ABSTRACT

This paper mainly discusses the relations between module algebra and module coalgebra, comodule algebra and comodule coalgebra. Last, from the comodule coalgebra $A^{\square }$ contained in $A^0$ , we further characterize duality between the smash product and smash coproduct.

Keywords:Smash Product, Module Coalgebra, Comodule Coalgebra, Smash Coprodule

Smash积与Smash余积的对偶性

任北上^1,2，韦玉球³，谢芬芳^2*，金帅¹，陈娟¹

¹广东科技学院，广东 东莞

²广西师范学院，广西 南宁

³广西外国语学院，广西 南宁

收稿日期：2017年11月25日；录用日期：2017年12月14日；发布日期：2017年12月21日

摘 要

本文探究了模代数与模余代数、余模代数与余模余代数之间的相互关系，并从含于余代数 $A^0$ 内的余模余代数 $A^{\square }$ 出发，进一步刻画了Smash积与Smash余积的对偶性。

关键词 :Smash积，模余代数，余模余代数，Smash余积

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文中始终约定 $K$ 为代数闭域， $H$ 是 $K$ -Hopf代数， $C$ 是 $K$ -余代数。在Hopf代数文献中，通常采用 [1] 中的Sigma记号： $\Delta \left(c\right)={{\displaystyle \sum c_{\left(1\right)}\otimes c}}_{\left(2\right)},\forall c\in C$ ，及 $\rho \left(c\right)={\displaystyle \sum c_{\left(-1\right)}\otimes c_{\left(0\right)}}$ 。

定义1.1 [2] ：设 $A$ 是 $K$ -代数。称 $A$ 为左 $H$ -模代数(或 $H$ 在 $A$ 上的作用)，若下列三条成立：

(MA1) $A$ 是左 $H$ -模，结构映射 $\gamma :H\otimes A\to A$ ，其中 $\gamma \left(h\otimes a\right)=h\cdot a$ ；

(MA2) $h\cdot \left(ab\right)={\displaystyle \sum \left(h_{\left(1\right)}\cdot a\right)\left(h_{\left(2\right)}\cdot b\right)},\forall h\in H,\forall a,b\in A$ ；

(MA3) $h\cdot 1_A={\epsilon }_H(h)1_A,\forall h\in H$ 。

例1.1：设 $A$ 是 $K$ -代数。如果 $f\in Hom\left(H,A\right)$ 是卷积可逆的代数同态，则 $A$ 是左 $H$ -模代数，其中 $h\cdot a=f\left(h_{\left(1\right)}\right)a{f}^{-1}\left(h_{\left(2\right)}\right)$ ， $\forall h\in H,\forall a\in A$ 。

在 [1] 中我们知道 $A\#H=A\otimes H$ 可以构成一个 $K$ -代数，其中乘法运算为 $\left(a\#h\right)\left(b\#g\right)={\displaystyle \sum a\left(h_1\cdot b\right)}\#h_{2}g,\forall a,b\in A,\forall h,g\in H$ ，这个代数的乘法习惯上称为Smash积。在此基础上， [3] 里又引入了交叉积的概念和一系列重要性质，为Hopf代数的结构理论研究起到了重要作用(譬如，点Hopf代数、辫子Hopf代数等)。由于模代数产生的极大影响引起了学者们的关注，所以又陆续得到了新的对偶概念。

定义1.2 [4] ：设 $A$ 是 $K$ -代数。称 $A$ 为右 $H$ -余模代数(或 $H$ 在 $A$ 上的余作用)，若下列三条成立：

(CA1) $A$ 是右 $H$ -余模，结构映射 $\rho :A\to A\otimes H$ ，其中 $\rho \left(a\right)={\displaystyle \sum a_{\left(0\right)}\otimes a_{\left(1\right)}}$ ；

(CA2) ${\displaystyle \sum {\left(ab\right)}_{\left(0\right)}\otimes {\left(ab\right)}_{\left(1\right)}}={\displaystyle \sum a_{\left(0\right)}{b}_{\left(0\right)}\otimes a_{\left(1\right)}{b}_{\left(1\right)}},\forall a,b\in A$ ；

(CA3) $\rho \left(1\right)=1_A\otimes 1_H$ 。

定义1.3 [4] ：设 $H$ 是Hopf代数， $C$ 是 $K$ -余代数。称 $C$ 为左 $H$ -模余代数(或 $H$ 在 $C$ 上的作用)，若下列三条成立：

(MC1) $C$ 是左 $H$ -模，结构映射 $\phi :H\otimes C\to C$ ，其中 $\phi \left(h\otimes c\right)\triangleq h\cdot c$ ；

(MC2) ${\Delta }_C\left(h\cdot c\right)={\displaystyle \sum h_{\left(1\right)}\cdot c_{\left(1\right)}\otimes h_{\left(2\right)}\cdot c_{\left(2\right)}},\forall h\in H,\forall c\in C$ ；

(MC3) $\epsilon \left(h\cdot c\right)={\epsilon }_H\left(h\right){\epsilon }_C\left(c\right),\forall h\in H,\forall c\in C$ 。

例1.2：设 $C$ 是一个 $K$ -Hopf代数，而 $H$ 为 $C$ 的子Hopf代数。关于 $C$ 的代数结构的乘法视为模作用，易知 $C$ 为 $H$ -模，进一步可以验证 $C$ 为 $H$ -模余代数。特别地，若取 $H=C$ ，可以得到一个平凡的 $H$ -模余代数 $H$ 。

例1.3：易知右 $H$ -模 $M$ 都可以看成左 $H^{op}$ -模，其中模作用为 $h^{op}\cdot m=m\cdot h$ ， $\forall h\in H,\forall m\in M^{op}$ 。进而可推出右 $H$ -模代数也可以看成是左 $H^{op}$ -模代数。类似地，每个右 $H$ -模余代数也可以看成是左 $H^{op}$ -模余代数。

