ABSTRACT

This paper is devoted to studying the Limiting Direction of the Derivative of the entire Solution f of the Differential Equation $f^{‴}+A_2\left(z\right)e^{P_2\left(z\right)}{f}^{″}+A_1\left(z\right)e^{P_1\left(z\right)}{f}^{\prime }+A_0\left(z\right)e^{P_0\left(z\right)}f=F(z)$ and the existence of the Baker Wandering Domain of f, where $P_j\left(z\right)$ is polynomials of degree $n\ge 1$, and $F\left(z\right)$ are entire functions with $max\left\{\sigma \left(A_j\right),\sigma \left(F\right),j=0,1,2\right\}<n$.

Keywords:Julia Set, Limiting Direction, Baker Wandering Domain

微分方程整函数解的导数的径向分布和解的Baker游荡域的存在性

吴米娜，邱玲^*

北京工业大学，应用数理学院，北京

收稿日期：2018年10月24日；录用日期：2018年11月5日；发布日期：2018年11月16日

摘 要

本文研究了一类形如： $f^{‴}+A_2\left(z\right)e^{P_2\left(z\right)}{f}^{″}+A_1\left(z\right)e^{P_1\left(z\right)}{f}^{\prime }+A_0\left(z\right)e^{P_0\left(z\right)}f=F(z)$ 的非齐次线性微分方程解f的导数的Julia集的径向分布问题以及讨论了方程的解的Baker游荡域的存在性。其中 $P_j\left(z\right)$ 是次数 $n\ge 1$ 的多项式， $A_j\left(z\right)$， $F\left(z\right)$ 是级小于n的整函数。

关键词 :Julia集，径向分布，Baker游荡域

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1. 引言和主要结论

本文假定读者熟悉Navanlinna的值分布理论及其符号，详见 [1] [2] [3] 。另外还需要一些亚纯函数动力系统的基础知识，详见 [4] [5] ，设f为复平面上的一个亚纯函数，我们分别用 $\sigma \left(f\right)$ 和 $\mu \left(f\right)$ 来表示函数的级和下级，其定义详见 [6] 。

设 $f:C\to \bar{C}$ 为超越亚纯函数，其中C是复平面， $\bar{C}=C\cup \infty$。我们用 $f^n\left(n\in N\right)$ 来表示函数f的n次迭代。f的Fatou集 $F\left(f\right)$ 是复平面上的一个子集，f的迭代 $f^n$ 在其上是正规的。 $F\left(f\right)$ 在复平面上的补集称为f的Julia集 $J\left(f\right)$。易见， $F\left(f\right)$ 是开集， $J\left(f\right)$ 是非空闭集。

我们记 $\Omega \left(\alpha ,\beta \right)=\left\{z:\alpha <\arg z<\beta \right\}$，其中 $0\le \alpha <\beta \le 2\pi$。给定 $\theta \in \left[0,2\pi \right)$，对于任意的 $\epsilon >0$，如果是无界的，那么称射线 $\arg z=\theta$ 为 $J\left(f\right)$ 的径向分布。定义 $\Delta \left(f\right)=\{\theta \in \left[0,2\pi \right):\arg z=\theta$ 是 $J\left(f\right)$ 的径向分布。显然， $J\left(f\right)$ 是可测的闭集。我们用 $mes\Delta \left(f\right)$ 来表示 $J\left(f\right)$ 的线性测度。

关于超越亚纯函数Julia集的径向分布已经有很多重要的研究成果，详见 [7] - [12] 。1994年，乔建永在 [8] 中证明了若超越整函数f的下级 $\mu \left(f\right)<\infty$，那么 $mes\Delta \left(f\right)\ge \min \left\{2\pi ,\pi /\mu \left(f\right)\right\}$。2014年，Z. G. Huang，J. Wang在 [13] 中考虑了下级为无穷的超越亚纯函数，并给出了相应的径向分布的估计。

定理A [13] 假设 $A_i\left(z\right),i=0,1,\cdots ,n-1$ 是具有有限下级的整函数，其中 $A_0\left(z\right)$ 是超越的，如果 $m\left(r,A_i\right)=o\left(m\left(r,A_0\right)\right)$，那么对于方程

$f^{\left(n\right)}+A_{n-1}\left(z\right)f^{\left(n-1\right)}+\cdots +A_0\left(z\right)f=0$ (1.1)

的任意解 $f\ne 0$，有 $mes\Delta \left(f\right)\ge \min \left\{2\pi ,\pi /\mu \left(A_0\right)\right\}$。

对于整函数及其导数，他们的局部性质的差异是惊人的，因为对于一些给定的整函数，很小的参数扰动会导致动力学性质的巨大变化 [14] 。因此，整函数及其导数之间的动力学性质似乎没有紧密的联系。然而，乔建永证明了下级有限的超越整函数及其导数的Julia集的径向分布大部分是相同的且它们的分布密度相互影响。那么对于下级为无穷的整函数，它与它的导数之间的Julia集的径向分布会有什么样的关系呢？根据对数导数引理，我们可以很容易得到方程(1.1)的每一个非平凡整函数解的下级是无穷的，详细证明过程参见文献 [13] 。2014年，张国威，丁杰，杨连中在 [15] 中研究方程(1.1)的整函数解的导数的Julia集的径向分布，其中其他系数为 $A_0\left(z\right)$ 的小函数，从而部分地回答了上面提到的问题。

