Pure Mathematics
Vol.
10
No.
05
(
2020
), Article ID:
35589
,
5
pages
10.12677/PM.2020.105059
The Finite Sum Problem of the Product of Toeplitz Operators on Weighted Bergman Spaces
Yin Guan, Shuning Cui, Huanran Wang
School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning
![](//html.hanspub.org/file/11-1251052x1_hanspub.png)
Received: Apr. 18th, 2020; accepted: May 8th, 2020; published: May 15th, 2020
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ABSTRACT
Function space operator theory has always been one of the important branches in functional analysis research. This paper studies Toeplitz operator in weighted Bergman space
, in which
, and
, ;
is a necessary condition for subnormal operator.
Keywords:Weighted Bergman Space, Toeplitz Operator, Subnormal, Mellin Transform
![](//html.hanspub.org/file/11-1251052x8_hanspub.png)
加权Bergman空间上Toeplitz算子的乘积的有限和问题
关 印,崔姝宁,王焕然
辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连
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收稿日期:2020年4月18日;录用日期:2020年5月8日;发布日期:2020年5月15日
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摘 要
函数空间算子理论一直是泛函分析研究中的一个重要分支之一。本文研究了加权Bergman空间上Toeplitz算子
,其中
,且
,
,
为亚正规算子的一个必要条件。
关键词 :加权Bergman空间,Toeplitz算子,亚正规,Mellin变换
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1. 引言
关于函数空间上以有界调和函数为符号的Toeplitz算子拟正规性的研究,主要集中在Hardy空间和Bergman空间上。文献 [1] 中给出了Hardy空间上以三角多项式为符号的Toeplitz算子的亚正规性的结果,在2013年,Phukon和Hazarika [2] 刻画了Bergman空间上Toeplitz算子
是亚正规的必要条件。本文思考将某符号的Toeplitz算子亚正规性问题推广到加权Bergman空间上进行研究。
2. 预备知识
在这一部分中,我们介绍了Mellin变换我们将在下一节计算中运用这个公式。
定义1.1 若
是
上的可积函数(即
),可定义Mellin变换
:
.
Mellin变换是半平面
上的有界解析函数。
定义1.2 对于
,,D上加权Bergman空间
是解析函数空间在
上。此时,
.
显而易见,
是Hilbert空间
中的闭子空间。
定义1.3 设
,若
,称T为正规算子。若满足
,
引理1.1 [3] 若
为
上的有界解析函数,在两两不相同的点列
上取值为零,若
1)
,
2)
,
则
在半平面
上恒等于零。
注解:我们经常用到引理1.1的一种特殊情况:若
为
上的有界解析函数,若存在自然数序列
使得
且
,
则
。
重要的是,一个函数是由Mellin变换的零点决定的。
引理1.2 [4] 设
。如果存在
, 使得
,
则
。
3. 主要结果
引理2.1 [5]
,,,
其中
,
那么有对于非负整数n,有
1)
2)
其中
为
的Mellin变换。
定理2.1
, 且
,。若
为亚正规算子,则
1)
时,
。
2)
时,
。
证明:由引理2.1,当
时,
。
又
时,
若
,。
若
,当
时,
。进一步有
,其中,
,
.
选取
,使得f的幂级数展开式中前
项为0,则
由于
,
。那么有
.
在
时,故有
.
如此下去,
。
。而
,,,故
。
若
,
则
亚正规当且仅当
4. 结论
本文研究了加权Bergman空间上Toeplitz算子
,其中
,且
,
,
为亚正规算子的一个必要条件:
若
为亚正规算子,则有
1)
时,
。
2)
时,
。
显然上述讨论结果对于这样函数的线性组合仍然成立。我们希望得出加权Bergman空间上Toeplitz算子的乘积有限和为亚正规算子的更普遍的结论,但是由于其广泛性和复杂性,目前只能得到上述结论。
文章引用
关 印,崔姝宁,王焕然. 加权Bergman空间上Toeplitz算子的乘积的有限和问题
The Finite Sum Problem of the Product of Toeplitz Operators on Weighted Bergman Spaces[J]. 理论数学, 2020, 10(05): 488-492. https://doi.org/10.12677/PM.2020.105059
参考文献
- 1. Hwang, I.S. (2005) Hyponormal Toeplitz Operators on the Bergman Space. Journal of the Korean Mathematical Society, 42, 387-403. https://doi.org/10.4134/jkms.2005.42.2.387
- 2. Phukon, A. and Hazarika, M. (2013) Necessary Conditions for Hyponormality of Toeplitz Operators on the Bergman Space. International Journal of Mathematical Analysis, 7, 485-490. https://doi.org/10.12988/ijma.2013.13044
- 3. Remmert, R. (1997) Classical Topics in Complex Funtion Theory. Graduate Texts in Mathematics.
- 4. Louhichi, I., Strouse, E. and Zakariasy, L. (2006) Products of Toeplitz Operators on the Bergman Space. Integral Equations Operator Theory, 54, 525-539. https://doi.org/10.1007/s00020-005-1369-1
- 5. Lu, Y. and Liu, C. (2009) Commutativity and Hyponormality of Toeplitz Operators on the Weighted Bergman Space. Journal of the Korean Mathematical Society, 46, 621-642. https://doi.org/10.4134/jkms.2009.46.3.621