2. 预备知识

首先，讨论模余代数的刻画问题。

命题2.1：设 $H$ 是Hopf代数， $C$ 是 $K$ -余代数，且有左 $H$ -模结构 $\phi :H\otimes C\to C$ 。则下列结论等价：

(1) $C$ 是一个左 $H$ -模余代数；

(2) $\phi$ 是余代数同态；

(3) $C$ 的余乘 $\Delta :C\to C\otimes C$ 和余单位 $\epsilon :C\to K$ 都是 $H$ -模同态。

证明：命题条件已经给出(MC1)，结论之间的等价性证明如下：

由结论⑴知，条件(MC2)和(MC3)成立，等价于下列等式成立：

${\Delta }_C\phi =\left(\phi \otimes \phi \right)\left(1\otimes T\otimes 1\right)\left({\Delta }_H\otimes {\Delta }_C\right)$ (2.1)

${\epsilon }_C\phi =l\left({\epsilon }_H\otimes {\epsilon }_C\right)$ (2.2)

其中 $l:K\otimes K\to K,l\left(k_{\left(1\right)}\otimes k_{\left(2\right)}\right)=k_{\left(1\right)}{k}_{\left(2\right)}$ 是结构映射，我们通常将 $l$ 简化掉。

注意到， $H\otimes C$ 也是一个余代数，余乘为 ${\Delta }_{H\otimes C}=\left(1\otimes T\otimes 1\right)\left({\Delta }_H\otimes {\Delta }_C\right)$ ，余单位为 ${\epsilon }_{H\otimes C}=l\left({\epsilon }_H\otimes {\epsilon }_C\right)$ 。将等式(2.1)和(2.2)箭图化，利用余代数同态的定义及箭图的交换性，即可得知结论⑴和结论⑵等价。

因为 ${\Delta }_H$ 和 ${\epsilon }_H$ 都是代数同态，则由 $C$ 是左 $H$ -模可知， $C\otimes C$ 也是左 $H$ -模，其中模的结构映射为

${\phi }_{C\otimes C}:H\otimes C\otimes C\to C\otimes C,{\phi }_{C\otimes C}=\left(\phi \otimes \phi \right)\left(1\otimes T\otimes 1\right)\left({\Delta }_H\otimes 1\otimes 1\right)$

由于 $K$ 是左 $K$ -模，则 $K$ 也是左 $H$ -模，结构映射为

${\phi }_K:H\otimes K\to K,{\phi }_K=l\left({\epsilon }_H\otimes 1\right)$

现将等式(2.1)和(2.2)恒等变形为

${\Delta }_C\phi =\left(\phi \otimes \phi \right)\left(1\otimes T\otimes 1\right)\left({\Delta }_H\otimes 1\otimes 1\right)\left(1\otimes {\Delta }_C\right)$ (2.3)

${\epsilon }_C\phi =l\left({\epsilon }_H\otimes 1\right)\left(1\otimes {\epsilon }_C\right)$ (2.4)

显然，(2.3)和(2.4)事实上就是 ${\Delta }_C\phi ={\phi }_{C\otimes C}\left(1\otimes {\Delta }_C\right)$ 和 ${\epsilon }_C\phi ={\phi }_K\left(1\otimes {\epsilon }_C\right)$ 。

由上文表述所构建的箭图分别为图1和图2。

图1. 等式(2.3)对应的交换箭图

图2. 等式(2.4)对应的交换箭图

可知，等式(2.1)和(2.2)成立，则相当于图1和图2的交换性分别都成立，即结论(1)和结论(3)等价。 $\square$

命题2.2：设 $H^{\prime }$ 和 $H$ 都是 $K$ -Hopf代数，且 $f:H^{\prime }\to H$ 为Hopf代数同态。那么 $M$ 为左 $H$ -模余代数(模代数)，则 $M$ 必是左 $H^{\prime }$ -模余代数(模代数)。

证明：只对模余代数的情形进行证明，另一情形同理可证。

设 $\left(M,\phi \right)$ 为左 $H$ -模余代数，则易知 $M$ 必是 $H^{\prime }$ -模，其中模结构映射为

${\phi }^{\prime }=\phi \left(f\otimes 1\right)$ ，即 $h^{\prime }\circ m=f\left(h^{\prime }\right)\cdot m,\forall h^{\prime }\in H^{\prime },m\in M$ 。于是(MC1)成立。

另外， $\begin{array}{c}{\Delta }_M\left(h^{\prime }\circ m\right)={\Delta }_M\left(f\left(h^{\prime }\right)\cdot m\right)={\displaystyle \sum f{\left(h^{\prime }\right)}_{\left(1\right)}\cdot m_{\left(1\right)}\otimes f{\left(h^{\prime }\right)}_{\left(2\right)}\cdot m_{\left(2\right)}}\\ ={\displaystyle \sum f\left({h^{\prime }}_{\left(1\right)}\right)\cdot m_{\left(1\right)}\otimes f\left({h^{\prime }}_{\left(1\right)}\right)\cdot m_{\left(2\right)}}={\displaystyle \sum {h^{\prime }}_{\left(1\right)}\circ m_{\left(1\right)}\otimes {h^{\prime }}_{\left(1\right)}\circ m_{(2)}}\end{array}$

即 ${\Delta }_M\left(h^{\prime }\circ m\right)={\displaystyle \sum {h^{\prime }}_{\left(1\right)}\circ m_{\left(1\right)}\otimes {h^{\prime }}_{\left(1\right)}\circ m_{\left(2\right)}}$ 。所以(MC2)成立。

最后， ${\epsilon }_M\left(h^{\prime }\circ m\right)={\epsilon }_M\left(f\left(h^{\prime }\right)\cdot m\right)={\epsilon }_H\left(f\left(h^{\prime }\right)\right){\epsilon }_M\left(m\right)={\epsilon }_H\left(h^{\prime }\right){\epsilon }_M\left(m\right)$ 。所以(MC3)成立。 $\square$

