Advances in Applied Mathematics
Vol. 07  No. 09 ( 2018 ), Article ID: 26852 , 6 pages
10.12677/AAM.2018.79139

Global Existence for a Haptotaxis Model of Cancer Invasion with Tissue Remodeling in Three Dimensions

Laiqing Meng, Jia Yuan

School of Mathematics and System Science, Beihang University, Beijing

Received: Aug. 22nd, 2018; accepted: Sep. 10th, 2018; published: Sep. 17th, 2018

ABSTRACT

Compared with [1] , under the same assumption on the coefficients, we establish some delicate priori estimates of haptotaxis term by using the Gagliardo-Nirenberg inequality, and prove the global existence and uniqueness of classical solutions to haptotaxis model in three dimensions.

Keywords:Haptotaxis, Global Solution, Gagliardo-Nirenberg Inequality

带有组织重塑的肿瘤侵袭趋同化模型在三维 空间中的整体存在性

孟莱青,苑佳

北京航空航天大学,数学与系统科学学院,北京

收稿日期:2018年8月22日;录用日期:2018年9月10日;发布日期:2018年9月17日

摘 要

在与 [1] 相同的假设条件下,本文主要通过Gagliardo-Nirenberg不等式,建立趋同项在三维空间上的先验估计,给出趋同化模型在三维空间中整体解的存在唯一性。

关键词 :趋同化,整体解,Gagliardo-Nirenberg不等式

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1. 引言

癌症侵袭是一个非常复杂的过程,涉及多种生物学机制。细胞迁移在多种生理和病理过程中起着非常重要的作用,包括胚胎发育、皮肤创伤愈合、肿瘤浸润和转移。事实上,许多数学模型已经被开发用于癌症侵袭的相关方面。其中趋同性是细胞迁移的重要机制。它是细胞沿着细胞粘附梯度的定向运动,这往往是由趋化因子或结合在细胞外基质(ECM)中的酶促进的。为此,学者们提出了更多的生物学相关模型,做了很多尝试且得到了可观的结果 [2] - [9] 。局部解的存在唯一性、整体解的存在性、解的有界性、爆破解的存在性等都是癌症侵袭模型的主要内容。文章 [1] 给出了如下模型:

{ u t = Δ u ξ ( u ω ) + μ u ( 1 u ω ) , x Ω , t > 0 , υ t = Δ υ υ + u , x Ω , t > 0 , ω t = υ ω + η ω ( 1 ω u ) , x Ω , t > 0. (1.1)

其中 Ω d ( d = 2 , 3 ) 是边界光滑的有界区域。为了封闭方程组,我们需要施加边界和初始条件,如下:

{ u ν ξ u ω ν = υ ν = 0 , x Ω , t > 0 , u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , υ ( x , 0 ) = υ 0 ( x ) , ω ( x , 0 ) = ω 0 ( x ) , x Ω .

ν 表示边界上的外法向量, u , υ , ω 分别代表癌细胞密度、基质降解酶(MDE)的浓度和细胞外基质(ECM)的密度。同时, μ 代表细胞增值速率, ξ > 0 是衡量细胞趋同性敏感度的参数, η > 0 表示ECM重塑的速率参数。

为了下文中分析的方便,我们引入下面的变量变换

a = u e ξ ω ,

得到与(1.1)等价的形式

{ a t = e ξ ω ( e ξ ω a ) + ξ a υ ω + a ( μ ξ η ω ) ( 1 e ξ ω a ω ) , x Ω , t > 0 , υ t = Δ υ υ + e ξ ω a , x Ω , t > 0 , ω t = υ ω + η ω ( 1 ω e ξ ω a ) , x Ω , t > 0 , a ν = υ ν = ω ν = 0 , x ω , t > 0 , a ( x , 0 ) = a 0 ( x ) , υ ( x , 0 ) = υ 0 ( x ) , ω ( x , 0 ) = ω 0 ( x ) , x Ω . (1.2)

在文章中,我们假设

{ a 0 ( x ) 0 , υ 0 0 , 0 ω 0 1 , Ω C 2 + α , 0 < α < 1 , a 0 ( x ) , υ 0 ( x ) , ω 0 ( x ) C 2 + α ( Ω ¯ ) , a 0 ( x ) ν = υ 0 ( x ) ν = 0 , x Ω . (1.3)

2. 预备知识

对任意 0 < T < ,设

Q T = Ω × { 0 < t < T } , Γ T = Ω × { 0 < t < T } .

给出以下空间及模的相关定义:

W p 2 ( Ω ) = { u | u , D x u , D x 2 u L p ( Ω ) } ,

W p 2 , 1 ( Q T ) = { u | u , D x u , D x 2 u , D t u L p ( Ω ) }

u W p 2 ( Ω ) = u L p ( Ω ) + D x u L p ( Ω ) + D x 2 u L p ( Ω ) ,

u W p 2 , 1 ( Q T ) = u L p ( Q T ) + D x u L p ( Q T ) + D x 2 u L p ( Q T ) + D t u L p ( Q T ) .

