ABSTRACT

Cobb-Douglas production function represents the input-output relationship among the labor force, the invested fund, and the GDP in economics. Considering that the regional soft power (RSP) measures the realistic or underlying competitiveness of a region, it may be theoretically appropriate to integrate RSP as a production factor into the production function. However, RSP is a latent variable, and thus needs a reasonable method of assigning its values. In this paper, we construct a new production function by introducing RSP to the Cobb-Douglas production function. The method of assigning values to RSP is discussed by virtue of factor analysis method L. The empirical study is made by applying the theoretical result to the thirteen cities of Jiangsu province.

Keywords:Cobb-Douglas Production Function, Regional Soft Power, Factor Analysis Method L

含有潜变量的Cobb-Douglas生产函数模型 及其实证分析

高峰^*，刘绪庆

淮阴工学院数理学院，江苏 淮安

收稿日期：2016年9月8日；录用日期：2016年9月23日；发布日期：2016年9月29日

摘 要

Cobb-Douglas生产函数描述了劳动力投入、资金投入与生产总值之间的投入产出关系。区域软实力衡量了一个地区具有的现实的和潜在的竞争优势，因此区域软实力可以作为一种生产要素介入生产函数中，但是区域软实力是“潜变量”，需要一个合理的赋值方法。本文在Cobb-Douglas生产函数中引入区域软实力指标，得到了一个新的生产函数，应用因子分析模型L，给区域软实力进行赋值，最后对江苏省13个城市进行了实证分析。

关键词 :Cobb-Douglas生产函数，区域软实力，因子分析模型L

1. 引言

在经济学中，著名的Cobb-Douglas生产函数为

(1.1)

其中表示第t年的生产总值，代表第t年的劳动力投入量，代表第t年的资金投入量，为模型参数。Cobb-Douglas生产函数是研究一个国家、一个地区或者一个大型企业的投入产出关系的一种经济数学模型。

在研究区域生产函数中，区域软实力对于生产总值存在潜在的影响。Baltagi和Pinnoi [1] 在研究美国48个相邻的州1970到1986年的生产函数时，在投入变量中增加了“公共资本”指标，这个“公共资本”包括高速公路、街道、水和排污设备以及其他的公共建设。我们认为用区域软实力来代替“公共资本”更为准确。

软实力是当前国际竞争的一个新兴领域。约瑟夫·奈把软实力定义为“软实力是一个国家造成一种情势，使其他国家仿效该国倾向并界定其利益的能力，这个实力往往来自文化和意识形态吸引力，国际机制的规则和制度等资源”。随着软实力理论研究的逐步深入，软实力的概念被应用于区域经济竞争，产生了区域软实力的概念，用来衡量一个地区具有的现实的和潜在的竞争优势。区域软实力被定义为“在区域竞争中，建立在区域文化、政府公共服务(服务制度和服务行为)、人力素质(居民素质)等非物质要素之上的区域政府公信力、区域社会凝聚力、特色文化的感召力、居民创造力和对区域外部吸引力等力量的总和 [2] ”。

管理学大师熊彼特提出，所谓创新就是“建立一种新的生产函数”。既然区域软实力衡量了一个地区具有的现实的和潜在的竞争力，那么区域软实力就可以作为一种生产要素而介入投入产出模型中。本文尝试在Cobb-Douglas生产函数中引入软实力指标，作为投入变量中的“潜变量”，从而得到一个新的生产函数：

(1.2)

其中表示第t − 1年的区域软实力，是参数。

本文的后面是这样安排的，在第二节，我们建立估计生产函数(1.2)的参数统计模型和软实力测量模型；在第三节，我们对江苏省13个城市的年度经济数据进行实证分析。

2. 模型的建立与求解

2.1. 模型的建立

对生产函数(1.2)的两边取对数，加上模型的随机误差，得到回归方程

(2.1)

其中为模型截距项，为回归系数，。

在模型(2.1)中，是可观测的变量，而区域软实力是一个潜变量，不能直接观察，需要用数学工具进行间接测度。

如何应用数学工具来测度区域软实力?目前文献中比较一致的观点是，把区域软实力划分为几个二级指标，每一个二级指标用若干个可观测指标进行定量评估，得到每一个二级指标的得分，再利用二级指标的得分得到区域软实力的得分，使用的数学工具主要是层次分析法或者因子分析法。本文将使用因子分析法来计算二级指标的得分，然后基于二级指标的得分，使用方差比定义的权重来计算区域软实力的得分。

根据专家的观点 [3] ，将区域软实力划分为6个二级指标：1) 区域文化，记为；2) 人力资源素质，记为；3) 政府公共服务，记为；4) 区域形象，记为；5) 区域融通，记为；6) 区域创新，记为。假设二级指标可以用个可观测指标来测量，则测量方程为