定理B [15] 设 $A_i\left(z\right),i=0,1,\cdots ,n-1$ 是下级有限的整函数且 $A_0\left(z\right)$ 是超越的，满足当 $r\to \infty$ 时， $m\left(r,A_i\right)=o\left(m\left(r,A_0\right)\right)$，那么，方程(1.1)的每一个非平凡解f满足 $mes\left(\Delta \left(f\right)\cap \Delta \left(f^{\left(k\right)}\right)\right)\ge \text{min}\left\{2\pi ,\pi /\mu \left(A_0\right)\right\}$，其中k为正整数。

那么我们自然要问，当系数的级相同时，无穷下级的整函数的 $J\left(f\right)$ 的径向分布测度有什么特点。2016年，J. Wang，Z. X. Chen在 [16] 中研究了方程

$f^{″}+\left(A_1\left(z\right){\text{e}}^{P_1\left(z\right)}+B_1\left(z\right)\right)f^{\prime }+\left(A_2\left(z\right){\text{e}}^{P_2\left(z\right)}+B_2\left(z\right)\right)f=0$ (1.2)

并得出了如下结论。

定理C [16] 设 $k_1+k_2\ne 0$ 且 $\max \left\{\sigma \left(A_j\right),\sigma \left(B_j\right)\right\}<k_j\left(j=1,2\right)$ 对所有 $k_j>0$。若 $k_j=0$，那么 $A_j$ 和 $B_j$ 是常数。设f为方程(1.2)的非平凡解，定义

$E\left(f\right):={\displaystyle \underset{n\in Z}{\cap }\Delta f^{\left(n\right)}}$,

那么

1) 若 $k_1<k_2$，那么 $\mu \left(f\right)=\infty ,mesE\left(f\right)\ge \pi$ ；

2) 若 $k_1=k_2,a_1/a_2=b<1$，那么 $\mu \left(f\right)=\infty ,mesE\left(f\right)\ge \pi$ ；

3) 若 $k_1=k_2,a_1/a_2=b\notin R$，那么 $\left(f\right)=\infty ,mesE\left(f\right)\ge \min \left\{\arg b,2\pi -\arg b\right\}$。

接下来，我们介绍角域内的Nevanlinna理论，详见 [13] [16] 。

定义1设 $\text{0}\le \alpha <\beta \le 2\pi$，引入记号：

$\Omega \left(\alpha ,\beta ,r\right)=\left\{z:\alpha <\arg z<\beta ,\left|z\right|<r\right\}$ ;

$\bar{\Omega }\left(\alpha ,\beta ,r\right)=\left\{z:\alpha \le \arg z\le \beta ,\left|z\right|<r\right\}$ ;

${\Omega }^{*}\left(\alpha ,\beta ,r\right)=\left\{z:\alpha <\arg z<\beta ,\left|z\right|\ge r\right\}$.

定义2假设 $f\left(z\right)$ 是角域 $\bar{\Omega }\left(\alpha ,\beta \right)$ 上的亚纯函数，其中 $\text{0}<\beta -\alpha <2\pi ,\omega =\pi /\beta -\alpha$，定义：

$A_{\alpha ,\beta }=\frac{\omega }{\pi }{\displaystyle {\int }_1^r\left(\frac{1}{t^{\omega }-t^{\omega }/r^{2\omega }}\right)}\left\{{\log }^{+}\left|f\left(t{r}^{i\alpha }\right)\right|+{\log }^{+}\left|f\left(t{r}^{i\beta }\right)\right|\right\}\frac{\text{d}t}{t}$，

$B_{\alpha ,\beta }=\frac{2\omega }{\pi r^{\omega }}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }{\log }^{+}\left|f\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}\sin \omega \left(\theta -\alpha \right)\text{d}\theta$,

$$,

$S_{\alpha ,\beta }\left(r,f\right)=A_{\alpha ,\beta }\left(r,f\right)+B_{\alpha ,\beta }\left(r,f\right)+C_{\alpha ,\beta }\left(r,f\right)$,

其中 $b_n=\left|b_n\right|{\text{e}}^{i{\beta }_n}$ 是 $f\left(z\right)$ 在 $\bar{\Omega }\left(\alpha ,\beta \right)$ 上的极点，记其重数。 $S_{\alpha ,\beta }\left(r,f\right)$ 表示 $f\left(z\right)$ 在角域 $\bar{\Omega }\left(\alpha ,\beta \right)$ 上的特征函数， $C_{\alpha ,\beta }$ 称为 $f\left(z\right)$ 在角域 $\bar{\Omega }\left(\alpha ,\beta \right)$ 上的计数函数。

定义3假设 $f\left(z\right)$ 是角域 $\bar{\Omega }\left(\alpha ,\beta \right)$ 上的亚纯函数，定义其在角域上的级为：

${\sigma }_{\alpha ,\beta }\left(g\right)=\overline{\underset{r\to \infty }{\lim }}\frac{S_{\alpha ,\beta }\left(r,g\right)}{\log r}$.

