Pure Mathematics
Vol.08 No.03(2018), Article ID:25071,4
pages
10.12677/PM.2018.83034
A Note on Generalized Quaternion 2-Group
Yanheng Chen*, Songfang Jia
School of Mathematics and Statistics, Chongqing Three Gorges University, Chongqing
Received: May 4th, 2018; accepted: May 17th, 2018; published: May 25th, 2018
ABSTRACT
This article uses the theory of the finite p-group, giving out two sufficiency and necessity conditions for the generalized quaternion 2-groups, thus obtaining the following conclusion: let G be a finite p-group. Then every abelian subgroup of G is cyclic if and only if G has only one subgroup of order p.
Keywords:Finite p-Group, Generalized Quaternion 2-Group, Sufficiency and Necessity Conditions
关于广义四元数2-群的一个注记
陈彦恒*,贾松芳
重庆三峡学院,数学与统计学院,重庆
收稿日期:2018年5月4日;录用日期:2018年5月17日;发布日期:2018年5月25日
摘 要
运用有限p-群的有关知识,给出了两个判定广义四元数2-群的充要条件,进而得到结论:设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p-阶子群。
关键词 :有限p-群,广义四元数2-群,充要条件
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
本文中G表示有限群。若G为p-群, 表示G的 阶子群的个数,从而 表示G的p阶子群的个数。本文的其他数学符号都是标准的,如果有需要可参考文献 [1] [2] 。
众所周知,广义四元数2-群 ,
,
是四元数群
在有限p-群上的推广。 是一类十分重要的有限p-群,具有很多优良的性质。例如,
1) 是一类具有极大循环的子群的有限p-群;
2) 是一类最大类有限p-群;
3) 是一类仅有一个2阶元的有限p-群等等。本文讨论了广义四元数2-群另两个性质:
4) 的每一个交换子群都循环;
5) 仅有一个2阶子群,
从而得到两个判定广义四元数2-群的充要条件,进而也得到如下有趣结论:
设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环的充要条件是G仅有一个p阶子群。
2. 预备引理
为了方便主要定理的证明,下面引入几个引理。
引理1:设G是一个p-群,且G的每个交换正规子群皆循环。
1) 若 ,则G本身是循环群;
2) 若 ,则G有极大循环子群。
证明:可参考文献 [1] 第V章定理5.10。
引理2:设 ,G有 阶循环子群 。则G只有以下七种不同构的类型:
I) 阶循环群: 。
II) 型交换群: 。
III) 。
IV) 广义四元数2-群:
.
V) 二面体2-群:
.
VI) 半广义四元数2-群:
.
VII) 。
证明:可参考文献 [1] 第V章定理5.14。
引理3:设 。若 ,则G是循环群或广义四元数2-群。
证明:可参考文献 [1] 第IV章定理6.1。
引理4:若G是一个广义四元数2-群,则G的每个交换子群皆是循环群。
证明:设G是 阶的广义四元数2-群。由参考文献 [3] 的引理3(2)和定理1(3)知,
i) G的2阶和 阶子群都是循环的;
ii) G的 阶子群除一个循环群外,其余都是广义四元数2-群类型的群,其中 。
因此广义四元数2-群的循环子群就是它的全部交换子群,即证。
3. 主要定理
定理1:设G是一个非循环p-群。则下列三个条件等价。
1) G是一个广义四元数2-群;
2) G的每个交换子群皆循环;
3) G仅有一个p阶子群。
证明:首先证明(1)和(2)等价。由引理4知,(1) Þ (2)显然成立。下证(2) Þ (1)。
由于G的每个交换子群皆循环,所以G的每个交换正规子群也皆循环。因而由引理1知,G要么为循环群,要么为具有循环极大子群的2-群。既然G不循环,从而G是有循环极大子群的2-群。因此G可能为引理2中七类群中 型交换群(II)、广义四元数2-群(VI)、二面体2-群(V)、半广义四元数2-群(VI)和(VII)类型群。但由文献 [3] 的定理1的证明过程知,(II)、(VI)、(V)和(VII)类型群都有 型的交换子群,故G仅能为广义四元数2-群。
其次证明(1)和(3)等价。
(1) Þ (3)。设G是一个广义四元数2-群 。则 仅有一个2阶元 ,从而G仅有一个2-阶子群。
(3) Þ (1)。既然G仅有一个p阶子群,即 。由引理3知,G要么为循环群,要么为广义四元数2-群。又由G不循环,G仅能为广义四元数2-群。
因此在命题假设下,(1),(2),(3)条是等价的,即证。
从定理1中,我们很容易得到一个有趣的推论。
推论:设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p阶子群。
证明:对于G循环的情形是显然的;对于G不循环的情形可由定理1得到,即证。
基金项目
该文由重庆市教委科研项目(KJ1710254),重庆三峡学院重点项目(14ZD16)资助。
文章引用
陈彦恒,贾松芳. 关于广义四元数2-群的一个注记
A Note on Generalized Quaternion 2-Group[J]. 理论数学, 2018, 08(03): 265-268. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83034
参考文献
- 1. 徐明耀. 有限群导引(上册) [M]. 北京: 科学出版社, 1993: 55, 123-125, 154-158, 178.
- 2. Huppert, B. (1967) En-dliche Gruppen I. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. https://doi.org/10.1007/978-3-642-64981-3
- 3. 陈彦恒, 曹洪平. 各阶非平凡子群的个数为p + 1的p-群的完全分类[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2007, 29(2): 11-14.