ABSTRACT

The radicals of rings and other various algebraic structures have been researched very much. Puczylowski established the general theory of radicals of the objects called algebra. In this paper, we first give the concept of the normal classes of complete pointwise algebra, and then study some constitutive properties of the antisimple radical that the upper radical is determined by the subdirectly irreducible algebras classes with idempotent heart in normal classes of complete pointwise algebra.

Keywords:Normal Classes of Complete Pointwise Algebras, Subdirectly Irreducible Algebras, Radical, Antisimple Radical, Special Radical

点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类

杨宗文，何青海

云南大学，数学系，云南 昆明

收稿日期：2018年8月27日；录用日期：2018年9月12日；发布日期：2018年9月19日

摘 要

环及其它代数系统的根理论研究是代数研究中一个热门与较成熟的领域，Puczylowski建立了一般代数正规类的根理论。本文首先给出点态化的完备代数正规类概念，然后研究点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类及其确定的上根——反单根的结构性质。

关键词 :点态化完备代数正规类，亚直既约代数，根，反单根，特殊根

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1. 引言

环及其它代数系统的根理论研究是代数研究中一个热门与较成熟的领域 [1] - [11] 。1993年，Puczylowski建立了一般代数正规类的根理论，把环的根理论推广到更广泛的范围及更高的层面，在一定程度上统一了已有的各种代数系统的根理论 [12] 。在此基础上，王尧、任艳丽、张爱华对一般代数正规类上的根理论进行了研究 [13] [14] 。但是由于一般代数正规类的结构性质太少，未能引进子代数、右理想及左理想概念、链条件、及乘积公理等概念。杨宗文等对一般代数正规类引入理想及子代数乘积公理从而引入了可积代数正规类及完备代数正规类，进一步扩大了一般代数正规类根理论的研究范围，也使环的根理论的研究能在不计元素的具体乘法规则的基础上进行更进一步的讨论 [15] - [23] 。但在完备代数正规类中，由于每个代数都是抽象的，没有元素性质，从而使得诣零性质无法进行研究，为此本文对完备代数正规类进行点态化，以进一步研究根的各类诣零性质。

本文首先给出点态化的完备代数正规类的公理概念，然后研究点态化完备代数正规类中有幂等心的亚直既约代数类及其确定的上根——反单根的结构性质。

2. 预备知识及基本引理

首先引入完备代数正规类及相关的概念。

设 $A$ 是完备代数类，其中的对象称为代数，0是 $A$ 的一个固定元，称零代数，~是 $A$ 上的一个等价关系，它们满足以下公理(A1~A7) [17] ：

A1： $\forall a\in A$ ，对应有1个完备格 $\left(L_a^s,\le \right)$ 及其3个完备子格 $\left(L_a,\le \right)$ ， $\left(L_a^r,\le \right)$ 及 $\left(L_a^l,\le \right)$ ，使得 $L_a^s\subseteq A$ ，且0，a分别是 $\left(L_a^s,\le \right)$ 中的底和顶， $0,a\in L_a$ ， $L_a=L_a^r\cap L_a^l$ 。

$\forall a,b\in A$ ，如果 $a\le b$ ，称a小于b，或者b大于a，或者b包含a。

$\forall a\in A$ ， $i\in L_a^s$ ，称i为a的子代数，记为 $i{\le }_{s}a$ ； $i\in L_a$ ，称i为a的理想，记为 $i⊲a$ ； $i\in L_a^r$ ，称i为a的右理想，记为 $i{⊲}_{r}a$ ； $i\in L_a^l$ ，称i为a的左理想，记为 $i{⊲}_{l}a$ 。

$\forall i,j\in L_a^s$ ， ${\left[i,j\right]}_{L_a^s}$ 表示区间 $\left\{x|x\in L_a^s,i\le x\le j\right\}$ ；

$\forall i,j\in L_a^s$ ， ${\left[i,j\right]}_{L_a}$ 表示区间 $\left\{x|x\in L_a,i\le x\le j\right\}$ ；

$\forall i,j\in L_a^s$ ， ${\left[i,j\right]}_{L_a^r}$ 表示区间 $\left\{x|x\in L_a^r,i\le x\le j\right\}$ ；

$\forall i,j\in L_a^s$ ， ${\left[i,j\right]}_{L_a^l}$ 表示区间 $\left\{x|x\in L_a^l,i\le x\le j\right\}$ 。

$\forall a,b\in A$ ，如果存在 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in A\left(n\ge 1\right)$ ，使得 $b=a_n⊲a_{n-1}⊲\cdots ⊲a_2⊲a_1=a$ ，则称b为a的可达子代数。记 $A_a=\{i\in A|i$ 是a的可达子代数}。

A2： $\forall a\in A$ ， $i,j\in L_a^s$ 。

如果 $i,j\in L_a$ ，则 $i\vee j,i\wedge j$ 运算在 $\left(L_a^s,\le \right)$ 与 $\left(L_a,\le \right)$ 中一致；

