ABSTRACT

In this paper, we give the inverse problem of high-dimensional Cauchy mean value theorem, generalize and improve the existing results through studying high-dimensional Cauchy mean value theorem.

Keywords:Cauchy Mean Value Theorem, Inverse Problem, Multivariate Function

高维Cauchy中值定理的逆问题

朱林浩，余杭，李宏亮^*

浙江外国语学院数学系，浙江 杭州

收稿日期：2019年8月29日；录用日期：2019年9月18日；发布日期：2019年9月25日

摘 要

通过对高维Cauchy中值定理的进一步研究，给出了高维Cauchy中值定理的逆问题，推广和改进了已有文献的结果。

关键词 :柯西中值定理，逆问题，多元函数

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1. 引言

微分中值定理是微分学的核心定理之一，是讨论怎么由导数的已知性质来推断函数性质的有效工具。对于微分中值定理已经有较为深刻的研究，从一元到多元，从一次到高次都有研究。如 [1] 给出了二维Cauchy型中值定理。

定理1.1 函数 $f\left(x,y\right),g\left(x,y\right)$ 在闭凸区域 $\bar{D}$ 上连续，在开区域D上具有连偏导数，且 $dg\left(x,y\right)\ne 0$ ， $\left(x,y\right)$ 为D内任一点，则对D内任意两点 $M\left(x_0,y_0\right),N\left(x_0+h,y_0+k\right)$ ，至少存在一点 $\left(\xi ,\eta \right)\in \overline{MN}$ (联结 $\overline{MN}$ 的线段上一点 $\left(\xi ,\eta \right)\in \overline{MN}\subset D$ )，使得

$\frac{f\left(x_0+h,y_0+k\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{g\left(x_0+h,y_0+k\right)-g\left(x_0,y_0\right)}=\frac{f_x\left(\xi ,\eta \right)h+f_y\left(\xi ,\eta \right)k}{g_x\left(\xi ,\eta \right)h+g_y\left(\xi ,\eta \right)k}$ 。

而对于微分中值定理的逆问题，也有很多文献做了研究。 [2] 研究了一类单变量Cauchy型微分中值定理的逆命题：

定理1.2 函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上可导， $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$ ，且当 $x_1,x_2\in \left[a,b\right]$ ， $x_1<x_2$ 时，有 $f^{\prime }\left(x_1\right)g^{\prime }\left(x_{\text{2}}\right)-f^{\prime }\left(x_{\text{2}}\right)g^{\prime }\left(x_1\right)<0$ (或 $f^{\prime }\left(x_1\right)g^{\prime }\left(x_{\text{2}}\right)-f^{\prime }\left(x_{\text{2}}\right)g^{\prime }\left(x_1\right)>0$ )，则存在点 $x_0\in \left[a,b\right]$ 使得

1) 当 $\xi \in \left[a,x_0\right]$ 时，存在唯一的 $p\in \left[a,b\right]$ ，使得

$\frac{f\left(p\right)-f\left(a\right)}{g\left(p\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}$ ；

2) 当 $\xi \in \left[x_0,b\right]$ 时，存在唯一的 $q\in \left[a,b\right]$ ，使得

$\frac{f\left(b\right)-f\left(q\right)}{g\left(b\right)-g\left(q\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}$ 。

本文旨在研究多元微分中值定理的逆命题。在这一方面 [3] 证明下述定理。

定理1.3 设 $D\subset R^2$ 是有界闭凸域，二元函数 $z=f\left(x,y\right)$ 在D上连续，在D的所有内点都有关于x、y的连续偏导数，且 $f\left(x,y\right)$ 是D上的严格凸函数，则 $\forall P\left(x_0,y_0\right)\in D$ ，在任意通过此点的直线段上，总能找到两点 $P_1\left(x_1,y_1\right)$ ， $P_2\left(x_2,y_2\right)\in D$ ，使得

$f\left(x_2,y_2\right)-f\left(x_1,y_1\right)=f_x\left(x_0,y_0\right)\left(x_2-x_1\right)+f_y\left(x_0,y_0\right)\left(y_2-y_1\right)$ 。

2. 主要结果

从定理1.2中我们可以提出它的逆命题，即：

函数 $f\left(x,y\right),g\left(x,y\right)$ 在闭凸区域 $\bar{D}$ 上连续，在开区域D上可微，且 $dg\left(x,y\right)\ne 0$ ， $\left(x,y\right)$ 为D内任一点，对任意一点 $\left(\xi ,\eta \right)$ ，则在D内任意通过该点的线段 $\overline{MN}$ 上，总存在两点 $M\left(x_{\text{1}},y_{\text{1}}\right),N\left(x_{\text{2}},y_{\text{2}}\right)$ 使得

