Pure Mathematics
Vol. 12  No. 04 ( 2022 ), Article ID: 50499 , 7 pages
10.12677/PM.2022.124063

Gorenstein MF-投射模

周彩霞

西北师范大学,数学与统计学院,甘肃 兰州

收稿日期:2022年3月10日;录用日期:2022年4月14日;发布日期:2022年4月21日

摘要

本文引入了Gorenstein MF-投射模的概念,讨论了这类模的基本同调性质,给出了R是半单环时,任意R-模都是Gorenstein MF-投射模的等价刻画,证明了Gorenstein MF-投射维数有限的R-模G都存在特殊的Gorenstein MF-投射预覆盖。

关键词

MF-投射模,Gorenstein MF-投射模,预覆盖

Gorenstein MF-Projective Modules

Caixia Zhou

College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

Received: Mar. 10th, 2022; accepted: Apr. 14th, 2022; published: Apr. 21st, 2022

ABSTRACT

In this paper, Gorenstein MF-Projective modules are introduced. We discuss the homological properties of Gorenstein MF-projective modules, give that R is semi-simple ring, and any R-module is a Gorenstein MF-projective module, and prove that any R-module G with finite Gorenstein MF-projective dimension exists special Gorenstein MF-projective precover.

Keywords:MF-Projective Module, Gorenstein MF-Projective Module, Precover

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

上世纪九十年代,Enochs等引入了Gorenstein投(内)射模和Gorenstein平坦模,这三类模及其维数理论构成了Gorenstein同调代数的理论核心( [1] [2] [3] )。随着Gorenstein同调理论的深入发展,出现了许多重要的研究成果,2010年,Y. Xiang在文献 [4] 中引入了极大平坦模,证明了在左凝聚环上,每一个左R-模存在极大平坦预覆盖。2021年,Yusuf Alagöz在文献 [5] 中引入了MF-投射模,研究了MF-投射模的同调性质以及半单环上MF-投射模的等价刻画。

受以上结论的启发,我们引入Gorenstein MF-投射模,讨论了这类模的同调性质,证明了Gorenstein MF-投射维数有限的R-模G都存在特殊的Gorenstein MF-投射预覆盖。

本文所提到的环均指有单位元的结合环。模均指酉模,除非特别说明,模指左R-模,P(R)表示投射模类、GP(R)表示Gorenstein投射模类, P d R M 表示R-模M的投射维数。称M是Gorenstein投射模,如果存在投射模的正合列 η = P 1 P 0 P 0 P 1 ,使得 M K e r ( P 0 P 1 ) ,即对任意投射模 P P ( R ) ,序列 H o m R ( η , P ) 是正合列。设 X 是一左R-模类,模M的左(右) X -分解是指正合列 X = X 1 X 0 M 0 ( X = 0 M X 0 X 1 ),其中 X i X , i = 0 , 1 , 2 , 。称模类 X 是投射可解类 [6],如果它包含投射模类,并且在任意短正合列 0 A B C 0 中,若 C X ,则 A X 当且仅当 B X 。设 A 是任意Abel范畴, B A 中对像的类。称 A 中的态射 φ : B A 是对象A的 B -预覆盖 [7],如果 B B 且对任意 B B 和任意态射 f : B A ,其中 B B ,存在态射 g : B B ,使得 φ g = f

2. Gorenstein MF-投射模

首先,引入Gorenstein MF-投射模,讨论这类模的基本同调性质。

定义1.1 称右R-模M是MF-投射模,如果对任意极大平坦模N, E x t R 1 ( M , N ) = 0 。我们将MF-投射模类记为 M F P ( R ) 。称右R-模M是强MF-投射模,如果对任意极大平坦模N,及任意整数 i 1 E x t R i ( M , N ) = 0 。我们将强MF-投射模类记为 S M F P ( R )

定义1.2 称右R-模M是Gorenstein MF-投射模,如果存在投射右R-模的正合列

η = P 1 P 0 P 0 P 1

使得 M K e r ( P 0 P 1 ) ,即对任意MF-投射模N,序列 H o m R ( η , N ) 是正合列。

我们将Gorenstein MF-投射模类记为 G M F P ( R )

注记 1) P ( R ) G M F P ( R ) G P ( R )

2) G M F P ( R ) 关于直和封闭;

3) 由文献 [5] 知,当R是左极大遗传环 [8] 或SF-环时,MF-投射模是Gorenstein MF-投射模;