如果 $i,j\in L_a^r$ ，则 $i\vee j,i\wedge j$ 运算在 $\left(L_a^s,\le \right)$ 与 $\left(L_a^r,\le \right)$ 中一致；

如果 $i,j\in L_a^l$ ，则 $i\vee j,i\wedge j$ 运算在 $\left(L_a^s,\le \right)$ 与 $\left(L_a^l,\le \right)$ 中一致。

A3： $\forall a\in A$ ，如果 $i\in L_a^s$ ， ${\left[0,i\right]}_{L_a^s}=L_i^s$ ， ${\left[0,i\right]}_{L_a}$ 是 $L_i$ 的一个子格， ${\left[0,i\right]}_{L_a^r}$ 是 $L_i^r$ 的一个子格， ${\left[0,i\right]}_{L_a^l}$ 是 $L_i^l$ 的一个子格；

$\forall a\in A$ ，如果 $\forall i\in L_a^s$ ， ${\left[0,i\right]}_{L_a^s}=L_i^s$ ， ${\left[0,i\right]}_{L_a}=L_i$ ， ${\left[0,i\right]}_{L_a^r}=L_i^r$ ， ${\left[0,i\right]}_{L_a^l}=L_i^l$ ，则称a为平凡代数。

A4： $\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ，有 $A$ 中一个代数(记为a/i，称a关于理想i的商)使得 $i\in L_{a/i}^s=\left\{k/i|k\in {\left[i,a\right]}_{L_a^s}\right\}$ ，且映射：

${\phi }_1:{\left[i,a\right]}_{L_a^s}\to L_{a/i}^s,{\phi }_1(k)=k/i$ 是格同构；

${\phi }_2:{\left[i,a\right]}_{L_a}\to L_{a/i},{\phi }_2(k)=k/i$ 是格同构；

${\phi }_2:{\left[i,a\right]}_{L_a^r}\to L_{a/i}^r,{\phi }_3(k)=k/i$ 是格同构；

${\phi }_4:{\left[i,a\right]}_{L_a^l}\to L_{a/i}^l,{\phi }_4(k)=k/i$ 是格同构。

A5：如果 $a,b\in A$ ，a~b，则存在一个格同构 $f:L_a\to L_b$ ，使得 $k\in L_a^s$ ，有：k~f(k)且如果 $k\in L_a$ ，则 $a/k~b/f(k)$ 。

A6： $\forall a\in A$ ， $i\in L_a$ ， $j\in L_a^s$ ，有 $(i\vee j)/i~j/(i\wedge j)$ ；如果 $i\le j$ ， $j\in L_a$ ，则 $(a/i)/(j/i)~a/j$ 。

A7 (子代数乘积公理)： $L_a^s$ 上乘积为映射 $f:L_a^s\times L_a^s\to L_a^s$ ， $\forall i,j\in L_a^s$ (记 $f(i,j)=ij$ )，且满足：

1) $\forall a\in A$ ， $i,j,k\in L_a^s$ ， $(ij)k=i(jk)$ (记为ijk)；

2) $\forall a\in A$ ， $i\in L_a^s$ ， $ii\le i$ ；

3) $\forall a\in A$ ， $i,j_{\alpha }\in L_a^s$ ( $\alpha \in \Gamma$ ， $\Gamma$ 是指标集)，有 $i\left(\wedge j_{\alpha }\right)\le \wedge \left(i{j}_{\alpha }\right)$ ， $\left(\wedge j_{\alpha }\right)i\le \wedge \left(j_{\alpha }i\right)$ ， $i\left(\vee j_{\alpha }\right)\ge \vee \left(i{j}_{\alpha }\right)$ ， $\left(\vee j_{\alpha }\right)i\ge \vee \left(j_{\alpha }i\right)$ ；特别地，如果 $\forall \alpha \in \Gamma ,j_{\alpha }\in L_a$ ，则 $i\left(\vee j_{\alpha }\right)=\vee \left(i{j}_{\alpha }\right)$ ， $\left(\vee j_{\alpha }\right)i=\vee \left(j_{\alpha }i\right)$ ；

4) $\forall a\in A$ ， $i,j\in L_a^s$ ， $k\in L_a$ ，有 $((i\vee k)/k)((j\vee k)/k)=(ij\vee k)/k$ ；

5) $\forall a\in A$ ， $i,j\in L_a^s$ ，如果 $i,j\in L_a$ ，则 $ij\in L_a$ ；如果 $i,j\in L_a^r$ ，则 $ij\in L_a^r$ ；如果 $i,j\in L_a^l$ ，则 $ij\in L_a^l$ ；

6) $\forall a\in A$ ， $i\in L_a^s$ ，则 $i\in L_a^r$ 当且仅当 $ia\le i$ ；

7) $\forall a\in A$ ， $i\in L_a^s$ ，则 $i\in L_a^l$ 当且仅当 $ai\le i$ ；

8) $\forall a\in A$ ， $i,j,k\in L_a^s$ ， $i\le j$ 有 $ki\le kj$ ， $ik\le jk$ 。

$\forall a\in A$ ， $i\in L_a^s$ ，n是正整数，记 $i^1=i,i^2=ii,i^3=i^{2}i,\cdots ,i^n=i^{n-1}i,n\ge 2$ 。

