Pure Mathematics
Vol.
13
No.
11
(
2023
), Article ID:
75628
,
6
pages
10.12677/PM.2023.1311332
Fermat型函数方程的亚纯解
段江梅,杨惠娟,胡晓飞
昭通学院数学与统计学院,云南 昭通
收稿日期:2023年10月8日;录用日期:2023年11月9日;发布日期:2023年11月16日
摘要
研究了Fermat型函数方程 亚纯解的存在性问题,得到新的结论。
关键词
Fermat型函数方程,亚纯函数,整函数,增长级,值分布理论
The Meromorphic Solutions of Fermat Type Functional Equations
Jiangmei Duan, Huijuan Yang, Xiaofei Hu
School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong Yunnan
Received: Oct. 8th, 2023; accepted: Nov. 9th, 2023; published: Nov. 16th, 2023
ABSTRACT
We investigate the existence of meromorphic solutions of Fermat type functional equations and obtain a new conclusion.
Keywords:Fermat Type Functional Equation, Meromorphic Functions, Entire Function, Growth Order, Value Distribution Theory
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言与主要结果
文中 都是指亚纯函数, 表示 的s阶导数(s为正整数), 均为正整数,
的增长级 ,其中 为 的Nevanlinna特征函数。
大约在1637年左右,法国数学家Pierre de Fermat在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时,在页边空白处写下了:当整数 时,关于 的方程 没有正整数解。这就是著名的Fermat大定理。事实上,Fermat本人并未给出证明的细节,他仅对 的情形给出了少许提示。Fermat大定理被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年英国数学家Andrew Wiles证明了这个结论。
借助亚纯函数的Nevanlinna理论这一强有力工具,早在Fermat大定理被严格证明之前,1966年,当 时Fermat型函数方程
(1)
非常数亚纯解的存在性问题就已经被刻画清楚了 [1] [2] 。
受Fermat大定理的启发,Euler提出了如下的猜想 [3] :若 ,则不定方程
(2)
无正整数解。
对于 ,L. J. Lander,N. D. Elkies [4] [5] 给出反例表明,不定方程(2)存在非平凡正整数解。
对于 ,上述的Euler猜想是否成立?这一问题迄今尚未解决。即使对于 ,不定方程 是否存在非平凡的正整数解的问题也未彻底解决。而研究不定方程 整数解的存在性问题可以转化为研究方程 有理数解的存在性问题。
类似地,不妨先考虑下述问题:是否存在非常数亚纯函数 满足Fermat型函数方程
(3)
其中 。关于函数方程(1) (3)的上述问题可以看作Fermat大定理在亚纯函数域上解的状况。W. K. Hayman,G. G. Gundersen等人经过很长时间的探究,已得到如下结果。
J. Molluzzo [6] 、M.Green [7] 、Gundersen [8] [9] [10] 等人给出例子表明:对于 函数方程(3)存在非常数亚纯函数解。
1985年,Hayman [11] 证明了:如果 ,则不存在非常数亚纯函数 满足函数方程(3)。
2009年,苏敏与李玉华 [12] 证明了:如果 ,则不存在增长级小于1的非常数亚纯函数 满足函数方程(3)。
对于 ,是否存在非常数亚纯函数 满足函数方程(3)的问题,现在还没有解决。
本文探究了当 时函数方程(3)亚纯解的存在性,证明了下述定理:
定理1 如果存在非常数亚纯函数 满足函数方程
(4)
则 是整函数,其中
定理2 如果存在非常数亚纯函数 满足函数方程(4),且 的增长级 ,则
存在非零常数c,使得 。
2. 几个引理
引理1 [1] 如果 ,则不存在非常数亚纯函数 满足函数方程(1)。
引理2 [13] 设 为区域D内k个亚纯函数。若 线性无关,则 的Wronskian行列式
引理3 [14] 如果 是非常数亚纯函数,且增长级 ,则对 , ,使得
,且
引理4 [15] 设 为 上的亚纯函数,k为正整数,则 与 有相同的增长级。
3. 定理的证明
3.1. 定理1的证明
由于存在非常数亚纯函数 满足方程(4),则 线性无关。如若不然,假设 线性相关,则存在三个不全为零的常数 ,使得 。不妨设 ,则
(5)
由引理1可知,方程(5)只有常数解,从而得出矛盾。于是 线性无关,从而由引理2得 。
由方程(4)可得
令
则 ,因此
. (6)
于是
(7)
(8)
(9)
下面证明 是整函数。
如果 存在极点,那么 的极点仅可能在 的极点处取得。设 分别为 的 重极点,且
,
这里 , , 为 的解析部分,每次出现不一定相同,则
从而由(8)式得
由于 ,且由方程(4)可知 ,则
于是 在点 解析。因此 为整函数。
3.2. 定理2的证明
在定理1的证明基础上,证明定理2。
将(7)~(9)式相乘得
由引理3得,对 , ,使得 ,且
( ,B为某一常数)。 (10)
由引理4和方程(4)知: 。
又由定理1知 为整函数,则由(10)式可得 为常数。再由(6)式知 ,则必存在非零常数c,使得 。
4. 结论
本文主要对是否存在非常数亚纯函数 满足函数方程
(11)
