ABSTRACT

Poisson algebras are algebras with an algebra structure and a Lie algebra structure, both of which satisfy the Leibniz law. Super Virasoro algebra is a kind of infinite dimensional Lie superalgebra, which plays an important role in the quantum field theory. This paper mainly studies the Poisson structure on the super Virasoro algebra.

Keywords:Super Poission Algebra, Leibniz Law, Super Virasoro Algebra

超Virasoro代数上的Poisson超结构

麻晨晟，王藩婷，刘东^*

湖州师范学院，理学院，浙江 湖州

收稿日期：2019年5月1日；录用日期：2019年5月16日；发布日期：2019年5月23日

摘 要

超Virasoro代数是一类无限维李超代数，在共形量子场理论中具有重要作用。本文研究超Virasoro代数上的Poisson结构，主要得到如下结论：超Virasoro代数上的任意Poisson结构都是平凡的。本文研究对于研究其它超共型代数上的Poisson结构有一定帮助。

关键词 :Poisson超代数，Leibniz法则，超Virasoro代数

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1. 引言

Virasoro代数是一个特征零域上的无限维李代数，在二维共形量子场理论中具有重要作用，受到数学家和物理学家的关注。超Virasoro代数，也称作N = 1超共形代数(见 [1] )，可以看成是Virasoro代数的非平凡Z₂扩张。这样的扩张主要有两种，它们分别是Ramond代数和Neveu-Schwarz代数。这两类代数在超弦理论和超共形场理论中有着密切的联系和重要的应用(见 [2] [3] )。确定超Virasoro代数上的其它代数结构问题是李代数研究中比较有意义的一项工作，论文 [4] 和 [5] 分别研究了超Virasoro代数上的左超对称代数结构和李超双代数结构。

Poisson代数源于Poisson几何的研究，具有代数结构和李代数结构，乘法与李代数乘法之间满足Leibniz法则。近来许多人研究了结合的Poisson代数结构问题，如姚裕丰等研究了Witt代数和Virasoro代数上的Poisson代数结构 [6] ，靳全勤和佟洁在文 [7] [8] 中研究了Toroidal李代数等代数上的结合Poisson代数结构。

目前，非交换、非结合的Poisson代数的研究较少。近来部分论文研究了Kac-Moody李代数，W(2,2)以及扭Heisenberg-Virasoro代数上的非交换、非结合的Poisson代数结构(见 [9] - [16] )。本文在 [10] [11] 的基础上研究超Virasoro代数的Poisson超代数结构。本文的研究对进一步研究N = 2超共形代数上的Poisson超代数结构有较大帮助。

在本文中， $\mathbb{Z}$ 表示整数环， $ℂ$ 表示复数域，所有的代数(向量空间)都定义在 $ℂ$ 上。

2. 预备知识

本节主要介绍相关超Virasoro代数以及Poisson超代数的相关概念。

定义1.2 [1] ：令 $\epsilon =0,\frac{1}{2}$ ，则超Virasoro代数是指作为 $ℂ$ 上的向量空间有一组基 $\{L_m,G_r,C|m\in \mathbb{Z},r\in \mathbb{Z}+\epsilon \}$ ，且满足如下关系式：

$\begin{array}{l}\left[L_m,L_n\right]=\left(m-n\right)L_{n+m}+\frac{1}{12}\left(m^3-m\right){\delta }_{m+n,0}C,\\ \left[L_m,G_r\right]=\left(\frac{m}{n}-r\right)G_{m+r},\\ \left[G_r,G_s\right]=2L_{r+s}+\frac{1}{12}\left(4r^2-1\right){\delta }_{r+s,0}C,\\ \left[N_{\bar{0}},C\right]=\left[N_{\bar{1}},C\right]=0,\forall n,m,r,s\in \mathbb{Z}\end{array}$

其中向量空间 $\mathcal{N}={\mathcal{N}}_{\bar{0}}\oplus {\mathcal{N}}_{\bar{1}}$ ，偶子空间 ${\mathcal{N}}_{\bar{0}}=spa{n}_{ℂ}\left\{L_m,C|m\in \mathbb{Z}\right\}$ ，奇子空间 ${\mathcal{N}}_{\bar{1}}=spa{n}_{ℂ}\left\{G_r|r\in \mathbb{Z}+\epsilon \right\}$ ，显然，N = 1超共形代数 $\mathcal{N}$ 的偶部分 ${\mathcal{N}}_{\bar{0}}$ 是Virasoro代数。

