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Pure Mathematics
Vol. 09  No. 05 ( 2019 ), Article ID: 31492 , 9 pages
10.12677/PM.2019.95084

Matched Pair and Manin Triple of Hom-Malcev Algebra

Jinyuan Li

Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Jul. 2nd, 2019; accepted: Jul. 22nd, 2019; published: Jul. 29th, 2019

ABSTRACT

In this paper, we study matched pair and Manin triple of Hom-Malcev algebra. First, we give the definition of matched pair of Hom-Malcev algebra and the method of getting a new Hom-Malcev algebra on the direct sum of two Hom-Malcev algebras, we also study the method of constructing a new Hom-Malcev algebra on the dual space of Hom-Malcev algebra. Then, we give the definition of Manin triple of Hom-Malcev algebra, and we give the relation between matched pair and Manin triple of Hom-Malcev algebra.

Keywords:Hom-Malcev Algebra, Matched Pair, Manin Triple

Hom-Malcev代数的配对和Manin Triple

李进圆

辽宁师范大学，辽宁 大连

收稿日期：2019年7月2日；录用日期：2019年7月22日；发布日期：2019年7月29日

摘 要

本文主要研究了Hom-Malcev代数的配对和Manin triple。首先给出Hom-Malcev代数的配对的定义以及在两个Hom-Malcev代数的直和上构造Hom-Malcev代数的方法，研究在Hom-Malcev代数的对偶空间上构造Hom-Malcev代数的方法。然后给出Hom-Malcev代数的Manin triple的定义，并给出Hom-Malcev代数的配对和Manin triple之间的关系。

关键词 :Hom-Malcev代数，配对，Manin Triple

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

作为李代数的推广，Malcev代数不仅和李代数之间存在着密切的联系，和交错代数之间也有着密切的关系。就像李群在单位元的切空间是李代数一样，局部解析的Moufang群的切空间也是一个Malcev代数 [1] 。在 [2] 中，作者不仅给出了Malcev代数的定义，还发现每一个交错代数都是可容许的Malcev代数。Hom-Malcev代数的定义是由Yau在 [3] 中给出的，并证明了每一个Hom-交错代数也都是可容许的Hom-Malcev代数。此后，许多学者对Hom-Malcev代数进行了研究，例如，在 [4] 中，作者证明了Hom-Malcev代数上的几个恒等式。在 [5] 中，作者研究了Hom-李代数上的Hom-Yang-Baxter方程以及Hom-李双代数。在 [6] 中，作者给出了Malcev代数上的Yang-Baxter方程以及Malcev双代数。因此，可以考虑的一个问题是在Hom-Malcev代数上是否也会存在类似于Hom-Yang-Baxter方程的方程以及Hom-Malcev双代数。

2. Hom-Malcev代数的定义和表示

定义2.1 [3] ：设M是域F上的线性空间， α : M → M 为代数同态，如果M中有二元双线性运算 [ ] : M × M → M ，对于 ∀ x , y , z , w ∈ M ，有

[ x , y ] = − [ y , x ] , (2.1)

α ( [ [ x , z ] , [ y , w ] ] ) = [ [ [ x , y ] , α ( z ) ] , α 2 ( w ) ] + [ [ [ y , z ] , α ( w ) ] , α 2 ( x ) ]     + [ [ [ z , w ] , α ( x ) ] , α 2 ( y ) ] + [ [ [ w , x ] , α ( y ) ] , α 2 ( z ) ] , (2.2)

则称 ( M , [ ] , α ) 为域F上的Hom-Malcev代数。

定义2.2 [7] ：设 ( M , [ ] , α ) 为Hom-Malcev代数，V为线性空间， ρ : M → E n d ( V ) 为线性映射， σ ∈ E n d ( V ) ，如果对于 ∀ x , y , z ∈ M ，有

σ ( ρ ( x ) ) = ρ ( α ( x ) ) σ , (2.3)

σ ( ρ ( [ x , z ] ) ρ ( y ) ) − ρ ( [ [ x , y ] , α ( z ) ] ) σ 2 + ρ ( α 2 ( x ) ) ρ ( [ y , z ] ) σ   − ρ ( α 2 ( y ) ) ρ ( α ( x ) ) ρ ( z ) + ρ ( α 2 ( z ) ) ρ ( α ( y ) ) ρ ( x ) = 0 , (2.4)

则称 ( ρ , V , σ ) 为 ( M , [ ] , α ) 的表示。

定义2.3 [7] ：设 ( M , [ ] , α ) 为Hom-Malcev代数， a d : M → E n d ( M ) 为 ( M , [ ] , α ) 的伴随表示，如果对于 ∀ x , y , z ∈ M ，有

α ( a d α ( x ) ) = a d x α , (2.5)

a d y ( a d [ x , z ] α ) + α 2 ( a d [ [ x , y ] , α ( z ) ] ) + α ( a d [ y , z ] ( a d α 2 ( x ) ) )   + a d z ( a d α ( x ) ( a d α 2 ( y ) ) ) − a d x ( a d α ( y ) ( a d α 2 ( z ) ) ) = 0 , (2.6)