对于一个代数类 $A$ ， $\text{R}\subseteq A$ 是 $A$ 的子类。如果 $0\in \text{R}$ ，且 $a\in \text{R}$ ，a~b，就有 $b\in \text{R}$ ，则称R为一个抽象类；如果 $a\in \text{R}$ ，则称a为R-代数；如果 $i\in L_a$ ， $i\in \text{R}$ ，则称i为a的R-理想。

定义2.1 [12] ： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$ 如果R满足：

1) $\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ，如果 $a\in \text{R}$ ，则 $a/i\in \text{R}$ (即R商闭)；

2) $\forall a\in A$ ，a有一个最大的R-理想(记为R(a))，称a的R-根；

3) $\forall a\in A$ ，有R(a/R(a)) = 0。

则称R为 $A$ 中的一个根类，简称根。

定义2.2 [12] ： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$ 是一个根类，A中代数类 $\text{PR}=\left\{a|\text{R}\left(a\right)=0\right\}$ 称为R的半单类，PR中元素称为R-半单代数。

定义2.3 [12] ： $A$ 是一个代数类， $a\in A$ ， $i⊲a$ ，如果 $j,k⊲a$ ，当 $j\le i\le k$ ，i/j~k/i，且i/j是平凡代数，都有 $j=i=k$ ，则称i是a的特异理想，记为 $i◀a$ 。

定义2.4 [12] ： $A$ 是一个代数类，称 $A$ 是一个正规类，如果 $A$ 满足以下公理：

A8： $\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ， $j◀i$ ，则 $j⊲a$ 。

由定义即知完备代数正规类 $A$ (即 $A$ 既是一个完备代数类，又是一个正规类)是一般代数正规类 [12] [13] [14] [15] 、可积代数正规类 [16] [21] ，故文献 [12] - [16] [21] 中的结论在完备代数正规类中皆成立。显然结合环类(相对于子环类、左理想类、右理想类及理想类关于集合包含关系“ $\subseteq$ ”构成的完备格及相应的乘积)是完备代数正规类。由完备代数正规类乘积公理可保证环中理想、左右理想乘积相关的运算性质在完备代数正规类中皆成立。

引理2.5 [15] ： $A$ 是一个完备代数正规类，则：

1) 如果 $i,j⊲a$ ，则 $ij\le i\wedge j$ ，特别 $ii\le i$ ；

2) 如果 $i,j⊲a$ ，则 $ij⊲a$ ；

3) n是正整数，如果 $i_1,i_2,\cdots ,i_n⊲a$ ，则 $i_1{i}_2\cdots i_n⊲a$ 。

引理2.6 [13] [14] ： $A$ 是一个完备代数正规类，R为 $A$ 中的一个根类， $a\in A$ ， $i⊲a$ 。如果 $a/i\in \text{PR}$ ，则 $\text{R}\left(a\right)\le i$ 。

引理2.7 [15] ： $A$ 是一个完备代数正规类，K为 $A$ 的一个子类，K中每个代数的理想都在K中(即K对理想封闭)。则 $\text{R}=\left\{a\in A|\forall i⊲a,0\ne a/i\notin \text{K}\right\}$ 是一个根类(称由K确定的上根，记为UK)，且 $\text{K}\subseteq \text{PR}$ 。进一步有：如果 ${\text{R}}_1$ 是一个根类，且 $\text{K}\subseteq {\text{PR}}_1$ ，则 ${\text{R}}_1\subseteq \text{R}$ ，记为根类 ${\text{R}}_1\le \text{R}$ 。

引理2.8 [15] ： $A$ 是一个完备代数正规类，∀a∈A， $i⊲a$ ， $k⊲i$ ， $\bar{k}$ 是a的包含k的最小理想。则 $\bar{k}=k\vee ak\vee ka\vee aka$ ，且 ${\bar{k}}^3\le k$ 。

3. 点态化完备代数正规类

$A$ 是一个完备代数正规类，如果 $\forall a\in A$ ，存在一个非空集 $S_a$ 和一个单射 ${\varphi }_a:L_a^s\to P\left(S_a\right)$ ( $P\left(S_a\right)$ 是 $S_a$ 的幂集，且 ${\varphi }_a(0)=S_0$ 是单点集，也记为0)，并且满足：

1) ${\varphi }_a(a)=S_a$ ；

2) $\forall i,j\in L_a^s,i\le j$ ，有 ${\varphi }_a(i)\subseteq {\varphi }_a(j)$ ；

3) $\forall i_{\alpha }\le a,\alpha \in \Gamma$ ，

${\varphi }_a\left(\wedge i_{\alpha }\right)=\cap {\varphi }_a\left(i_{\alpha }\right)$ ， ${\varphi }_a\left(\vee i_{\alpha }\right)=\cup \left\{{\varphi }_a\left(i_1\vee i_2\vee \cdots \vee i_k\right)|i_1,i_2,\cdots ,i_k\in \Gamma ,k\ge 1\right\}$ ；