定义4如果U是 $F\left(f\right)$ 的一个分支，那么对于每个 $n>1$，都存在 $F\left(f\right)$ 的一个分支 $U_n\supseteq f^n\left(U\right)$，其中 $f^n\left(n\in N\right)$ 表示函数f的n次迭代。如果存在整数 $n\ge 0,m>0$，使得 $U_n+U_{n+m}$ 不等于空集，我们就说 $U_n$ 是一个周期域。如果对于所有满足 $n,m\ge 0,n\ne m$ 的整数，有 $U_n+U_m$ 等于空集，我们就称U是一个游荡域。

定理1设 $P_j\left(z\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}}{z}^i\left(j=0,1,2\right)$ 是次数 $n\ge 1$ 的多项式，其中 $a_{ij}$ 是复数。令 $A_j\left(z\right)$， $F\left(z\right)$ 是级小于n的整函数。设 $a_{n0}/a_{n1}=b,a_{n0}/a_{n2}=c$，其中复数 $a_{nj}=a_j+i{b}_j\left(j=0,1,2\right)$，满足当 $a_0{b}_1<0,a_2{b}_0<0$ 时，有 $a_0{b}_0>0$ 成立。若f为方程

$f^{‴}+A_2\left(z\right){\text{e}}^{P_2\left(z\right)}{f}^{″}+A_1\left(z\right){\text{e}}^{P_1\left(z\right)}{f}^{\prime }+A_0\left(z\right){\text{e}}^{P_0\left(z\right)}f=F\left(z\right)$ (1.3)

的非平凡解，定义：

$I\left(f\right):={\displaystyle \underset{n\in Z}{\cap }\Delta f^{\left(n\right)}}$,

1) 若 $b,c>1$，那么 $\mu \left(f\right)=\infty ,mesI\left(f\right)\ge \pi$ ；

2) 若 $b,c\notin R$，那么 $\mu \left(f\right)=\infty ,mesI\left(f\right)\ge \min \left\{\arg b,\arg c,2\pi -\arg b,\pi -\arg b/c\right\}$。

定理2若 $P_j\left(z\right),A_j\left(z\right),F\left(z\right)$ 是满足定理1的多项式，若 $b,c>1$ 或 $b,c\notin R$，那么 $f^n\left(n\in N\right)$ 没有Baker游荡域，即只有单连通Fatou分支。

定理3定义：

$I\left(f\right):={\displaystyle \underset{n\in Z}{\cap }\Delta f^{\left(n\right)}}$,

若f是方程

$f^{\left(k\right)}+{\text{e}}^{az}{f}^{″}+{\text{e}}^{bz}f=0,k=2,3,\cdots ,n$ (1.4)

的解，其中 $a,b$ 为常数且满足 $b>a$，那么 $$。

2. 主要引理

引理1 [17] 设 $f\left(z\right)$ 是开平面上的超越亚纯函数。 $\alpha >1$ 是给定的数，对于任何给定的 $\epsilon >0$，

1) 存在一个常数 $B>0$ 和有有限对数测度的集合 $H_1\subset \left(0,\infty \right)$，对所有满足 $\left|z\right|=r\notin H_1$ 的z我们有

$\left|\frac{f^{\left(j\right)}\left(z\right)}{f^{\left(i\right)}\left(z\right)}\right|\le B{\left[\frac{T\left(\alpha r,f\right)}{r}{\left(\log r\right)}^{\alpha }\log T\left(\alpha r,f\right)\right]}^{j-i},\left(0\le i<j\right)$.

2) 存在一个零线性测度的集合 $H_{\text{2}}\subset \left[0,2\pi \right)$，存在常数 $B>0$ (只依靠 $\alpha$ )，使得对于 $\theta \in \left[0,2\pi \right)\backslash H_{\text{2}}$，存在常数 $R_0=R_0\left(\theta \right)>1$，使得对于所有满足 $\arg z=\theta ,\left|z\right|=r>R_0$ 我们有

$\left|\frac{f^{\left(j\right)}\left(z\right)}{f^{\left(i\right)}\left(z\right)}\right|\le B{\left[\frac{T\left(\alpha r,f\right)}{r}\log T\left(\alpha r,f\right)\right]}^{j-i},\left(0\le i<j\right)$.