则称这个Hom-Malcev代数为相容的Hom-Malcev代数。

3. Hom-Malcev代数的配对

定义3.1：设 ( M 1 , [ ] 1 , α 1 ) 和 ( M 2 , [ ] 2 , α 2 ) 为Hom-Malcev代数，若 ( ρ 1 , M 2 , α 2 ) 和 ( ρ 2 , M 1 , α 1 ) 分别为 ( M 1 , [ ] 1 , α 1 ) 和 ( M 2 , [ ] 2 , α 2 ) 的表示，对于 ∀ x 1 , y 1 , z 1 ∈ M 1 ， x 2 , y 2 , z 2 ∈ M 2 ，有

[ [ ρ 2 ( x 2 ) x 1 , α 1 ( y 1 ) ] 1 , α 1 2 ( z 1 ) ] 1 − [ ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) [ y 1 , z 1 ] 1 , α 1 2 ( x 1 ) ] 1 − [ ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) α 1 ( y 1 ) , α 1 2 ( z 1 ) ] 1   − [ [ ρ 2 ( x 2 ) z 1 , α 1 ( x 1 ) ] 1 , α 1 2 ( y 1 ) ] 1 + ρ 2 ( ρ 1 ( α 1 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) ) α 1 2 ( z 1 ) + α 1 ( [ [ x 1 , z 1 ] 1 , ρ 2 ( x 2 ) y 1 ] 1 )   − ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) [ [ x 1 , y 1 ] 1 , α 1 ( z 1 ) ] 1 + α 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( y 1 ) x 2 ) [ x 1 , z 1 ] 1 ) + [ ρ 2 ( ρ 1 ( z 1 ) x 2 ) α 1 ( x 1 ) , α 1 2 ( y 1 ) ] 1   + ρ 2 ( ρ 1 ( [ y 1 , z 1 ] 1 ) α 2 ( x 2 ) ) α 1 2 ( x 1 ) − ρ 2 ( ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) ( ρ 1 ( z 1 ) x 2 ) ) α 1 2 ( y 1 ) = 0 , (3.1)

[ [ ρ 1 ( x 1 ) x 2 , α 2 ( y 2 ) ] 2 , α 2 2 ( z 2 ) ] 2 − [ ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) [ y 2 , z 2 ] 2 , α 2 2 ( x 2 ) ] 2 − [ ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) α 2 ( y 2 ) , α 2 2 ( z 2 ) ] 2   − [ [ ρ 1 ( x 1 ) z 2 , α 2 ( x 2 ) ] 2 , α 2 2 ( y 2 ) ] 2 + ρ 1 ( ρ 2 ( α 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) ) α 2 2 ( z 2 ) + α 2 ( [ [ x 2 , z 2 ] 2 , ρ 1 ( x 1 ) y 2 ] 2 )   − ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) [ [ x 2 , y 2 ] 2 , α 2 ( z 2 ) ] 2 + [ ρ 1 ( ρ 2 ( z 2 ) x 1 ) α 2 ( x 2 ) , α 2 2 ( y 2 ) ] 2 + α 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( y 2 ) x 1 ) [ x 2 , z 2 ] 2 )   + ρ 1 ( ρ 2 ( [ y 2 , z 2 ] 2 ) α 1 ( x 1 ) ) α 2 2 ( x 2 ) − ρ 1 ( ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) ( ρ 2 ( z 2 ) x 1 ) ) α 2 2 ( y 2 ) = 0 , (3.2)

ρ 2 ( ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) [ x 2 , y 2 ] 2 ) α 1 2 ( y 1 ) − α 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) ( ρ 2 ( y 2 ) y 1 ) ) + ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) [ ρ 2 ( y 2 ) ( x 1 ) , α 1 ( y 1 ) ] 1   − [ ρ 2 ( α 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) , α 1 2 ( x 1 ) ] 1 − [ ρ 2 ( [ x 2 , y 2 ] 2 ) α 1 ( x 1 ) , α 1 2 ( y 1 ) ] 1 + α 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( y 1 ) y 2 ) ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) )   − ρ 2 ( [ ρ 1 ( y 1 ) x 2 , α 2 ( y 2 ) ] 2 ) α 1 2 ( x 1 ) − ρ 2 ( α 2 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) [ x 1 , y 1 ] 1 ) + α 1 ( [ ρ 2 ( x 2 ) x 1 , ρ 2 ( y 2 ) y 1 ] 1 )   − ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) α 1 ( y 1 ) ) + ρ 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) α 2 ( y 2 ) ) α 1 2 ( x 1 ) = 0 , (3.3)