的问题进行研究,但由于上述问题研究起来困难重重,不妨先研究 时函数方程亚纯解的情况,定理1、定理2是研究此问题得到的一点点结论。受文献 [12] 的启发,进一步将探究下述问题:是否存在增长级小于1的非常数亚纯函数 满足函数方程(11)。
基金项目
云南省教育厅科学研究基金项目(2023J1212, 2022J0967);昭通学院教学改革研究项目(Ztjx202102)。
文章引用
段江梅,杨惠娟,胡晓飞. Fermat型函数方程的亚纯解
The Meromorphic Solutions of Fermat Type Functional Equations[J]. 理论数学, 2023, 13(11): 3198-3203. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1311332
参考文献
- 1. Gross, F. (1996) On the Functional Equation . Bulletin of the American Mathematical Society, 72, 86-89. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1966-11429-5
- 2. Baker, I.N. (1966) On a Class of Meromorphic Functions. Proceedings of the American Mathematical Society, 17, 819-822. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1966-0197732-X
- 3. Hardy, G.H., Wright, E.M., Wiles, A., et al. (2008) An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, Oxford.
- 4. Lander, L.J. and Parkin, T.R. (1996) Counterexample to Euler’s Conjecture on Sums of Like Powers. Bulletin of the American Mathematical Society, 72, 1079. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1966-11654-3
- 5. Elkies, N.D. (1988) On . Mathematics of Computation, 51, 825-835. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9
- 6. Molluzo, J. (1972) Monotonicity of Quadrature For-mulas and Polynomial Representation. Ph.D. Thesis, Yeshiva University, New York.
- 7. Green, M. (1975) Some Pi-card Theorems for Holomorphic Maps to Algebric Varieties. American Journal of Mathematics, 97, 43-75. https://doi.org/10.2307/2373660
- 8. Gundersen, G.G. and Tohge, K. (2004) Entire and Meromorphic Solutions of . In: Symposium on Complex Differential and Functional Equations, Report Series No. 6, University of Joensuu, Joensuu, Vol. 6, 57-67.
- 9. Gundersen, G.G. (2001) Meromorphic Solutions of . The Chuang Special Issue. Complex Variables, Theory and Application: An International Journal, 43, 293-298. https://doi.org/10.1080/17476930108815320
- 10. Gundersen, G.G. (1998) Meromorphic Solution of . Analysis, 18, 285-290. https://doi.org/10.1524/anly.1998.18.3.285
- 11. Hayman, W.K. (1985) Waring’s problem für analytische funktionen. Bayerische Akademie der Wissenschaften Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse. Sitzungsberichte, 1-13.
- 12. 苏敏, 李玉华. 关于函数方程非平凡亚纯解的研究[J]. 云南师范大学学报: 自然科学版, 2009, 29(2): 41-44.
- 13. 顾永兴, 庞学诚, 方明亮. 正规族理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007.
- 14. Chiang, Y.M. and Feng, S.J. (2008) On the Nevanlinna Characteristic of and Difference Equations in the Complex Plane. The Ramanujan Journal, 16, 105-129. https://doi.org/10.1007/s11139-007-9101-1
- 15. 杨乐. 值分布理论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.