Pure Mathematics
Vol. 09  No. 03 ( 2019 ), Article ID: 30136 , 8 pages
10.12677/PM.2019.93041

Existence of Solution for One Class of p-Laplacian Problem

Lei Li

Department of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University, Guilin Guangxi

Received: Apr. 16th, 2019; accepted: Apr. 27th, 2019; published: May 9th, 2019

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of weak solutions for the Dirichlet problems for one class of nonlinear p-Laplacian equations. Our proof combines the presence of sub and supersolution with the pseudomonotone operators theory.

Keywords:Sub and Supersolution, Pseudomonotone Operators Theory, p-Laplacian Equations

一类p-Laplace方程解的存在性问题

李磊

广西师范大学,数学与统计学院,广西 桂林

收稿日期:2019年4月16日;录用日期:2019年4月27日;发布日期:2019年5月9日

摘 要

本文利用上下解与伪单调算子方法讨论一类p-Laplace方程的Dirichlet问题解的存在性问题。

关键词 :上下解,伪单调算子,p-Laplace

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

因为含p-Laplace算子 Δ p ( Δ p u = d i v ( | u | p 2 u ) ) 的微分方程的边值问题在非牛顿力学、宇宙物理、血浆问题和弹性理论等诸多领域有着广泛的应用,所以对此类问题的研究吸引了很多学者的目光。

本文考虑一类具有p-Laplace算子方程的Dirichlet边值问题:

{ a ( | u | q ) d i v ( | u | p 2 u ) = h 1 ( x , u ) f ( | u | m ) + h 2 ( x , u ) g ( | u | r ) , x Ω , u = 0 , x Ω . (1)

解的存在性。该方程满足下列假设:

(H1) Ω R N ,是一个有界的区域且边界光滑。

(H2) q , m , r [ 1 , + )

(H3)是连续的函数。

(H4) a , f , g : [ 0 , + ) ( 0 , + ) 是连续的函数且 f , g L ( [ 0 , + ) )

(H5) inf t [ 0 , + ) a ( t ) , inf t [ 0 , + ) f ( t ) , inf t [ 0 , + ) g ( t ) a 0 > 0

解的存在性问题一直是偏微分方程研究中的重要课题,注意到p = 2时,方程(1)化为一类含有Laplace算子的边值问题:

{ a ( | u | q ) Δ u = h 1 ( x , u ) f ( | u | m ) + h 2 ( x , u ) g ( | u | r ) , x Ω , u = 0 , x Ω . (2)

文 [1] 在满足H1~H5的假设条件下,使用上下解与伪单调算子的方法证明方程(2)至少存在一个解。

在偏微分方程理论中,解的存在性与不存在性都与所选取的函数空间有关,本文所选取的函数空间是依赖于参数p的,其中。之所以这样做是为了使结果具有一般性。需要强调的是,方程(1)、方程(2)所选取的函数空间是不同的。由文 [1] 知,方程(2)选取的函数空间是 H 0 1 ( Ω ) 并且证明了解存在且解 u H 0 1 ( Ω ) 。本文选取的函数空间是 W 0 1 , p ( Ω ) ,本文的目的在于使用上下解与伪单调算子方法证明方程(1)的解存在且解。此外,由于p-Laplace算子的非线性性,对比于 p = 2 的特殊情形解的存在性

结果的建立需要更精细的讨论。本文将得到与文 [1] p = 2 情形相一致的结果 (本文规定 )

本文所得的结果是:

定理1 在满足(H1~H5)的假设下,假设方程(1)存在上下解 u _ , u ¯ W 0 1 , p ( Ω ) L ( Ω ) 并且满足下列条件:

u _ ( x ) 0 u ¯ ( x ) , x Ω , (3)

Δ p u ¯ 1 a 0 ( h 1 ( x , u ¯ ) f + h 2 ( x , u ¯ ) g ) , x Ω . (4)

Δ p u _ a 0 Γ ( h 1 ( x , u _ ) + h 2 ( x , u _ ) ) , x Ω . (5)

(6)

那么对于所有的,方程(1)至少存在一个解 u W 0 1 , p ( Ω ) L ( Ω ) 使得:

a ( | u | q ) | u | p 2 u ϕ = f ( | u | m ) h 1 ( x , u ) ϕ + g ( | u | r ) h 2 ( x , u ) ϕ (7)

成立并且满足

2. 预备知识

为证明定理1我们先做一些必要准备。

定义2.1 (见文献 [2] [3] )称算子 B : X X *

a) 是有界算子,如果 u X { B u } X * 中的有界凸集。

b) 是强制算子,如果满足

lim u B u , u u = . (8)

c) 是伪单调算子,如果满足 u n u σ ( X , X * ) 中,且

lim n sup B u n , u n u 0 , (9)

则对任意的 w X ,有

(10)

引理2.2 (Brezis) (见文献 [4] )算子 B : X X * 是伪单调的,有界的,强制的。X是实自反的可分的Banach空间,则对于任意的 b X * ,方程 B u = b 存在解 u X