ρ 1 ( ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) [ x 1 , y 1 ] 1 ) α 2 2 ( y 2 ) − α 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) ( ρ 1 ( y 1 ) y 2 ) ) + ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) [ ρ 1 ( y 1 ) x 2 , α 2 ( y 2 ) ] 2   − [ ρ 1 ( α 1 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) , α 2 2 ( x 2 ) ] 2 − [ ρ 1 ( [ x 1 , y 1 ] 1 ) α 2 ( x 2 ) , α 2 2 ( y 2 ) ] 2 + α 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( y 2 ) y 1 ) ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) )   − ρ 1 ( [ ρ 2 ( y 2 ) x 1 , α 1 ( y 1 ) ] 1 ) α 2 2 ( x 2 ) − ρ 1 ( α 1 2 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) [ x 2 , y 2 ] 2 ) + α 2 ( [ ρ 1 ( x 1 ) x 2 , ρ 1 ( y 1 ) y 2 ] 2 )   − ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) α 2 ( y 2 ) ) + ρ 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) α 1 ( y 1 ) ) α 2 2 ( x 2 ) = 0 , (3.4)

ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) [ ρ 2 ( y 2 ) y 1 , α 1 ( x 1 ) ] 1 − ρ 2 ( [ ρ 1 ( x 1 ) y 2 , α 2 ( x 2 ) ] 2 ) α 1 2 ( y 1 ) − [ ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) ( ρ 2 ( y 2 ) x 1 ) , α 1 2 ( y 1 ) ] 1   + ρ 2 ( α 2 2 ( y 2 ) ) [ ρ 2 ( x 2 ) x 1 , α 1 ( y 1 ) ] 1 − [ ρ 2 ( α 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) , α 1 2 ( x 1 ) ] 1 − ρ 2 ( [ ρ 1 ( y 1 ) x 2 , α 2 ( y 2 ) ] 2 ) α 1 2 ( x 1 )   − ρ 2 ( α 2 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) α 1 ( y 1 ) ) − ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) ( ρ 2 ( ρ 1 ( y 1 ) y 2 ) α 1 ( x 1 ) ) + α 1 ( ρ 2 ( [ x 2 , y 2 ] 2 ) [ x 1 , y 1 ] 1 )   + ρ 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) α 2 ( y 2 ) ) α 1 2 ( x 1 ) + ρ 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( y 2 ) x 1 ) α 2 ( x 2 ) ) α 1 2 ( y 1 ) = 0 , (3.5)

ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) [ ρ 1 ( y 1 ) y 2 , α 2 ( x 2 ) ] 2 − ρ 1 ( [ ρ 2 ( x 2 ) y 1 , α 1 ( x 1 ) ] 1 ) α 2 2 ( y 2 ) − [ ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) ( ρ 1 ( y 2 ) x 2 ) , α 2 2 ( y 2 ) ] 2   + ρ 1 ( α 1 2 ( y 1 ) ) [ ρ 1 ( x 1 ) x 2 , α 2 ( y 2 ) ] 2 − [ ρ 1 ( α 1 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) , α 2 2 ( x 2 ) ] 2 − ρ 1 ( [ ρ 2 ( y 2 ) x 1 , α 1 ( y 1 ) ] 1 ) α 2 2 ( x 2 )   − ρ 1 ( α 1 2 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) α 2 ( y 2 ) ) − ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) ( ρ 1 ( ρ 2 ( y 2 ) y 1 ) α 2 ( x 2 ) ) + α 2 ( ρ 1 ( [ x 1 , y 1 ] 1 ) [ x 2 , y 2 ] 2 )   + ρ 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) α 1 ( y 1 ) ) α 2 2 ( x 2 ) + ρ 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( y 1 ) x 2 ) α 1 ( x 1 ) ) α 2 2 ( y 2 ) = 0 , (3.6)

则称 ( M 1 , M 2 , ρ 1 , ρ 2 ) 为这两个Hom-Malcev代数的配对。

定理3.2：设 ( M 1 , [ ] 1 , α 1 ) ， ( M 2 , [ ] 2 , α 2 ) 为Hom-Malcev代数， ρ 1 : M 1 → E n d ( M 2 ) 和 ρ 2 : M 2 → E n d ( M 1 ) 为线性映射，在 M 1 ⊕ M 2 上定义二元反对称双线性运算 [ ] : ( M 1 ⊕ M 2 ) × ( M 1 ⊕ M 2 ) → ( M 1 ⊕ M 2 ) ，对于 ∀ x 1 , y 1 ∈ M 1 , x 2 , y 2 ∈ M 2 ，有

[ x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ] = [ x 1 , y 1 ] 1 + ρ 2 ( x 2 ) y 1 − ρ 2 ( y 2 ) x 1 + [ x 2 , y 2 ] 2 + ρ 1 ( x 1 ) y 2 − ρ 1 ( y 1 ) x 2 ,

并定义

则 ( M 1 ⊕ M 2 , [ ] , α 1 + α 2 ) 为Hom-Malcev代数当且仅当为 ( M 1 , [ ] 1 , α 1 ) 和 ( M 2 , [ ] 2 , α 2 ) 这两个Hom-Malcev代数的配对。

证明： ( M 1 ⊕ M 2 , [ ] , α 1 + α 2 ) 为Hom-Malcev代数当且仅当对于 ∀ x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ∈ M 1 ， x 2 , y 2 , z 2 , w 2 ∈ M 2 ，

( α 1 + α 2 ) ( [ x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ] ) = [ ( α 1 + α 2 ) ( x 1 + x 2 ) , ( α 1 + α 2 ) ( y 1 + y 2 ) ] , (3.7)