4) 由对称性,定义1.2正合列 η 中所有同态的核、像、余核都是Gorenstein MF-投射模。

命题1.1 设R是环,则以下等价:

1) M G M F P ( R )

2) 对任意正整数i,及任意MF-投射模N, E x t R i ( M , N ) = 0 ,并且存在 H o m ( , N ) 正合的正合序列 0 M P 0 P 1 , P i P ( R )

3) 存在右R-模的短正合列 0 M P Q 0 ,其中 P P ( R ) Q G M F P ( R )

证明(1) (2),(1) (3)显然。

(3) (1)存在R-模的正合列 0 M P Q 0 ,其中 P P ( R ) Q G M F P ( R ) ,对任意MF-投射模N及整数 i 1 ,存在 H o m ( , N ) 正合的R-模的正合列

0 Q P 0 P 1 , P i P ( R )

H o m ( , N ) 作用在短正合列 0 M P Q 0 上,对任意正整数i,存在正合序列

E x t R i ( P , N ) E x t R i ( M , N ) E x t R i + 1 ( Q , N ) E x t R i + 1 ( P , N )

于是由(1)、(2), E x t R i ( M , N ) E x t R i + 1 ( Q , N ) = 0

下面考虑R-模M的投射分解

P 1 P 0 M 0 , P i P ( R )

K i = K e r ( P i P i 1 ) i 1 K 0 = K e r ( P 0 M ) ,有 E x t R 1 ( K i , N ) E x t R i + 1 ( M , N ) = 0 ,由此可得序列②是 H o m ( , N ) 正合的,将正合列 0 M P Q 0 与序列①和②首尾相接得 H o m ( , N ) 正合的投射模的正合列

P 1 P 0 P P 0 P 1

M K e r ( P P 0 ) ,故 M G M F P ( R )

推论1.1 设M是Gorenstein MF-投射模,则对任意MF-投射维数有限的R-模L,及任意整数 i 1 E x t R i ( M , L ) = 0

证明由于 M G M F P ( R ) ,故存在 H o m ( , M F ) 正合的正合列 0 M P 0 P 1 P i P ( R ) i 1 ,并且对任意MF-投射模N及任意整数 i 1 E x t R i ( M , N ) = 0 。设 M F p d ( L ) = n ,则存在正合列 0 L n P n 1 P 0 L 0 ,其中 P j P ( R ) j = 0 , , n 1 L n M F P ( R ) ,由维数转移可得,对 i 1 E x t R i ( M , L ) E x t R n + i ( M , L n ) = 0

引理1.1 设M是Gorenstein MF-投射模,则以下成立:

1) 对任意MF-投射模N及任意整数 i 1 E x t R 1 ( M , N ) = 0

2) P d R M = 0 P d R M =

证明 1) 因为M是Gorenstein MF-投射模,所以存在一个 H o m ( , M F P ( R ) ) 正合的正合序列 P 1 P 0 M 0 ,其中 P i P ( R ) ,则由维数转移可知,对任意MF-投射模N及正整数i, E x t R i ( M , N ) = 0

2) 设 p d ( M ) = m < ,则存在正合序列 0 P m P 1 P 0 M 0 ,其中 P i P ( R ) ,令 K = K e r ( P 0 M ) ,则 M F p d ( K ) m 1 ,故 E x t R 1 ( M , K ) = 0 ,正合列 0 K P 0 M 0 可裂,从而M是投射模。

命题1.2 设 0 A B C 0 是左R-模的正合列

1) 若A、C是Gorenstein MF-投射模,则B是Gorenstein MF-投射模;

2) 若B、C是Gorenstein MF-投射模,则A是Gorenstein MF-投射模。

证明 1) 由于A、C是Gorenstein MF-投射模,故存在 H o m ( , N ) 正合的正合列

0 A P 0 P 1

0 C P 0 P 1

其中 P i , P i P ( R ) ,对任意MF-投射模N及整数 i 1 E x t R i ( A , N ) = 0 E x t R i ( C , N ) = 0 ,令 K = Im ( A P 0 ) K = Im ( C P 0 ) ,由命题1.1知, K , K 是Gorenstein MF-投射模,于是有如下交换图