定义2.3 (见文献 [5] )设X是一个 B * 空间, { x n } X , x X 。称 { x n } 弱收敛到x,记做 x n x ,是指:对于 f X * 都有。这时x称做点列的弱极限。

引理2.4 设 f n ( n = 1 , 1 , 3 , ) , f L p ( Ω ) ,若对每一个 g L q ( Ω ) (q为p的共轭数),当 n 时,有 f n g f g ,则称 f n 弱收敛于f。

证明:因为 ( L p ( Ω ) ) * = L q ( Ω ) ,可令 g ( f n ) = f n g , g ( f ) = f g ,那么 g ( f n ) g ( f ) ,再由定义2.3知 f n 弱收敛于f。

定义2.5 (见文献 [5] )设X是 B * 空间, f n X * , f X * 。称 f n 弱收敛到f记做 w * lim n f n = f ,是指:对于 x X ,都有 lim n f n ( x ) = f ( x ) 。这时f称做泛函序列 f n 的*弱极限。

定义2.6 (见文献 [6] )设X是一个赋范空间,如果在典型映射的意义下 X = X * * ,则称空间X是自反的。

引理2.7 (见文献 [5] )当X是一个自反空间时,*弱收敛与弱收敛等价。

引理2.8 (见文献 [7] )对任意 p 2 下面不等式成立:

( | ξ | p 2 ξ | η | p 2 η ) ( ξ η ) 2 2 p | ξ η | p . (11)

引理2.9 (见文献 [8] ) (Holder不等式)设 1 p q = p p 1 。若 u L p ( Ω ) , v L q ( Ω ) ,则 u v L 1 ( Ω ) ,并且 Ω | u v | d x u p v q

3. 定理1的证明

第一步,构造修正问题:

定义截断函数:

ζ ( x , t ) = { u _ ( x ) , t u _ ( x ) , t , u _ ( x ) t u ¯ ( x ) , u ¯ ( x ) , t u ¯ ( x ) .

令:

因为 h i : Ω ¯ × R R + 是连续的函数,所以可令 M i = max ( h i ( x , u ) | x Ω ¯ , u [ u _ , u ¯ ] ) ,再由 h ^ i ( x , u ) 的定义易得: | h i ( x , u ) | M i

定义函数:

γ ( x , t ) = ( u _ t ) + l + ( t u ¯ ) + l , (12)

其中, p 1 p l p 1

再定义修正函数: H ( x , u , s , t ) = h ^ 1 ( x , u ) s + h ^ 2 ( x , u ) t γ ( x , u )

利用上述函数我们研究下列Dirichlet问题:

{ a ( | u | q ) Δ p u = H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) ) , x Ω , u = 0 , x Ω . (13)

第二步,对H作出估计:

u < u _ 时: | H ( x , u , f , g ) | = h ^ 1 f + h ^ 2 g + ( u _ u ) + l > 0 ,此时,对方程(13)用最值原理易得: u _ > u > 0 ,因此:

| H ( x , u , f , g ) | = | h ^ 1 f + h ^ 2 g + ( u _ u ) + l | | h ^ 1 f | + | h ^ 2 g | + | ( u _ u ) + l | | h ^ 1 f | + | h ^ 2 g | + | u _ | l . (14)

时:

| H ( x , u , f , g ) | | h ^ 1 f + h ^ 2 g | . (15)

第三步,证明 H L p * ( Ω )

已知 u ¯ , u _ L ( Ω ) ,显然有 u ¯ , u _ L l p * ( Ω )

,利用上述条件以及Minkowski不等式我们有:

( | H ( x , u , f , g ) | p * ) 1 p * ( | h ^ 1 f | p * ) 1 p * + ( | h ^ 2 g | p * ) 1 p * + ( | u _ | l p * ) 1 p * Γ 1 ( | h ^ 1 | p * ) 1 p * + Γ 2 ( | h ^ 2 | p * ) 1 p * + ( | u _ | l p * ) 1 p * Γ 1 M 1 | Ω | 1 p * + Γ 2 M 2 | Ω | 1 p * + ( | u _ | l p * ) 1 p * <

所以有 H L p * ( Ω ) ,且与u的选取无关。

第四步,作算子: B : W 0 1 , p ( Ω ) ( W 0 1 , p ( Ω ) ) *

B ( u ) , v = a ( | ζ ( x , u ) | q ) | u | p 2 u v H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) ) v , (16)

对任意

第五步,证明B是有界的:

已知 u W 0 1 , p ( Ω )

B ( u ) , v = a ( | ζ ( x , u ) | q ) | u | p 2 u v H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) ) v a ( | ζ ( x , u ) | q ) | u | p 1 | v | + | H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) ) | | v | Γ ( | u | p ) 1 p * ( | v | p ) 1 p + ( | H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) ) | p * ) 1 p * ( | v | p ) 1 p C v W 0 1 , p ( Ω ) , (17)

其中, ( p 1 ) p * = p ,那么由上式知B是有界的。

第六步,证明B是强制的:

B ( u ) , v u = a ( | ζ ( x , u ) | q ) | u | p H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) u ) u a 0 ( | u | p ) 1 1 p ( | H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) ) | p * ) 1 p * ( | u | p ) 1 p u ,

( u = ( | u | p ) 1 p ) ,

u 时,则

B ( u ) , v u ,

因此,B是强制的。

第七步,证明B是一个伪单调算子:

根据定义(2.1)就是证明如果 u n w u 并且:

lim n sup B ( u n ) , u n u 0 , (18)

那么有:

lim n inf B ( u n ) , u n v B ( u ) , u v , v W 0 1 , p ( Ω ) . (19)

已知 u n w u u n , u L p ( Ω ) ,又由第三步知,与选取无关且,根据引理(2.4)得:

又已知

lim n sup B ( u n ) , u n u 0 ,

因此

lim n sup | u n | p 2 u n ( u n u ) 0. (20)

根据弱收敛的定义(2.3)可得:

lim n B ( u ) , u n u = 0 ,

类似可以证明:

lim n | u | p 2 u ( u n u ) = 0. (21)

联合(20),(21)两式可得:

0 lim n ( | u n | p 2 u n | u | p 2 u ) ( u n u ) lim n 2 2 p | u n u | p 0 , (22)

进而得出:

| u n u | p 0 , (23)

所以有: u n u

由(22),(23)易知:

lim n B ( u n ) B ( u ) , u n u = 0 , (24)

又已知 W 0 1 , p ( Ω ) 是自反空间联合引理(2.7)可得:

lim n inf B ( u n ) , u n v lim n inf B ( u n ) , u n lim n sup B ( u n ) , v = lim n inf B ( u n ) , u n u + lim n B ( u n ) , u B ( u ) , v = lim n B ( u ) , u n u + B ( u ) , u B ( u ) , v = B ( u ) , u B ( u ) , v = B ( u ) , u v . (25)

这就证明了B是伪单调算子。

所以B是有界的、强制的、伪单调的,根据引理(2.2)可知方程(13)有解已经证明。

第八步,我们证明方程(1)有解:

即证明 u _ u u ¯

先令 ϕ = ( u u ¯ ) +

a ( | u | q ) | u | p 2 u ( u u ¯ ) + = H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) ) ( u u ¯ ) + ,

进而有:

a ( | u | q ) | u | p 2 u ( u u ¯ ) + = f ( | ζ ( x , u ) | m ) h 1 ( x , u ) ( u u ¯ ) + + g ( | ζ ( x , u ) | r ) h 2 ( x , u ) ( u u ¯ ) + γ ( x , u ) ( u u ¯ ) + ,

因此,

| u | p 2 u ( u u ¯ ) + 1 a 0 f h 1 ( x , u ¯ ) ( u u ¯ ) + + 1 a 0 g h 2 ( x , u ¯ ) ( u u ¯ ) + 1 a ( | u | q ) ( u u ¯ ) + l + 1 .

对(4)分步积分可得:

| u | p 2 u ( u u ¯ ) + | u ¯ | p 2 u ¯ ( u u ¯ ) + a ( | u | q ) ( u u ¯ ) + l + 1 ,

所以,

| u | p 2 u ( u u ¯ ) + | u ¯ | p 2 u ¯ ( u u ¯ ) + a ( | u | q ) ( u u ¯ ) + l + 1 0 ,

又由(11)知, 2 2 p | ( u u ¯ ) + | p 0 ,进而有: ( u u ¯ ) + = 0

再令 ϕ = ( u _ u ) +

a ( | u | q ) | u | p 2 u ( u _ u ) + = H ( x , u , f ( | ζ ( x , u ) | m ) , g ( | ζ ( x , u ) | r ) ) ( u _ u ) + ,

进而有:

a ( | u | q ) | u | p 2 u ( u _ u ) + = f ( | ζ ( x , u ) | m ) h 1 ( x , u ) ( u _ u ) + + g ( | ζ ( x , u ) | r ) h 2 ( x , u ) ( u _ u ) + γ ( x , u ) ( u _ u ) + .

又由前面的 h i 的定义得到:

对(5)分步积分得:

| u | p 2 u ( u _ u ) + a 0 Γ h 1 ( x , u _ ) ( u _ u ) + a 0 Γ h 1 ( x , u _ ) ( u _ u ) + 1 Γ ( u _ u ) + l + 1 | u _ | p 2 u _ ( u _ u ) + + 1 Γ ( u _ u ) + l + 1 , (26)

进而有:

| u _ | p 2 u ( u _ u ) + | u | p 2 u ( u _ u ) + 1 Γ ( u _ u ) + l + 1 0 ,

2 2 p | ( u _ u ) + | p 0 ,

进而可得, ( u _ u ) + = 0

综上, u _ u u ¯

因此,定理1得证。

文章引用

李 磊. 一类p-Laplace方程解的存在性问题
Existence of Solution for One Class of p-Laplacian Problem[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 308-315. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93041

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