其中 p 1 是一个整数。

为了表述方便,在文章中, c i ( i = 1 , 2 , ) 和C均代表不依赖于时间的正常数, A i ( i = 1 , 2 ) 是依赖于最大生命区间T的常数。

引理2.1:设 Ω n 是带有光滑边界的有界区域。取 l , k 是任意整数,满足 0 l < k ,令 1 q , r p + , l k θ 1 满足

1 p l n = θ ( 1 q k n ) + ( 1 θ ) 1 r .

那么,对于任意 u W k , q ( Ω ) L r ( Ω ) ,存在两个依赖于 Ω , q , k , r , n 的正常数 c 1 c 2 使得以下不等式成立:

如果 1 < q < k l n q 是非负整数,那么对 l k θ < 1 , r > 1 ,上述不等式亦成立。

3. 本文的主要内容

本节我们分三部分介绍。

3.1. 局部存在性与唯一性

定理3.1:(局部存在性与唯一性)在初始条件(1.3)的条件下,若取某个小值 T 0 > 0 ,则对任意 p > 5 ,系统(1.2)存在唯一的强解 ( a , υ , ω ) ( C 2 + l , 1 + l 2 ( Q T 0 ¯ ) ) 3 成立。而且

a 0 , υ 0 , 0 ω 1.

证明:通过调用已建立的Banach不动点定理以及应用标准抛物线正则性理论(参见 [10] ),可以很容易地验证经典解的局部存在性、唯一性和可扩展性准则(参见参考文献 [1] [2] [3] )。同时,在最大值原理的帮助下,我们也可以验证解的非负性。

3.2. 在二维和三维空间中的L先验估计

引理3.1:假设 ( a , υ , ω ) ( C 2 , 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解,那么,对所有时间 t ( 0 , T ) ,成立

a ( t ) L 1 ( Ω ) u ( t ) L 1 ( Ω ) max ( u 0 L 1 ( Ω ) , | Ω | ) ,

υ ( t ) L 1 ( Ω ) υ 0 L 1 ( Ω ) + max ( u 0 L 1 ( Ω ) , | Ω | ) .

证明:主要利用霍尔德不等式和柯西-施瓦兹不等式,可以很容易的验证上述引理成立。

引理3.2:在初始条件(1.3)的条件下,假设 υ 0 W 1 ( Ω ) u L q ( Ω ) C ,那么对所有时间 t ( 0 , T )

1) 对于 1 q < n ,当 p < q n n q ,我们有 υ ( t ) W p 1 ( Ω ) C

2) 对于 q = n ,对任意 q < υ ( t ) W p 1 ( Ω ) C 均成立;

3) 对于 q > n ,当 q = 时, υ ( t ) W p 1 ( Ω ) C 仍然成立;

4) 对于 1 q < ,当 r > q 且满足 1 r + 2 n > 1 q 时,成立 υ ( t ) L r ( Ω ) C

引理3.3:假设 ( a , υ , ω ) ( C 2 , 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解,且 μ ξ η 。那么对所有时间 t ( 0 , T ) ,下面估计成立:

a ( t ) L ( Ω ) C , υ ( t ) W 1 ( Ω ) C .

详细的证明过程我们可参考文献 [1] 。

3.3. 在二维和三维空间中关于 ω L q ( Ω ) 的先验估计

在二维空间中,关于 ω L q ( Ω ) 的先验估计在文献 [1] 中给出了详细的证明,现在我们给出在三维空间中,关于 ω L q ( Ω ) 的先验估计。两者的区别在于估计 0 T Δ a ( t ) L 2 ( Ω ) 2 d t 的证明过程不同。

引理3.4:假设 ( a , υ , ω ) ( C 2 , 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解,那么对所有时间 t ( 0 , T ) ,成立

ω ( t ) L p ( Ω ) p e c 3 t [ c 4 + c 5 0 t a ( s ) L p ( Ω ) p d s ] ;

a ( t ) L 2 ( Ω ) c 6 e ξ η t .

a t L 2 ( Q T ) C t + C e ξ η t .

详细的证明过程我们可参考文献 [1] [2] 。

引理3.5:假设 ( a , υ , ω ) ( C 2 , 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解,在三维空间中有

0 T Δ a ( t ) L 2 ( Ω ) 2 d t C ( t ) .

证明:因为 a t = Δ a + ξ ω a + h ( x , t ) ,其中

h ( x , t ) = ξ a υ ω + a ( μ ξ η ω ) ( 1 ω e ξ ω a ) .

因为引理3.3,得到 h ( x , t ) 满足

h ( x , t ) L ( Ω ) = ξ a υ ω + a ( μ ξ η ω ) ( 1 ω e ξ ω a ) L ( Ω ) ξ a L ( Ω ) υ L ( Ω ) + μ a L ( Ω ) c 7 .

