ABSTRACT

In this paper, we introduce the approximately greater than or equal relation on fuzzy n-cell numbers and investigate its properties. We focus on the variation of this relationship under addition, subtraction, multiplication, division and scalar-multiplication.

Keywords:Approximately Greater Than or Equal, Fuzzy N-Cell Numbers, Fuzzy Numbers

N-Cell模糊数上的近似大于等于关系

刘晓芬，黄 欢

集美大学数学系，福建 厦门

收稿日期：2018年2月7日；录用日期：2018年2月21日；发布日期：2018年2月28日

摘 要

本文给出n-cell模糊数近似大于等于关系的定义，并对近似大于等于关系的性质进行了详细的研究，重点讨论了这一关系在加、减、乘、除和数乘下的变化。

关键词 :近似大于等于，N-Cell模糊数，模糊数

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1. 引言

在决策中，影响决策对象的因素常具有模糊性。为了对模糊决策对象进行排序，迫切需要考虑模糊数上的近似大于、近似等于以及近似大于等于等基本关系。

Buckley [1] [2] 率先提出了一维模糊数近似大于、近似等于以及近似大于等于关系的概念，并将其应用于具有模糊性决策对象的排序中。吴望名在 [3] 中提出了一维模糊数相容的概念。王绪柱在 [4] 中针对Buckley在文 [1] 中提出的近似相等关系给出了易于判定的充要条件，并讨论了一维模糊数近似相等的性质。但是，在实际应用中，一维模糊数往往无法满足需求。因此，王桂祥、吴从炘在 [5] 中提出了n-cell模糊数的概念，n-cell模糊数是一种特殊的n维模糊数，同时也是对一维模糊数的推广。王桂祥及其团队 [5] [6] 将n-cell模糊数应用于分类、模式识别、信息融合等领域中，受到了广泛的关注，因此，讨论n-cell模糊数上的近似大于等于关系也是非常重要的。

本文引入了n-cell模糊数上的近似大于等于关系，并详细讨论了这一关系的性质，我们的结论对n-cell模糊数排序问题的相关理论和应用有着重要的意义。

2. 预备知识

本节介绍了n维模糊数和n-cell模糊数的基本概念和性质，以及n-cell模糊数的代数运算，详细内容请读者参阅文献 [7] [8] [9] [10] 。

设u是 $R^n$ 上的模糊集，u可看作 $R^n\to \left[0,1\right]$ 的函数。任取 $\alpha \in \left[0,1\right]$ ，我们称 ${\left[u\right]}_{\alpha }$ 是u的a-截集，当 $\alpha >0$ ， ${\left[u\right]}_{\alpha }=\left\{x\in R^n|u\left(x\right)\ge \alpha \right\}$ ，当 $\alpha =0$ ， ${\left[u\right]}_0=\overline{\left\{x\in R^n|u\left(x\right)>0\right\}}$ 。 ${\left[u\right]}_0$ 也称为u的支集，记作suppu。

若 $u:R^n\to \left[0,1\right]$ 满足以下性质(1)-(4)：

1) u是正规的模糊集，即存在 $x_0\in R^n$ 使得 $u\left(x_0\right)=1$ ；

2) u是凸模糊集，即对任意 $x,y\in R^n,\lambda \in \left[0,1\right]$ 有 $u\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)\ge \min \left\{u\left(x\right),u\left(y\right)\right\}$ ；

3) u是上半连续函数，即 $\underset{x\to x_0}{\lim \sup }u\left(x\right)\le u\left(x_0\right)$ ；

4) ${\left[u\right]}_0$ 有界。

则称u为n维模糊数，全体n维模糊数记作 $E^n$ 。

用 $a$ 表示 $R^n$ 中的点 $\left(a,a,\cdots ,a\right)$ ，用表示模糊集 $\widehat{a}:R^n\to \left[0,1\right]$ ， $\widehat{a}\left(x\right)=\{\begin{array}{l}0,x\ne a,\\ 1,x=a.\end{array}$ 在不引起混淆的情况下，我们也用 $a$ 表示 $\widehat{a}$ ，此时对任意的 $\alpha \in \left[0,1\right]$ ， ${\left[a\right]}_{\alpha }=\left\{a\right\}$ 。

王桂祥在 [5] 中引入了n-cell模糊数的概念：设 $u\in E^n$ ，若对任意 $\alpha \in \left[0,1\right]$ ， ${\left[u\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[u_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)\right]}$ ，其中 $u_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)\in R$ 且 $u_i^{-}\left(\alpha \right)\le u_i^{+}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$ ，则称u是n-cell模糊数。记 $L\left(E^n\right)$ 为 $R^n$ 上全体n-cell模糊数，显然 $L\left(E^n\right)\subset E^n$ ，且 $L\left(E^n\right)\ne E^n$ 。