引理2 [16] 设 $P\left(z\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{a}_i}{z}^i\left(a_n=\alpha +i\beta \ne 0\right)$ 是一个非常数的多项式且次数 $n\ge 1$，其中 $a_i$ 是复数。 $A\left(z\right)$ 是级 $\sigma \left(A\right)<n$ 的非零整函数。设定 $g\left(z\right)=A\left(z\right){\text{e}}^{P\left(z\right)}$，， $\delta \left(P,\theta \right)=\delta \left(a_{nj}{z}^n,\theta \right)=\alpha \cos \left(n\theta \right)-\beta \sin \left(n\theta \right)$。那么对任意的 $\epsilon >0$，存在零线性测度的集合 $E\subset \left[0,2\pi \right)$，使得若 $\theta \in \left[0,2\pi \right)\backslash \left(E\cup H_{\text{3}}\right)$，其中 $H_{\text{3}}=\left\{\theta \in \left[0,2\pi \right):\delta \left(P,\theta \right)=0\right\}$ 是一有限集，那么对充分大的 $\left|z\right|=r$，我们有

1) 若 $\delta \left(P,\theta \right)>0$，那么

${\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P,\theta \right)r^n}\le \left|g\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\le {\text{e}}^{\left(1+\epsilon \right)\delta \left(P,\theta \right)r^n}$.

2) 若 $\delta \left(P,\theta \right)<0$，那么

${\text{e}}^{\left(1+\epsilon \right)\delta \left(P,\theta \right)r^n}\le \left|g\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\le {\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P,\theta \right)r^n}$.

注1对于多项式 $P\left(z\right)$，我们定义：

$S_j\left(P,\theta \right)=\left\{\theta :-\frac{\arg \left(\alpha +i\beta \right)}{n}+\left(2j-1\right)\frac{\pi }{2n}<\theta <-\frac{\arg \left(\alpha +i\beta \right)}{n}+\left(2j+1\right)\frac{\pi }{2n}\right\}$.

其中 $j=0,1,\cdots ,\text{2}n-1$。由多项式的基本特征 [18] ，若 $\theta \in S_j$，当j为偶数时， $\delta \left(P,\theta \right)>0$，当j为奇数时， $\delta \left(P,\theta \right)<0$。

引理3 [19] 设 $g\left(z\right)$ 是开平面的亚纯函数且 $\sigma \left(g\right)=\sigma <\infty$。那么对任意 $\epsilon >0$，存在有限线性测度和有限对数集合 $H_6\subset \left(1,\infty \right)$ 使得当 $\left|z\right|=r\notin \left[0,1\right]\cup H_6$， $r\to \infty$，我们有

$\left|g\left(z\right)\right|\le {\text{e}}^{r^{\sigma +\epsilon }}$.

引理4 [16] 设 $f\left(z\right)$ 是整函数且满足 $mesI\left(f\right)<2\pi ,n\ge 1$ 是正整数。若 $\left(\alpha ,\beta \right)\not\subset I\left(f\right)$，那么我们有 $\left({\alpha }_0,{\beta }_0\right)\subset \left(\alpha ,\beta \right)$ 使得

$\left|\frac{f^{\left(j\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|\le K{r}^M\left(s=1,2,\cdots ,n\right)$

对于 $z\in \Omega \left({\alpha }_0,{\beta }_0\right)$ 成立，可能需除去一个有限线性测度的集合，其中M和K是两个和z无关的量。

引理5 [16] 假设 $f\left(z\right)$ 是一个至多有有限多个极点的超越亚纯函数，且其Julia集 $J\left(f\right)$ 只有有界分支，那么对于任何一个复数a，都存在一个常数 $0<d<1$ 和两个数列 $\left\{r_n\right\}$ 和 $\left\{R_n\right\}$，满足当 $r\to \infty$ 时， $r_n\to \infty$ $\frac{R_n}{r_n}\to \infty$，使得

$M\left(r,a,f\right)\le L\left(r,a,f\right),r\in G$,

其中 $G={{\displaystyle \cup }}_{n=1}^{\infty }\left\{r_n<r<R_n\right\}$ 具有无穷对数测度， $M\left(r,a,f\right)=\max \left\{\left|f\left(z\right)\right|:\left|z-a\right|=r\right\}$。

引理6 [16] 设 $p_j\left(x\right)\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 和 $f\left(z\right)$ 是区间 $\left[a,b\right]$ 上的连续的复值函数， $P_j\left(z\right)$ 和 $F\left(x\right)$ 是非负的连续函数且满足 $\left|p_j\left(x\right)\right|\le P_j\left(z\right),\left|f\left(z\right)\right|\le F\left(x\right)$。假若 $v\left(x\right)$ 和 $V\left(x\right)$ 分别为方程

$v^{\left(n\right)}-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_j}\left(x\right)v^{\left(n-j\right)}=f(x)$

和

$V^{\left(n\right)}-{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{P}_j}\left(x\right)V^{\left(n-j\right)}=F(x)$

的解，若 $V^{\left(k\right)}\left(a\right)\ge \left|v^{\left(k\right)}\left(a\right)\right|\left(k=0,1,\cdots ,n-1\right)$，那么对 $x\in \left[a,b\right]$ 有 $\left|v^{\left(k\right)}\left(a\right)\right|\le \left|V^{\left(k\right)}\left(a\right)\right|$。