0 K K K 0 0 A B C 0 有相同的性质,故由马掌引理存在 H o m ( , N ) 正合的正合列 0 B P 0 P 0 P 1 P 1 ,其中 P i P i P ( R ) , i 1 ,而且 E x t R i ( B , N ) = 0 ,故B是Gorenstein MF-投射模。

2) 由于B是Gorenstein MF-投射模,故存在正合列 0 B P K 0 ,其中 P P ( R ) ,K是Gorenstein MF-投射模,考虑推出图

因为C和K都是Gorenstein MF-投射模,所以由(1)知,D是Gorenstein MF-投射模,再利用命题1.1知,A是Gorenstein MF-投射模。

命题1.3 Gorenstein MF-投射模类是投射可解类,且关于直和项封闭。

证明 由 [3] 的定理2.5易证。

推论1.2 在短正合序列 0 A B C 0 中,若A和B都是Gorenstein MF-投射模,而且对任意MF-投射维数有限的右R-模L及任意整数 i 1 E x t R i ( C , L ) = 0 ,则C是Gorenstein MF-投射模。

证明 由于A是Gorenstein MF-投射模,故存在正合列 0 A P K 0 ,其中 P P ( R ) ,K是Gorenstein MF-投射模,考虑推出图

在中间列中,因为B和K都是Gorenstein MF-投射模,故G是Gorenstein MF-投射模,又因为正合列 0 P G C 0 可裂,故C是Gorenstein MF-投射模。

命题1.4 设R是QF环,则任意Gorenstein MF-投射模都是投射模。

证明 设M是Gorenstein MF-投射模,因为R是QF环,由文献 [5] 知,任意模N都是MF-投射模,故对于任意模N, E x t R 1 ( M , N ) = 0 ,从而M是投射模。

推论1.3 设R是环,则以下等价:

1) R是半单环;

2) R是QF环,并且每一个R-模都是Gorenstein MF-投射模。

证明 (1) (2)任取R-模M,考虑正合列 0 K P M 0 ,其中 P P ( R ) 。因为R是半单环,故 K I ( R ) ,因此 0 K P M 0 可裂,则 K P ( R ) ,从而R是QF环,又因为R是半单环,故M是Gorenstein MF-投射模。

(2) (1)设M是任意R-模,由(2)知M是Gorenstein MF-投射模,又由命题1.4知, M P ( R ) ,故R是半单环。

3. Gorenstein MF-投射维数

接下来我们引入模的Gorenstein MF-投射维数,给出Gorenstein MF-投射维数有限的模的等价刻画,结论表明任意Gorenstein MF-投射维数有限的R-模G都存在特殊的Gorenstein MF-投射预覆盖。

定义2.1 设R是环,定义模M的Gorenstein MF-投射维数如下

G M F p d ( M ) = inf { n N | 0 G n G n 1 G 0 M 0 , G i G M F P ( R ) , i = 0 , 1 , 2 , , n }

若上述集合为空集,则规定 G M F p d ( M ) =

我们定义环R的右整体Gorenstein MF-投射维数如下

r . G M F . P D ( R ) = sup { G M F p d ( M ) | M -R }

关于定义,我们注意到:R是半单环,则 r . G M F . P D ( R ) = 0

命题2.1 设M是R-模,且 G M F p d ( M ) < ,n是非负整数,则以下等价:

1) G M F p d ( M ) n

2) 对任意整数 i > n ,及任意MF-投射维数有限的R-模L, E x t R i ( M , L ) = 0 ; E x t R i ( M , N ) = 0

3) 对任意整数 i > n ,及任意MF-投射模N, E x t R i ( M , N ) = 0

4) 在任意正合列 0 K n G n 1 G 0 0 中,若 G 0 , G 1 , , G n 1 都是Gorenstein MF-投射模,则 K n 也是Gorenstein MF-投射模。

证明 (1) (2)设 G M F p d ( M ) n ,存在正合列 0 G n G n 1 G 0 M 0 ,其中 G 0 , G 1 , , G n 1 , G n 都是Gorenstein MF-投射模,对任意整数 i > n ,及任意MF-投射维数有限的R-模L,由推论1.1及维数转移,得对任意整数 i > n E x t R i ( M , L ) E x t R i n ( G n , L ) = 0