设 $u\in L\left(E^n\right)$ ，若 $u_i^{-}\left(0\right)>0,i=1,2,\cdots ,n$ ，则称u为正n-cell模糊数；若 $u_i^{+}\left(0\right)<0$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ ，则称u为负n-cell模糊数。

N-cell模糊数的代数运算如下：对任意 $u,v\in L\left(E^n\right),k\in R,\alpha \in \left[0,1\right]$ ，有：

${\left[u+v\right]}_{\alpha }={\left[u\right]}_{\alpha }+{\left[v\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[u_i^{-}\left(\alpha \right)+v_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)+v_i^{+}\left(\alpha \right)\right]},$

${\left[u-v\right]}_{\alpha }={\left[u\right]}_{\alpha }-{\left[v\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[u_i^{-}\left(\alpha \right)-v_i^{+}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)-v_i^{-}\left(\alpha \right)\right]},$

${\left[ku\right]}_{\alpha }=k{\left[u\right]}_{\alpha }=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[k{u}_i^{-}\left(\alpha \right),k{u}_i^{+}\left(\alpha \right)\right]},k\ge 0,\\ {\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[k{u}_i^{+}\left(\alpha \right),k{u}_i^{-}\left(\alpha \right)\right]},k\le 0,\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left[uv\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n[\min \left\{u_i^{-}\left(\alpha \right)v_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{-}\left(\alpha \right)v_i^{+}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)v_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)v_i^{+}\left(\alpha \right)\right\}},\\ \max \left\{u_i^{-}\left(\alpha \right)v_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{-}\left(\alpha \right)v_i^{+}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)v_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)v_i^{+}\left(\alpha \right)\right\}],\end{array}$

${\left[\frac{u}{v}\right]}_{\alpha }=\left[\min \left\{\frac{u_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\},\max \left\{\frac{u_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\}\right]$ (其中 $v$ 为正n-cell模糊数或负n-cell模糊数)。

容易看出 $u-v=u+\left(-v\right)$ 。

Buckley在 [1] 中给出了一维模糊数近似大于等于关系的概念：

对任意两个模糊数 $u,v\in E^1$ ，任取 $\alpha \in \left(0,1\right]$ ，定义 $\nu \left(u\ge v\right)=\underset{x\ge y}{\sup }\min \left(u\left(x\right),v\left(y\right)\right)$ 。

1) 若 $\nu \left(u\ge v\right)=1$ 且 $\nu \left(v\ge u\right)<\alpha$ ，则称 $u$ 在 $\alpha$ 水平下近似大于 $v$ ，记为 $u{\succ }_{\alpha }v$ 或 $v{\prec }_{\alpha }u$ ；

2) 若 $\min \left(\nu \left(u\ge v\right),\nu \left(v\ge u\right)\right)\ge \alpha$ ，则称 $u$ 与 $v$ 在 $\alpha$ 水平下近似相等，记为 $u{\approx }_{\alpha }v$ ；

3) 若 $u{\succ }_{\alpha }v$ 或 $u{\approx }_{\alpha }v$ ，则称 $u$ 在 $\alpha$ 水平下近似大于等于 $v$ ，记为 $u{\ge }_{\alpha }v$ 或 $v{\le }_{\alpha }u$ 。

3. N-Cell模糊数上近似大于等于关系的性质

本节将引入n-cell模糊数上的近似大于等于关系，并探讨该关系在加、减、乘、除以及数乘运算下的变化。

定义3.1：设 $u,v\in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ ，若 $u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$ ，则称 $u$ 在 $\alpha$ 水平下近似大于等于 $v$ ，记作 $u{\ge }_{\alpha }v$ 或 $v{\le }_{\alpha }u$ 。

性质1：设 $u,v\in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ 。若 $u{\ge }_{\alpha }v$ ，则 $u-v{\ge }_{\alpha }0$ 。

证明：由于

${\left[u-v\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[u_i^{-}\left(\alpha \right)-v_i^{+}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)-v_i^{-}\left(\alpha \right)\right]}$

由 $u{\ge }_{\alpha }v$ 知： $u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$ 。则

${\left(u-v\right)}_i^{+}\left(\alpha \right)=u_i^{+}\left(\alpha \right)-v_i^{-}\left(\alpha \right)\ge 0=0_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

所以， $u-v{\ge }_{\alpha }0$ 。

性质2：设 $u,v\in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ 。若 $u{\ge }_{\alpha }v$ ，则