如果 $M$ 为 $K$ -空间， $M^{\ast }$ 为 $M$ 的对偶 $K$ -空间。若 $\left(M,\phi \right)$ 是左 $A$ -模，且 $\phi \left(a\otimes m\right)=a\cdot m$ ，那么 $\left(M^{\ast },{\phi }^{\ast }\right)$ 是右 $A$ -模，并且 ${\phi }^{\ast }\left(m^{\ast }\otimes a\right)=m^{\ast }\leftarrow a$ ，其中

$\langle m^{\ast }\leftarrow a,m\rangle =\langle m^{\ast },m\cdot a\rangle ,\forall m\in M,m^{\ast }\in M^{\ast },a\in A$

类似地， $M$ 为右 $A$ -模可以得到 $M^{\ast }$ 为左 $A$ -模，其中 $\langle a\to m^{\ast },m\rangle =\langle m^{\ast },m\cdot a\rangle$ 。

与 $C^{\ast }$ 必然具有代数结构不同的是， $K$ -代数 $A$ 的对偶空间 $A^{\ast }$ 未必是余代数。但含在 $A^{\ast }$ 内的 $A^{\circ }$ 却具

有代数的结构 [1] ，为此，我们有下列结果。

定理2.1：设 $H$ 为 $K$ -Hopf代数，那么

(1) $A$ 是一个左 $H$ -模代数，那么 $A^{\circ }$ 是一个右 $H$ -模余代数；

(2) $C$ 是一个左 $H$ -模余代数，那么 $C^{\ast }$ 是一个右 $H$ -模代数。

证明：(1) 因为 $\left(A,M,u\right)$ 是 $K$ -代数，则 $\left(A^{\circ },M^{\ast },u^{\ast }\right)$ 是 $K$ -余代数，欲证(MC1)成立，只需证明 $A^{\circ }$ 为 $A^{\ast }$ 的子模即可。也就是说， $\forall h\in H,a^{\circ }\in A^{\circ },a^{\circ }\leftarrow h\in A^{\circ }$ 。为此，我们将此问题与(MC2)的证明综合考虑。

$\begin{array}{l}\forall a,b\in A,\langle M^{\ast }\left(a^{\circ }\leftarrow h\right),a\otimes b\rangle =\langle a^{\circ }\leftarrow h,ab\rangle =\langle a^{\circ },h\cdot ab\rangle \\ ={\displaystyle \sum \langle a^{\circ },\left(h_{\left(1\right)}\cdot a\right)\left(h_{\left(2\right)}\cdot b\right)\rangle }={\displaystyle \sum \langle M^{\ast }\left(a^{\circ }\right),\left(h_{\left(1\right)}\cdot a\right)\otimes \left(h_{\left(2\right)}\cdot b\right)\rangle }\\ ={\displaystyle \sum \langle a_{\left(1\right)}^{\circ }\otimes a_{\left(2\right)}^{\circ },\left(h_{\left(1\right)}\cdot a\right)\otimes \left(h_{\left(2\right)}\cdot b\right)\rangle }={\displaystyle \sum \langle a_{\left(1\right)}^{\circ },h_{\left(1\right)}\cdot a\rangle \langle a_{\left(2\right)}^{\circ },h_{\left(2\right)}\cdot b\rangle }\\ ={\displaystyle \sum \langle a_{\left(1\right)}^{\circ }\leftarrow h_{\left(1\right)},a\rangle \langle a_{\left(2\right)}^{\circ }\leftarrow h_{\left(2\right)},b\rangle }=\langle {\displaystyle \sum \left(a_{\left(1\right)}^{\circ }\leftarrow h_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(a_{\left(2\right)}^{\circ }\leftarrow h_{\left(2\right)}\right)},a\otimes b\rangle \end{array}$

所以 $M^{\ast }\left(a^{\circ }\leftarrow h\right)={\displaystyle \sum \left(a_{\left(1\right)}^{\circ }\leftarrow h_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(a_{\left(2\right)}^{\circ }\leftarrow h_{\left(2\right)}\right)}$ 。上式表明(MC1)和(MC2)都成立。

另外， $u^{\ast }\left(a^{\circ }\leftarrow h\right)=\langle a^{\circ }\leftarrow h,1_A\rangle =\langle a^{\circ },h\cdot 1_A\rangle =\langle a^{\circ },\epsilon \left(h\right)1_A\rangle =\epsilon \left(h\right)\langle a^{\circ },1_A\rangle =\epsilon \left(h\right)u^{\ast }\left(a^{\circ }\right)$ ，即 $u^{\ast }\left(a^{\circ }\leftarrow h\right)=\epsilon \left(h\right)u^{\ast }\left(a^{\circ }\right)$ ，故(MC3)成立。由上可知， $A^{\circ }$ 是一个右 $H$ -模余代数。

(2) 因为 $\left(C,\Delta ,\epsilon \right)$ 是左 $H$ -模余代数，那么自然知 $\left(C^{\ast },{\Delta }^{\ast },{\epsilon }^{\ast }\right)$ 为代数且 $C^{\ast }$ 为右 $H$ -模，所以(MA1)成立。

下面只需证明(MA2)和(MA3)成立即可。 $\forall h\in H,\forall c^{\ast },d^{\ast }\in C^{\ast },c\in C$ ，