引理7 [16] 设 $f\left(z\right)$ 是在 $\Omega \left(\alpha -\epsilon ,\beta +\epsilon \right)$ 上的亚纯函数，其中 $\epsilon >0$， $\text{0}<\alpha <\beta <2\pi$。那么

$A_{\alpha ,\beta }\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)+B_{\alpha ,\beta }\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)\le K\left({\log }^{+}{S}_{\alpha -\epsilon ,\beta +\epsilon }\left(r,f\right)+\log r+1\right)$

对于 $r>1$ 成立，至多除去一个有限线性测度的集合。

3. 定理的证明

定理1的证明：

1) $\frac{a_{n\text{1}}}{a_{n\text{0}}}=\frac{\text{1}}{b}<1,\frac{a_{n\text{2}}}{a_{n\text{0}}}=\frac{\text{1}}{c}<1$ 设 $\frac{\text{1}}{b}=\mu ,\frac{\text{1}}{c}=\nu$，令 $d=\max \left\{1,\mu ,\nu \right\}$，因此有 $\delta \left(P_1,\theta \right)\le d\delta \left(P_0,\theta \right)$， $\delta \left(P_2,\theta \right)\le d\delta \left(P_0,\theta \right)$。设 $\sigma \left(F\right)=l<n$，取 $0<\epsilon <\min \left\{\frac{1-d}{1+d},n-l\right\}$，因此 $d\left(1+\epsilon \right)<\left(1-\epsilon \right)$。

由(1.1)和引理1知，存在一个零线性测度的集合 $H_{\text{1}}\subset \left[0,2\pi \right)$，存在常数 $B>0$ (只依靠 $\alpha$ )，使得对于 $\theta \in \left[0,2\pi \right)\backslash H_{\text{1}}$，存在常数 $R_0=R_0\left(\theta \right)>1$，使得对于所有满足 $\arg z=\theta ,\left|z\right|=r>R_0$ 我们有

$\begin{array}{c}\left|A_0{\text{e}}^{P_0}\right|\le \left|\frac{F}{f}\right|+\left|\frac{f^{‴}}{f}\right|+\left|A_2{\text{e}}^{P_2}\right|\left|\frac{f^{″}}{f}\right|+\left|A_1{\text{e}}^{P_1}\right|\left|\frac{f^{\prime }}{f}\right|\\ \le \left(1+\left|A_2{\text{e}}^{P_2}\right|+\left|A_1{\text{e}}^{P_1}\right|+\left|\frac{F}{f}\right|\right)BT{\left(2r,f\right)}^3\end{array}$ (3.1)

对 $A_i{\text{e}}^{P_i},i=0,1,2$ 应用引理2，存在零线性测度的集合 $H_2\subset \left[0,2\pi \right)$，使得若 $\theta \in S_j\left(P_0,\theta \right)\backslash \left(H_1\cup H_{\text{2}}\right)$， $j=0,2,\cdots ,2n-2$，其中 $H_2=\left\{\theta \in \left[0,2\pi \right):\delta \left(P_0,\theta \right)=\delta \left(P_1,\theta \right)=\delta \left(P_2,\theta \right)=0\right\}$ 是一有限集，那么对充分大的 $\left|z\right|=r$，我们有

${\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{0}},\theta \right)r^n}\le \left|A_0{\text{e}}^{P_0}\right|$ (3.2)

$\left|A_i{\text{e}}^{P_i}\right|\le {\text{e}}^{\left(1+\epsilon \right)d\delta \left(P_0,\theta \right)r^n},i=1,2$ (3.3)

由级的定义及引理3可知，存在有限线性测度和有限对数集合 $H_{\text{3}}\subset \left(1,\infty \right)$ 使得当 $\left|z\right|=r\notin \left[0,1\right]\cup H_{\text{3}}$， $r\to \infty$，我们有

$\left|\frac{F}{f}\right|\le \left|F\right|\le {\text{e}}^{r^{l+\epsilon }}$ (3.4)

将(3.2) (3.3) (3.4)代入(3.1)，对所有 $\theta \in S_j\left(P_0,\theta \right)\backslash \left(H_1\cup H_{\text{2}}\right)$， $\left|z\right|=r\notin \left[0,1\right]\cup H_{\text{3}}$， $r\to \infty$，j是偶数，有

${\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{0}},\theta \right)r^n}\le 4B{\text{e}}^{\left(1+\epsilon \right)d\delta \left(P_{\text{0}},\theta \right)r^n}T{\left(2r,f\right)}^3$ (3.5)

由于 $0<\epsilon <\min \left\{\frac{1-d}{1+d},n-l\right\}$，可知 $\mu \left(f\right)=\infty$。通过注1可知，当j为偶数时， $S_j\left(P_0,\theta \right)$ 是n个线性测度为 $\frac{\pi }{n}$ 的开区间，接下来，我们来证明 $S_j\left(P_0,\theta \right)\subset I\left(f\right)$，否则，一定存在一个开区间 $S_{j_0}\left(P_0,\theta \right)\not\subset I\left(f\right)$， $j_{\text{0}}\in 0,2,\cdots ,2n-2$。由引理4知，存在 $\left({\alpha }_0,{\beta }_0\right)\subset \left(\alpha ,\beta \right)$ 使得