4) $\forall i⊲a$ ，存在一个满射 ${\gamma }_i:S_{\alpha }\to S_{\alpha /i}$ ，使得 $\forall \varnothing \ne A\subseteq S_a,\varnothing \ne U\subseteq V\subseteq S_a$ ，有 $\langle {\gamma }_i(A)\rangle =(\langle A\rangle \vee i)/i$ ， $\langle {\gamma }_i(A))=(\langle A)\vee i)/i$ ， $({\gamma }_i(A)\rangle =((A\rangle \vee i)/i$ ， $({\gamma }_i(A))=((A)\vee i)/i$ ，且 ${\gamma }_i(U)\subseteq {\gamma }_i(V)$ 。

则有：

引理3.1：设a∈A是一个非零代数， ${\varphi }_a:L_a^s\to P\left(S_a\right)$ 如上定义。则 $\forall i,j\in L_a^s$ 有：

$i\le j$ 当且仅当 ${\varphi }_a(i)\subseteq {\varphi }_a(j)$ ；

证明：此处只证明当 ${\varphi }_a(i)\subseteq {\varphi }_a(j)$ 时有 $i\le j$ 。

当 ${\varphi }_a(i)\subseteq {\varphi }_a(j)$ 时有 ${\varphi }_a(i\wedge j)={\varphi }_a(i)\cap {\varphi }_a(j)={\varphi }_a(i)$ ，而 ${\varphi }_a:L_a^s\to P\left(S_a\right)$ 是单射，故 $i\wedge j=i$ ，故 $i\le j$ 。证毕。

引理3.2：设 $a\in A$ 是一个非零代数， ${\varphi }_a:L_a^s\to P\left(S_a\right)$ 如上定义， $0\ne t\in S_a$ ， $\varnothing \ne A\subseteq S_a$ 。则：

1) 存在a的一个最大的理想 $i_t$ ，使得 $t\notin {\varphi }_a\left(i_t\right)$ ；

2) 分别存在a的一个最小的在 ${\varphi }_a$ 下的像包含t的子代数 $\langle t\rangle$ 、右理想 $\langle t)$ 、左理想 $(t\rangle$ 、理想 $(t)$ ，且

$\langle t\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^s|t\in {\varphi }_a(b)\right\}$ ， $\langle t)=\wedge \left\{b\in L_a^r|t\in {\varphi }_a(b)\right\}$ ，

$(t\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^l|t\in {\varphi }_a(b)\right\}$ ， $(t)=\wedge \left\{b\in L_a|t\in {\varphi }_a(b)\right\}$ ，

分别称t生成的主子代数 $\langle t\rangle$ 、主右理想 $\langle t)$ 、主左理想 $(t\rangle$ 及主理想 $(t)$ ；

3) 分别存在a的一个最小的 ${\varphi }_a$ 下的像包含A的子代数 $\langle A\rangle$ 、右理想 $\langle A)$ 、左理想 $(A\rangle$ 、理想 $(A)$ ，且

$\langle A\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^s|A\in {\varphi }_a(b)\right\}$ ， $\langle A)=\wedge \left\{b\in L_a^r|A\subseteq {\varphi }_a(b)\right\}$ ，

$(A\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^l|A\in {\varphi }_a(b)\right\}$ ， $(t)=\wedge \left\{b\in L_a|A\in {\varphi }_a(b)\right\}$ ，

分别称A生成的子代数 $\langle A\rangle$ 、右理想 $\langle A)$ 、左理想 $(A\rangle$ 及理想 $(A)$ ；

4) $\forall i\in L_a^s$ ， $i=\vee \left\{\langle t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}$ ； $\forall i\in L_a^r$ ， $i=\vee \left\{\langle t)|t\in {\varphi }_a(i)\right\}$ ； $\forall i\in L_a^l$ ， $i=\vee \left\{(t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}$ ； $\forall i\in L_a$ ， $i=\vee \left\{(t)|t\in {\varphi }_a(i)\right\}$ ；

5) $\forall i\in L_a,t\in S_a$ ，则 $i\vee \langle t\rangle =\langle t\rangle$ 当且仅当 $t\in {\varphi }_a(i)$ 。

证明：1) $0\ne t\in S_a$ ，从而 $t\notin {\varphi }_a(0)$ ，由Zorn引理知存在a的一个最大的理想 $i_t$ ，使得 $t\notin {\varphi }_a\left(i_t\right)$ ；

下面只证明4) $\forall i\in L_a^s$ ， $i=\vee \left\{\langle t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}$ ，其它由定义公理容易验证。设

$j=\vee \left\{\langle t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}$ 。