$\begin{array}{c}\langle c^{\ast }{d}^{\ast }\leftarrow h,c\rangle =\langle {\Delta }^{\ast }\left(c^{\ast }\otimes d^{\ast }\right),h\cdot c\rangle =\langle c^{\ast }\otimes d^{\ast },\Delta \left(h\cdot c\right)\rangle \\ ={\displaystyle \sum \langle c^{\ast }\otimes d^{\ast },h_{\left(1\right)}{c}_{\left(1\right)}\otimes h_{\left(2\right)}{c}_{\left(2\right)}\rangle }\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \sum \langle c^{\ast },h_{\left(1\right)}\cdot c_{\left(1\right)}\rangle \langle d^{\ast },h_{\left(2\right)}\cdot c_{\left(2\right)}\rangle }\\ ={\displaystyle \sum \langle c^{\ast }\leftarrow h_{\left(1\right)},c_{\left(1\right)}\rangle \langle d^{\ast }\leftarrow h_{\left(2\right)},c_{\left(2\right)}\rangle }\\ ={\displaystyle \sum \langle \left(c^{\ast }\leftarrow h_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(d^{\ast }\leftarrow h_{\left(2\right)}\right),c_{\left(1\right)}\otimes c_{\left(2\right)}\rangle }\end{array}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \sum \langle \left(c^{\ast }\leftarrow h_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(d^{\ast }\leftarrow h_{\left(2\right)}\right),\Delta \left(c\right)\rangle }\\ =\langle {\displaystyle \sum \left(c^{\ast }\leftarrow h_{\left(1\right)}\right)\left(d^{\ast }\leftarrow h_{\left(2\right)}\right)},c\rangle \end{array}$

所以 $c^{\ast }{d}^{\ast }\leftarrow h={\displaystyle \sum \left(c^{\ast }\leftarrow h_{\left(1\right)}\right)\left(d^{\ast }\leftarrow h_{\left(2\right)}\right)}$ ，即(MA2)成立。

最后，由于 $\epsilon =1_{c^{\ast }}$ ，则

$\langle 1_{c^{\ast }}\leftarrow h,c\rangle =\langle \epsilon ,h\cdot c\rangle =\epsilon \left(h\cdot c\right)=\epsilon \left(h\right)\epsilon \left(c\right)=\langle \epsilon \left(h\right)\epsilon ,c\rangle =\langle \epsilon \left(h\right)1_{c^{\ast }},c\rangle$

进而， $1_{c^{\ast }}\leftarrow h=\epsilon \left(h\right)1_{c^{\ast }}$ ，即(MA3)成立。

所以， $C^{\ast }$ 是一个右 $H$ -模代数。 $\square$

推论2.1：设 $H$ 为Hopf代数，则 $H$ 自然是一个左 $H$ -模代数和左 $H$ -模余代数。所以 $H^{\circ }$ 是一个右 $H$ -模余代数， $H^{\ast }$ 是一个右 $H$ -模代数。

推论2.2：设 $H$ 为 $K$ -Hopf代数， $S$ 为反极元；而 $A$ 为 $K$ -代数。那么 $A$ 可以成为一个左 $H$ -模代数，其中模结构映射 $\gamma :H\otimes A\to A$ ， $\gamma \left(h\otimes a\right)=h\cdot a$ 具有如下等式： $h\cdot a=\gamma \left(h_{\left(1\right)}\right)a\gamma \left(S\left(h_{\left(2\right)}\right)\right)$ ， $\forall h\in H,\forall a\in A$ 。

定义2.1：设 $H$ 是 $K$ -Hopf代数， $C$ 是 $K$ -余代数。称 $C$ 为左 $H$ -余模余代数，若下列三条成立：

(CC1) $C$ 是左 $H$ -余模，结构映射 $\rho :C\to H\otimes C$ ，其中 $\rho \left(c\right)={\displaystyle \sum c_{\left(-1\right)}\otimes c_{\left(0\right)}}$ ；

(CC2) ${\displaystyle \sum {\left(c_{\left(1\right)}\right)}_{\left(-1\right)}{\left(c_{\left(2\right)}\right)}_{\left(-1\right)}\otimes {\left(c_{\left(1\right)}\right)}_{\left(0\right)}\otimes {\left(c_{\left(2\right)}\right)}_{\left(0\right)}}={\displaystyle \sum c_{\left(-1\right)}\otimes {\left(c_{\left(0\right)}\right)}_{\left(1\right)}\otimes {\left(c_{\left(0\right)}\right)}_{\left(2\right)}}$ ；

(CC3) ${\displaystyle \sum c_{\left(-1\right)}\epsilon \left(c_{\left(0\right)}\right)}=\epsilon \left(c\right)1_H,\forall c\in C$ 。

类似地可以定义右 $H$ -余模余代数。

例2.1：设 $H$ 为Hopf代数， $C$ 为余代数，而 $f\in Hom\left(C,H\right)$ 是一个余代数同态，如果 $f$ 作为卷积代数 $Hom\left(C,A\right)$ 中的可逆元，那么 $C$ 必是一个 $H$ -余模余代数，其中余模结构映射 $\rho :C\to H\otimes C$ ， $\rho \left(c\right)={\displaystyle \sum f\left(c_{\left(1\right)}\right)f^{-1}\left(c_{\left(3\right)}\right)\otimes c_{\left(2\right)}}$ 。

对 $H$ -余模余代数的刻画如下：

命题2.3：设 $H$ 为Hopf代数，余代数 $C$ 为左 $H$ -余模，其中余模结构映射为 ${\rho }_C:C\to H\otimes C$ ，那么 $C$ 为左 $H$ -余模余代数的充分必要条件是 $C$ 的余乘 $\Delta$ 和余单位 $\epsilon$ 都是余模同态。

证明：易知，作为 $H$ -余模余代数的条件(CC2)和(CC3)，分别等价于下列等式：

$\left(M_H\otimes 1\otimes 1\right)\left(1\otimes T\otimes 1\right)\left(\rho \otimes \rho \right){\Delta }_C=\left(1\otimes {\Delta }_C\right){\rho }_C$ (2.5)

$\left(1\otimes {\epsilon }_C\right){\rho }_C=\left(u_H\otimes 1\right)l{\epsilon }_C$ (2.6)

