ABSTRACT

This paper mainly studies oscillatory of a class of higher order linear functional equations of the form, where are given real valued functions and. Some sufficient conditions for the oscillation of all solutions of this equation are obtained. And our results generalize and improve some results in some literature given.

Keywords:Oscillation, High Order, Linear, Functional Equations

一类高阶线性泛函方程的振动准则

戴丽娜，伍思敏^*，林全文，苏新晓

广东石油化工学院理学院，广东 茂名

收稿日期：2017年5月6日；录用日期：2017年5月21日；发布日期：2017年5月25日

摘 要

本论文主要是研究一类高阶线性泛函方程：的振动性，这里是已知的实值函数，并且，并得到该方程所有解振动的一些新的充分条件。我们的结果推广了现有文献中的某些结果。

关键词 :振动，高阶，线性，泛函方程

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1. 引言

考虑高阶函数方程

(1.1)

其中，是一个给定的函数，是一个未知函数，是上的无界子集。，表示函数的次迭代，即：

如果函数使得对成立，且对满足(1.1)则称其为方程(1.1)的一个解。这样的解称作是振动的。

当时方程为：

(1.2)

其中是给定的函数。

微分方程和离散变量的差分方程的振动理论在过去几十年中已经得到广泛地发展，最近带有连续变量的差分方程的振动性研究也得到迅速的发展。然而函数方程以离散变量和具连续变量的差分方程作为其特殊情形，且函数方程以及具有连续变量的差分方程解的振动性的研究也越来越受到人们的重视(参见 [1] - [15] )。1994年，Golda和Werbowski [1] 首先对方程(1.2)的解的振动性做了研究，从他们的研究中我们可以知道，如果

(1.3)

或

(1.4)

时方程(1.2)所有的解振动。

同时他们也将(1.3)推广到：

(1.5)

那么是一个整数。

1995年，Nowakowska和Werbowsk [2] ：将条件(1.4)推广到方程

(1.6)

或

(1.7)

其中

(1.8)

1999年，周勇和俞元洪 [3] 研究方程(1.1)的解的振动性。他们证明了方程(1.1)的所有解振动，如果

(1.9)

或

(1.10)

是方程在上唯一的实根。

本文我们在文 [4] [5] 的基础上，研究了方程(1.1)，得到一切解振动的几个充分条件。

2. 主要定理及相关证明

引理1.1. 假设，，，，是方程(1.1)的最终正解，那么

(2.1)

证明：由(1.1)有

因为当时，，有

(2.2)

又因为

故有

当，对任意，有

(2.3)

由(2.2)得

令，即

(2.4)

由(1.1)、(2.3)和(2.4)有

(2.5)

将(2.3)代入(2.5)中，有

即

于是得到

令

同理可得

并且由得。

则是单调递减，即也是单调递减。

令使得成立。

所以，由

可得

当，得到(2.1)即有

以上是时的证明。

下证

由(1.1)有

(2.6)

且

(2.7)

由上述可知。

因为∴。

因此，当时，假定任意有

(2.8)

由(2.7)得

因为，

，

又由

∴

由此可得，

所以有，

即令，

则有。

同理可得，如此巡回的过程得到

故

定理1.1. 假设

， (2.9)

当，的整数，且

(2.10)

那么方程(1.1)的一切解是振动，这里。

由(1.1)对于任意足够小，得到不等式

(2.11)

(2.12)

这里。

由(2.11)得到

(2.13)

由(2.7)归纳有

(2.14)

由(2.7)和(2.14)对于的整数

如此重复上述过程可得

对于(2.12)和(2.13)得到

两边除以取极限且，得到

令有。证毕

定理1.2. 当时，而且，

那么方程(1.1)的所有解振动。

证明：当时，对任意当时由(2.3)迭代有

由(2.1)得，且

(2.15)

将与两式相乘必存在

最终得到

所以，当时，满足，那么方程(1.1)的所有解振动。于是定理1.2得以证明。

定理1.3. 当满足

那么方程(1.1)的所有解振动。这里

证明：由(2.1)得：

由(2.15)得

将与

两式相乘必存在

于是得到：证毕。

定理1.4. 当时的整数，并且满足

那么方程(1.1)的一切解是振动，这里

证明：假设(1.1)有解，存在一个，且时

(2.16)

由(2.16)迭代可得

有

由

得到：

两边同时除以得到

当时，得到

时方程(1.1)有最终正解。引理证毕。

引理1.2. 假设，是方程

， (2.17)

的一个最终正解，那么。

这里是方程在上的最大实根。

证明：由方程(1.1)有

(2.18)

且通过(2.18)迭代，得

(2.19)

将(2.19)代入(2.17)式得

从而有且

令

当时

这里是方程在上的最大实根。证毕。

定理1.5. 假设

那么方程

， (2.20)

的所有解振动。如果

其中由引理1.2确定。

证明：由于，通过(2.18)迭代，得

，(2.21)

将(2.21)代入(2.20)式，得

(2.22)

从而有由引理(1.2)得，即。

由(2.22)得

由定理1.2得且。

则

下面证明之

当时，

因为即

则

事实上，若，则

(2.23)

成立。

下面证明

当时

(2.24)

将(2.23)代入(2.20)式，得

故由归纳法之(2.24)式成立

则

即

其中由引理1.2确定。定理证毕。

基金项目

国家自然科学基金(No：11271380)；茂名市科技局软科学项目(No：2014083；2015038)。

文章引用

戴丽娜,伍思敏,林全文,苏新晓. 一类高阶线性泛函方程的振动准则
Oscillate Criteria of a Class of Higher Order Linear Functional Equations[J]. 理论数学, 2017, 07(03): 200-211. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.73026

参考文献 (References)