( α 1 + α 2 ) ( [ [ x 1 + x 2 , z 1 + z 2 ] , [ y 1 + y 2 , w 1 + w 2 ] ] ) = [ [ [ x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ] , ( α 1 + α 2 ) ( z 1 + z 2 ) ] , ( α 1 + α 2 ) 2 ( w 1 + w 2 ) ]         + [ [ [ y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ] , ( α 1 + α 2 ) ( w 1 + w 2 ) ] , ( α 1 + α 2 ) 2 ( x 1 + x 2 ) ]         + [ [ [ z 1 + z 2 , w 1 + w 2 ] , ( α 1 + α 2 ) ( x 1 + x 2 ) ] , ( α 1 + α 2 ) 2 ( y 1 + y 2 ) ]         + [ [ [ w 1 + w 2 , x 1 + x 2 ] , ( α 1 + α 2 ) ( y 1 + y 2 ) ] , ( α 1 + α 2 ) 2 ( z 1 + z 2 ) ] (3.8)

成立。

(3.7)成立等价于(2.3)成立，(3.8)成立等价于这16种情况下(3.8)成立：

1) x 2 , y 2 , z 2 , w 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 1 = z 1 = w 1 = 0 ；

2) w 1 ∈ M 1 ， x 2 , y 2 , z 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 1 = z 1 = w 2 = 0 ；

3) z 1 ∈ M 1 ， x 2 , y 2 , w 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 1 = z 2 = w 1 = 0 ；

4) z 1 , w 1 ∈ M 1 ， x 2 , y 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 1 = z 2 = w 2 = 0 ；

5) y 1 ∈ M 1 ， x 2 , z 2 , w 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 2 = z 1 = w 1 = 0 ；

6) y 1 , w 1 ∈ M 1 ， x 2 , z 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 2 = z 1 = w 2 = 0 ；

7) y 1 , z 1 ∈ M 1 ， x 2 , w 2 ∈ M 2 ，；

8) y 1 , z 1 , w 1 ∈ M 1 ， x 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 2 = z 2 = w 2 = 0 ；

9) x 1 ∈ M 1 ， y 2 , z 2 , w 2 ∈ M 2 ， x 2 = y 1 = z 1 = w 1 = 0 ；

10) x 1 , w 1 ∈ M 1 ， y 2 , z 2 ∈ M 2 ， x 2 = y 1 = z 1 = w 2 = 0 ；

11) x 1 , z 1 ∈ M 1 ， y 2 , w 2 ∈ M 2 ， x 2 = y 1 = z 2 = w 1 = 0 ；

12) x 1 , z 1 , w 1 ∈ M 1 ， y 2 ∈ M 2 ，；

13) x 1 , y 1 ∈ M 1 ， z 2 , w 2 ∈ M 2 ，；

14) x 1 , y 1 , w 1 ∈ M 1 ， z 2 ∈ M 2 ， x 2 = y 2 = z 1 = w 2 = 0 ；

15) x 1 , y 1 , z 1 ∈ M 1 ， w 2 ∈ M 2 ，；

16) x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ∈ M 1 ， x 2 = y 2 = z 2 = w 2 = 0 。

其中，情况1)下(3.8)成立 ⇔ ( M 2 , [ ] 2 , α 2 ) 为Hom-Malcev代数，情况2) 3) 5) 9)下(3.8)成立 ⇔ (2.4) (3.1)成立，情况8) 12) 14) 15)下(3.8)成立 ⇔ (2.4) (3.2)成立，情况4) 7) 10) 13)下(3.8)成立 ⇔ (3.3) (3.4)成立，情况6) 11)下(3.8)成立 ⇔ (3.5) (3.6)成立，情况16)下(3.8)成立 ⇔ ( M 1 , [ ] 1 , α 1 ) 为Hom-Malcev代数。

定理3.3：设 ( M , [ ] M , α ) 为Hom-Malcev代数， Δ : M → M ⊗ M 为线性映射，在 M * 上定义 [ a * , b * ] M * = Δ * ( a * ⊗ b * ) ( ∀ a * , b * ∈ M * )，则

1) ( M * , [ ] M * , α * ) 为Hom-Malcev代数当且仅当 Δ 满足以下两个条件：

Δ = − τ Δ , (3.9)

( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ Δ ) Δ α = ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ + ( 1 ⊗ 1 ⊗ τ ) ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( τ ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ         + ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( τ ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ 1 ⊗ τ ) ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ         + ( τ ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ 1 ⊗ τ ) ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ , (3.10)

2) ( M * , [ ] M * , α * ) 为相容的Hom-Malcev代数当且仅当 Δ 满足(2.9)和(2.10)且

( α ⊗ 1 ) Δ α = ( 1 ⊗ α ) Δ , (3.11)

(3.12)