其中 $l:K\to K\otimes K$ 为同构映射。

另一方面，由于 $M_H:H\otimes H\to H$ 和 $u_H:K\to H$ 都是余代数同态，故知 $C\otimes C$ 和 $K$ 均为左 $H$ -余模，它们的余模结构映射分别为：

${\rho }_{C\otimes C}=\left(M_H\otimes 1\otimes 1\right)\left(1\otimes T\otimes 1\right)\left({\rho }_c\otimes {\rho }_c\right),{\rho }_K=\left(u_H\otimes 1\right)l$

由此可知，

$\Delta :C\to C\otimes C$ 构成左 $H$ -余模同态当且仅当 ${\rho }_{C\otimes C}{\Delta }_C=\left(1\otimes {\Delta }_C\right){\rho }_C$ ，即(2.5)成立； $\epsilon :C\to K$ 构成左 $H$ -余模同态当且仅当 $\left(1\otimes {\epsilon }_C\right){\rho }_C={\rho }_K{\epsilon }_C$ ，即(2.6)成立。 $\square$

在 $H$ -模代数的讨论中我们曾引入了Smash积的概念，在 $H$ -余模余代数中我们也可以对偶地讨论

Smash余积。

定义2.2 设 $H$ 为Hopf代数， $C$ 是一个左 $H$ -余模余代数，那么可以构造 $C$ 和 $H$ 的Smash余积 $C\ast H$ ，其中，作为 $K$ -空间， $C\ast H=C\otimes H$ ， $C\ast H$ 中的元素记为 $c\ast h$ 。另外，在 $C\ast H$ 中定义余乘

$\Delta :C\ast H\to \left(C\ast H\right)\otimes \left(C\ast H\right),\Delta \left(c\ast h\right)={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(2\right)}\right)}$ ，

以及余单位 $\epsilon :C\ast H\to K,\epsilon \left(c\ast h\right)=\epsilon \left(c\right)\epsilon \left(h\right)$ 。

定理2.2：设 $H$ 为Hopf代数， $C$ 为左 $H$ -余模余代数，那么Smash余积 $C\ast H$ 关于给定的

余乘和余单位构成一个余代数。

证明： $\begin{array}{l}\left(\Delta \otimes 1\right)\Delta \left(c\ast h\right)={\displaystyle \sum \Delta \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)\left(1\right)}\ast c_{\left(1\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{\left(c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(1\right)\left(2\right)\left(0\right)}\ast {\left(c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)}_{\left(2\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)\left(1\right)}\ast c_{\left(1\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{c}_{\left(2\right)\left(-1\right)\left(1\right)}{h}_{\left(1\right)\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(1\right)\left(2\right)\left(0\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)\left(2\right)}{h}_{\left(1\right)\left(2\right)}\right)\otimes (c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{(2)})}\end{array}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)\left(1\right)}\ast c_{\left(1\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{c}_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(1\right)\left(2\right)\left(0\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(2\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(3\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{c}_{\left(3\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast c_{\left(3\right)\left(0\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(2\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(3\right)\left(0\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(3\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(2\right)}\right)\otimes (c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{(3)})}\end{array}$

另一方面， $\begin{array}{l}\left(1\otimes \Delta \right)\Delta \left(c\ast h\right)={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \Delta \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(2\right)\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(2\right)\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(2\right)}\right)\otimes (c_{\left(2\right)\left(0\right)\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{(3)})}\end{array}$

所以， $\left(\Delta \otimes 1\right)\Delta \left(c\ast h\right)=\left(1\otimes \Delta \right)\Delta \left(c\ast h\right)$ 。

最后， $\begin{array}{c}\left(\epsilon \otimes 1\right)\Delta \left(c\ast h\right)={\displaystyle \sum \epsilon \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \epsilon \left(c_{\left(1\right)}\right)\epsilon \left(c_{\left(2\right)\left(-1\right)}\right)\epsilon \left(h_{\left(1\right)}\right)\left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \epsilon \left(c_{\left(1\right)}\right)\left(\epsilon \left(c_{\left(2\right)\left(-1\right)}\right)c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h\right)}\\ ={\displaystyle \sum \epsilon \left(c_{\left(1\right)}\right)\left(c_{\left(2\right)}\ast h\right)}=c\ast h\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(1\otimes \epsilon \right)\Delta \left(c\ast h\right)={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\otimes \epsilon \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\ast h_{\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}{h}_{\left(1\right)}\right)\epsilon \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\right)\epsilon \left(h_{\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(c_{\left(1\right)}\ast c_{\left(2\right)\left(-1\right)}\epsilon \left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\right)h_{\left(1\right)}\epsilon \left(h_{\left(2\right)}\right)\right)}\\ ={\displaystyle \sum c_{\left(1\right)}\ast \epsilon \left(c_{\left(2\right)}\right)h}=c\ast h\end{array}$

所以， $\left(\epsilon \otimes 1\right)\Delta =1,\left(1\otimes \epsilon \right)\Delta =1$ . $\square$

已知当 $M$ 是左 $C^{\ast }$ -模时，那么 $M^{\ast }$ 必然能成为右 $C^{\ast }$ -模。习惯上记 $M^r$ 为 $M^{\ast }$ 中的最大有理子模(或 $M^{\ast }$ 中所有有限维子模的和)。