因为 $\forall t\in {\varphi }_a(i)$ ， $\langle t\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^s|t\in {\varphi }_a(b)\right\}\le i$ ，从而 $j=\vee \left\{\langle t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}\le i$ 。

如果 $i\ne j$ ，则存在 $s\in {\varphi }_a(i)$ ，但是 $s\notin {\varphi }_a(j)$ ，从而 $\langle s\rangle \cancel{\le }j$ ；但是 $s\in {\varphi }_a(i)$ ，故 $\langle s\rangle \le i$ ，因此 $\langle s\rangle$ 是 $j=\vee \left\{\langle t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}$ 中的一项，所以 $\langle s\rangle \le j$ ，矛盾。

综上， $i=j=\vee \left\{\langle t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}$ 。证毕。

$\forall t\in S_a$ ，显然有

$\langle t\rangle \le \langle t)=\langle t\rangle \vee \langle t\rangle a\le (t)=\langle t\rangle \vee \langle t\rangle a\vee a\langle t\rangle \vee a\langle t\rangle a$ ，

$\langle t\rangle \le (t\rangle =\langle t\rangle \vee a\langle t\rangle \le (t)=\langle t\rangle \vee \langle t\rangle a\vee a\langle t\rangle \vee a\langle t\rangle a$ 。

设 $A$ 是一个完备代数正规类， $\forall a\in A$ ，非空集 $S_a$ 和一个单射 ${\varphi }_a:L_a^s\to P\left(S_a\right)$ 如前定义。如果对正整数n， $\forall x\in S_a$ ，存在一个 $y_s\subseteq {\langle x\rangle }^n$ ， $y_r,y_l,y\in S_a$ ，使得 ${\langle x\rangle }^{n+1}=\langle x\rangle \langle y_s\rangle =\langle y_s\rangle \langle x\rangle$ ， ${\langle x)}^n=\langle y_r)$ ， ${(x\rangle }^n=\langle y_l)$ ， ${(x)}^n=(y)$ ；对正整数n， $S_a$ 的非空有限子集或可数子集A，存在有限子集 ${A^{\prime }}_s\subseteq {\langle A\rangle }^n$ ， ${A^{\prime }}_r,{A^{\prime }}_l,A^{\prime }\subseteq S_a$ ，使得 ${\langle A\rangle }^{n+1}=\langle A\rangle \langle {A^{\prime }}_s\rangle =\langle {A^{\prime }}_s\rangle \langle A\rangle$ ， ${\langle A)}^n=\langle {A^{\prime }}_r)$ ， ${(A\rangle }^n=\langle {A^{\prime }}_l)$ ， ${(A)}^n=(A^{\prime })$ 。则称 $A$ 是一个点态化完备代数正规类。 $\forall x\in S_a$ ，称x是a的一个点。

设S是一个非空集，S上的点乘积定义为S上一个满足以下条件的二元运算‘ $\cdot$ ’：

1) $\forall x,y\in S$ ，都有 $x\cdot y\in S$ ( $x\cdot y$ 记为xy)；

2) $\forall x,y,z\in S$ ，有 $(xy)z=x(yz)$ (记为xyz)；

3) 存在唯一的单点 $0^{\prime }\in S$ (0'也记为0)，满足： $\forall x\in S$ ，有 $0x=x0=0$ 。

定义3.3：设 $A$ 是一个点态化完备代数正规类，如果 $A$ 满足点乘积公理：

A9 (点乘积公理)： $\forall a\in A$ ， $S_a$ 是一个带乘积的集合。

则称 $A$ 是一个带点乘积的点态化完备代数正规类，简称点态化完备代数正规类。

文中后面所称点态化完备代数正规类都是指带点乘积的点态化完备代数正规类。

根据点态化完备代数正规类定义可知，点态化完备代数正规类是完备代数正规类及可积代数正规类，从而参考文献中关于完备代数正规类及可积代数正规类的结论在点态化完备代数正规类中都成立。从而结合环类 $R$ 和大半环类 $S_B$ 都是点态化完备代数正规类。

4. 点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类

$A$ 是一个点态化完备代数正规类。

定义4.1 [21] ：1) $\forall a\in A$ ， $p⊲a$ ，如果 $\forall i,j⊲a$ ， $ij\le p$ 可推出 $i\le p$ 或者 $j\le p$ ，则称p是a的一个素理想；

2) $\forall a\in A$ ，如果0是a的一个素理想，则称a是一个素代数；

3) $\forall a\in A$ ， $p⊲a$ ，如果 $\forall i⊲a$ ， $i^2\le p$ 可推出 $i\le p$ ，则称p是a的一个半素理想；

4) $\forall a\in A$ ，如果0是a的一个半素理想，则称a是一个半素代数；

5) $\forall a\in A$ ，如果存在正整数n，使 $a^n=0$ ，则称a是幂0代数； $\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ，如果存在正整数n，使 $i^n=0$ ，则称i是a的幂0理想；

