Pure Mathematics
Vol.
11
No.
07
(
2021
), Article ID:
43765
,
6
pages
10.12677/PM.2021.117150
一维空间中极大值原理的条件研究
王静,闫宝强
山东师范大学,山东 济南
收稿日期:2021年5月31日;录用日期:2021年7月1日;发布日期:2021年7月8日
摘要
本文通过改变条件函数 的取值范围,得到了条件函数 时极大值原理不成立的反例。同时,通过举反例的方法得到了条件函数 不是极大值原理成立的必要条件。
关键词
极大值原理,一维空间,反例,条件函数
Research on the Condition of Maximum Principle in One-Dimensional Space
Jing Wang, Baoqiang Yan
Shandong Normal University, Jinan Shandong
Received: May 31st, 2021; accepted: Jul. 1st, 2021; published: Jul. 8th, 2021
ABSTRACT
In this paper, by changing the value range of the conditional function , counterexamples are obtained that the maximum value principle does not hold when the conditional function is . At the same time, the conditional function is not a necessary condition for the maximum principle to be established through counterexamples.
Keywords:Maximum Principle, One-Dimensional Space, Counterexample, Conditional Function
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
极大值原理是苏联学者Л.С.庞特里亚金在20世纪50年代中期提出来的。它的提出将经典变分学推进到了现代变分学,是对分析力学中古典变分法的推广。极大值原理可以解决工程领域中的一些最优控制问题,成为现代控制理论的重要基石,见参考文献 [1]。因此,研究极大值原理有着极其重要的理论价值和现实意义。随着研究的深入,一系列极大值原理应运而生,比如:极值曲线的极大值原理、抛物型方程的极大值原理、椭圆型方程的极大值原理、关于泛函的极大值原理、拟线性抛物型方程的极大值原理,见参考文献 [2] - [7]。首先,根据参考文献 [8],给出一维空间中的极大值定理。
定理 [8] 假设 ,且满足在 上 ,其中在 上 。如果 在 上有非负的最大值,那么 不在 内取到该最大值。
本篇论文针对一维空间中极大值原理的条件函数进行了讨论,研究了其条件函数 的重要性。
2. 条件函数 时极大值原理不成立的反例
令 ,,满足在定义域范围内 。如图1所示。
Figure 1. Image of conditional function
图1. 条件函数 的图像
令
,,
其中 且在 内有非负的最大值, 。如图2所示。
故
,,
满足在 内 。
Figure 2. Image 1 where the function does not meet the condition in the problem setting
图2. 函数 不满足题设条件的图像1
会发现,只要令 ,,对于 ,,尽管在 内都满足
,
但是 在 内有非负的最大值。
因此,条件函数 对于极大值原理的成立是非常重要的。
3. 条件函数 变号时极大值原理不成立的反例
令 ,,满足在定义域范围内 正负不定。如图3所示。
Figure 3. The image when the conditional function changes sign
图3. 条件函数 变号的图像
令
,,
其中 且在 内有非负的最大值,
.
如图4所示。
Figure 4. Image 2 where the function does not meet the condition in the problem setting
图4. 函数 不满足题设条件的图像2
故
,,
满足在 内 。如图5所示。
Figure 5. Image where the function meets the condition in the problem setting
图5. 满足题设条件的图像
因此,条件函数 对于极大值原理的成立是非常重要的。
4. 条件函数 不是极大值原理成立的必要条件
1) 令 ,,其中 ,可知 且在 内没有非负的最大值。如图6所示。
Figure 6. The function satisfies the image 1 of the problem setting condition
图6. 函数 满足题设条件的图像1
令 ,,其中在定义域范围内 。所以
,,
满足在 内 。如图7所示。
Figure 7. The image where the maximum principle holds when the conditional function
图7. 条件函数 时极大值原理成立的图像
2) 令 ,,其中 ,可知 且在 内没有非负的最大值。如图8所示。
令 ,,其中在定义域范围内 变号。所以
,,
满足在 内 。如图9所示。
Figure 8. The function satisfies the image 2 of the problem setting condition
图8. 3函数 满足题设条件的图像2
Figure 9. The image where the maximum principle holds when the conditional function changes sign
图9. 条件函数 变号时极大值原理成立的图像
综上所述,当条件函数 和 变号时都可以找到相应的 满足题设条件,故条件函数 是上述极大值原理成立的充分不必要条件。
文章引用
王 静,闫宝强. 一维空间中极大值原理的条件研究
Research on the Condition of Maximum Principle in One-Dimensional Space[J]. 理论数学, 2021, 11(07): 1335-1340. https://doi.org/10.12677/PM.2021.117150
参考文献
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- 6. 焦云芳. 拟线性抛物型方程在Neumann边值条件下的极大值原理[J]. 赤峰学院学报(科学教育版), 2011, 3(11): 155-156.
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- 8. Han, Q. and Lin, F.H. (2011) Elliptic Partial Differential Equations. Springer, New York.