上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2021年3月14日；录用日期：2021年4月3日；发布日期：2021年4月16日

摘要

本文研究了一类具有阶段结构和Allee效应的捕食–食饵模型的随机动力学行为。首先，我们讨论的模型是由3个随机微分方程构成，它主要描述了食饵、未成熟捕食者和成熟捕食者之间的相互作用。其次，为了证明模型存在全局唯一正解，我们构造多个合适的李雅普诺夫函数，并建立了系统存在遍历平稳分布的条件。最后，我们建立了食饵和两个捕食者灭绝的条件。

关键词

捕食–食饵模型，Allee效应，随机，阶段结构，平稳分布，灭绝

Stochastic Dynamics Analysis of a Predator-Prey Model with Stage Structure and Allee Effect

Saiti Feng, Tiansi Zhang

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 14^th, 2021; accepted: Apr. 3^rd, 2021; published: Apr. 16^th, 2021

ABSTRACT

In this paper, the stochastic dynamics of a predator-prey model with stage structure and Allee effect is handled and established based on some suitable Lyapunov functions. First of all, our model is composed of three random differential equations, which describes the interaction between predator species and prey. Secondly, to prove the existence of a globally unique positive solution to the model, we construct several appropriate Lyapunov functions, and then establish the conditions for the existence of ergodic stationary distribution for the system. Finally, we establish the extinction conditions for the prey and two species of predator.

Keywords:Predator-Prey Model, Allee Effect, Stochastic, Stage Structure, Stationary Distribution, Extinction

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

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1. 介绍

在生态学的研究过程中，由于捕食者和食饵是普遍存在的，因此捕食者与被捕食者之间的相互作用及其关系是一个研究的热点问题之一。第一个捕食食饵模型是由Lotka [1] 和Volterra [2] 提出的，自从著名的Lotka-Volterra模型被提出以来，捕食者与食饵之间关系研究一直是生物学家和数学家等学者们研究的重点。为了更真实地反应捕食者和食饵之间的关系，更贴合真实的生态系统，学者们在捕食–食饵模型中引入了多种功能反应，并对其做了大量的研究，得到了丰富的结论 [3] [4] [5] [6]。

然而，在我们建立模型时有一个很重要的影响因素Allee效应，也是值得考虑的。Allee效应是由Allee [7] 提出来的，并以他的名字命名，他对种群的影响很显著。Allee效应表示的是个体适应性与种群密度之间的正相关关系 [8] [9]。近些年来，将Allee效应引入到捕食–食饵模型中引起了学者们的关注，并对其做了大量研究 [3] [10] - [16]，得到了一些新的结论，丰富了生物数学的研究。

但是在我们的生态系统中，生态系统的种群存在是很复杂的，有未成熟种群逐渐转化为成熟种群，这种阶段变化可以更好地反应种群的生长和相互关系，更能真实地体现生态系统的瞬息万变。此外，很多学者做了很多关于具有阶段结构的捕食–食饵系统的动力学研究 [17] - [23]。Xiao在 [17] 研究了带有时滞和Allee效应具有阶段结构的捕食–食饵模型，证明了平衡点的稳定性以及产生分支的情况。蒋达清在参考文献 [24] 中提出了具有Holling Type II的阶段结构的捕食–食饵模型，得到了模型在存在遍历平稳分布以及捕食者灭绝的结论。针对此，我们提出了具有阶段结构和Allee效应的捕食–食饵的确定性模型：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=x\left(t\right)\left(\frac{ax\left(t\right)}{A+x\left(t\right)}-d-bx\left(t\right)\right)-mx\left(t\right)y_2\left(t\right)\\ \frac{\text{d}{y}_1}{\text{d}t}=nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)-\delta y_1\left(t\right)-\beta y_1\left(t\right)\\ \frac{\text{d}{y}_2}{\text{d}t}=\beta y_1\left(t\right)-e{y}_2\left(t\right)\end{array}$ (1.1)

其中 $x,y_1,y_2$ 分别表示食饵种群，未成熟捕食者种群，成熟捕食者种群在t时刻的密度，m表示捕获率，n是捕食者的食物转化率， $\delta$ 和e分别表示未成熟和成熟捕食者的死亡率， $\beta$ 表示未成熟捕食者变成成熟捕食者速度，其中 $A,a,b,d,n,m,\beta ,\delta ,e$ 均为正常数。