结合引理3.4,我们得到对任意 0 < t T

0 t Δ a L 2 ( Ω ) 2 d s c 8 T + c 9 e 2 ξ η T + 2 ξ 2 0 t ω a L 2 ( Ω ) 2 d s . (3.1)

我们需要进一步估计上式右边最后一项,该项来源于趋同化项。利用霍尔德不等式、引理3.4、柯西不等式以及对任意 x , y 0 成立 ( x + y ) 1 2 x 1 2 + y 1 2 ,我们得到对任意 0 < t T

0 t ω a L 2 ( Ω ) 2 d s t c 10 e c 11 T 0 t a L 4 ( Ω ) 4 d s + c 12 T e c 13 T . (3.2)

下一步,我们估计积分 0 t a L 4 ( Ω ) 4 d s 。利用Gagliardo-Nirenberg 不等式,在三维空间中我们有

0 t a L 4 ( Ω ) 4 d s 0 t ( c 14 Δ a L 2 ( Ω ) 2 a L ( Ω ) 2 + c 15 a L ( Ω ) 4 ) d s c 16 0 t Δ a L 2 ( Ω ) 2 d s + c 17 t . (3.3)

把(3.3)插入(3.2),得到对任意 0 < t T ,成立

0 t ω a L 2 ( Ω ) 2 d s t c 18 e c 19 T 0 t Δ a L 2 ( Ω ) 2 d s + T c 20 ( 1 + T ) e c 19 T . (3.4)

把(3.4)插入(3.1),得到对任意 0 < t T ,成立

0 t Δ a L 2 ( Ω ) 2 d s 2 ξ 2 t c 18 e c 19 T 0 t Δ a L 2 ( Ω ) 2 d s + A 1 ( T ) ,

其中 A 1 ( T ) = c 8 T + c 9 e 2 ξ η T + 2 ξ 2 T c 20 ( 1 + T ) e c 19 T

因此,

( 1 2 ξ 2 t c 18 e c 19 T ) 0 t Δ a L 2 ( Ω ) 2 d s A 1 ( T ) .

t 1 = 1 ( 4 ξ 2 c 18 e c 19 T ) 2 ,上式化为

0 t Δ a L 2 ( Ω ) 2 d s 2 A 1 ( T ) . (3.5)

(1)如果 t 1 T ,那么定理得证;

(2)如果 t 1 < T ,我们取 t 0 = t 1 作为初始时间,重复上述过程。因为 t 1 仅仅依赖于T,通过有限步,我们可以将估计(3.5)延展到区间 [ 0 , T ] 上,那么定理得证。

引理3.6:假设 ( a , υ , ω ) ( C 2 , 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解,在三维空间中,对任意 p > 2 ,成立

0 T a L p ( Ω ) d t A 2 ( T ) .

注意:在三维空间中( n = 3 ),利用Gagliardo-Nirenberg不等式,我们有

a L p ( Ω ) Δ a L 2 ( Ω ) θ a L 2 ( Ω ) 1 θ + a L 2 ( Ω ) ,

其中

0 < θ = 3 ( 1 2 1 p ) < 1 , ( p > 2 ) .

利用Young不等式,椭圆 L p 估计( [10] 中推论9.10),我们推出

0 T a L p ( Ω ) d t 0 T Δ a L 2 ( Ω ) θ a L 2 ( Ω ) 1 θ d t + 0 T a L 2 ( Ω ) d t c 21 0 T Δ a L 2 ( Ω ) d t + c 22 0 T a L 2 ( Ω ) d t c 23 0 T Δ a L 2 ( Ω ) 2 d t + c 24 T + c 22 0 T a L 2 ( Ω ) d t A 2 ( T ) .

引理得证。

4. 三维空间中的整体存在性

定理4.1:在三维空间中,在初始条件(1.3)成立的条件下,对任意 T > 0 ,系统(1.2)存在唯一的解满足 ( a , υ , ω ) ( C 2 + l , 1 + l 2 ( Q T ) ) 3

证明:利用反证法,取有限时间 T ˜ > 0 。假设 [ 0 , T ˜ ) 是解存在的极大生命区间,我们取 ( a ( x , T ˜ ε ) , υ ( x , T ˜ ε ) , ω ( x , T ˜ ε ) ) (其中 0 < ε < T ˜ )作为一个新的初始值。利用延展定理,对 T 1 > 0 ,我们

可以将解延拓至 Q ( T ˜ ε ) + T 1 。而且根据定理3.1,我们知道 T 1 仅依赖于 a ( x , T ˜ ε ) C 2 ( Ω ¯ ) υ ( x , T ˜ ε ) C 2 ( Ω ¯ ) ω ( x , T ˜ ε ) C 1 ( Ω ¯ ) 的上确界。因此通过先验估计 ( a , υ , ω ) C 2 + l , 1 + l 2 ( Q T ) A ( T ) ,我们知道 T 1 依赖于 T ˜ ,换句话说, T 1 = T 1 ( T ˜ ) 。因此,如果我们取 ε < T 1 ,那么 ( T ˜ ε ) + T 1 > T ˜ ,从而产生矛盾。定理得证。

文章引用

孟莱青,苑佳,nullnull. 带有组织重塑的肿瘤侵袭趋同化模型在三维空间中的整体存在性
Global Existence for a Haptotaxis Model of Cancer Invasion with Tissue Remodeling in Three Dimensions[J]. 应用数学进展, 2018, 07(09): 1197-1202. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.79139

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