是 $\left(1-\epsilon \right)\mathbb{Z}$ -阶化的： $\mathcal{N}={\otimes }_{i\in \left(1-\epsilon \right)\mathbb{Z}}{\mathcal{N}}_i$ 。当 $\epsilon =0$ 时， ${\mathcal{N}}_i=\text{span}\left\{L_i,G_i,{\delta }_{i,0}C\right\}$ ；当 $\epsilon =\frac{1}{2}$ 时，对任意 $i\in \mathbb{Z}$ ， ${\mathcal{N}}_i=spa{n}_{ℂ}\left\{L_i\text{,}{\delta }_{i,0}C\right\}$ 及 ${\mathcal{N}}_{i+\frac{1}{2}}=spa{n}_{ℂ}\left\{G_{i+\frac{1}{2}}\right\}$ 。其Cantar子代数为 $\mathcal{H}=ℂL_0+ℂC$ 。

记 $\mathcal{S}$ 为 $\mathcal{N}$ 关于理想 $ℂ\left\{C\right\}$ 的商代数，则 $\mathcal{N}$ 为李超代数 $\mathcal{S}$ 的普遍中心扩张 [14] 。

定义1.3 [9] ：域 $ℂ$ 上的Poisson超代数 $\left(A,\ast ,\left[-,-\right]\right)$ 是指 $ℂ$ 上的一个向量空间A，同时具代数乘法∗以及李超代数乘法[−, −]，且满足如下的Leibniz法则：

$\left[a,b\ast c\right]=\left[a,b\right]\ast c+{\left(-1\right)}^{\left|a\right|\left|b\right|}b\ast \left[a,c\right],\forall a,b,c\in A.$ (2.1)

如果乘法∗满足结合律，则称Poisson超代数A是结合的；如果乘法∗满足超交换律，则称Poisson超代数A是超交换的。

超Virasoro代数的偶部分Virasoro代数 ${\mathcal{N}}_{\bar{0}}$ 的Poisson代数结构由 [10] 给出。

引理1.1 [10] ：Virasoro代数 ${\mathcal{N}}_{\bar{0}}$ 上的任何Poisson代数结构都具有如下形式：

$L_m\ast L_n=-c_1\left(n-m\right)L_{m+n}-\frac{m^3-m}{12}{\delta }_{m+n,0}{c}_{1}C=-c_1\left[L_m,L_n\right],$ (2.2)

其余为零，其中 $c_1\in ℂ$ 。

3. 李超代数 $\mathcal{S}$ 上的Poisson超代数结构

本节主要讨论李超代数 $\mathcal{S}$ 上的Poisson超代数结构。

引理3.1：若在李超代数 $\mathcal{S}$ 上存在一个代数乘积∗使得 $\left(\mathcal{S},\ast ,\left[-,-\right]\right)$ 成为一个Poisson代数，则有

${\mathcal{S}}_i\ast {\mathcal{S}}_j\subseteq {\mathcal{S}}_{i+j},\forall i,j\in \mathbb{Z}$ .

证明：对于任意的 $x\in {\mathcal{S}}_i,y\in {\mathcal{S}}_j$ 有

$\left[L_0,x\ast y\right]=\left[L_0,x\right]\ast y+x\ast \left[L_0,y\right]=-ix\ast y-jx\ast y=-\left(i+j\right)x\ast y.$

即 $x\ast y\in {\mathcal{S}}_{i+j}$ 。因此对任意的 $i,j\in \mathbb{Z}$ ，都有 ${\mathcal{S}}_i\ast {\mathcal{S}}_j\subseteq {\mathcal{S}}_{i+j}$ 。

定理3.1： $\mathcal{S}$ 上的任何Poisson代数结构都满足如下形式：

$\begin{array}{l}{L}_m\ast G_r=-G_r\ast L_m=c_1\left(m-2r\right)G_{m+r},\\ G_r\ast G_s=2c_1{L}_{r+s}\end{array}$