6) $\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ，如果∀ $t\in {\varphi }_a(i)$ ，都有 $t\in {\varphi }_a({(t)}^2)$ ( $(t)$ 是t在a中生成的主理想)，则称i是a的f-正则理想。

定义4.2 [21] ： $\forall \text{K}\subseteq A$ ，称K是一个特殊类，如果K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$ ，a是一个素代数；

2) $\forall a\in \text{K}$ ， $i⊲a$ ，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ， $i\in \text{K}$ ，则 $a/i^{*}\in \text{K}$ ，其中i^*是a的使得 $ki=ik=0$ 的最大理想(称i的0化子)。

定义4.3 [21] ： $\forall \text{K}\subseteq A$ ，称K是一个弱特殊类，如果K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$ ，a中无非0幂0理想；

2) $\forall a\in \text{K}$ ， $i⊲a$ ，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ， $i\in \text{K}$ ， $i^{*}=0$ ，则 $a\in \text{K}$ 。

定义4.4 [21] ：设R为 $A$ 中的一个根类。如果存在一个特殊类K，使得R = UK，则称R是一个特殊根类。

定义4.5 [21] ：设R为 $A$ 中的一个根类。如果 $\forall a\in \text{R}$ ， $i⊲a$ ，都有i∈R，则称R是遗传根。

引理4.6 [13] [14] ：设R为 $A$ 中的一个根类。R是遗传根当且仅当 $\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ，都有 $\text{R}(i)=i\wedge \text{R}(a)$ 。

定义4.7 [21] ：设S为 $A$ 中的一个根类。如果S满足以下2条，则称根类S是一个超幂0根：

1) S是遗传根；

2) $\forall a\in A$ ，如果a是幂0代数，则 $a\in \text{S}$ 。

定义4.8 [15] ：1) $\forall a\in A$ ， $\left\{a_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 是一个代数集，如果存在a的一个理想集 $\left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 满足 $\wedge \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}=0$ ，且 $\forall \alpha \in \Gamma ,a_{\alpha }\sim a/i_{\alpha }$ ，则称代数a是代数集 $\left\{a_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 的亚直和，记为 $a={\displaystyle {\sum }_s\left\{a_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}}$ 。

2) ∀ a∈A，如果 $h=\wedge \left\{i|0\ne i⊲\alpha \right\}\ne 0$ ，则称a是一个亚直既约代数，h称亚直既约代数a的心。

注1：0是一个特殊的亚直既约代数，其心h为0。

引理4.9： $\forall a\in A$ ，a都可表示为亚直既约代数的亚直和。

证明：设 $a\in A$ 是一个非零代数，且 ${\varphi }_a:L_a^s\to P\left(S_a\right)$ ，则 $S_a$ 含有非零元t。对每个非零元t由引理3.2 1)知存在a的一个最大的理想 $i_t$ ，使得 $t\notin {\varphi }_a\left(i_t\right)$ 。设 $d=\wedge \left\{i_t|0\ne t\in S_a\right\}$ ，则 $d⊲a$ ，且 $\forall 0\ne t\in S_a$ 有 ${\varphi }_a(d)\subseteq {\varphi }_a(i_t)$ ，从而 $\forall 0\ne t\in S_a$ ， $t\notin {\varphi }_a(d)$ 。如果 $d\ne 0$ ， ${\varphi }_a(d)$ 有非零元u，则 $u\notin {\varphi }_a\left(i_u\right)$ ，从而 $u\notin {\varphi }_a(d)$ ，矛盾。故 $d=0$ ，从而 $a={\displaystyle {\sum }_s\left\{a/i_t|0\ne t\in S_a\right\}}$ 。

下证对每个非零元t， $a/i_t$ 都是亚直既约代数。

$a/i_t$ 的非0理想都可表示为 $b/i_t$ ， $i_t\le b⊲a$ ， $b\ne i_t$ 。因为 $i_t$ 是a的使得 $t\notin {\varphi }_a\left(i_t\right)$ 是a的最大理想，故 $t\in {\varphi }_a(b)$ ，所以 $h=\wedge \left\{j|0\ne j⊲\alpha /i_t\right\}=((t)\vee i_t)/i_t\ne 0$ ，即 $a/i_t$ 都是亚直既约代数。证毕。

引理4.10：设R为 $A$ 中的一个遗传根， $a\in A$ ，a是心为h的亚直既约代数。则：

1) $h^2=0$ 或 $h^2=h$ ；

2) R(h) = h或者R(h) = 0，即心h是R根代数或者R-半单代数；

3) h是R-半单代数当且仅当a是R-半单代数；

4) h是单代数或者 $h^2=0$ 。

证明：1) 因为 $h^2\le h$ ， $h^2⊲a$ ，如果 $h^2\ne 0$ ，则 $h^2$ 是a的一个非0理想，从而 $h\le h^2$ ，故 $h^2=h$ ；