证明：1) ( M * , [ ] M * , α * ) 为Hom-Malcev代数当且仅当对于 ∀ a * , b * , c * , d * ∈ M *

[ a * , b * ] M * = − [ b * , a * ] M * ,

α * ( [ [ a * , c * ] M * , [ b * , d * ] M * ] M * ) = [ [ [ a * , b * ] M * , α * ( c * ) ] M * , α ∗ 2 ( d ∗ ) ] M *       + [ [ [ d * , a * ] M * , α * ( b * ) ] M * , α ∗ 2 ( c ∗ ) ] M *       + [ [ [ b * , c * ] M * , α * ( d * ) ] M * , α ∗ 2 ( a ∗ ) ] M *       + [ [ [ c * , d * ] M * , α * ( a * ) ] M * , α ∗ 2 ( b ∗ ) ] M *

成立。因此， ∀ x ∈ M ，

〈 [ a * , b * ] M * + [ b * , a * ] M * , x 〉 = 0 ⇔ 〈 a * ⊗ b * , Δ ( x ) 〉 + 〈 τ ( a * ⊗ b * ) , Δ ( x ) 〉 = 0

等价于(3.9)成立。

〈 α * ( [ [ a * , c * ] M * , [ b * , d * ] M * ] M * ) − [ [ [ a * , b * ] M * , α * ( c * ) ] M * , α ∗ 2 ( d ∗ ) ] M * − [ [ [ d * , a * ] M * , α * ( b * ) ] M * , α ∗ 2 ( c ∗ ) ] M * + [ [ [ b * , c * ] M * , α * ( d * ) ] M * , α ∗ 2 ( a ∗ ) ] M * + [ [ [ c * , d * ] M * , α * ( a * ) ] M * , α ∗ 2 ( b ∗ ) ] M * , x 〉 = 0

⇔ 〈 a * ⊗ c * ⊗ b * ⊗ d * , ( Δ ⊗ Δ ) Δ ( α ( x ) ) 〉             − 〈 a * ⊗ b * ⊗ c * ⊗ d * , ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ( x ) 〉             − 〈 b * ⊗ c * ⊗ d * ⊗ a * , ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ( x ) 〉             − 〈 c * ⊗ d * ⊗ a * ⊗ b * , ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ( x ) 〉             − 〈 d * ⊗ a * ⊗ b * ⊗ c * , ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ( x ) 〉 = 0

等价于(3.10)成立。

2) ( M * , [ ] M * , α * ) 为相容的Hom-Malcev代数当且仅当1)且对于 ∀ a * , b * , c * , d * ∈ M * 。

α * ( a d M * α * ( a * ) ( b * ) ) = a d M * a * ( α * ( b * ) ) ，

a d M * b * ( a d M * [ a * , c * ] M * ( α * ( d * ) ) ) − a d M * a * ( a d M * α * ( b * ) ( a d M * α ∗ 2 ( c * ) ( d * ) ) )   + α * ( a d M * [ b * , c * ] M * ( a d M * α ∗ 2 ( a * ) ( d * ) ) ) + a d M * c * ( a d M * α * ( a * ) ( a d M * α ∗ 2 ( b * ) ( d * ) ) )   + α ∗ 2 ( a d M * [ [ a * , b * ] M * , α * ( c * ) ] M * ( d * ) ) = 0

成立。因此， ，

〈 α * ( a d M * α * ( a * ) ( b * ) ) − a d M * a * ( α * ( b * ) ) , x 〉 = 0 ⇔ 〈 [ α * ( a * ) , b * ] M * , α ( x ) 〉 − 〈 [ a * , α * ( b * ) ] M * , x 〉 = 0

等价于(3.11)成立。

〈 a d M * b * ( a d M * [ a * , c * ] M * ( α * ( d * ) ) ) − a d M * a * ( a d M * α * ( b * ) ( a d M * α ∗ 2 ( c * ) ( d * ) ) )   + α * ( a d M * [ b * , c * ] M * ( a d M * α ∗ 2 ( a * ) ( d * ) ) ) + a d M * c * ( a d M * α * ( a * ) ( a d M * α ∗ 2 ( b * ) ( d * ) ) )   + α ∗ 2 ( a d M * [ [ a * , b * ] M * , α * ( c * ) ] M * ( d * ) ) , x 〉 = 0

⇔ 〈 b * ⊗ a * ⊗ c * ⊗ d * , ( 1 ⊗ Δ ⊗ α ) ( 1 ⊗ Δ ) Δ ( x ) 〉           + 〈 c * ⊗ a * ⊗ b * ⊗ d * , ( 1 ⊗ 1 ⊗ α 2 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ α ⊗ Δ ) ( 1 ⊗ Δ ) Δ ( x ) 〉           + 〈 b * ⊗ c * ⊗ a * ⊗ d * , ( 1 ⊗ 1 ⊗ α 2 ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ Δ ) Δ ( α ( x ) ) 〉           + 〈 a * ⊗ b * ⊗ c * ⊗ d * , ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( x ) ) 〉           − 〈 a * ⊗ b * ⊗ c * ⊗ d * , ( 1 ⊗ 1 ⊗ α 2 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ α ⊗ Δ ) ( 1 ⊗ Δ ) Δ ( x ) 〉 = 0

