Advances in Applied Mathematics
Vol.07 No.01(2018), Article ID:23557,4 pages
10.12677/AAM.2018.71011

Fuzzy Number Expands to a Power Series of Triangular Fuzzy Number

Hangliang Li, Huili Pei

College of Mathematics and Information Science, Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence, Hebei University, Baoding Hebei

Received: Dec. 22nd, 2017; accepted: Jan. 19th, 2018; published: Jan. 26th, 2018

ABSTRACT

In this paper, it is studied that fuzzy number expands to power series of triangular fuzzy numbers. By introducing the definition of H-difference imaginary fuzzy number, the H difference between the fuzzy numbers can be calculated as the form. And then it is shown that formula of fuzzy number expands to power series of triangular fuzzy numbers.

Keywords:Power Series of Triangular Fuzzy Numbers, H-Difference Imaginary Fuzzy Number, Power Series Expansion

模糊数的三角模糊数幂级数展开

李洪亮,裴慧丽

河北大学,数学与信息科学学院,机器学习与人工智能重点实验室,河北 保定

收稿日期:2017年12月22日;录用日期:2018年1月19日;发布日期:2018年1月26日

摘 要

本文研究了模糊数表示成三角模糊数的幂级数问题。通过引入H差虚模糊数,使得模糊数之间的H差可以作形式计算,进而得到了模糊数展开成三角模糊数幂级数的公式。

关键词 :三角模糊数幂级数,H差虚模糊数,幂级数展开

Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

自从模糊数的概念1972年被Chang提出,很多模糊分析学家对相关研究问题给予了很大的关注,并做出了很多贡献 [1] [2] [3] 。2009年,Mila Stojaković [4] 研究了特定条件下的模糊集项级数,扩大了研究对象的范围,即将模糊数水平集的闭性和紧性换成了弱闭性和弱紧性,得到了更加广泛的结论。

本文主要研究了模糊数项级数求和的反问题,研究了在一定条件下,模糊数展开成三角模糊数幂级数的展开公式问题。该问题的解决有助于模糊数的近似表示,以及计算机储存问题。

2. 预备知识

E 为模糊数空间。对 u E ,令 [ u ] r = { x R : u ( x ) r } r ( 0 , 1 ] [ u ] 0 = c l { x R : u ( x ) > 0 } 。称 [ u ] r 为水平集,记为 [ L u ( r ) , R u ( r ) ] 。根据模糊数的定义可知 L u ( r ) 为关于水平 r 的单调递增函数, R u ( r ) 为关于水平 r 的单调递减函数, r [ 0 , 1 ] 。根据Zadeh扩张原理得到的加法运算,若存在模糊数 w 使得 w + v = u ,则称 u , v 的H差存在,称 w u , v 的H差,记为 u h v = w 。记 a ^ 为隶属函数是单点集合 { a } 特征函数的模糊数。

定理2.1 [5] :如果 u , v E k R ,则 [ u + v ] r = [ u ] r + [ v ] r = [ L u ( r ) + L v ( r ) , R u ( r ) + R v ( r ) ] ,并且 k 0 时, [ k u ] r = k [ u ] r = [ k L u ( r ) , k R u ( r ) ] k < 0 [ k u ] r = k [ u ] r = [ k R u ( r ) , k L u ( r ) ]

定理2.2 [5] :如果 u , v E u h v 存在,则 [ u h v ] r = [ L u ( r ) L v ( r ) , R u ( r ) R v ( r ) ]

3. 模糊数的三角模糊数幂级数展开

根据参考文献 [6] 的论证可知:模糊数的H差可能不存在,并且Zadeh扩张原理下,模糊数的线性组合无法表示H差,这使得含有H差的算式不能利用线性组合表示。为了计算表达的便捷性,我们引入下述概念:

定义3.1:如果 u , v E ,记 u h v = u + ( 1 ) * v ,称 ( 1 ) * v 为H差虚模糊数。

定理3.1:如果 u E ,则 [ ( 1 ) * u ] r = [ L u ( r ) , R u ( r ) ]

证明:根据定理2.1和定理2.2可得。

对于任意的 u E r [ 0 , 1 ] ,有 L u ( r ) R u ( r ) ,因此 [ L u ( r ) , R u ( r ) ] 并不存在。可知 ( 1 ) * v 是不存在的,只是一个形式符号。

L ( u ) = u [ L u ( 0 ) , L u ( 1 ) ] R ( u ) = u [ R u ( 1 ) , R u ( 0 ) ] ,因此 u = L ( u ) [ L u ( 1 ) , R u ( 1 ) ] R ( u ) ,为了表述方便,这里我们称 L ( u ) , R ( u ) 分别称为模糊数 u 的左部和右部,根据定义可知, L ( u ) , R ( u ) 均为模糊数。

定理3.2:如果 u n E n = 0 a n u n 收敛,则 [ n = 0 a n u n ] r = [ n = 0 a n L u n ( r ) , n = 0 a n R u n ( r ) ] ,其中 a n < 0 时,模糊数的运算为H差。

证明:根据定理2.1,定理2.2,以及文献 [5] 中的定理7,可知结论成立。

定理3.3:对 u E ,任意的 r [ 0 , 1 ] L u ( r ) 关于变量 r 能展开成麦克劳林级数,则 L ( u ) = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n ,其中 ( 0 , a , a ) 为三角模糊数。

证明:设三角模糊数 v = ( a 1 , a 2 , a 2 ) ,根据已知及定理3.2,可知对任意的 r [ 0 , 1 ] ,有

L u ( r ) = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! r n = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! ( L v ( r ) a 1 a 2 a 1 ) n = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! 1 ( a 2 a 1 ) n ( L v ( r ) a 1 ) n

