Pure Mathematics
Vol.
11
No.
01
(
2021
), Article ID:
39931
,
5
pages
10.12677/PM.2021.111011
整函数涉及一个IM分担值的 唯一性定理
郅皓翔,贾丽
云南师范大学数学学院,云南 昆明

收稿日期:2020年12月13日;录用日期:2021年1月14日;发布日期:2021年1月22日

摘要
本文证明了:如果非常数整函数
与
以1为IM分担值,且满足
,,则
或
。
关键词
整函数,分担值,亏值,唯一性

Uniqueness Theorem of Entire Functions with Share on Value IM
Haoxiang Zhi, Li Jia
School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming Yunnan

Received: Dec. 13th, 2020; accepted: Jan. 14th, 2021; published: Jan. 22nd, 2021

ABSTRACT
In this paper, we shall prove that if two non-constant entire function
and
share the value 1 IM, and
,, then
or
.
Keywords:Entire Function, Shared Value, Deficient Value, Uniqueness

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言及主要结果
亚纯函数在涉及分担值的唯一性问题研究,前人已经有了许多成果,其中最具有突出贡献之一的是R. Nevanlinna所创立的值分布论,它在应用于亚纯函数涉及分担值的唯一性研究中有着很重要的意义。
本文所使用通常的Nevanlinna值分布理论的符号和记号(见文献 [1] [2] ),除此之外本文所需的另外一些特殊符号和记号(见文献 [3] )。
本文主要研究涉及一个IM分担值及在亏值约束条件下整函数之间的关系。
1976年,M. Ozuwa证明了如下定理:
定理A [4] 设两个非常数整函数
与
以1为CM分担值,若
,且0是
的缺值,则
或
。
1987年,仪洪勋证明了:
定理B [5] 设两个非常数亚纯函数
与
以1为CM分担值,且满足
,,则
或
。
本文将以上定理中CM分担值的条件减弱到IM分担值,再与亏值相结合进行讨论,得到如下定理:
定理1 设
与
为复平面上的两个非常数整函数,若
与
以1为IM分担值,且
, (1.1)
, (1.2)
则
或
。
2. 几个引理
为了证明上述结论,我们需借助一些引理。
引理1 [6] [7] 设
为超越亚纯函数,则
.
引理2 [2] 设非常数整函数
与
以1为IM分担值,则
,.
引理3 [5] 设
与
为非常数亚纯函数,若它们满足以1为CM分担值,
,且
,,
则
或
。
引理4 [2] 设
与
为两个非常数亚纯函数,若
为
与
的公共单重极点,则
。
3. 定理1的证明
令
.
我们断言
。事实上,若
,如果
为
和
的单重零点,由引理4可得,
,从而有
. (1.3)
又由于
的极点只可能产生在
与
的零点和
与
没有相同级的重零点处,故
. (1.4)
根据条件知,
与
以1为IM分担值,容易得到
. (1.5)
结合上式(1.3)、(1.4)和(1.5),我们得到
. (1.6)
而且,我们有
.(1.7)
由(1.6)和(1.7)得
.(1.8)
又根据
与
为非常数整函数,从而由Nevanlinna的第二基本定理得
. (1.9)
结合上式(1.8),(1.9)和引理2得
.(1.10)
由(1.1) (1.2)知
,当
时,有
,. (1.11)
将(1.11)代入(1.10)得
.
矛盾,故
。
又知
与
以1为IM分担值,从而可知
与
以1为CM分担值。
于是根据引理3,我们得到
或
。定理证毕。
文章引用
郅皓翔,贾 丽. 整函数涉及一个IM分担值的唯一性定理
Uniqueness Theorem of Entire Functions with Share on Value IM[J]. 理论数学, 2021, 11(01): 74-78. https://doi.org/10.12677/PM.2021.111011
参考文献
- 1. 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.
- 2. 仪洪勋, 杨重骏. 亚纯函数唯一性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1995.
- 3. 王丽. 具有一个分担值集和亏量的整函数的一个性质[J]. 楚雄师范学院学报, 2016(12): 8-13.
- 4. Ozawa, M. (1976) Unicity Theorems for Entire Functions. Journal d’Analyse Mathématique, 30, 411-420.
https://doi.org/10.1007/BF02786728
- 5. 仪洪勋. 具有两个亏值的亚纯函数[J]. 数学学报, 1987(30): 588-597.
- 6. 林秀清, 仪洪勋. 分担1IM公共值的整函数的唯一性定理[J]. 数学进展, 2011, 40(1): 79-86.
- 7. Ye, S.Z. (1992) Uniqueness of Meromorphic Funcitions That Share Three Values. Kodai Mathematical Journal, 15, 236-243.