International Journal of Fluid Dynamics
Vol.
06
No.
04
(
2018
), Article ID:
28077
,
7
pages
10.12677/IJFD.2018.64018
Collision Rules and Digital Circuit Implementation of the FHP-II Lattice Gas Automata in Fluid Mechanics
Ting Li1,2, Boyu Wang1, Jianhua Chen1, Guangwu Yan1*
1College of Mathematics, Jilin University, Changchun Jilin
2College of Science, Jilin Institute of Chemical Technology, Jilin Jilin
Received: Nov. 23rd, 2018; accepted: Dec. 11th, 2018; published: Dec. 18th, 2018
ABSTRACT
In this paper, a digital circuit for simulating the evolution rules of the FHP-II lattice gas automaton model for incompressible flow is presented. Using this circuit, the Look-Up table of FHP-II is generated. As an example, we simulate the square cavity flow with small Reynolds number. The classical numerical results are reproduced.
Keywords:Lattice Gas Automata, FHP-II Model, Look-Up Table, Digital Circuit
用于流体力学的FHP-II格子气自动机的碰撞规则数字电路实现
李婷1,2,王博宇1,陈建华1,闫广武1*
1吉林大学数学学院,吉林 长春
2吉林化工学院理学院,吉林 吉林
收稿日期:2018年11月23日;录用日期:2018年12月11日;发布日期:2018年12月18日
摘 要
本文给出了用于模拟不可压缩流动的FHP-II格子气自动机模型中演化规则的数字电路。利用这个电路,生成了FHP-II的Look-Up表。作为算例,我们模拟了小雷诺数的方腔流动,再现了经典的数值结果。
关键词 :格子气自动机,FHP-II模型,Look-Up表,数字电路
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
上个世纪80年代出现的格子气自动机(Lattice Gas Automata,简记LGA)是模拟流体力学一种方法,由于其无舍入误差和运行速度快等优点受到学术界广泛关注 [1] [2]。Frisch等人应用正六边形网格,构造了包含静止粒子的满足泡利不相容原理的格子气自动机,解决了四阶张量各项同性问题,得到了低雷诺数限制的Navier-Stokes方程,该模型被称为FHP-II模型 [1]。随后的d’Humières,Lallemand和Frisch引入了四维的超四面体FCHC网格将FHP模型推广到了三维问题上 [3]。应用LGA,研究者们已经成功地模拟了许多流动,例如:卡门涡街 [4] 、磁流体力学 [5] [6] 、反应扩散模型 [7] 、Kelvin不稳定 [8]。
格子气自动机的运算是通过对每点的输入状态进行翻转实现的,翻转规则又称演化规则。根据演化规则将所有的输入状态翻转成输出状态,这个二维关系称为Look-Up表 [8] [9]。这样LGA的运算速度很大程度取决于Look-Up表的查找速度。文 [9] [10] 给出了Look-Up表状态编码的抽取和合成方法,并且用这样的Look-Up表实现了几种流动的模拟。到了21世纪,量子格子气自动机应运而生。量子格子气是基于传统格子气的设计思想,将Look-Up表进行量子实现,预期能使数据的处理和计算速度得到大幅度的提升。由此可见,Look-Up表是格子气自动机乃至量子格子气自动机的重要组成部分,而Look-Up表的数字逻辑电路的研究是硬件的基础。本文以FHP-II格子气自动机为例,给出了其Look-Up表的逻辑电路,并用这个电路验证了Look-Up表的正确性,进一步,我们用这样的结果模拟了小雷诺数的方腔流动。
2. FHP-II格子气自动机的演化规则
2.1. FHP-II碰撞规则
我们将二维空间离散成正六边形的网格,每个节点有6个邻点,假设粒子满足泡利不相容原理,则每个节点上的状态变量 是一个Boolean量,当 方向存在粒子时 ,否则为零。其中 表示节点坐标, 代表粒子运动的7个方向(静止状态也表示为一个方向,取 ),这7个运动方向的定义如图1。
FHP-II格子气自动机共提供4类碰撞规则,这些规则满足粒子守恒和动量守恒。基于流体介质的各项同行要求,碰撞是满足旋转对称的,这样一共有17种具体的规则 [9] [10]。