$\left|\frac{f^{\left(s\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|\le K{r}^M\left(s=1,2,\text{3}\right)$ (3.6)

对于 $z\in \Omega \left({\alpha }_0,{\beta }_0\right)$ 成立，可能需除去一个有限线性测度的集合 $E_1$，其中M和K是两个和z无关的量。

将(3.2) (3.3) (3.4) (3.6)代入(3.1)，可得对所有 $\theta \in \left({\alpha }_0,{\beta }_0\right)$ 和充分大的 $r\notin E_1$，我们有

${\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{0}},\theta \right)r^n}\le 4{\text{e}}^{\left(1+\epsilon \right)d\delta \left(P_{\text{0}},\theta \right)r^n}K{r}^M$ (3.7)

由于 $\delta \left(P,\theta \right)>0$，因此，矛盾。所以 $S_j\left(P_0,\theta \right)\subset I\left(f\right)$。 因此 $mesI\left(f\right)\ge \pi$。

2) 若 $\frac{a_{n0}}{a_{n1}}=b\notin R,\frac{a_{n0}}{a_{n2}}=c\notin R$，设 $\frac{a_{n\text{2}}}{a_{n\text{1}}}=d=\frac{b}{c}\notin R$。

情况1： $\arg b\in \left(0,\pi \right),\arg c\in \left(0,\pi \right),\arg d\in \left(0,\pi \right)$，由注1可知

$S_j\left(\theta \right)=S_j\left(P_2,\theta \right)\cap S_{j+1}\left(P_0,\theta \right)\cap S_j\left(P_1,\theta \right),j=1,3,\cdots ,2n-1$ (3.8)

是n个开区间，其中每个开区间的线性测度为 $\frac{\arg c}{n}$，这些区间 $S_j\left(\theta \right)$ 满足若 $\theta \in S_j\left(P_0,\theta \right)$， $j=1,3,\cdots ,2n-1$，那么

$\delta \left(P_0,\theta \right)>0,\delta \left(P_1,\theta \right)<0,\delta \left(P_2,\theta \right)<0$ (3.9)

因此，由引理2，取 $0<\epsilon <\min \left\{\frac{1-d}{1+d},n-l\right\}$，存在零线性测度的集合 $E_2\subset \left[0,2\pi \right)$，使得若 $\theta \in S_j\left(\theta \right)\backslash \left(E_2\cup H_{\text{4}}\right)$，，其中 $H_4=\left\{\theta \in \left[0,2\pi \right):\delta \left(P_0,\theta \right)=\delta \left(P_1,\theta \right)=\delta \left(P_2,\theta \right)=0\right\}$ 是一有限集，那么对充分大的 $\left|z\right|=r$，我们有

${\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{0}},\theta \right)r^n}\le \left|A_0{\text{e}}^{P_0}\right|$ (3.10)

$\left|A_i{\text{e}}^{P_i}\right|\le {\text{e}}^{\left(1+\epsilon \right)d\delta \left(P_0,\theta \right)r^n},i=1,2$ (3.11)

将(3.4) (3.10) (3.11)代入(3.1)得

${\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{0}},\theta \right)r^n}\le \left(2{\text{e}}^{r^{l+\epsilon }}+{\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{1}},\theta \right)r^n}+{\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{1}},\theta \right)r^n}\right)BT{\left(2r,f\right)}^3$ (3.12)

因为 $\delta \left(P_0,\theta \right)>0,\delta \left(P_1,\theta \right)<0,\delta \left(P_2,\theta \right)<0$，得 $\mu \left(f\right)=\infty$。

若 $S_j\left(\theta \right)\not\subset I\left(f\right)$，由引理4知，存在 $\left({\alpha }_0,{\beta }_0\right)\subseteq S_j\left(\theta \right)$，使得

$\left|\frac{f^{\left(s\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|\le K{r}^M\left(s=1,2,\text{3}\right)$ (3.13)

对所有 $z\in \Omega \left({\alpha }_0,{\beta }_0\right)$ 成立， $\left|z\right|=r\notin E_{\text{3}}$， $mes{E}_{\text{3}}<\infty$，其中 $K,M$ 是整数。

将(3.13)代入(3.12)得

${\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{0}},\theta \right)r^n}\le \left(2{\text{e}}^{r^{l+\epsilon }}+{\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{1}},\theta \right)r^n}+{\text{e}}^{\left(1-\epsilon \right)\delta \left(P_{\text{1}},\theta \right)r^n}\right)K{r}^M$ (3.14)

因为 $\delta \left(P_0,\theta \right)>0,\delta \left(P_1,\theta \right)<0,\delta \left(P_2,\theta \right)<0$， $$，矛盾。所以 $S_j\left(\theta \right)\subset I\left(f\right)$， $j\in \left(1,3,\cdots ,2n-1\right)$，因此 $mesI\left(f\right)\ge \arg c$。