等价于(3.12)成立。

定理3.4：设 ( M , [ ] M , α ) 为相容的Hom-Malcev代数，线性映射 Δ : M → M ⊗ M 满足(3.9)~(3.12)，在 M ⊕ M * 上定义二元反对称双线性运算 [ ] : ( M ⊕ M * ) × ( M ⊕ M * ) → ( M ⊕ M * ) ，对于 ∀ x , y ∈ M ， a * , b * ∈ M * ，有

[ x + a * , y + b * ] = [ x , y ] M + a d M * * ( a * ) y − a d M * * ( b * ) x + [ a * , b * ] M * + a d M * * ( x ) b * − a d M * * ( y ) a * ,

并定义

( α + α * ) ( x + a * ) = α ( x ) + α * ( a * ) ,

则是Hom-Malcev代数当且仅当对于 ∀ x , y , z , ∈ M ， a * , b * , c * ∈ M * ， Δ 满足

( α ⊗ 1 ) ( a d M [ y , z ] M ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( x ) ) − ( 1 ⊗ a d M α 2 ( z ) ) ( 1 ⊗ a d M α ( y ) ) Δ ( x ) + ( a d M y ⊗ α ) Δ ( [ x , z ] M )   + ( 1 ⊗ a d M α 2 ( y ) ) ( 1 ⊗ a d M α ( x ) ) Δ ( z ) + ( α 2 ⊗ 1 ) Δ [ [ x , y ] M , α ( z ) ] M − ( α ⊗ a d M α 2 ( x ) ) Δ ( [ y , z ] M )   − ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M [ x , z ] M ) Δ ( y ) − ( a d M z ⊗ a d M α 2 ( y ) ) Δ ( α ( x ) ) + ( a d M x ⊗ a d M α 2 ( z ) ) Δ ( α ( y ) )   − ( a d M x ⊗ 1 ) ( a d M α ( y ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( z ) ) + ( a d M z ⊗ 1 ) ( a d M α ( x ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( y ) ) = 0 , (3.13)

(3.14)

〈 b * ⊗ c * , ( α 2 ⊗ 1 ) Δ ( a d M * * α * ( a * ) ( [ x , y ] M ) ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * , ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M ( a d M * * α * ( x ) ) ) Δ ( y ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * , ( a d M y ⊗ α ) Δ ( a d M * * α * ( x ) ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * , ( α ⊗ 1 ) ( a d M * * ( a d M * y ( a * ) ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( x ) ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * , ( a d M * * a * ⊗ 1 ) ( a d M α ( x ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( y ) ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * , ( a d M * * a * ⊗ a d M α 2 ( y ) ) Δ ( α ( x ) ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * , ( a d M x ⊗ a d M * * α ∗ 2 ( a * ) ) Δ ( α ( y ) ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * , ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M * * ( a d M * x ( a * ) ) ) Δ ( y ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * , ( α ⊗ a d M α 2 ( x ) ) Δ ( a d M * * a * ( y ) ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * , ( 1 ⊗ a d M * * α ∗ 2 ( a * ) ) ( 1 ⊗ a d M α ( y ) ) Δ ( x ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * , ( α ⊗ 1 ) ( a d M ( a d M * * a * ( y ) ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( x ) ) 〉 = 0 , (3.15)

〈 y ⊗ z , ( a d M * x ⊗ a d M * α ∗ 2 ( b * ) ) Δ * ( α * ( a * ) ) 〉 − 〈 y ⊗ z , ( 1 ⊗ α * ) ( 1 ⊗ a d M * ( a d M * x ( a * ) ) ) Δ * ( b * ) 〉 + 〈 y ⊗ z , ( a d M * b * ⊗ α * ) Δ * ( a d M * x ( a * ) ) 〉 − 〈 y ⊗ z , ( α * ⊗ 1 ) ( a d M * ( a d M * * b * ( x ) ) ⊗ 1 ) Δ * ( α ∗ 2 ( a * ) ) 〉 − 〈 y ⊗ z , ( a d M * a * ⊗ a d M * α 2 ( x ) ) Δ * ( α * ( b * ) ) 〉 + 〈 y ⊗ z , ( 1 ⊗ α * ) ( 1 ⊗ a d M * ( a d M * * a * ( x ) ) ) Δ * ( b * ) 〉 − 〈 y ⊗ z , ( a d M * x ⊗ 1 ) ( a d M * α * ( a * ) ⊗ 1 ) Δ * ( α ∗ 2 ( b * ) ) 〉 + 〈 y ⊗ z , ( α ∗ 2 ⊗ 1 ) Δ * ( a d M * α ( x ) ( [ a * , b * ] M * ) ) 〉 − 〈 y ⊗ z , ( a d M * x ⊗ 1 ) ( a d M * α * ( a * ) ⊗ 1 ) Δ * ( α ∗ 2 ( b * ) ) 〉 + 〈 y ⊗ z , ( α ∗ 2 ⊗ 1 ) Δ * ( a d M * α ( x ) ( [ a * , b * ] M * ) ) 〉 + 〈 y ⊗ z , ( α * ⊗ 1 ) ( a d M * ( a d M * x ( b * ) ) ⊗ 1 ) Δ * ( α ∗ 2 ( a * ) ) 〉 = 0 , (3.16)

