﻿ FHN-ML神经元系统的稳定性及Hopf分岔研究 Study on Stability and Hopf Bifurcation of FHN-ML Neuron System

Vol. 07  No. 10 ( 2018 ), Article ID: 27251 , 10 pages
10.12677/AAM.2018.710150

Study on Stability and Hopf Bifurcation of FHN-ML Neuron System

Haonan Xu, Shengwen Deng

School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu

Received: Oct. 1st, 2018; accepted: Oct. 17th, 2018; published: Oct. 24th, 2018

ABSTRACT

Based on the FHN-ML model of electro synaptic coupling neurons, the stability near the equilibrium point and the equilibrium point of the system are discussed. The existence of Hopf bifurcation and the direction of Hopf bifurcation are proved by using the normal form theory and Hassard method. The periodic solution and approximate period are given. Finally, this paper uses numerical simulation tools such as MATLAB, C language to study the bifurcation behavior and dynamics of the model under a single parameter, verify the interference of external stimuli on the neural system model, and apply the final conclusion to provide a theoretical basis for neuron physiological experiments.

Keywords:FHN-ML Model, Hopf Bifurcation, Stationary Points, Stability, Direction of Branching

FHN-ML神经元系统的稳定性及Hopf分岔研究

1. 引言

2. 模型描述

$\frac{\text{d}{V}_{1}}{\text{d}t}={V}_{1}-\frac{{V}_{1}^{3}}{3}-Y+{I}_{stim}+{g}_{c}\left({V}_{2}-{V}_{1}\right)$ (1)

$\frac{\text{d}Y}{\text{d}t}=0.008\left({V}_{1}+0.7-0.8Y\right)$ (2)

$C\frac{\text{d}{V}_{2}}{\text{d}t}=-{g}_{Ca}{m}_{\infty }\left({V}_{2}\right)\left({V}_{2}-{V}_{Ca}\right)-{g}_{K}\omega \left({V}_{2}-{V}_{K}\right)-{g}_{L}\left({V}_{2}-{V}_{L}\right)-{I}_{ext}-I+{g}_{c}\left({V}_{1}-{V}_{2}\right)$ (3)

$\frac{\text{d}\omega }{\text{d}t}=\lambda \left({V}_{2}\right)\left({\omega }_{\infty }\left({V}_{2}\right)-\omega \right)$ (4)

$\frac{\text{d}I}{\text{d}t}=\alpha \left(0.2+{V}_{2}\right)$ (5)

${m}_{\infty }\left({v}_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{tanh}\frac{{V}_{2}-{v}_{11}}{{v}_{22}}\right)$ (6)

${\omega }_{\infty }\left({v}_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{tanh}\frac{{V}_{2}-{v}_{33}}{{v}_{44}}\right)$ (7)

$\lambda \left({v}_{2}\right)=\frac{1}{3}\mathrm{cosh}\left(\frac{{V}_{2}-{v}_{33}}{2{v}_{44}}\right)$ (8)

${V}_{1}\left(\text{mV}\right)$${V}_{2}\left(\text{mV}\right)$ 分别代表FHN神经元和ML神经元的膜电位；C表示膜电容；Y、 $\omega$ 分别表示FHN神经元和ML神经元的恢复变量；I表示慢变调节电流， $\alpha$ 为时间尺度因子，取值为0.005； ${g}_{c}$ 是两个神经元之间的连接强度。 ${g}_{Ca}\left(\text{mS}/{\text{cm}}^{\text{2}}\right)$${g}_{K}\left(\text{mS}/{\text{cm}}^{\text{2}}\right)$${g}_{L}\left(\text{mS}/{\text{cm}}^{\text{2}}\right)$${V}_{Ca}\left(\text{mV}\right)$${V}_{K}\left(\text{mV}\right)$${V}_{L}\left(\text{mV}\right)$ 分别表示钙离子通道、钾离子通道、漏电流通道的最大电导和反转电压； ${m}_{1}\left(\text{V}\right)$${\lambda }_{1}\left(\text{V}\right)$ 分别是钙离子通道和钾离子通道打开的概率的稳态值； $\lambda \left(\text{V}\right)$ 为激活时间常数； ${v}_{22}\left(\text{mV}\right)$${v}_{44}\left(\text{mV}\right)$ 分别表示依赖于电压的 ${m}_{1}\left(\text{V}\right)$${\omega }_{1}\left(\text{V}\right)$ 斜率的倒数； ${v}_{11}\left(\text{mV}\right)$${v}_{33}\left(\text{mV}\right)$ 是依赖于 ${v}_{22}\left(\text{mV}\right)$${v}_{44}\left(\text{mV}\right)$ 的系统参数。

3. 系统平衡点及其稳定性

3.1. 平衡点

${\omega }^{*}=\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{tanh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{33}}{{v}_{44}}\right)$${I}^{*}=-{g}_{Ca}{m}_{¥}\left({V}_{2}^{*}\right)\left({V}_{2}^{*}-{V}_{Ca}\right)-{g}_{K}{\omega }^{*}\left({V}_{2}^{*}-{V}_{K}\right)-{g}_{L}\left({V}_{2}^{*}-{V}_{L}\right)-{I}_{ext}+{g}_{c}\left({V}_{1}^{*}-{V}_{2}^{*}\right)$ 。而 ${V}_{1}^{*}$ 满足式子：