$\frac{f\left(x_{\text{2}},y_{\text{2}}\right)-f\left(x_{\text{1}},y_{\text{1}}\right)}{g\left(x_{\text{2}},y_{\text{2}}\right)-g\left(x_{\text{1}},y_{\text{1}}\right)}=\frac{f_x\left(\xi ,\eta \right)\left(x_2-x_1\right)+f_y\left(\xi ,\eta \right)\left(y_2-y_1\right)}{g_x\left(\xi ,\eta \right)\left(x_2-x_1\right)+g_y\left(\xi ,\eta \right)\left(y_2-y_1\right)}$ 。

这个逆命题是不成立的。如设 $f\left(x,y\right)=x^2-x^4/4$ ， $g\left(x,y\right)=x^2$ ， $\left(\xi ,\eta \right)=\left(0,y\right)$ ， $D=\left[-1,1\right]\times \left[-1,1\right]$ ，

可以验证当 $\overline{MN}$ 是平行于x轴的线段且 $\xi$ 靠近0时，上面的结果不正确。即这样的柯西中值定理的逆命题并不成立，所以我们需要适当的加强条件来使之成立。下面定理为本文的主要结果。

定理2.1 设函数 $f\left(x,y\right),g\left(x,y\right)$ 在闭凸区域 $\bar{D}$ 上可微，且 $dg\left(x,y\right)\ne 0$ 。假定 $$ ( $a_1<a_2$ )，

$\begin{array}{l}\left[f_x\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(a_2-a_1\right)+f_y\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]\left[g_x\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(a_2-a_1\right)+g_y\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]\\ <\left[f_x\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(a_2-a_1\right)+f_y\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]\left[g_x\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(a_2-a_1\right)+g_y\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]\end{array}$ (2.1)

或

$\begin{array}{l}\left[f_x\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(a_2-a_1\right)+f_y\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]\left[g_x\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(a_2-a_1\right)+g_y\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]\\ >\left[f_x\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(a_2-a_1\right)+f_y\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]\left[g_x\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(a_2-a_1\right)+g_y\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]\end{array}$ (2.2)

则当 $A_1\left(x_1,y_1\right)$ ， $A_2\left(x_2,y_2\right)$ ( $x_1<x_2$ )在 $\bar{D}$ 上，存在点 $A_0\left(x_0,y_0\right)\in A_1{A}_2$ 使得

1) 当点 $B\left(\xi ,\eta \right)\in A_1{A}_0$ ，存在唯一的 $P\left(\zeta ,\lambda \right)\in A_1{A}_2$ ，使得

$\frac{f\left(\zeta ,\lambda \right)-f\left(x_{\text{1}},y_{\text{1}}\right)}{g\left(\zeta ,\lambda \right)-g\left(x_{\text{1}},y_{\text{1}}\right)}=\frac{f_x\left(\xi ,\eta \right)\left(\zeta -x_1\right)+f_y\left(\xi ,\eta \right)\left(\lambda -y_1\right)}{g_x\left(\xi ,\eta \right)\left(\zeta -x_1\right)+g_y\left(\xi ,\eta \right)\left(\lambda -y_1\right)}$ ；(2.3)

2) 当点 $B\left(\xi ,\eta \right)\in A_0{A}_2$ ，存在唯一的 $P\left(\zeta ,\lambda \right)\in A_1{A}_2$ ，使得

$\frac{f\left(x_2,y_2\right)-f\left(\zeta ,\lambda \right)}{g\left(x_{\text{2}},y_2\right)-g\left(\zeta ,\lambda \right)}=\frac{f_x\left(\xi ,\eta \right)\left(x_2-\zeta \right)+f_y\left(\xi ,\eta \right)\left(y_2-\lambda \right)}{g_x\left(\xi ,\eta \right)\left(x_2-\zeta \right)+g_y\left(\xi ,\eta \right)\left(y_2-\lambda \right)}$ 。 (2.4)

证明：不妨假定(2.1)成立，因为(2.2)的情况类似可以证明。现在我们将分两种情况对它进行分类讨论。

1) 第一情况：直线段 $A_1{A}_2$ 与x轴或者y轴平行，即直线段MN上的点横坐标或者纵坐标相等。不失一般性，假定 $A_1{A}_2$ 与x轴平行，也即 $y_1=y_2$ 。记 $y_1=y_0$ 。此时我们可以把二元函数转换为一元函数，使得问题变得更加方便。这时我们要证明的是存在唯一的 $x_0$ ， $x_1<x_0<x_2$ ，记 $\left(x_0,y_0\right)$ 为 $A_0$ ，使得

a) 当 $B\left(\xi ,y_0\right)\in A_1{A}_0$ ，存在唯一的 $P\left(\zeta ,y_0\right)\in A_1{A}_2$ ，使得