〈 a * ⊗ b * , ( α 2 ⊗ 1 ) ( a d M * * c * ⊗ 1 ) ( a d M α ( x ) ⊗ 1 ) Δ ( y ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * , ( α 2 ⊗ 1 ) ( a d M * * c * ⊗ a d M y ) Δ ( α ( x ) ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * , ( a d M y ⊗ α ) Δ ( a d M * * c * ( α 2 ( x ) ) ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * , ( 1 ⊗ α 2 ) ( 1 ⊗ a d M * * c * ) ( 1 ⊗ a d M α ( y ) ) Δ ( x ) 〉 + 〈 a * ⊗ b * , ( 1 ⊗ α 2 ) ( a d M x ⊗ a d M * * c * ) Δ ( α ( y ) ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * , ( α ⊗ 1 ) ( a d M ( a d M * * c * ( α 2 ( y ) ) ) ⊗ 1 ) Δ ( x ) 〉 + 〈 a * ⊗ b * , ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M ( a d M * * c * ( α 2 ( x ) ) ) ) Δ ( y ) 〉 + 〈 a * ⊗ b * , ( α ⊗ a d M x ) Δ ( a d M * * c * ( α 2 ( y ) ) ) 〉 + 〈 a * ⊗ b * , ( α ⊗ 1 ) ( a d M * * ( a d M * α 2 ( y ) ( c * ) ) ⊗ 1 ) Δ ( x ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * , Δ ( a d M * * α * ( c * ) ( [ x , y ] M ) ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * , ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M * * ( a d M * α 2 ( x ) ( c * ) ) ) Δ ( y ) 〉 = 0 , (3.17)

〈 x ⊗ y , ( α ∗ 2 ⊗ 1 ) ( a d M * z ⊗ 1 ) ( a d M * α * ( a * ) ⊗ 1 ) Δ * ( b * ) 〉 − 〈 x ⊗ y , ( α ∗ 2 ⊗ 1 ) ( a d M * z ⊗ a d M * b * ) Δ * ( α * ( a * ) ) 〉 − 〈 x ⊗ y , ( a d M * b * ⊗ α * ) Δ * ( a d M * z ( α ∗ 2 ( a * ) ) ) 〉 − 〈 x ⊗ y , ( 1 ⊗ α ∗ 2 ) ( 1 ⊗ a d M * z ) ( 1 ⊗ a d M * α * ( b * ) ) Δ * ( a * ) 〉 + 〈 x ⊗ y , ( 1 ⊗ α ∗ 2 ) ( a d M * a * ⊗ a d M * z ) Δ * ( α * ( b * ) ) 〉 − 〈 x ⊗ y , ( α * ⊗ 1 ) ( a d M * ( a d M * z ( α ∗ 2 ( b * ) ) ) ⊗ 1 ) Δ * ( a * ) 〉 + 〈 x ⊗ y , ( α * ⊗ 1 ) ( a d M * ( a d M * * α ∗ 2 ( b * ) ( z ) ) ⊗ 1 ) Δ * ( a * ) 〉 + 〈 x ⊗ y , ( α * ⊗ a d M * a * ) Δ * ( a d M * z ( α ∗ 2 ( b * ) ) ) 〉 + 〈 x ⊗ y , ( 1 ⊗ α * ) ( 1 ⊗ a d M * ( a d M * z ( α ∗ 2 ( a * ) ) ) ) Δ * ( b * ) 〉 − 〈 x ⊗ y , Δ * ( a d M * α ( z ) ( [ a * , b * ] M * ) ) 〉 − 〈 x ⊗ y , ( 1 ⊗ α * ) ( 1 ⊗ a d M * ( a d M * * α ∗ 2 ( a * ) ( z ) ) ) Δ * ( b * ) 〉 = 0 , (3.18)

证明：由定理3.2可知， ( M ⊕ M * , [ ] , α + α * ) 是Hom-Malcev代数当且仅当 ( M , M * , a d M * , a d M * * ) 为 ( M , [ ] M , α ) 和 ( M * , [ ] M * , α * ) 这两个Hom-Malcev代数的配对，当且仅当 ∀ x , y , z , ∈ M ， 满足(3.1)~(3.6)即可。

定义3.5：设 ( M , [ ] M , α ) 为相容的Hom-Malcev代数， Δ : M → M ⊗ M 为线性映射，若 Δ 满足(3.9)~(3.18)，则称 ( M , M * , Δ ) 为Hom-Malcev双代数。

4. Hom-Malcev代数的Manin triple

定义4.1：设 ( M , [ ] , α ) 是Hom-Malcev代数，若 M + 和 M − 都为M的子代数， M = M + + M − ，M上存在一个非退化的、对称的双线性函数 B ( ⋅ , ⋅ ) 保持不变性，即 ∀ x , y , z ∈ M ，有

B ( [ x , y ] , z ) = B ( x , [ y , z ] ) , (4.1)

(4.2)

