Advances in Applied Mathematics
Vol.
07
No.
09
(
2018
), Article ID:
26852
,
6
pages
10.12677/AAM.2018.79139
Global Existence for a Haptotaxis Model of Cancer Invasion with Tissue Remodeling in Three Dimensions
Laiqing Meng, Jia Yuan
School of Mathematics and System Science, Beihang University, Beijing
Received: Aug. 22nd, 2018; accepted: Sep. 10th, 2018; published: Sep. 17th, 2018
ABSTRACT
Compared with [1] , under the same assumption on the coefficients, we establish some delicate priori estimates of haptotaxis term by using the Gagliardo-Nirenberg inequality, and prove the global existence and uniqueness of classical solutions to haptotaxis model in three dimensions.
Keywords:Haptotaxis, Global Solution, Gagliardo-Nirenberg Inequality
带有组织重塑的肿瘤侵袭趋同化模型在三维 空间中的整体存在性
孟莱青,苑佳
北京航空航天大学,数学与系统科学学院,北京
收稿日期:2018年8月22日;录用日期:2018年9月10日;发布日期:2018年9月17日
摘 要
在与 [1] 相同的假设条件下,本文主要通过Gagliardo-Nirenberg不等式,建立趋同项在三维空间上的先验估计,给出趋同化模型在三维空间中整体解的存在唯一性。
关键词 :趋同化,整体解,Gagliardo-Nirenberg不等式
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1. 引言
癌症侵袭是一个非常复杂的过程,涉及多种生物学机制。细胞迁移在多种生理和病理过程中起着非常重要的作用,包括胚胎发育、皮肤创伤愈合、肿瘤浸润和转移。事实上,许多数学模型已经被开发用于癌症侵袭的相关方面。其中趋同性是细胞迁移的重要机制。它是细胞沿着细胞粘附梯度的定向运动,这往往是由趋化因子或结合在细胞外基质(ECM)中的酶促进的。为此,学者们提出了更多的生物学相关模型,做了很多尝试且得到了可观的结果 [2] - [9] 。局部解的存在唯一性、整体解的存在性、解的有界性、爆破解的存在性等都是癌症侵袭模型的主要内容。文章 [1] 给出了如下模型:
(1.1)
其中 是边界光滑的有界区域。为了封闭方程组,我们需要施加边界和初始条件,如下:
表示边界上的外法向量, 分别代表癌细胞密度、基质降解酶(MDE)的浓度和细胞外基质(ECM)的密度。同时, 代表细胞增值速率, 是衡量细胞趋同性敏感度的参数, 表示ECM重塑的速率参数。
为了下文中分析的方便,我们引入下面的变量变换
得到与(1.1)等价的形式
(1.2)
在文章中,我们假设
(1.3)
2. 预备知识
对任意 ,设
给出以下空间及模的相关定义:
和
其中 是一个整数。
为了表述方便,在文章中, 和C均代表不依赖于时间的正常数, 是依赖于最大生命区间T的常数。
引理2.1:设 是带有光滑边界的有界区域。取 是任意整数,满足 ,令 , 满足
那么,对于任意 ,存在两个依赖于 的正常数 和 使得以下不等式成立:
如果 , 是非负整数,那么对 ,上述不等式亦成立。
3. 本文的主要内容
本节我们分三部分介绍。
3.1. 局部存在性与唯一性
定理3.1:(局部存在性与唯一性)在初始条件(1.3)的条件下,若取某个小值 ,则对任意 ,系统(1.2)存在唯一的强解 成立。而且
证明:通过调用已建立的Banach不动点定理以及应用标准抛物线正则性理论(参见 [10] ),可以很容易地验证经典解的局部存在性、唯一性和可扩展性准则(参见参考文献 [1] [2] [3] )。同时,在最大值原理的帮助下,我们也可以验证解的非负性。
3.2. 在二维和三维空间中的L∞先验估计
引理3.1:假设 是系统(1.2)的解,那么,对所有时间 ,成立
证明:主要利用霍尔德不等式和柯西-施瓦兹不等式,可以很容易的验证上述引理成立。
引理3.2:在初始条件(1.3)的条件下,假设 , ,那么对所有时间 ,
1) 对于 ,当 ,我们有 ;
2) 对于 ,对任意 , 均成立;
3) 对于 ,当 时, 仍然成立;
4) 对于 ,当 且满足 时,成立 。
引理3.3:假设 是系统(1.2)的解,且 。那么对所有时间 ,下面估计成立:
详细的证明过程我们可参考文献 [1] 。
3.3. 在二维和三维空间中关于 的先验估计
在二维空间中,关于 的先验估计在文献 [1] 中给出了详细的证明,现在我们给出在三维空间中,关于 的先验估计。两者的区别在于估计 的证明过程不同。
引理3.4:假设 是系统(1.2)的解,那么对所有时间 ,成立
详细的证明过程我们可参考文献 [1] [2] 。
引理3.5:假设 是系统(1.2)的解,在三维空间中有
证明:因为 ,其中
因为引理3.3,得到 满足
结合引理3.4,我们得到对任意 ,
(3.1)
我们需要进一步估计上式右边最后一项,该项来源于趋同化项。利用霍尔德不等式、引理3.4、柯西不等式以及对任意 成立 ,我们得到对任意 ,
(3.2)
下一步,我们估计积分 。利用Gagliardo-Nirenberg 不等式,在三维空间中我们有
(3.3)
把(3.3)插入(3.2),得到对任意 ,成立
(3.4)
把(3.4)插入(3.1),得到对任意 ,成立
其中 。
因此,
取 ,上式化为
(3.5)
(1)如果 ,那么定理得证;
(2)如果 ,我们取 作为初始时间,重复上述过程。因为 仅仅依赖于T,通过有限步,我们可以将估计(3.5)延展到区间 上,那么定理得证。
引理3.6:假设 是系统(1.2)的解,在三维空间中,对任意 ,成立
注意:在三维空间中( ),利用Gagliardo-Nirenberg不等式,我们有
其中
利用Young不等式,椭圆 估计( [10] 中推论9.10),我们推出
引理得证。
4. 三维空间中的整体存在性
定理4.1:在三维空间中,在初始条件(1.3)成立的条件下,对任意 ,系统(1.2)存在唯一的解满足 。
证明:利用反证法,取有限时间 。假设 是解存在的极大生命区间,我们取 (其中 )作为一个新的初始值。利用延展定理,对 ,我们
可以将解延拓至 。而且根据定理3.1,我们知道 仅依赖于 , , 的上确界。因此通过先验估计 ,我们知道 依赖于 ,换句话说, 。因此,如果我们取 ,那么 ,从而产生矛盾。定理得证。
文章引用
孟莱青,苑佳,nullnull. 带有组织重塑的肿瘤侵袭趋同化模型在三维空间中的整体存在性
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