然而，在现实生活中，大多数现象无法用确定性的规律来解释，而总是受到环境噪声的影响。当把环境噪声引入到模型中时，我们发现它可以更好地预测未来生态系统模型的发展。许多学者研究了带有环境噪声的随机捕食–食饵模型 [5] [6] [24] [25] [26]，Zhao在文献 [26] 中考虑了具有阶段结构的随机捕食–食饵模型，给出了系统存在平稳分布的充分条件，同时给出了捕食者灭绝的条件。因此，为了更好地讨论具有阶段结构和Allee效应的捕食食饵模型，我们引入了环境噪声，模型如下：

$\{\begin{array}{l}\text{d}x\left(t\right)=\left[x\left(t\right)\left(\frac{ax\left(t\right)}{A+x\left(t\right)}-d-bx\left(t\right)\right)-mx\left(t\right)y_2\left(t\right)\right]\text{d}t+{\sigma }_{1}x\left(t\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)\\ \text{d}{y}_1\left(t\right)=\left(nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)-\delta y_1\left(t\right)-\beta y_1\left(t\right)\right)\text{d}t+{\sigma }_{2}x\left(t\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)\\ \text{d}{y}_2\left(t\right)=\left(\beta y_1\left(t\right)-e{y}_2\left(t\right)\right)\text{d}t+{\sigma }_{3}x\left(t\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)\end{array}$ (1.2)

其中 $B_1\left(t\right)$，$B_2\left(t\right)$，$B_3\left(t\right)$ 为标准布朗运动， ${\sigma }_i,i=1,2,3$ 为噪声强度。本文的研究主要分为以下几个部分：第二部分，介绍与本篇文章相关的预备知识；第三部分，证明系统(1.2)存在全局唯一正解；第四部分，建立了系统(1.2)存在平稳分布的条件；第五部分，证明了系统(1.2)捕食者 $y_1,y_2$ 和食饵x灭绝的条件；最后对全文做了总结和期望。

2. 预备知识

在本部分，我们介绍了一些关于随机微分方程的基础知识和基本定理，在我们接下来的证明过程都会用到。

$\left(\Omega ,\mathcal{F},{\left\{{\mathcal{F}}_t\right\}}_{t\ge 0},\mathbb{P}\right)$ 表示一个带有过滤的完全概率空间，其中 ${\left\{{\mathcal{F}}_t\right\}}_{t\ge 0}$ 满足条件(即 ${\mathcal{F}}_0$ 包含所有 $\mathbb{P}$ -空集，它是递增和右连续的)。我们引入定义

${ℝ}_{+}^d=\left\{x=\left(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_d\right)\in {ℝ}^d:x_i>0,1\le i\le 2\right\}$ 和 ${\overline{ℝ}}_{+}^d=\left\{x=\left(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_d\right)\in {ℝ}^d:x_i>0,1\le i\le 2\right\}$

考虑一个d维的随机微分方程的马尔可夫过程，

$\text{d}X\left(t\right)=f\left(X\left(t\right)\right)\text{d}t+g\left(X\left(t\right)\right)\text{d}B\left(t\right),t\ge t_0$ (2.1)

初始值 $X\left(0\right)=X_0\in {ℝ}^d$，$B\left(t\right)=\left(B_1\left(t\right),\cdots ,B_d\left(t\right)\right)$ 表示定义在完全概率空间 $\left(\Omega ,\mathcal{F},{\left\{{\mathcal{F}}_t\right\}}_{t\ge 0},\mathbb{P}\right)$ 上的d维标准布朗运动。用 $C^2\left({ℝ}^d;{\overline{ℝ}}_{+}\right)$ 表示定义在 ${ℝ}^d$ 上的非负函数 $V\left(x\right)$，使得它们在X上连续可微两次。公式(2.1)的微分算子L由 [27] 定义

$LV\left(X\left(t\right),t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{d}{\sum }}{f}_i\left(X,t\right)\frac{\partial }{\partial X_i}}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{d}{\sum }}{\left[g^{{\rm T}}\left(X,t\right)g\left(X,t\right)\right]}_{ij}\frac{{\partial }^2}{\partial X_i\partial Y_j}}$ (2.2)