定理2.3：设 $H$ 为Hopf代数，那么

(1) $C$ 是一个左 $H$ -余模余代数，则 $C^r$ 是一个右 $H$ -余模代数；

(2) $A$ 是一个有限维的左 $H$ -余模代数，则 $A^{\ast }$ 是一个右 $H$ -余模余代数。

证明：因为 $A$ 是一个有限维的，所以 $A^{\ast }=A^0$ ，(2)的证明显然 [5] 。

(1) 只需证明 $C^r$ 是 $C^{\ast }$ 的子代数即可。

设余模 $C$ 的结构映射为 $\rho$ ，令 $\left(C^r,{\rho }^r\right)$ 是 $C^r$ 的余模结构并给出赋值映射 $\overline{\overline{}}:C\to C^{\ast \ast }$ ，其中 $\overline{\overline{c}}\left(c^{\ast }\right)=c^{\ast }\left(c\right),\forall c\in C,\forall c^{\ast }\in C^{\ast }$ 。如果由有理模的定义可知 $c^{\ast }\in C^{\ast }$ ，那么 $c^{\ast }\in C^r\iff$ 存在 ${\rho }_{c^{\ast }}^r\in C^{\ast }\otimes H$ 使得

$\left(\overline{\overline{c}}\otimes I_H\right)\left({\rho }_{c^{\ast }}^r\right)=\left(I_H\otimes c^{\otimes }\right)\left(\rho \left(c\right)\right),\forall c\in C$

由有理模的性质可知，这里 ${\rho }_{c^{\ast }}^r={\rho }^r\left(c^{\ast }\right)$ 。又条件 ${\displaystyle \sum c_{\left(-1\right)}\epsilon \left(c_{\left(0\right)}\right)}=\epsilon \left(c\right)1_H,\forall c\in C$ 表明存在 ${\rho }_{\epsilon }^r\in C^{\ast }\otimes H$ 使得 ${\rho }^r\left(\epsilon \right)=\epsilon \otimes 1$ ，即单位元 $\epsilon \in C^r$ 。

设 $f,g\in C^r$ ，那么 $\forall c\in C$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum c_{\left(-1\right)}\langle fg,c_{\left(0\right)}\rangle }={\displaystyle \sum c_{\left(-1\right)}\otimes \langle f,c_{\left(0\right)\left(1\right)}\rangle }\langle g,c_{\left(0\right)\left(2\right)}\rangle \\ ={\displaystyle \sum c_{\left(1\right)\left(-1\right)}{c}_{\left(2\right)\left(-1\right)}\langle f,c_{\left(1\right)\left(0\right)}\rangle \langle g,c_{\left(2\right)\left(0\right)}\rangle }\\ ={\displaystyle \sum \langle f_{\left(0\right)},c_{\left(1\right)}\rangle \langle g_{\left(0\right)},c_{\left(2\right)}\rangle }{f}_{\left(1\right)}{g}_{(1)}\end{array}$

这表明 ${\rho }_{{}^{fg}}^r=f_{\left(0\right)}{g}_{\left(0\right)}\otimes f_{\left(1\right)}{g}_{\left(1\right)}$ 存在，即 $C^r$ 对乘法封闭。 $\square$

3. 主要定理

如果 $\left(M,\rho \right)$ 为左 $C$ -余模，那么 $M$ 就是有理右 $C^{\ast }$ -模；同时 $\left(M^{\ast },\gamma \right)$ 也是左 $C^{\ast }$ -模，其中模的结构映射是限制 $\gamma ={\rho }^{\ast }|{}_{C^{\ast }\otimes M^{\ast }}$ 。

定理3.1：设 $C$ 是 $K$ -余代数。如果 $C$ 是左 $H$ -余模余代数，将 $H^{\ast }$ 对左 $H^{\ast }$ -模 $\left(C^{\ast },\cdot \right)$ 的作用限制在 $H^0$ 上，那么

(1) 作为代数并具有左 $H^0$ -模结构的 $\left(C^{\ast },\cdot \right)$ 是一个左 $H^0$ -模代数；

(2) 同态单射 $\eta :C^{\ast }\#H^0\to {\left(C\ast H\right)}^{\ast }$ 是一个代数同态，其中 $\eta \left(c^{\ast }\#h^0\right)=c^{\ast }\otimes h^0$ 。

证明：(1) 显然，只需证明(MA1)，(MA2)成立即可。 $\forall h^0\in H^0,\forall c^{\ast },d^{\ast }\in C^{\ast },\forall c\in C$

$\begin{array}{c}\left(h^0\cdot \left(c^{\ast }{d}^{\ast }\right)\right)\left(c\right)={\displaystyle \sum h^0}\left(c_{\left(-1\right)}\right)\left(c^{\ast }{d}^{\ast }\left(c_{\left(0\right)}\right)\right)\\ ={\displaystyle \sum h^0\left(c_{\left(-1\right)}\right)c^{\ast }\left(c_{\left(0\right)\left(1\right)}\right)d^{\ast }\left(c_{\left(0\right)\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum h^0\left(c_{\left(1\right)\left(-1\right)}{c}_{\left(2\right)\left(-1\right)}\right)c^{\ast }\left(c_{\left(1\right)\left(0\right)}\right)d^{\ast }(c_{\left(2\right)(0))}}\end{array}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \sum h_{\left(1\right)}^0\left(c_{\left(1\right)\left(-1\right)}\right)h_{\left(2\right)}^0\left(c_{\left(2\right)\left(-1\right)}\right)c^{\ast }\left(c_{\left(1\right)\left(0\right)}\right)d^{\ast }\left(c_{\left(2\right)\left(0\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(h_{\left(1\right)}^0\cdot c^{\ast }\right)\left(c_{\left(1\right)}\right)\left(h_{\left(2\right)}^0\cdot d^{\ast }\right)\left(c_{\left(2\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(\left(h_{\left(1\right)}^0\cdot c^{\ast }\right)\left(h_{\left(2\right)}^0\cdot d^{\ast }\right)\right)(c)}\end{array}$

所以，(MA1)成立。

$\begin{array}{c}\left(h^0\cdot \epsilon \right)\left(c\right)={\displaystyle \sum h^0}\left(c_{\left(-1\right)}\right)\epsilon \left(c_{\left(0\right)}\right)\\ ={\displaystyle \sum h^0}\left(\epsilon \left(c\right)1\right)\\ =h^0\left(1\right)\epsilon (c)\end{array}$