且 M + 和 M − 关于 B ( ⋅ , ⋅ ) 都是迷向的，即 B ( M + , M + ) = B ( M − , M − ) = 0 ，则称 ( M , M + , M − ) 为Hom-Malcev代数 ( M , [ ] , α ) 的Manin triple。

定理4.2：设 ( M , [ ] M , α ) ， ( M * , [ ] M * , α * ) 为相容的Hom-Malcev代数， B ( ⋅ , ⋅ ) 为 M ⊕ M * 上的双线性函数， B ( x + a * , y + b * ) = 〈 x , b * 〉 + 〈 y , a * 〉 ，在 M ⊕ M * 上定义运算

[ x + a * , y + b * ] = [ x , y ] M + a d M * x ( b * ) − a d M * y ( a * ) + [ a * , b * ] M * + a d M * * a * ( y ) − a d M * * b * ( x ) ,

并定义

其中， ∀ x , y ∈ M ， ∀ a * , b * ∈ M * ，则 ( M , M * , a d M * , a d M * * ) 是Hom-Malcev代数的配对的充分必要条件为 ( M ⊕ M * , M , M * ) 是Hom-Malcev代数的Manin triple。

证明：必要性。根据定理3.2可知，若 ( M , M * , a d M * , a d M * * ) 是配对，则 ( M ⊕ M * , [ ] , α + α * ) 是Hom-Malcev代数。显然，和 ( M * , [ ] M * , α * ) 都为 ( M ⊕ M * , [ ] , α + α * ) 的子代数。

∀ y + b * ∈ M ⊕ M * ，取 x + a * ∈ M ⊕ M * ，若 B ( x + a * , y + b * ) = 0 ，则当 b * = 0 时，

B ( x + a * , y ) = 〈 x , 0 〉 + 〈 y , a * 〉 = 0 + 〈 y , a * 〉 = 0 ,

可以得到 a * = 0 。同理，当 y = 0 时，可以得到，因此 x + a * = 0 ， B ( ⋅ , ⋅ ) 是非退化的。

B ( x + a * , y + b * ) = 〈 x , b * 〉 + 〈 y , a * 〉 = 〈 y , a * 〉 + 〈 x , b * 〉 = B ( y + b * , x + a * ) ,

可知 B ( ⋅ , ⋅ ) 是对称的。

B ( [ x + a * , y + b * ] , z + c * ) − B ( x + a * , [ y + b * , z + c * ] ) = 〈 [ x , y ] M , c * 〉 + 〈 a d M * * a * ( y ) , c * 〉 − 〈 a d M * * b * ( x ) , c * 〉 + 〈 [ a * , b * ] M * , z 〉         + 〈 a d M * x ( b * ) , z 〉 − 〈 a d M * y ( a * ) , z 〉 − 〈 x , [ b * , c * ] M * 〉 − 〈 x , a d M * y ( c * ) 〉         + 〈 x , a d M * z ( b * ) 〉 − 〈 a * , [ b * , c * ] M * 〉 − 〈 a * , a d M * * b * ( z ) 〉 + 〈 a * , a d M * * c * 〉 ,

由 〈 a d M * * a * ( y ) , c * 〉 = − 〈 y , a d M * a * ( c * ) 〉 = − 〈 y , [ a * , c * ] M * 〉 ，可知(4.1)成立。

B ( ( α + α * ) ( x + a * ) , y + b * ) − B ( x + a * , ( α + α * ) ( y + b * ) ) = 〈 α ( x ) , b * 〉 + 〈 α * ( a * ) , y 〉 − 〈 x , α * ( b * ) 〉 − 〈 a * , α ( y ) 〉

由 〈 α ( x ) , b * 〉 = 〈 x , α * ( b * ) 〉 ，可知(4.2)成立。因此， B ( ⋅ , ⋅ ) 是不变的。

由 B ( x , y ) = B ( x + 0 , y + 0 ) = 〈 x , 0 〉 + 〈 y , 0 〉 = 0 ，可知M关于 B ( ⋅ , ⋅ ) 都是迷向的。同理， M * 关于 B ( ⋅ , ⋅ ) 也是迷向的。综上所述， ( M ⊕ M * , M , M * ) 是Manin triple。

充分性。若 ( M ⊕ M * , M , M * ) 是Manin triple，由定义4.1可知， ( M ⊕ M * , [ ] , α + α * ) 是Hom-Malcev代数，因此，由定理3.2可知， ( M , M * , a d M * , a d M * * ) 是配对。

定理4.3：设 ( M , [ ] M , α ) ， ( M * , [ ] M * , α * ) 为相容的Hom-Malcev代数，则下列三个条件是等价的。

1) ( M , M * , Δ ) 为Hom-Malcev双代数。

2) ( M , M * , a d M * , a d M * * ) 是Hom-Malcev代数的配对。

3) ( M ⊕ M * , M , M * ) 是Hom-Malcev代数的Manin triple。

证明：由定理4.2和定义3.5可推出。

文章引用

李进圆. Hom-Malcev代数的配对和Manin Triple
Matched Pair and Manin Triple of Hom-Malcev Algebra[J]. 理论数学, 2019, 09(05): 632-640. https://doi.org/10.12677/PM.2019.95084

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