1) 两个粒子对头碰撞,1、4方向碰撞,输出为3、6方向,或者2、5方向。通过旋转,这种对头碰撞有3种情况。
2) 一运动粒子与一静止粒子碰撞,1、7碰撞,输出为2、5方向,这种有6种情况。
3) 两粒子120度输入,得到一静止粒子和第三个方向,即2、6方向碰撞输出为1、7方向,共6种情况。
4) 夹角120度的三粒子碰撞,即1、3、5,碰撞输出为2、4、6方向,共2种情况。
Figure 1. Schematic diagram of node orientation
图1. 节点方向示意图
2.2. Boolean动力学方程
上面的FHP-II格子气自动机的碰撞规则,可以用Boolean动力学方程描述 [11] :
其中, , ,同理可得类似的 的Boolean动力学方程。上述方程中的运算均为逻辑运算,式子中的 表示发生概率。我们将输入状态排列成7位的二进制数,其对应的整
数称为状态数。同样输出状态也可以表示成状态数。这样,在任何一个输入便得到输出,根据上面的演化规则,以及Boolean动力学方程,可得到输入输出的二维关系表,即Look-Up表。表1给出了FHP-II模型的Look-Up表。图2中,我们给出了发生碰撞的输入输出的状态分布。可以发现,大多数的输入数与输出数相同,这表示只有17个情况发生碰撞,与前文2.1部分的理论结果一致。
Table 1. Look-Up table of FHP-II lattice gas automata
表1. FHP-II格子气自动机的Look-Up表
Figure 2. Figure of relation between input number and output number
图2. 输入数与输出数的关系图
2.3. FHP-II碰撞规则的数字逻辑电路
图3中分别给出了输出 ,其中符号表示与门电路,符号表示非门电路,符号表示或门电路,符号表示异或门电路,符号表示在两个输入端中随机取其中一个的判断器。
Figure 3. Circuit representation of R1
图3. R1的电路表示图
同样的,如果分别设 ,我们也可以得到 的电路图。如果将各个 的电路表示做成一个小的电路元件,那么以上的所有电路可以整合成如下的总电路图,如图4。
Figure 4. The digital circuit of FHP-II rule
图4. FHP-II规则的数字电路
其中,带小方格的 分别为表示 的电路元件。这样,只要输入一组 的值,我们便可以立即得到FHP-II规则下对应的 的值。
为了验证电路图的可靠性,我们给出所有的 的取值,利用上述电路图得出的 的值,与利用碰撞规则和Boolean动力学的结果完全一致。
3. 算例
作为算例,我们利用上面的逻辑电路生成Look-Up表进行计算。在程序中,先将Look-Up表读入内存,然后,在每个迭代步中进行查表。具体的例子是方腔流动。
选择网格数128 × 128,方腔上边界速度U = 0.2,雷诺数Re = 30.71,迭代50,000步,从48,000步开始做时间统计平均。方腔的下、左、右边界均为无滑移边界条件 [12] ,在方腔上边界处放置一个均匀向右运动的薄板,这意味着上边界是均匀流动并且方腔内的流体质点运动到上边界后“回弹”至方腔流体内部。
从图5(a)中可以看到,方腔内部存在一个顺时针的大涡旋,方腔右下角处存在类似涡旋的混乱,图5(b)给出了方腔流动的流线图。可以清楚看到涡旋出现,再现了该问题经典算法的定性结果 [13]。
(a) (b)
Figure 5. (a) Velocity field in square cavity flow, (b) Streamline
图5. (a) 方腔流动速度场,(b) 流线
4. 结论
本文给出了FHP-II格子气自动机的演化规则的数字逻辑电路,利用此逻辑电路达到的结果与利用碰撞规则和Boolean动力学的结果完全一致。在此基础上,我们计算了小雷诺数的方腔流动,结果是令人满意的。
Look-Up表的逻辑线路是格子气自动机电路的主要部分,仍然有许多问题需要研究,例如将流的过程加入数字电路中,更进一步,整体格子气自动机的线路的实现将是非常有意义的。
致谢
国家自然科学基金(NO. 11602033, NO. 11272133)资助。
文章引用
李 婷,王博宇,陈建华,闫广武. 用于流体力学的FHP-II格子气自动机的碰撞规则数字电路实现
Collision Rules and Digital Circuit Implementation of the FHP-II Lattice Gas Automata in Fluid Mechanics[J]. 流体动力学, 2018, 06(04): 143-149. https://doi.org/10.12677/IJFD.2018.64018
参考文献
- 1. Frisch, U., Hasslacher, B. and Pomeau, Y. (1986) Lattice Gas Automaton for the Navier-Stokes Equation. Physical Review Letters, 56, 1505-1508. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.56.1505