情况2： $\arg b\in \left(0,\pi \right),\arg c\in \left(0,\pi \right),\arg d\in \left(\pi ,2\pi \right)$，现在 $S_j\left(\theta \right)$ 在(3.8)中是由n个线性测度为 $\frac{\arg c}{n}$ 的

开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 $\mu \left(f\right)=\infty$。并且可以证明 $S_j\left(\theta \right)\subset I\left(f\right),j\in \left(1,3,\cdots ,2n-1\right)$。因此可得 $mesI\left(f\right)\ge \arg b$。

情况3： $\arg b\in \left(\pi ,2\pi \right),\arg c\in \left(\pi ,2\pi \right),\arg d\in \left(\pi ,2\pi \right)$，现在 $S_j\left(\theta \right)$ 在(3.8)中是由n个线性测度为

$\frac{2\pi -\arg b}{n}$ 的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 $\mu \left(f\right)=\infty$。并且可以证明

$S_j\left(\theta \right)\subset I\left(f\right),j\in \left(1,3,\cdots ,2n-1\right)$。因此可得 $mesI\left(f\right)\ge 2\pi -\arg b$。

情况4： $\arg b\in \left(\pi ,2\pi \right),\arg c\in \left(\pi ,2\pi \right),\arg d\in \left(0,\pi \right)$，现在 $S_j\left(\theta \right)$ 在(3.8)中是由n个线性测度为 $\frac{2\pi -\arg b}{n}$

的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 $\mu \left(f\right)=\infty$。并且可以证明 $S_j\left(\theta \right)\subset I\left(f\right),j\in \left(1,3,\cdots ,2n-1\right)$。因此可得 $mesI\left(f\right)\ge 2\pi -\arg b$。

情况5： $\arg b\in \left(0,\pi \right),\arg c\in \left(\pi ,2\pi \right),\arg d\in \left(0,\pi \right)$，现在 $S_j\left(\theta \right)$ 在(3.8)中是由n个线性测度为 $\frac{2\pi -\arg b}{n}$

的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 $\mu \left(f\right)=\infty$。并且可以证明 $S_j\left(\theta \right)\subset I\left(f\right),j\in \left(1,3,\cdots ,2n-1\right)$。因此可得 $mesI\left(f\right)\ge 2\pi -\arg b$。

情况6： $\arg b\in \left(0,\pi \right),\arg c\in \left(\pi ,2\pi \right),\arg d\in \left(\pi ,2\pi \right)$，现在 $S_j\left(\theta \right)$ 在(3.8)中是由n个线性测度为 $\frac{2\pi -\arg b}{n}$

的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 $\mu \left(f\right)=\infty$。并且可以证明 $S_j\left(\theta \right)\subset I\left(f\right),j\in \left(1,3,\cdots ,2n-1\right)$。因此可得 $mesI\left(f\right)\ge 2\pi -\arg b$。

情况7： $\arg b\in \left(\pi ,2\pi \right),\arg c\in \left(0,\pi \right),\arg d\in \left(0,\pi \right)$，现在 $S_j\left(\theta \right)$ 在(3.8)中是由在n个线性测度为 $\frac{\pi -\arg d}{n}=\frac{\pi -\arg \frac{b}{c}}{n}$ 的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 $\mu \left(f\right)=\infty$。并且可以证明 $S_j\left(\theta \right)\subset I\left(f\right),j\in \left(1,3,\cdots ,2n-1\right)$。因此可得 $mesI\left(f\right)\ge \pi -\arg \frac{b}{c}$。

情况8：当 $\arg b\in \left(\pi ,2\pi \right),\arg c\in \left(0,\pi \right)$，因为 $a_{nj}=a_j+i{b}_j\left(j=0,1,2\right)$，计算得：

$\frac{a_{n0}}{a_{n1}}=\frac{\left(a_0{a}_1+b_0{b}_1\right)+\left(a_1{b}_0-a_0{b}_1\right)i}{a_1^2+b_1^2}$,

$\frac{a_{n0}}{a_{n2}}=\frac{\left(a_0{a}_2+b_0{b}_2\right)+\left(a_2{b}_0-a_0{b}_2\right)i}{a_2^2+b_2^2}$,

$\frac{a_{n2}}{a_{n1}}=\frac{\left(a_1{a}_2+b_1{b}_2\right)+\left(a_2{b}_1-a_1{b}_2\right)i}{a_1^2+b_1^2}$,

因此 $a_1{b}_0-a_0{b}_1<0$， $a_2{b}_0-a_0{b}_2>0$，由于当 $a_0{b}_1<0,a_2{b}_0<0$ 时，有成立，即 $a_{`1}{b}_0<a_0{b}_1<0$， $a_0{b}_2<a_2{b}_0<0$。故 $a_1{b}_2{a}_0{b}_0>a_2{b}_1{a}_0{b}_0$，因为 $a_0{b}_0>0$。因此 $\arg d\notin \left(\pi ,2\pi \right)$。所以可以归结为以上七种情况。因此得证。