其中 $c_1$ 为任意常数， $m\in \mathbb{Z},r,s\in \mathbb{Z}+\epsilon$ 。

证明：情形一：主要讨论 $\epsilon =\frac{1}{2}$ 情形。 $\epsilon =0$ 类似。

由引理2.1及引理3.1可设，

$\begin{array}{l}{L}_m\ast L_n=c_1\left(m-n\right)L_{m+n},\\ L_m\ast G_r=a_{m,r}{G}_{m+r},\\ G_r\ast L_m=b_{r,m}{G}_{m+r},\\ G_r\ast G_s=c_{r,s}{L}_{r+s}\end{array}$

其中 $a_{m,r},b_{r,m},c_{r,s}\in C,\forall m,n\in \mathbb{Z},r,s\in \mathbb{Z}+\epsilon$ 。

下面我们分四步，可计算出系数 $a_{m,r},b_{r,m},c_{r,s}$ 与 $c_1$ 的关系：

步骤1：由于，

整理可得

$\left(\frac{k}{2}-r-m\right)a_{m,r}=\left(k-m\right)a_{m+k,r}+\left(\frac{k}{2}-r\right)a_{m,r+k}.$ (3.1)

在(3.1)中取 $k=m$ ，有 $\left(r+\frac{m}{2}\right)a_{m,r}=\left(r-\frac{m}{2}\right)a_{m,k+m}$ 。于是，

$\frac{a_{m,r}}{r-\frac{m}{2}}=\frac{a_{m,r}{}_{+m}}{r+m-\frac{m}{2}}=c_2,$

故

$a_{m,r}=c_2\left(r-\frac{m}{2}\right),$ (3.2)

其中 $c_2\in ℂ$ 。

步骤2：由于 $\left[L_k,L_m\ast G_r\right]=\left[L_k,L_m\right]\ast G_r+{\left(-1\right)}^{\left|L_k\right|\left|L_m\right|}{L}_m\ast \left[L_k,G_r\right]$ ，整理得

$\left(\frac{k}{2}-r-m\right)b_{r,m}=\left(\frac{k}{2}-r\right)b_{r+k,m}+\left(k-m\right)b_{r,m+k},$ (3.3)

在(3.2)式中取 $k=m$ ，有 $\left(r+\frac{m}{2}\right)b_{r,m}=\left(r-\frac{m}{2}\right)b_{r+m,m}$ 于是，

$\frac{b_{r,m}}{r-\frac{m}{2}}=\frac{b_{r+m,m}}{r+m-\frac{m}{2}}=c_3,$

故

$b_{r,m}=c_3\left(r-\frac{m}{2}\right),$ (3.4)

其中 $c_3\in ℂ$ 。

步骤3：由 $\left[G_k,G_r\ast G_s\right]=\left[G_k,G_r\right]\ast G_s+{\left(-1\right)}^{\left|G_k\right|\left|G_r\right|}{G}_r\ast \left[G_k,G_s\right]$ ，可得

$\left(\frac{r+s}{2}-k\right)c_{r,s}=2b_{r,k+s}-2a_{k+r,s},$ (3.5)

在(3.5)中取 $k=r,r\ne s$ 再根据(3.2)，(3.4)得 $\frac{s-r}{2}{c}_{r,s}=2c_3\frac{r-s}{2}-2c_2\left(s-r\right)$ 。

在(3.5)中取 $k=r,s\ne r$ 再根据(3.2)，(3.4)得 $\frac{r-s}{2}{c}_{r,s}=2c_3\left(r-s\right)+2c_2\frac{s-r}{2}$ 。

可得 $c_2=-c_3$ ，从而

$c_{r,s}=2c_3=-2c_2.$ (3.6)

步骤4：根据 $\left[G_k,L_m\ast G_r\right]=\left[G_k,L_m\right]\ast G_r+{\left(-1\right)}^{\left|G_k\right|\left|L_m\right|}{L}_m\ast \left[G_k,G_r\right]$ ，整理得

$\left(\frac{m}{2}-k\right)c_{m+k,r}=-2a_{m,r}+2c_1\left(m-k-r\right).$ (3.7)

在(3.7)中取 $k=r$ ，再根据(3.2)，(3.6)得

$c_1=-c_2=c_3.$

通过上述讨论可知 $\mathcal{S}$ 上的任何Poisson代数结构形式如下所示：

$\begin{array}{l}{L}_m\ast G_r=-G_r\ast L_m=c_1\left(\frac{m}{2}-r\right)G_{m+r},\\ G_r\ast G_s=2c_1{L}_{r+s}\end{array}$