(2) (3)显然。

(3) (4)考虑正合序列

0 K n G n 1 G 0 M 0 (1)

其中 G 0 , , G n 1 是Gorenstein MF-投射模,令 K i = K e r ( G i 1 G i 2 ) K 1 = K e r ( G 0 M ) i = 2 , , n ,对任意整数 i > 0 ,及任意MF-投射模N,由引理1.1及维数转移得, E x t R i ( K n , N ) E x t R i + n ( M , N ) = 0 。因为 G M F p d M < ,且把序列(1)分解成短正合列,类似于文献 [3] 命题2.18的证明,我们可以得到 G M F p d K n = G M F p d K n 1 1 = G M F p d M n ,令 G M F p d K n = m < ,于是存在正合列

0 G m G 0 K n 0 (2)

其中 G 0 , , G m 是Gorenstein MF-投射模,令 K i = K e r ( G i 1 G i 2 ) K 1 = K e r ( G 0 K n ) i = 2 , , m 1 ,对任意MF-投射模N,用 H o m ( , N ) 作用于正合列 0 G m G m 1 K m 1 0 ,得 0 = E x t R 1 ( G m , N ) E x t R 2 ( K m 1 , N ) E x t R 1 ( G m , N ) E x t R 2 ( K m 1 , N ) E x t R m ( K 1 , N ) E x t R 2 ( K n , N )

E x t R m ( K 1 , N ) E x t R m + 1 ( K n , N ) ,所以 E x t R 1 ( K m 1 , N ) E x t R m ( K n , N ) E x t R m + n ( M , N ) = 0 ,得 E x t R 1 ( K m 1 , N ) = 0 ,由推论1.2知, K m 1 是Gorenstein MF-投射模,⋯,依次可得 K 1 是Gorenstein MF-投射模,又 E x t R 1 ( K n , N ) E x t R n + 1 ( M , N ) = 0 ,故 K n 是Gorenstein MF-投射模。

(4) (1)由定义2.1易见。

以下我们给出环R的右整体Gorenstein MF-投射维数有限的等价刻画。

定理2.1 设R是环,整数 n 0 ,则以下等价:

1) r . G M F . P D ( R ) n

2) 对任意循环R-模M, G M F p d ( M ) n

3) 对任意MF-投射模M, i d ( M ) n

证明 (1) (2)显然。

(2) (3)任取MF-投射模M,设I是R的右理想,则由(2) G M F p d ( R / I ) n 。由命题2.1知,对任意整数 n 0 E x t R n + 1 ( R / I , M ) = 0 ,则 i d ( M ) n

(3) (1)设A是任意R-模,B是任意MF-投射模,则由(3) i d ( B ) n ,对任意整数 i 1 E x t R i + n ( A , B ) = 0 ,则 G M F p d ( A ) n ,故由A的任意性知 r . G M F . P D ( R ) n

接下来,我们主要研究一个模在什么时候有特殊的Gorenstein MF-投射预覆盖。

定理2.2 任意Gorenstein MF-投射维数有限的R-模G都存在特殊的Gorenstein MF-投射预覆盖。

证明 设 G M F p d ( G ) = n < ,则存在正合列 0 C P n 1 P n 2 P 0 G 0 ,其中 P i P ( R ) , ( i = 0 , 1 , , n 1 ) C G M F P ( R ) 。因为 C G M F P ( R ) ,故存在 H o m ( , M F ) 正合的正合列 0 C T n 1 T n 2 T 0 D 0 ,其中 T j P ( R ) D G M F P ( R ) ,可以得到如下交换图:

考虑映射锥

0 C C T n 1 P n 1 T n 2 P 0 D φ G 0

我们可以得到如下正合列

0 T n 1 P n 1 T n 2 P 0 D φ G 0

K = K e r φ ,则有正合列

0 T n 1 P n 1 T n 2 P 1 T 0 K 0

于是 M F p d ( K ) < ,由推论1.2知,对任意Gorenstein MF-投射模 G E x t R 1 ( G , K ) = 0 K G M F ,正合列 0 K P 0 D φ G 0 H o m ( G M F P ( R ) , ) 正合的,即 P 0 D φ G 是G的一个特殊的Gorenstein MF-投射预覆盖。

本文主要研究了Gorenstein MF-投射模的基本同调性质,给出了R是半单环时,任意R-模都是Gorenstein MF-投射模的等价刻画,证明了Gorenstein MF-投射维数有限的R-模G都存在特殊的Gorenstein MF-投射预覆盖。

文章引用

周彩霞. Gorenstein MF-投射模
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