1) 若 $v$ 为正，则 $\frac{u}{v}{\ge }_{a}1$ ；

2) 若 $v$ 为负，则 $\frac{u}{v}{\le }_{a}1$ 。

证明：(1) 因为 $v$ 为正，则 $v_i^{-}\left(\alpha \right)>0,i=1,2,\cdots ,n$ 。所以，

${\left[\frac{u}{v}\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n[\min \left\{\frac{u_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\}},\max \{\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)}\}]$

由 $u{\ge }_{\alpha }v$ 知： $u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$ 。则

$\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)}\ge 1=1_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

因此，

${\left(\frac{u}{v}\right)}_i^{+}\left(\alpha \right)=\max \left\{\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\}\ge \frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)}\ge 1_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

所以， $\frac{u}{v}{\ge }_{a}1$ 。

(2)证明与(1)类似。

性质3：设 $u,v\in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ 。若 $u{\ge }_{\alpha }v$ ，则对任意 $\omega \in L\left(E^n\right)$ 有

1) $u+\omega {\ge }_{\alpha }v+\omega$ ；

2) $u-\omega {\ge }_{\alpha }v-\omega$ 。

证明：(1)由于

${\left[u+\omega \right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[u_i^{-}\left(\alpha \right)+{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)+{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\right]}$

${\left[v+\omega \right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[v_i^{-}\left(\alpha \right)+{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),v_i^{+}\left(\alpha \right)+{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\right]}$

由 $u{\ge }_{\alpha }v$ 知： $u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$ 。则

$u_i^{+}\left(\alpha \right)+{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right)+{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right)+{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

因此，

${\left(u+\omega \right)}_i^{+}\left(\alpha \right)\ge {\left(v+\omega \right)}_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

所以， $u+\omega {\ge }_{\alpha }v+\omega$ 。

(2)由于 $u-\omega =u+\left(-\omega \right)$ ，结论可从(1)推出。

性质4：设 $u,v\in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ 。若 $u{\ge }_{\alpha }v$ ，则对任意 $\omega \in L(\; E\; n\; )$

1) 若 $\omega$ 为正，则 $u\omega {\ge }_{\alpha }v\omega$ ；

2) 若 $\omega$ 为负，则 $v\omega {\ge }_{\alpha }u\omega$ 。

证明：(1)因为 $\omega$ 为正，则 ${\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)>0,i=1,2,\cdots ,n$ 。所以，

${\left[u\omega \right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[\min \left\{u_i^{-}\left(\alpha \right){\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{-}\left(\alpha \right){\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\right\},\max \left\{u_i^{+}\left(\alpha \right){\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right){\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\right\}\right]}$

${\left[v\omega \right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[\min \left\{v_i^{-}\left(\alpha \right){\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),v_i^{-}\left(\alpha \right){\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\right\},\max \left\{v_i^{+}\left(\alpha \right){\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),v_i^{+}\left(\alpha \right){\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\right\}\right]}$

由 $u{\ge }_{\alpha }v$ 知： $u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$ 。则

$u_i^{+}\left(\alpha \right){\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right){\omega }_i^{+}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

因此，

$\max \left\{u_i^{+}\left(\alpha \right){\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right){\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\right\}\ge \min \left\{v_i^{-}\left(\alpha \right){\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),v_i^{-}\left(\alpha \right){\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)\right\},i=1,2,\cdots ,n$

即，

${\left(u\omega \right)}_i^{+}\left(\alpha \right)\ge {\left(v\omega \right)}_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

所以， $u\omega {\ge }_{\alpha }v\omega$ 。

(2)证明与(1)类似。

性质5：设 $u,v,\omega \in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ 。若 $u{\ge }_{\alpha }v$ ，则

1) 若 $\omega$ 为正，则 $\frac{u}{\omega }{\ge }_{\alpha }\frac{v}{\omega }$ ；

2) 若 $\omega$ 为负，则 $\frac{v}{\omega }{\ge }_{\alpha }\frac{u}{\omega }$ 。

证明：1) 因为 $\omega$ 为正，则 ${\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)>0,i=1,2,\cdots ,n$ 。所以，

${\left[\frac{u}{\omega }\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n[\min \left\{\frac{u_i^{-}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{-}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\},}\max \{\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}\}]$

${\left[\frac{v}{\omega }\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n[\min \left\{\frac{v_i^{-}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{v_i^{-}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\},}\max \{\frac{v_i^{+}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{v_i^{+}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}\}]$

由 $u{\ge }_{\alpha }v$ 知： $u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$ 。则

$\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}\ge \frac{v_i^{-}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)},i=1,2,\cdots ,n$

因此，

$\max \left\{\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{u_i^{+}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\}\ge \min \left\{\frac{v_i^{-}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{v_i^{-}\left(\alpha \right)}{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\},i=1,2,\cdots ,n$