(2.2)

其中为指标在个城市上的观察值。

有了二级指标的得分，则构造的函数来评估区域软实力，其中为某一实值函数，一般取为线性函数，则有

(2.3)

令，其协方差阵可以表示为

注意到方差和度量了随机向量的变差，方差和度量了随机向量的变差，而是用来测量软实力二级指标的。这启发了我们产生了如下想法：比值越大，对应的二级指标能够解释软实力就越好；解释软实力越好，的权重就应该越大。基于这个观点，我们定义公式(2.3)中的权重为

(2.4)

结合(2.3)和(2.4)，我们能够计算软实力的得分，然后把软实力的得分作为回归方程(2.1)中潜变量的观察值来进行回归分析。

2.2. 模型的估计

1) 测量模型的估计

测量模型(2.2)是因子分析模型，我们要计算它的因子载荷和因子得分。

因子分析是使用较少的几个变量(称之为因子)来解释维随机变量，这些因子(不可观测)被解释为可观测的维随机变量的潜在的公共特征，因子分析的模型为

(2.5)

其中为模型的截距项，为因子向量，为载荷矩阵，为特殊因子。

林海明 [4] 提出了因子模型L的概念：如果要求，则称(2.5)为因子分析模型L，注意因子分析模型L与一般的正交因子模型相比较，是释放了条件。他引入了因子分析的精确解概念，称使得特殊因子的方差之和最小化的载荷阵和因子得分为因子分析模型的精确解，精确解的结果如下所示：

(2.6)

(2.7)

其中为前个顺序特征值，为对应于的标准特征向量。本文将应用公式(2.6) (2.7)来估计测量模型(2.2)的因子载荷和因子得分。

区域软实力的二级指标的测量模型(2.2)是公共因子个数为一的因子分析模型，记为观察指标向量在个城市上的观察数据阵的样本协方差阵，则为的总体协方差阵的最大似然估计，设分别为的最大特征值与标准特征向量，则载荷阵和城市的因子得分的精确解的估计值分别为

(2.8)

(2.9)

其中表示在城市的因子得分，为的第个分量。

2) 对于区域软实力评价模型(2.3)，权重的估计值为

(2.10)

其中表示。的主对角线元素之和。

3) 对于回归模型(2.1)，应用最小二乘法进行估计。

3. 实证分析

现在我们利用上述的理论方法，来评估江苏省13个城市的区域软实力，并且估计生产函数(1.2)。

首先我们参考朱孔来等 [3] 构建的区域软实力指标评价体系，结合数据的可采集情况，确定了区域软实力评价指标体系(表1)。

表1. 区域软实力指标评价体系

根据《江苏省统计年鉴2014》，得到指标的13个城市的样本值。为了克服数据之间单位的不一致，我们利用极差对进行规范化，令为的13个城市的观察值，为的极差，定义

(3.1)

称为的归一化观察值，令，即为的中心化。根据式(2.2)，则软实力二级指标的测量方程为

其精确解的因子得分如表2。

利用(2.10)。计算的权重，结果列在表3。

根据公式(2.3)，区域软实力得分的计算公式为

(3.3)

为了使得分成为百分制，并且避免回归方程(2.1)中出现无意义的情况，我们把SF按照如下公

表2. 二级指标的得分

表3. 二级指标的权重

表4. 2013年江苏省13市区域软实力评价结果

式进行变换：

(3.4)

其中，是SF的第k个分量。每个城市的得分列在表4。

然后根据《江苏省统计年鉴2015》，得到13个城市2014年的生产总值、劳动力投入和居民储蓄总额。将这些数据应用到式(2.1)，得到最小二乘估计为

于是Cobb-Douglas生产函数的经验模型为

(3.5)

4. 结论

我们给出了一个改进的Cobb-Douglas 生产函数(1.2)，改进之处是在经典的Cobb-Douglas生产函数中加入区域软实力这个潜变量，问题的关键是如何合理的度量区域软实力。本文利用了因子分析模型L来评估区域软实力指标的，得到的经验模型(3.5)的决定系数，表明用劳动力、投入资金和区域软实力能够很好的解释生产总值，因此改进的Cobb-Douglas 生产函数(1.2)是合理的。

文章引用

高峰,刘绪庆. 含有潜变量的Cobb-Douglas生产函数模型及其实证分析
Cobb-Douglas Production Function with a Latent Variable and Its Empirical Study[J]. 统计学与应用, 2016, 05(03): 305-311. http://dx.doi.org/10.12677/SA.2016.53031

参考文献 (References)