$\frac{f\left(\zeta ,y_0\right)-f\left(x_{\text{1}},y_0\right)}{g\left(\zeta ,y_0\right)-g\left(x_{\text{1}},y_0\right)}=\frac{f_x\left(\xi ,y_0\right)}{g_x\left(\xi ,y_0\right)}$ ；

b) 当 $D\left(\xi ,y_0\right)\in A_0{A}_2$ ，存在唯一的 $P\left(\zeta ,y_0\right)\in A_1{A}_2$ ，使得

$\frac{f\left(x_2,y_0\right)-f\left(\zeta ,y_0\right)}{g\left(x_{\text{2}},y_0\right)-g\left(\zeta ,y_0\right)}=\frac{f_x\left(\xi ,y_0\right)}{g_x\left(\xi ,y_0\right)}$ 。

令 $f\left(x,y_0\right)=F\left(x\right),g\left(x,y_0\right)=G\left(x\right)$ 。由条件(2.1)可知如果 ${x^{\prime }}_1\le {x^{\prime }}_2$ ，那么

$F^{\prime }\left({x^{\prime }}_1\right)G^{\prime }\left({x^{\prime }}_2\right)-F^{\prime }\left({x^{\prime }}_2\right)G^{\prime }\left({x^{\prime }}_1\right)<0$ 。

于是由定理1.2可知(2.3)和(2.4)成立。

2) 第二种情况： $A_1$ 、 $A_2$ 横坐标或纵坐标都不相同的情况。此时我们对坐标轴进行平移，使得原来的坐标轴 $xoy$ 移动到以 $\left(x_1,y_1\right)$ 为原点的坐标轴并记为坐标轴 $x^{\prime }o{y}^{\prime }$ ，使得新的x轴与y轴与原先的平行且同向。此时新的坐标轴 $x^{\prime }o{y}^{\prime }$ 上的点 $\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)$ 在坐标轴 $xoy$ 上就可以表示成 $\left(x^{\prime }+x_1,y^{\prime }+y_1\right)$ 。接着我们旋转坐

标轴 $x^{\prime }o{y}^{\prime }$ 使得直线段 $A_1{A}_2$ 可以与横坐标轴重合，记逆时针旋转的角度为 $\theta$ ( $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ )，记新的坐标轴为 $x^{″}o{y}^{″}$ 。此时在 $x^{″}o{y}^{″}$ 上的点 $\left(x^{″},y^{″}\right)$ 在 $x^{\prime }o{y}^{\prime }$ 上的坐标为 $\left(x^{″}\cos \theta -y^{″}\sin \theta ,x^{″}\sin \theta +y^{″}\cos \theta \right)$ 。这样坐标系 $x^{″}o{y}^{″}$ 和坐标轴 $xoy$ 上同一点的坐标 $\left(x^{″},y^{″}\right)$ 和 $\left(x,y\right)$ 的关系可以表示成

$x=x^{″}\cos \theta -y^{″}\sin \theta +x_1$ ，

$y=x^{″}\sin \theta +y^{″}\cos \theta +y_1$ 。

由于此时直线段 $A_1{A}_2$ 与 $x^{″}$ 轴重合，故线段 $A_1{A}_2$ 的纵坐标 $y^{″}=0$ ，我们记

$A\left(x^{″}\right)=f\left(x,y\right)=f\left(x^{″}\cos \theta +x_1,x^{″}\sin \theta +y_1\right)$ ， (2.5)

$B\left(x^{″}\right)=g\left(x,y\right)=g\left(x^{″}\cos \theta +x_1,x^{″}\sin \theta +y_1\right)$ 。 (2.6)

经过坐标变换，我们将复杂的情况转化成了简便的情形来处理。接下来我们将证明 $A\left(x^{″}\right),B\left(x^{″}\right)$ 在 $0\le x^{″}\le \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ 上都可导且当 ${x^{″}}_1<{x^{″}}_2$ 时，有

$A^{\prime }\left({x^{″}}_1\right)B^{\prime }\left({x^{″}}_2\right)<A^{\prime }\left({x^{″}}_2\right)B^{\prime }\left({x^{″}}_1\right)$ 。

我们先证明 $A\left(x^{″}\right),B\left(x^{″}\right)$ 在 $0\le x^{″}\le \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ 上都可导。由于函数 $g\left(x,y\right)$ 可微，故对 $A\left(x^{″}\right),B\left(x^{″}\right)$ 求导可以得到

$A^{\prime }\left(x^{″}\right)=f_x\left(x^{″}\cos \theta +x_1,x^{″}\sin \theta +y_1\right)\cos \theta +f_y\left(x^{″}\cos \theta +x_1,x^{″}\sin \theta +y_1\right)\sin \theta$ ； (2.7)

