2,2}\left(z\right),\infty \right]\left(z\right)=1\end{array}$ (3.24)

和(3.7)一样可得

$Y_{2,2}\left(z\right)=C\left[\omega q_{n-1}\right]\left(z\right)=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\omega \left(\tau \right)q_{n-1}\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau ,}z\notin L$ (3.25)

且 $q_{n-1}$ 必须满足

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\omega \left(\tau \right)q_{n-1}\left(\tau \right){\tau }^k\text{d}\tau }=0,k=0,1,\cdots ,n-2,\\ \frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\omega \left(\tau \right)q_{n-1}\left(\tau \right){\tau }^{n-1}\text{d}\tau }=-1\end{array}$ (3.26)

设 $q_{n-1}=\lambda P_{n-1}$ ，则

$\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\int }_L\omega \left(\tau \right)\lambda P_{n-1}\left(\tau \right)P_{n-1}\left(\tau \right)}=-1$ (3.27)

即

$\lambda =\frac{-2\text{π}i}{{\displaystyle {\int }_L\omega \left(\tau \right)P_{n-1}^2\left(\tau \right)\text{d}\tau }}$ (3.28)

即表明 $q_{n-1}$ 是L上关于权函数ω伪正交的 $n-1$ 次多项式。

定理3.1如果权函数 $\omega \in {\hat{H}}^{\mu }\left(L\right)\cap H_{2n,0}\left(\infty \right)$ ，则三角矩阵值Riemann边值问题(3.4)有解，其解有如下形式：

$Y\left(z\right)=\left(\begin{array}{cc}{P}_n\left(z\right)& \lambda P_{n-1}\left(z\right)\\ P_n^{*}\left(z\right)& \lambda P_{n-1}^{*}\left(z\right)\end{array}\right)$ (3.29)

这里 $P_n$ 是L上关于权函数ω的伪正交首1多项式， $P_n^{*}$ 是 $P_n$ 关于(3.22)中权函数ω的相伴函数。

证明若(3.4)有解，由前面讨论它的解的形式为(3.29)的形式。

反过来，伪正交首一多项式系是唯一存在的，设Y (3.29)所定义，逆推前面的每一步，则得到Y是(3.4)的解，也即(3.4)有且仅有一组解(3.29)。

矩阵值边值问题(3.4)为L上关于权函数ω的伪正交首1多项式 $P_n$ 所刻画。因此，我们称该问题为L上关于权函数ω正交的首一多项式Riemann-Hilbert特征刻画，或者称 $P_n$ 为矩阵值边值问题(3.4)的特征正交多项式 [6] 。

文章引用

刘艳楠,刘 华. 指数函数曲线上的矩阵值Riemann边值问题
Matrix Value Riemann Boundary Value Problems on the Exponential Function Curve[J]. 理论数学, 2023, 13(02): 212-218. https://doi.org/10.12677/PM.2023.132025

参考文献