即，(MA2)成立。

(2) 由定理2.2可知 $C\ast H$ 是余代数，进而 ${\left(C\ast H\right)}^{\ast }$ 是一个代数；显然 $C^{\ast }\#H^0$ 是个代数。而 $\eta$ 的单射性是自然的。现只需论证 $\eta$ 保持单位元和乘法即可，而等式的验证工作较易。 $\square$

设 $A$ 为左 $H$ -模代数， $H$ 的反极元为 $S$ 。注意到 $i:A\to A\#H,i\left(a\right)=a\#1,\forall a\in A$ 和 $j:H\to A\#H$ ， $j\left(h\right)=1\#h$ ， $\forall h\in H$ 都是代数同态，易知当 $I$ 是 $A\#H$ 的余有限维理想，则 $J=i^{-1}\left(I\right)$ 及 $L=j^{-1}\left(I\right)$ 分别是 $A$ 和 $H$ 的余有维限理想。而且 $A$ 的余有限维理想 $J$ 还是 $A$ 的左 $H$ -子模，因为 $\forall a\in A,\forall h\in H$ ，

$\begin{array}{c}i\left(h\cdot a\right)=h\cdot a\#1={\displaystyle \sum h_{\left(1\right)}\cdot a\#h_{\left(2\right)}S\left(h_{\left(3\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(1\#h_{\left(1\right)}\right)\left(a\#S\left(h_{\left(2\right)}\right)\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(1\#h_{\left(1\right)}\right)\left(a\#1\right)\left(1\#S\left(h_{\left(2\right)}\right)\right)}\\ ={\displaystyle \sum \left(1\#h_{\left(1\right)}\right)i\left(a\right)\left(1\#S\left(h_{\left(2\right)}\right)\right)}\end{array}$

另外，由于 $A^0$ 是含在 $A^{\ast }$ 内的余代数，设 $A^{\square }=\left\{f|f\in A^0,f\left(I\right)=o\right\}$ ， $I$ 是 $A$ 的某个余有限维理想而且还是 $A$ 的左 $H$ -子模，那么 $A^{\square }$ 是 $A^0$ 的子余代数，这是因为作为 ${\left(A\otimes H\right)}^{\ast }$ 的子模 ${\left(A\#H\right)}^0\subseteq A^{\square }\otimes H^0$ ，所以有

$I\subseteq i\left(J\right)\left(1\#H\right)+\left(A\#1\right)j\left(L\right)=J\#H+A\#L$

定理3.2：设 $A$ 是左 $H$ -模代数。模结构映射 $\mu :H\otimes A\to A,\mu \left(h\otimes a\right)=h\cdot a$ 。那么

(1) ${\mu }^{\ast }\left(A^{\square }\right)\subseteq H^0\otimes A^{\square }$ 且 $\left(A^{\square },\rho \right)$ 形成一个左 $H^0$ -余模，其中 $\rho ={\mu }^{\ast }|{}_{A^{\square }}$ 是一个限制；

(2) 余模 $A^{\square }$ 是一个左 $H^0$ -余模余代数；

(3) 嵌入映射 ${\left(A\#H\right)}^0\to A^{\square }\ast H^0$ 是一个余代数同构。

证明：(1)设 $a^0\in A^{\square }$ ，那么存在 $A$ 的某个余有限维理想 $I$ 使得 $a^0\left(I\right)=o$ 。所以 ${\mu }^{\ast }\left(a^0\right)$ 自然能零化 $H\otimes I$ ，这说明， ${\mu }^{\ast }\left(a^0\right)\in {\left(H\otimes I\right)}^{\perp }=H^{\ast }\otimes I^{\perp }\subseteq H^{\ast }\otimes A^{\square }$ 。设 ${\mu }^{\ast }\left(a^0\right)\ne o$ ，那么 ${\mu }^{\ast }\left(a^0\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^s{f}_i}\otimes a_i^0$ ， $f_i\in H^{\ast }$ ， $a_i^0\in A^{\square }$ ，其中 $s$ 是该等式成立的最小正整数。进而易知： $\left\{a_1^0,a_2^0,\cdots ,a_s^0\right\}$ 是线性无关，令 $J={\displaystyle {\cap }_{i=1}^{S}Ker\left(f_i\right)}$ ，那么 $J$ 自然就是 $H$ 的余有限维子空间，则有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^s{f}_i\left(hk\right)a_i^0}=a^0\left(hk\cdot a\right)=a^0\left(h\cdot \left(k\cdot a\right)\right)\\ ={\displaystyle {\sum }_{i=1}^s{f}_i\left(h\right)a_i^0\left(k\cdot a\right)}\end{array}$

这表明 $J$ 是 $H$ 的右理想。所以 $f_1,f_2,\cdots ,f_s\in H^0$ ，即 ${\mu }^{\ast }\left(A^{\square }\right)\subseteq H^0\otimes A^{\square }$ 。

最后， $\forall a^0\in A^{\square }$

$\begin{array}{c}\left(I_{H^0}\otimes \rho \right)\rho \left(a^0\right)={\displaystyle \sum a_{\left(-2\right)}^0\otimes a_{\left(-1\right)}^0\otimes a_{\left(0\right)}^0}\\ ={\displaystyle \sum {\Delta }_{H^0}}\left(a_{\left(-1\right)}^0\right)\otimes a_{\left(0\right)}^0\\ ={\displaystyle \sum \left({\Delta }_{H^0}\otimes I_{A^{\square }}\right)}\left(a_{(-1)}^0\otimes a_{(0)}^0\right)\\ =\left({\Delta }_{H^0}\otimes I_{A^{\square }}\right)\rho (a0)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left({\epsilon }_{H^0}\otimes I_{A^{\square }}\right)\rho \left(a^0\right)={\displaystyle \sum \left({\epsilon }_{H^0}\otimes I_{A^{\square }}\right)}\left(a_{\left(-1\right)}^0\otimes a_{\left(0\right)}^0\right)\\ ={\displaystyle \sum {\epsilon }_{H^0}\left(a_{\left(-1\right)}^0\right)a_{\left(0\right)}^0}\\ =a^0\end{array}$