即，

${\left(\frac{u}{\omega }\right)}_i^{+}\left(\alpha \right)\ge {\left(\frac{v}{\omega }\right)}_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

所以， $\frac{u}{\omega }{\ge }_{\alpha }\frac{v}{\omega }$ 。

(2)证明与(1)类似。

性质6：设 $u,v,\omega \in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ 。若 $uv{\ge }_{\alpha }\omega$ ，则

1) 若 $v$ 为正，则 $u{\ge }_{\alpha }\frac{\omega }{v}$ ；

2) 若 $v$ 为负，则 $\frac{\omega }{v}{\ge }_{\alpha }u$ 。

证明：(1)因为 $v$ 为正，则 $v_i^{-}\left(\alpha \right)>0,i=1,2,\cdots ,n$ 。所以，

${\left[uv\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[\min \left\{u_i^{-}\left(\alpha \right)v_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{-}\left(\alpha \right)v_i^{+}\left(\alpha \right)\right\},\max \left\{u_i^{+}\left(\alpha \right)v_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)v_i^{+}\left(\alpha \right)\right\}\right]}$

${\left[\frac{\omega }{v}\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n[\min \left\{\frac{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\},}\max \{\frac{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{{\omega }_i^{+}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)}\}]$

由 $uv{\ge }_{\alpha }\omega$ 知：

$\max \left\{u_i^{+}\left(\alpha \right)v_i^{-}\left(\alpha \right),u_i^{+}\left(\alpha \right)v_i^{+}\left(\alpha \right)\right\}\ge {\omega }_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

因此，

$u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge \min \left\{\frac{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{-}\left(\alpha \right)},\frac{{\omega }_i^{-}\left(\alpha \right)}{v_i^{+}\left(\alpha \right)}\right\}={\left(\frac{\omega }{v}\right)}_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

所以， $u{\ge }_{\alpha }\frac{\omega }{v}$ 。

(2)证明与(1)类似。

性质7：设 $u,v\in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ 。若 $u{\ge }_{\alpha }v$ ，则对任意 $k\in R$ 有

1) 若 $k>0$ ，则 $ku{\ge }_{\alpha }kv$ ；

2) 若，则 $kv{\ge }_{\alpha }ku$ 。

证明：1) 因为 $k>0$ ，所以，

${\left[ku\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[k{u}_i^{-}\left(\alpha \right),k{u}_i^{+}\left(\alpha \right)\right]}$

${\left[kv\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[k{v}_i^{-}\left(\alpha \right),k{v}_i^{+}\left(\alpha \right)\right]}$

由 $u{\ge }_{\alpha }v$ 知： $u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$ 。则

$k{u}_i^{+}\left(\alpha \right)\ge k{v}_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

因此，

${\left(ku\right)}_i^{+}\left(\alpha \right)\ge {\left(kv\right)}_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

所以， $ku{\ge }_{\alpha }kv$ 。

(2)证明与(1)类似。

性质8：设 $u,v\in L\left(E^n\right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right]$ ， $k\in R$ 。若 $ku{\ge }_{\alpha }v$ ，则

1) 若 $k>0$ ，则 $u{\ge }_{\alpha }\frac{v}{k}$ ；

2) 若 $k<0$ ，则 $\frac{v}{k}{\ge }_{\alpha }u$ 。

证明：(1)因为 $k>0$ ，所以，

${\left[ku\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[k{u}_i^{-}\left(\alpha \right),k{u}_i^{+}\left(\alpha \right)\right]}$

${\left[\frac{v}{k}\right]}_{\alpha }={\displaystyle \prod _{i=1}^n\left[\frac{v_i^{-}\left(\alpha \right)}{k}，\frac{v_i^{+}\left(\alpha \right)}{k}\right]}$

由 $ku{\ge }_{\alpha }v$ 知：

$k{u}_i^{+}\left(\alpha \right)\ge v_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

因此，

$u_i^{+}\left(\alpha \right)\ge \frac{v_i^{-}\left(\alpha \right)}{k}={\left(\frac{v}{k}\right)}_i^{-}\left(\alpha \right),i=1,2,\cdots ,n$

所以， $u{\ge }_{\alpha }\frac{v}{k}$ 。

(2)证明与(1)类似。

基金项目

福建省自然科学基金(No. 2016J01022)。

文章引用

刘晓芬,黄 欢. N-Cell模糊数上的近似大于等于关系
Approximately Greater Than or Equal Relation on Fuzzy N-Cell Numbers[J]. 应用数学进展, 2018, 07(02): 224-230. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.72027

参考文献 (References)