2) 因为R为 $A$ 中的一个遗传根，故 $\text{R}(h)=h\wedge \text{R}(a)⊲a$ ，如果 $\text{R}(h)\ne 0$ ，则 $\text{R}(h)$ 是a的非0理想，从而 $\text{R}(h)\ge h$ 。又因为 $\text{R}(h)=h\wedge \text{R}(a)\le h$ ，因此 $\text{R}(h)=h$ ；

3) 如果a是R-半单代数，则 $\text{R}(a)=0$ ，从而 $\text{R}(h)=h\wedge \text{R}(a)=0$ 。如果a不是R-半单代数，则 $\text{R}(a)\ne 0$ ，从而 $h\le \text{R}(a)$ ， $\text{R}(h)=h\wedge \text{R}(\text{R}(a))=h$ ，因此h不是R-半单代数。故h是R-半单代数当且仅当a是R-半单代数；

4) 如果 $h^2\ne 0$ ， $0\ne i⊲h$ ，则 $h^2=h$ 及 $h^3=h$ 。

设 $\bar{i}$ 是i在a中生成的理想，则 $0\ne \bar{i}=i\vee ai\vee ia\vee aia⊲a$ ，故 $h\le \bar{i}$ 。因为 $h=h^3\le {\bar{i}}^3\le i$ ，故 $i=h$ ，即h是单代数。证毕。

注2：代数0也认为是具有幂等心的亚直既约代数，其心h为0。

引理4.11：设 $a\in A$ ，a是有幂等心h的亚直既约代数， $0\ne i⊲a$ 。则i也是心为h的亚直既约代数。

证明：设 $0\ne i⊲a$ ， $0\ne j⊲i$ ，因此 $h\le i$ 。设 $\bar{j}$ 是j在a中生成的理想，则 $0\ne \bar{j}=j\vee aj\vee ja\vee aja⊲a$ ，故 $h\le \bar{j}$ 。由引理4.10、引理2.8有 $h=h^3\le {\bar{j}}^3\le j$ ，所以 $\wedge \left\{j|0\ne j⊲i\right\}=h$ ，即i也是心为h的亚直既约代数。证毕。

定义4.12：如果 $A$ 中的一个性质E对于 $A$ 中的等价关系~不变，则称性质E是 $A$ 中的一个代数性质。

引理4.13：设 $a\in A$ ，如果a是有幂等心h的亚直既约代数，则a是素代数。

证明：设 $i,j⊲a,ij=0$ 。如果 $i\ne 0,j\ne 0$ ，则 $h\le i,h\le j$ ，从而 $0\ne h=h^2\le ij$ ，矛盾。故 $i=0$ 或者 $j=0$ ，即0是a的素理想，故a是素代数。证毕。

定理4.14：设E是 $A$ 中的一个代数性质，K是所有幂等E心的亚直既约代数类。则K是一个特殊类，从而上根UK是一个特殊根。

证明：根据引理4.13，下面只证明K满足定义4.2的条件2)，3)。/

设 $a\in \text{K},i⊲a$ ，a的心为h。如果 $i=0$ ，则 $i\in \text{K}$ 。如果 $i\ne 0$ ，根据引理4.11，i是心为h的亚直既约代数，故 $i\in \text{K}$ 。即K满足定义4.2的条件2)。

$\forall a\in A$ ， $i⊲a$ ， $i\in \text{K}$ ，i^*是i的0化子，记 $b=a/i^{\ast }$ 。则i是有幂等E心的亚直既约代数，因此 $ha=h^{2}a=h(ha)\le hi\le h$ ， $ah=a{h}^2=(ah)h\le ih\le h$ ，根据A7(子代数乘积公理)有 $h⊲a$ 。进一步，如果 $i\wedge i^{*}\ne 0$ ，则 $0\ne i\wedge i^{*}⊲a$ ，因此 $h\le i\wedge i^{*}$ ， $h=h^2\le \left(i\wedge i^{*}\right)\left(i\wedge i^{*}\right)\le i{i}^{*}=0$ ，矛盾，故 $i\wedge i^{*}=0$ ，并且 $\left(h\vee i^{*}\right)/i^{*}\sim h/\left(i\wedge i^{*}\right)\sim h$ 。设 $k⊲a$ 且 $0\ne k/i^{*}⊲a/i^{*}$ ，则 $i^{*}\le k,i^{*}\ne k$ ，从而 $ik\ne 0$ 或者 $ki\ne 0$ 及 $0\ne ik\vee ki\le i\wedge k$ ，因此 $i\wedge k\ne 0$ ，即 $i\wedge k⊲i$ 一个非0理想。故 $h\le i\wedge k\le k$ 及 $h\vee i^{*}\le k$ 。因此 $\left(h\vee i^{*}\right)/i^{*}\le k/i^{*}=b$ ，即 $b=k/i^{*}$ 都含有非0理想 $\left(h\vee i^{*}\right)/i^{*}\sim h$ ，h具有E性质，从而 $\left(h\vee i^{*}\right)/i^{*}$ 也具有E性质。因此 $b=a/i^{*}$ 也是具有心 $\left(h\vee i^{*}\right)/i^{*}$ 的亚直既约代数，心 $\left(h\vee i^{*}\right)/i^{*}$ 也是幂等并具有E性质，即 $a/i^{*}\in \text{K}$ ，因此K满足定义4.2的条件(3)。证毕。