$B^{\prime }\left(x^{″}\right)=g_x\left(x^{″}\cos \theta +x_1,x^{″}\sin \theta +y_1\right)\cos \theta +g_y\left(x^{″}\cos \theta +x_1,x^{″}\sin \theta +y_1\right)\sin \theta$ 。 (2.8)

由题意易知 $B^{\prime }\left(x^{″}\right)\ne 0$ 。下面我们证明当 ${x^{″}}_1<{x^{″}}_2$ 时，

$A^{\prime }\left({x^{″}}_1\right)B^{\prime }\left({x^{″}}_2\right)<A^{\prime }\left({x^{″}}_2\right)B^{\prime }\left({x^{″}}_1\right)$ 。

记 ${P^{″}}_1\left({x^{″}}_1\cos \theta +x_1,{x^{″}}_1\sin \theta +y_1\right)$ ， ${P^{″}}_{\text{2}}\left({x^{″}}_2\cos \theta +x_1,{x^{″}}_2\sin \theta +y_1\right)$ ，则 $\stackrel{\to }{{P^{″}}_1{P^{″}}_2}=\left({x^{″}}_2-{x^{″}}_1\right)\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)$ 。根据条件(2.1)有

$\begin{array}{l}\left[\left(f_x\left({P^{″}}_1\right),f_y\left({P^{″}}_1\right)\right)\cdot \stackrel{\to }{{P^{″}}_1{P^{″}}_2}\right]\left[\left(g_x\left({P^{″}}_1\right),g_y\left({P^{″}}_1\right)\right)\cdot \stackrel{\to }{{P^{″}}_1{P^{″}}_2}\right]\\ <\left[\left(f_x\left({P^{″}}_2\right),f_y\left({P^{″}}_2\right)\right)\cdot \stackrel{\to }{{P^{″}}_1{P^{″}}_2}\right]\left[\left(g_x\left({P^{″}}_2\right),g_y\left({P^{″}}_2\right)\right)\cdot \stackrel{\to }{{P^{″}}_1{P^{″}}_2}\right]\end{array}$ ，

也即

$A^{\prime }\left({x^{″}}_1\right)B^{\prime }\left({x^{″}}_2\right){\left({x^{″}}_2-{x^{″}}_1\right)}^2<A^{\prime }\left({x^{″}}_2\right)B^{\prime }\left({x^{″}}_1\right){\left({x^{″}}_2-{x^{″}}_1\right)}^2$ 。

故

$A^{\prime }\left({x^{″}}_1\right)B^{\prime }\left({x^{″}}_2\right)<A^{\prime }\left({x^{″}}_2\right)B^{\prime }\left({x^{″}}_1\right)$ 。

现在由定理1.2可知存在唯一的 $x_0$ ， $0\le x_0\le \sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ ，使得

a) 当 $0<\xi <x_0$ 时，存在唯一的 $0<\zeta <\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ ，使得

$\frac{A\left(\zeta \right)-A\left(0\right)}{B\left(\zeta \right)-B\left(0\right)}=\frac{A^{\prime }\left(\xi \right)}{B^{\prime }\left(\xi \right)}$ ；

b) 当 $x_0<\xi <\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ ，存在唯一的 $0<\zeta <\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ ，使得

$\frac{A\left(\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\right)-A\left(\zeta \right)}{B\left(\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\right)-B\left(\zeta \right)}=\frac{A^{\prime }\left(\xi \right)}{B^{\prime }\left(\xi \right)}$ 。

现在将(2.5)、(2.6)及(2.7)、(2.8)代入到上面的(a)、(b)就可得到定理。

注1 1) 在定理2.1中如果设 $f\left(x,y\right)=F\left(x\right)$ ， $g\left(x,y\right)=G\left(x\right)$ ， $\bar{D}=\left[a,b\right]$ ，则定理2.1即为定理1.2。

2) 在定理2.1中如果设 $g\left(x,y\right)=x$ ，那么(2.1)变为

$\left[f_x\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(a_2-a_1\right)+f_y\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]<\left[f_x\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(a_2-a_1\right)+f_y\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]$ ； (2.9)

(2.2)变成

$\left[f_x\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(a_2-a_1\right)+f_y\left(a_1,b_{\text{1}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]>\left[f_x\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(a_2-a_1\right)+f_y\left(a_{\text{2}},b_{\text{2}}\right)\left(b_2-b_1\right)\right]$ 。(2.10)

当f是严格凸函数时，(2.9)成立；当f是严格凹函数时，(2.10)成立。故定理2.1是定理1.3的改进。

文章引用

朱林浩,余 杭,李宏亮. 高维Cauchy中值定理的逆问题
Inverse Problem of the High-Dimensional Cauchy Mean Value Theorem[J]. 理论数学, 2019, 09(07): 843-847. https://doi.org/10.12677/PM.2019.97110

参考文献