R u ( r ) = L u ( 1 ) = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) 1 n n ! = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! ( a 2 a 1 a 2 a 1 ) n = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! 1 ( a 2 a 1 ) n ( L v ( 1 ) a 1 ) n

根据定理2.1和定理2.2,可知 [ ( a 1 , a 2 , a 2 ) h a ^ 1 ] r = [ L v ( r ) a 1 , L v ( 1 ) a 1 ] ,对任意的 r [ 0 , 1 ] 成立。因此

L ( u ) = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! * 1 ( a 2 a 1 ) n ( ( a 1 , a 2 , a 2 ) h a ^ 1 ) n = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) ( a 2 a 1 ) n n ! * ( 0 , a 2 a 1 , a 2 a 1 ) n

其中 L u ( n ) ( 0 ) ( a 2 a 1 ) n n ! 为正数时, * 运算表示模糊数的数乘运算, L u ( n ) ( 0 ) ( a 2 a 1 ) n n ! 为负数时, * 运算表示H差虚模糊数运算。记 a = a 2 a 1 ,由此可知 L ( u ) = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n

定理3.4:对 u E ,任意的 r [ 0 , 1 ] R u ( r ) 关于变量 r 能展开成麦克劳林级数,则 R ( u ) = n = 0 R u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n ,其中 ( 0 , a , a ) 为三角模糊数。

证明:根据定理2.1及左部右部的定义, R ( u ) = L ( u ) ,并且有 L u ( 0 ) = R u ( 0 ) ,根据定理3.3,可知

R ( u ) = L ( u ) = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n = n = 0 R u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n

其中,连加号前面的负号表示模糊数的数乘。

定理3.5:对 u E ,任意的 r [ 0 , 1 ] L u ( r ) R u ( r ) 能展开成麦克劳林级数,则

u = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n [ L u ( 1 ) , R u ( 1 ) ] ( n = 0 R u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n )

证明:根据定理3.3和定理3.4及模糊数左部右部的定义可知结论成立。

4. 模糊数展开成三角模糊数幂级数的应用

例4.1:设模糊数 u L u ( r ) = sin r R u ( r ) = sin 1 ,利用三角模糊数近似表示 u ,并估计误差。

解:根据 u 的隶属函数可知, u = L ( u ) 。利用定理3.3,可得

u = n = 0 L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n = n = 0 sin ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 , a , a ) n 1 a * ( 0 , a , a ) + 1 3 ! a n * ( 0 , a , a ) 3

a = 1 ,则有 u ( 0 , 1 , 1 ) + 1 3 ! * ( 0 , 1 , 1 ) 3 = ( 0 , 1 , 1 ) h 1 3 ! * ( 0 , 1 , 1 ) 3 ,根据 [6] 中的结论可知,上述H差存在。而实际上

u = ( 0 , 1 , 1 ) h 1 3 ! * ( 0 , 1 , 1 ) 3 + 1 5 ! * ( 0 , 1 , 1 ) 5 h 1 7 ! * ( 0 , 1 , 1 ) 7 +

根据 [5] 中关于收敛模糊数项级数的结论可知,该模糊数项级数收敛,取前两项作为 u 的近似值,上确界度量下的误差 | r 2 | 1 5 ! = 1 120

5. 总结

本文通过引入H差虚模糊数的概念,使得多个模糊数的连加连减运算可以做形式运算。虽然有些中间结果是H差虚模糊数,但最终的运算结果仍可能是模糊数。这使得三角模糊数项级数的表达式可以涵盖某些项是H差虚模糊数的情况,大大强化了三角模糊数项级数的表示能力。这里还证明了一般的模糊数展开成三角模糊数项级数公式,即定理3.5。这个结论为模糊数的近似计算,以及在计算机中的储存提

供了工具。比如例4.1中的模糊数 u 可以近似储存为向量 ( 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 3 ! ) ,这样在计算机中储存模糊数比直接储存模糊数的隶属函数简化了,更便于模糊数在计算机中的应用。

基金项目

国家自然科学基金项目(61572011);河北省自然科学基金项目(F2016201161);河北省高等学校科学技术研究重点项目(ZD2017005);河北省教育厅青年基金(QN2014039)。

文章引用

李洪亮,裴慧丽. 模糊数的三角模糊数幂级数展开
Fuzzy Number Expands to a Power Series of Triangular Fuzzy Number[J]. 应用数学进展, 2018, 07(01): 91-94. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.71011

参考文献 (References)

  1. 1. Diamond, P. and Kloeden, P.E. (1994) Metric Space of Fuzzy Sets-Theory and Applications. World Scientific, Singapore.
    https://doi.org/10.1142/2326

  2. 2. 吴从炘, 马明. 模糊分析学基础[M]. 北京: 国防工业出版社, 1991.

  3. 3. 吴从炘, 马明, 方锦喧. 模糊分析学的结构理论[M]. 贵阳: 贵州科技出版社, 1994.

  4. 4. Stojaković, M. and Stojaković, Z. (2009) Series of Fuzzy Sets. Fuzzy Sets and Systems, 160, 3115-3127.
    https://doi.org/10.1016/j.fss.2008.12.013

  5. 5. 李洪亮, 裴慧丽, 欧芳芳. 模糊数项级数的收敛性[J]. 哈尔滨商业大学学报, 2012, 33(2): 212-213.

  6. 6. 李洪亮, 裴慧丽, 何强, 西正明. 关于模糊数H差的存在性的讨论[J]. 模糊系统与数学, 2015, 29(3): 119-122.

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