其中 $c_1$ 为任意常数， $m\in \mathbb{Z}$ ， $r\in \mathbb{Z}+\epsilon$ 。

4. 超Virasoro代数上的Poisson超结构

根据上节内容，本节主要确定超Virasoro代数 $\mathcal{N}$ 上的Poisson超代数结构。

定理4.1：超Virasoro代数上的任何Poisson代数结构都具有如下形式

$L_m\ast L_n=c_1\left(m-n\right)L_{m+n}+\frac{m^3-m}{12}{\delta }_{m+n,0}{c}_{1}C=c_1\left[L_m,L_n\right],$ (4.1)

(4.2)

$G_r\ast G_s=2c_1{L}_{r+s}-\frac{4r^2-1}{12}{\delta }_{r+s,0}{c}_{1}C=c_1\left[G_r,G_s\right],$ (4.3)

其余为零，其中 $\forall m,n\in \mathbb{Z},r,s\in \mathbb{Z}+\epsilon ,c_1\in ℂ$ 。

证明：下面分三个步骤来确定 $\mathcal{N}$ 上的Poisson乘法结构。

步骤1：确定元素 $L_m,G_r$ 之间的Poisson乘法结构，分两种情形进行讨论。

根据引理2.1，我们能得到元素 $L_m,L_n$ 之间的Poisson乘法结构满足上述结论。其余的Poisson超代数结构分两种情形进行讨论。

情形1：当 $r+s\ne 0$ 时，由定理3.1得 $\mathcal{N}$ 上的任何Poisson代数结构满足(4.1)~(4.3)。

情形2：当 $r=-s\ne 0$ 时，根据引理3.1及定理3.1可假设

$G_r\ast G_{-r}=a_r{L}_0+c_{r}C,$

再根据等式

$\left[L_k,G_r{}_{-k}\ast G_{-r}\right]=\left[L_k,G_{r-k}\right]\ast G_{-m}+G_{r-k}\ast \left[L_k,G_{-r}\right],$

我们有

$\{\begin{array}{l}\left(\frac{3k}{2}-r\right)a_r+\left(r+\frac{k}{2}\right)a_{r-k}=4k{c}_1\\ \left(\frac{3k}{2}-r\right)c_r+\left(r+\frac{k}{2}\right)c_{r+\frac{k}{2}}=2\frac{k^3-k}{12}\end{array}$ (4.4)

在(4.4)式中取 $k=-2r\ne 0$ ，可得

$a_r=2c_1\text{,}{c}_r=\frac{4r^2-1}{12}{c}_1.$

由此可知，

$G_r\ast G_{-r}=2c_1{L}_0+\frac{4r^2-1}{12}{c}_{1}C.$

步骤2：确定 $G_r$ 与中心元素C之间的Poisson乘法结构。注意到

$C=2\left[L_2,L_{-2}\right]-8L_0$

因此我们有

$\begin{array}{c}{G}_r\ast C=2G_r\ast \left[L_2,L_{-2}\right]-8G_r\ast L_0\\ =2\left(\left[L_2,G_r\ast L_{-2}\right]-\left[L_2,G_r\right]\ast L_{-2}\right)-8G_r\ast L_0\\ =2c_1\left(r-3\right)\left(r+1\right)G_r-2c_1\left(r+3\right)\left(r-1\right)G_r+8c_{1}r{G}_r\\ =0\end{array}$

类似地，由下列等式

$C\ast G_r=2\left[L_2,L_{-2}\right]\ast G_r-8L_0\ast G_r.$

可得对任意的 $r\in \mathbb{Z}+\epsilon$ ，都有

$C\ast G_r=0.$

步骤3：由 [11] 可知，中心元素C之间的Poisson乘法结构：

$C\ast C=0.$

从定理4.1看出，超Virasoro代数上任一Poisson代数结构“*”都是其换位运算的常数倍，因此有：

推论4.1：N = 1超共形代数上没有非平凡的结合的Poisson代数结构。

基金项目

国家自然科学基金项目(Nos. 11871249, 11371134)；浙江省自然科学基金项目(No. LZ14A010001)。

文章引用

麻晨晟,王藩婷,刘 东. 超Virasoro代数上的Poisson超结构
Poisson Algebra Structures on the Super-Virasoro Algebra[J]. 应用数学进展, 2019, 08(05): 937-942. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.85106

参考文献