${V}_{1}^{*}-\frac{{V}_{1}^{*}{}^{3}}{3}-\left({V}_{1}^{*}+0.7\right)/0.8+{I}_{stim}-{g}_{c}\left({V}_{2}^{*}-{V}_{1}^{*}\right)=0$

$\Delta =9{\left(-\frac{7}{8}+0.2{g}_{c}\right)}^{2}+\frac{4}{3}{\left(-\frac{1}{4}+{g}_{c}\right)}^{2}>0$

${V}_{1}^{*}$ 恒有一个实数解，进一步可以求解出该神经元系统的平衡点。因此，系统恒有一个平衡点。

3.2. 平衡点附近的稳定性

${J}_{e}=\frac{\partial {f}^{i}}{\partial {x}_{j}}\left({\chi }^{*}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{J}_{11}& -1& {g}_{c}& 0& 0\\ 0.008& 0.0064& 0& 0& 0\\ {g}_{c}& 0& {J}_{33}& {J}_{34}& -1\\ 0& 0& {J}_{43}& {J}_{44}& 0\\ 0& 0& \alpha & 0& 0\end{array}\right)$

${J}_{11}=1-{V}_{1}^{*}{}^{2}-{g}_{c}$${J}_{34}=-{g}_{k}\left({V}_{2}^{*}-{V}_{K}\right)$

${J}_{33}=-{g}_{c}-{g}_{L}-{g}_{K}{\omega }^{*}+\frac{{g}_{Ca}{V}_{Ca}-{g}_{Ca}{V}_{2}^{*}}{2{\left(\mathrm{cosh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{11}}{{v}_{22}}\right)}^{2}}-\frac{1}{2}{g}_{Ca}\left(1+\mathrm{tanh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{11}}{{v}_{22}}\right)$

$\begin{array}{c}{J}_{43}=-\frac{1}{6}{\omega }^{*}\mathrm{sinh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{33}}{2{v}_{44}}+\frac{1}{12}\mathrm{sinh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{33}}{2{v}_{44}}+\frac{1}{12}\mathrm{sinh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{33}}{2{v}_{44}}\mathrm{tanh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{33}}{{v}_{44}}\\ \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}+\frac{1}{6}\mathrm{cosh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{33}}{2{v}_{44}}\frac{1}{{\left(\mathrm{tanh}\frac{{V}_{2}^{*}-{v}_{33}}{{v}_{44}}\right)}^{2}}\end{array}$

${\zeta }^{5}+{a}_{1}{\zeta }^{4}+{a}_{2}{\zeta }^{3}+{a}_{3}{\zeta }^{2}+{a}_{4}\zeta +{a}_{5}=0$ (9)

${a}_{1}=0.0064-{J}_{44}-{J}_{33}-{J}_{11}$

3.3. 数值模拟

4. Hopf分叉的稳定性及分岔方向

4.1. 理论分析

1) 若，Hopf分岔为超临界(亚临界)；2)，分岔周期解轨道是稳定(不稳定)；3)周期解的周期增加(减少)。

4.2. 数值模拟

。经计算发现，可知该神经元系统发生Hopf分岔。故存在矩阵P如下：

5. 分岔及混沌的数值仿真

5.1. 对于K+最大电导的数值仿真

1) 当固定，代表K+最大电导的参数变化时，该神经元系统的数值仿真如图1(a)。随着参数的逐渐增大，系统的稳定性也在不断变化。随着K+最大电导的增大系统出现倍周期现象，并出现混沌状态。随即又出现了多周期与混沌状态交替出现的行为。

2) 当固定该系统的其他参数，参数变化时，系统动力学行为如图1(b)。随着参数的逐渐增大，系统由单周期状态进入倍周期—混沌状态，然后逆倍周期变化进入二周期状态。系统在经历倍周期—混沌—逆倍周期复杂的反复动力学行为后，最后达到一周期的稳定运动状态。所以，在其他条件一定的状态下将K+最大电导控制在某些范围内，该电耦合的神经元系统会进入稳定状态。

(a)(b)

Figure 1. Dynamic bifurcation diagram of parameters gK

5.2. 对于外界交流电频率的数值仿真

1) 当选择参数，外界交流电频率参数变化时，该神经元系统的数值仿真如图2(a)。随着参数的逐渐增大，系统的稳定性也在不断变化。参数逐渐增大，系统在经历倍周期—混沌—逆倍周期动力学行为后，最后达到二周期的稳定运动状态。当参数变化时，其数值仿真如图2(b)，系统呈现出另一种动力学行为：Hopf分岔现象。

2) 另外界交流电，其他参数同上，参数。频率变化时，系统动力学行为如图2(c)。系统在经历倍周期—混沌—逆倍周期复杂的反复动力学行为后，最后达到一周期的稳定运动状态呈现出与上面不一样的现象。

3) 外界交流电，其他参数同上，参数。频率变化时，其单参分岔行为如图2(d)。随着外界交流电频率的增大，系统出现倍周期—混沌现象，随机出现了周期—混沌交替的动力学现象。

(a) (b)(c) (d)

Figure 2. Dynamic bifurcation diagram of parameters ω

6. 结束语

Study on Stability and Hopf Bifurcation of FHN-ML Neuron System[J]. 应用数学进展, 2018, 07(10): 1289-1298. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.710150

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