- 2. Wolfram, S. (1986) Cellular Automaton Fluids 1: Basic Theory. Journal of Statistical Physics, 45, 471-526. https://doi.org/10.1007/BF01021083
- 3. Frisch, U., d’Humières, D., Hasslacher, B., Lallemand, P., Pomeau, Y. and Riet, J.-P. (1987) Lattice Gas Hydrodynamics in Two and Three Dimensions. Complex Systems, 1, 649-707.
- 4. Clavin, P., d’Humieres, D., Lallemand, P. and Pomeau, Y. (1986) Cellular Automata for Hydrodynamics with Free Boundaries in Two and Three Dimensions. C. R. Acad. Sci. Paris II, 303, 1169-1174. https://www.researchgate.net/publication/279591285_Cellular_automata_for_hydrodynamics_with_ free_boundaries_in_two_and_three_dimensionsAutomates_cellulaires_pour_les_problemes_a_ frontieres_libres_en_hydrodynamique_a_deux_et_trois_dimensions
- 5. Vahala, L., Vahala, G. and Yepez, J. (2003) Lattice Boltzmann and Quantum Lattice Gas Representations of One-Dimensional Magneto Hydrodynamic Turbulence. Physics Letters A, 306, 227-234. https://doi.org/10.1016/S0375-9601(02)01599-2
- 6. Chen, H. and Metthaeua, W.H. (1987) New Cellular Automaton Model for Magneto Hydrodynamics. Physical Review Letters, 58, 1845-1848. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.58.1845
- 7. Montgomery, D. and Doolen, G. (1987) Two Cellular Automata for Plasma Computations. Complex Systems, 4, 831-838.
- 8. Clavin, P., Lallemand, P., Pomeau, Y. and Searby, G.Y. (1988) Simulation of Free Boundaries in Flow Systems by Lattice-Gas Models. Journal of Fluid Mechanics, 188, 437-464. https://doi.org/10.1017/S0022112088000795
- 9. 陈建华. FHP-II格子气自动机的碰撞规则及数字电路实现[D]: [硕士学位论文]. 长春: 吉林大学, 2018.
- 10. 王博宇. 用于求解流体动力学问题的FHP-II格子气自动机及程序实现[D]: [硕士学位论文]. 长春: 吉林大学, 2017.
- 11. Wolf-Glodrow, D.A. (1991) Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models. Sprin-ger-Verlag Berlin Heidelberg.
- 12. 闫广武. 二维直角弯道中粘性流动的格子气体仿真[D]: [硕士学位论文]. 长春: 吉林大学, 1988.
- 13. Yan, B. and Yan, GW. (2011) A Steady-State Lattice Boltzmann Model for Incompressible Flows. Computers and Ma-thematics with Applications, 61, 1348-1354. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010.12.078
NOTES
*通讯作者。