定义4.15：设K是所有幂等心的亚直既约代数类，上根UK称为反单根，UK根代数称为反单代数。

定理4.16： $\forall a\in A$ ，以下5个条件等价。

1) a是反单代数；

2) a的商代数都不是具有幂等心的亚直既约代数的亚直和；

3) a的商代数都是具有幂0心的亚直既约代数的亚直和；

4) 不存在a的素理想p，使得商代数a/p有极小理想；

5) $\forall i⊲a,\forall j⊲i$ ，i/j都不是非平凡幂等单代数。

证明：根据上根UK的定义知1)与2)等价，下面证明1)，3)，4)与5)等价。

1)⇒3)：如果有 $i⊲a$ 使得 $b=a/i$ 不是具有幂0心的亚直既约代数的亚直和，根据引理4.10， $b=a/i$ 可以表示为亚直既约代数的亚直和 $b={\displaystyle {\sum }_s{b}_{\alpha }}$ ，则其中至少有一个亚直既约代数 $b_{\alpha }$ ( $b_{\alpha }$ 是 $b=a/i$ 的一个商代数)的心 $h_{\alpha }$ 不是幂0的，从而 $h_{\alpha }$ 是幂等的，与1) a是反单代数矛盾，故3)成立；

3)⇒1)：如果a不是反单代数，则存在a的非0商代数 $b=a/i$ ，使得b是具有幂等心的亚直既约代数的亚直和，与3)矛盾，故1)成立；

3)⇒4)：如果存在a的素理想p，使得商代数a/p有极小理想k/p，其中 $p\le k⊲a,p\ne k$ 。则有a/p是素代数且 $k^2\cancel{\le }p$ ，故 ${\left(k/p\right)}^2=\left(k^2\vee p\right)/p\ne 0$ 。因为k/p是商代数a/p的极小理想且 ${\left(k/p\right)}^2\le k/p$ ，从而 ${\left(k/p\right)}^2=k/p$ 。如果 $p\le l⊲a$ 且l/p是a/p的非0理想，则由a/p是素代数得 $\left(k/p\right)\left(l/p\right)\ne 0$ 。但 $\left(k/p\right)\left(l/p\right)\le k/p$ 且k/p是a/p的极小理想，所以 $\left(k/p\right)\left(l/p\right)=k/p\le l/p$ ，因此a/p是有幂等心k/p的亚直既约代数的亚直和，与(3)矛盾，故(4)成立；

4)⇒5)：如果存在 $i⊲a,j⊲i$ ， $i/j\ne 0$ 是幂等单代数，设 $\bar{j}$ 是j在a中生成的理想。如果 $\bar{j}\ne j$ ，由于 $i/j\ne 0$ 是幂等单代数， $\bar{j}/j⊲i/j$ ，故 $\bar{j}/j=i/j$ ，即 $\bar{j}=i$ 。因为 ${\bar{j}}^3\le j⊲i$ ，因此 ${\left(i/j\right)}^3={\left(\bar{j}/j\right)}^3=0$ ，矛盾，所以 $j=\bar{j}⊲a$ ， $i/j⊲a/j$ 且 ${\left(i/j\right)}^2=i/j$ 。由于 $i/j\ne 0$ 是幂等单代数，故i/j具有幂等心i/j的亚直既约代数，故i不是反单代数，因此a不是反单代数(因为反单根是遗传的)。因此存在 $p⊲a$ 使得 $a/p\in \text{K}$ ，即a/p是具有幂等心h/p的亚直既约代数，由引理4.13得p是素代数，且a/p有极小理想h/p，与(4)矛盾，故5)成立；

5)⇒3)：如果有 $i⊲a$ 使得 $b=a/i$ 不是具有幂0心的亚直既约代数的亚直和，由1)⇒3)证明可知有a的非0商代数 $b_{\alpha }/j$ ，使得 $b_{\alpha }$ 是具有幂等心 $h/j\left(j\le h⊲a\right)$ 的亚直既约代数。由引理4.10此时h/j是一个非平凡幂等单代数，与5)矛盾，故3)成立。证毕。

5. 小结

本文首先给出点态化的完备代数正规类的公理化定义，然后研究点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类及其确定的上根——反单根的结构性质。在点态化的完备代数正规类中，由于具有了类似代数系统元素的点的性质，就可以进一步研究根的各类诣零性质，如遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零代数、幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数。

基金项目

国家自然科学基金(11261067)。

文章引用

杨宗文,何青海. 点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类
The Subdirectly Irreducible Algebras Classes in Normal Classes of Complete Pointwise Algebra[J]. 理论数学, 2018, 08(05): 546-554. https://doi.org/10.12677/PM.2018.85072

参考文献