定理2的证明：若 $b,c>1$，可知 $S_j\left(P_0,\theta \right)=S_j\left(P_1,\theta \right)=S_j\left(P_2,\theta \right)$。若 $b,c\notin R$，由定理1可知 $S_j\left(\theta \right)=S_j\left(P_2,\theta \right)\cap S_{j+1}\left(P_0,\theta \right)\cap S_j\left(P_1,\theta \right),j=1,3,\cdots ,2n-1$ 不等于空集。由注1可知，存在奇数 $j_1,j_2,j_3$，使得开区间 $S_{j1}\left(P_2,\theta \right)\cap S_{j2}\left(P_0,\theta \right)\cap S_{j3}\left(P_1,\theta \right)$ 不等于空集。

因此，存在 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 和M满足 ${\theta }_1<{\theta }_2,n\le M,\frac{\pi }{{\theta }_2-{\theta }_1}<M$。使得若，那么 $\delta \left(P_0,\theta \right)<0$， $\delta \left(P_1,\theta \right)<0,\delta \left(P_2,\theta \right)<0$。由Phragmén-Lindelöf原理，可知对任意的 $z\in \bar{\Omega }\left({\theta }_1,{\theta }_2\right)$，

$\left|A_0\left(z\right){\text{e}}^{P_0\left(z\right)}\right|,\left|A_1\left(z\right){\text{e}}^{P_1\left(z\right)}\right|,\left|A_2\left(z\right){\text{e}}^{P_2\left(z\right)}\right|$

是有界的，因此

$\max \left\{\left|A_0\left(z\right){\text{e}}^{P_0\left(z\right)}\right|,\left|A_1\left(z\right){\text{e}}^{P_1\left(z\right)}\right|,\left|A_2\left(z\right){\text{e}}^{P_2\left(z\right)}\right|\right\}<K$ (3.15)

其中 $K>0$ 是一常数。对于情况 $n\le 0$，对于方程(1.2)， $\varphi \left(z\right)=f^{\left(n\right)}\left(z\right)$ 一定满足以下方程

${\varphi }^{\left(m\right)}+A_2\left(z\right){\text{e}}^{P_2\left(z\right)}{\varphi }^{\left(m-1\right)}+A_1\left(z\right){\text{e}}^{P_1\left(z\right)}{\varphi }^{\left(m-2\right)}+A_0\left(z\right){\text{e}}^{P_{01}\left(z\right)}{\varphi }^{\left(m-3\right)}=F\left(z\right)$ (3.16)

其中 $m=-n+3$。设 $\phi \left(r\right)=\varphi \left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)$，因为 ${\phi }^{\left(k\right)}\left(r\right)={\text{e}}^{ki\theta }\varphi \left(r{\text{e}}^{i\theta }\right),k\in N$，那么

${\phi }^{\left(m\right)}+A_2\left(z\right){\text{e}}^{P_2\left(z\right)}{\text{e}}^{i\theta }{\phi }^{\left(m-1\right)}+A_1\left(z\right){\text{e}}^{P_1\left(z\right)}{\text{e}}^{2i\theta }{\phi }^{\left(m-2\right)}+A_0\left(z\right){\text{e}}^{P_{01}\left(z\right)}{\text{e}}^{3i\theta }{\phi }^{\left(m-3\right)}=F\left(z\right)$ (3.17)

定义 $\psi \left(r\right)={\text{e}}^{2Kr}$，那么 $\psi \left(r\right)$ 满足方程

${\psi }^{\left(m\right)}-\frac{2K}{3}{\psi }^{\left(m-1\right)}-\frac{4K^2}{3}{\psi }^{\left(m-2\right)}-\frac{8K^3}{3}{\psi }^{\left(m-3\right)}=0$ (3.18)

令 $M_{\text{0}}=\max \left\{1,\left|\varphi \left(0\right)\right|,{\left(2K\right)}^{-j}\left|{\varphi }^{\left(j\right)}\left(0\right)\right|,j=0,1,\cdots ,m\right\}$，那么

$\left|\varphi \left(0\right)\right|\le M_{\text{0}}{\psi }_0,\left|{\varphi }^{\left(j\right)}\left(0\right)\right|\le M_{\text{0}}{\psi }_0^{\left(j\right)},j=0,1,\cdots ,m$ (3.19)

由引理6可知，

$\left|\varphi \left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|=\left|\phi \left(r\right)\right|\le M_{\text{0}}{\psi }_0=M_{\text{0}}{\text{e}}^{2Kr}$

对所有 $$ 成立。因此，这意味着

${\log }^{+}\left|f^{\left(n\right)}\right|\le M_{1}r,z\in \bar{\Omega }\left({\theta }_1,{\theta }_2\right)$,

其中 $M_{\text{1}}$ 是常数。因为 $f\left(z\right)$ 是整函数，因此对于 $n\le 0$，我们有