所以， $\left(A^{\square },\rho \right)$ 构成一个左 $H^0$ -余模。

(2) 欲证左 $H^0$ -余模 $A^{\square }$ 是一个左 $H^0$ -余模余代数，关键是证明(CC2)~(CC3)都成立。事实上， $\forall a^0\in A^{\square }$ ， $\forall h\in H$ ， $\forall a,b\in A$ ，于是有

$\begin{array}{c}{a}^0\left(h\cdot \left(ab\right)\right)={\displaystyle \sum a^0}\left(\left(h_{\left(1\right)}\cdot a\right)\left(h_{\left(2\right)}\cdot b\right)\right)\\ ={\displaystyle \sum a_{\left(1\right)}^0\left(h_{\left(1\right)}\cdot a\right)a_{\left(2\right)}^0\left(h_{\left(2\right)}\cdot b\right)}\\ ={\displaystyle \sum a_{\left(1\right)\left(-1\right)}^0\left(h_{\left(1\right)}\right)a_{\left(2\right)\left(-1\right)}^0\left(h_{(2)}\right)a_{\left(1\right)\left(0\right)}^0\left(a\right)a_{\left(2\right)\left(0\right)}^0\left(b\right)}\\ ={\displaystyle \sum a_{\left(1\right)\left(-1\right)}^0{a}_{\left(2\right)\left(-1\right)}^0\left(h\right)a_{\left(1\right)\left(0\right)}^0\left(a\right)a_{\left(2\right)\left(0\right)}^0(b)}\end{array}$

另一方面，还可以有

$\begin{array}{c}{a}^0\left(h\cdot \left(ab\right)\right)={\displaystyle \sum a_{\left(-1\right)}^0}\left(h\right)a_{\left(0\right)}^0\left(ab\right)\\ ={\displaystyle \sum a_{\left(-1\right)}^0\left(h\right)a_{\left(0\right)\left(1\right)}^0\left(a\right)a_{\left(0\right)\left(2\right)}^0(b)}\end{array}$

这就恰好表明

${\displaystyle \sum a_{\left(1\right)\left(-1\right)}^0{a}_{\left(2\right)\left(-1\right)}^0\otimes a_{\left(1\right)\left(0\right)}^0\otimes a_{\left(2\right)\left(0\right)}^0=}{\displaystyle \sum a_{\left(-1\right)}^0\otimes a_{\left(0\right)\left(1\right)}^0\otimes a_{\left(0\right)\left(2\right)}^0}$

即，(CC2)成立。而(CC3)成立是显然的，因为易知有 ${\displaystyle \sum a_{\left(-1\right)}^0{\epsilon }_{A^{\square }}\left(a_{\left(0\right)}^0\right)}={\epsilon }_{A^{\square }}\left(a^0\right)1_{H^0}$ 。

(3) 显然， ${\epsilon }_{{\left(A\otimes H\right)}^0}={\epsilon }_{A^{\square }\ast H^0}$ 。另外， $\forall a,b\in A,\forall h,k\in H,a^0\otimes h^0\in {\left(A\otimes H\right)}^{\ast }$ 我们有

$\begin{array}{c}\langle a^0\otimes h^0,\left(a\otimes h\right)\left(b\otimes k\right)\rangle ={\displaystyle \sum \left(a^0\otimes h^0\right)\left(a\left(h_{\left(1\right)}\cdot b\right)\otimes h_{\left(2\right)}k\right)}\\ ={\displaystyle \sum a_{\left(1\right)}^0\left(a\right)a_{\left(2\right)}^0\left(h_{\left(1\right)}\cdot b\right)h_{\left(1\right)}^0\left(h_{\left(2\right)}\right)h_{\left(2\right)}^0\left(k\right)}\\ ={\displaystyle \sum a_{\left(1\right)}^0\left(a\right)a_{\left(2\right)\left(-1\right)}^0\left(h_{\left(1\right)}\right)a_{\left(2\right)\left(0\right)}^0\left(b\right)h_{(1)}^0\left(h_{\left(2\right)}\right)h_{\left(2\right)}^0\left(k\right)}\\ ={\displaystyle \sum a_{\left(1\right)}^0\left(a\right)a_{\left(2\right)\left(-1\right)}^0{h}_{\left(1\right)}^0\left(h\right)a_{\left(2\right)\left(0\right)}^0\left(b\right)h_{\left(2\right)}^0\left(k\right)}\\ ={\displaystyle \sum \langle a_{\left(1\right)}^0\otimes a_{\left(2\right)\left(-1\right)}^0{h}_{\left(1\right)}^0,a\otimes h\rangle \langle a_{\left(2\right)\left(0\right)}^0\otimes h_{\left(2\right)}^0,b\otimes k\rangle }\end{array}$

所以， ${\Delta }_{a^0\otimes h^0}=\left(a_{\left(1\right)}^0\otimes a_{\left(2\right)\left(-1\right)}^0{h}_{\left(1\right)}^0\right)\otimes \left(a_{\left(2\right)\left(0\right)}^0\otimes h_{\left(2\right)}^0\right)$ 。 $\square$

基金项目

广西研究生教育创新计划资助项目(JGY2014092)；广东科技学院科研项目及青年项目(GKY-2016KYYB-15, GKY-2017KYQN-4)；广东科技学院2016年“质量工程”项目。

文章引用

任北上,韦玉球,谢芬芳,金 帅,陈 娟. Smash积与Smash余积的对偶性
Duality between the Smash Product and Smash Coproduct[J]. 应用数学进展, 2017, 06(09): 1105-1114. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.69134

参考文献 (References)