如果将L作用在 $V\in C^2\left({ℝ}^d;{\overline{ℝ}}_{+}\right)$，则可以得到

$LV\left(X\left(t\right),t\right)=V_t\left(X\left(t\right),t\right)+V_X\left(X\left(t\right),t\right)f\left(X\left(t\right),t\right)+\frac{1}{2}trace\left[g^{{\rm T}}\left(X\left(t\right),t\right)V_{XX}g\left(X\left(t\right),t\right)\right]$，

其中 $V_X=\left(\frac{\partial V}{\partial X_1},\cdots ,\frac{\partial V}{\partial X_d}\right)$，$V_{XX}={\left(\frac{{\partial }^{2}V}{\partial X_i},\cdots ,\frac{{\partial }^{2}V}{\partial X_i\partial X_j}\right)}_{d\times d}$。利用Itô’s公式 [27] 可得到，如果 $X\left(t\right)\in {ℝ}^d$，则有

$\text{d}V\left(X\left(t\right),t\right)=LV\left(X\left(t\right),t\right)\text{d}t+V_X\left(X\left(t\right),t\right)g\left(X\left(t\right),t\right)\text{d}B\left(t\right)$ (2.3)

定义2.1. [28] 过渡概率函数 $P\left(s,x,t,A\right)$ 被称为时间齐次函数(相应的Markov过程称为时间齐次函数)，如果 $P\left(s,x,t+s,A\right)$ 是独立于s， $0\le s\le t$，$x\in {ℝ}^d$，$A\in \mathcal{B}$，$\mathcal{B}$ 表示在 ${ℝ}^d$ 中的Borel集的 $\sigma$ 代数。

令 $X\left(t\right)$ 为随机微分方程中描述的 ${ℝ}^d$ 中的正则时齐马尔可夫过程

$\text{d}X\left(t\right)=f\left(X\left(t\right)\right)\text{d}t+{\displaystyle \underset{r=1}{\overset{k}{\sum }}{g}_r^i}\left(x\right)g_r^j\left(x\right)$.

$X\left(t\right)$ 的扩散矩阵为 $A\left(x\right)=\left(a_{ij}\left(x\right)\right)$，$a_{ij}\left(x\right)={\displaystyle \underset{r=1}{\overset{k}{\sum }}{g}_r^i}\left(x\right)g_r^j\left(x\right)$。

引理2.1. [28] 马尔可夫过程 $X\left(t\right)$ 有一个唯一的遍历平稳分布 $\mu (\cdot )$，如果存在一个有界开域 $D\subset {ℝ}^d$，常规边界 $\Gamma$，具有下列性质：

(B.1)：存在一个正数M使 ${\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{d}{\sum }}{a}_{ij}\left(x\right){\xi }_i{\xi }_j}\ge M{\left|\xi \right|}^2$，$x\in D$，$\xi \in {ℝ}^d$。

(B.2)：存在一个非负C²-V函数，使LV在任何 ${ℝ}^d\backslash D$ 上是负的。

3. 正解的存在性和唯一性

在本章节中，我们主要研究系统(1.2)存在正解并证明其正解是唯一的，对于系统(1.2)我们可以清楚的知道 $x,y_1,y_2$ 为食饵，未成熟捕食者和成熟捕食者的密度，则它们均为非负常数，且其系数满足局部Lipschitz条件，所以系统(1.2)存在局部解 $\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)$，$t\in \left[0,{\tau }_e\right]$，其中 ${\tau }_e$ 表示爆炸时间。因此，我们只需要证明系统(1.2)存在唯一正解以及正解是全局的，即证 ${\tau }_e=\infty$。为此，我们给出如下定理：

定理3.1. 对于任意初始值 $\left(x\left(0\right),y_1\left(0\right),y_2\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$，系统(1.2)在 $t>0$ 时存在唯一的全局正解，并且解始终以概率1在 ${ℝ}_{+}^3$。

证明：对于一个足够大的非负数 $z_0$，使得 $x\left(0\right)$，$y_1\left(0\right)$ 以及 $y_2\left(0\right)$ 始终在 $\left[\frac{1}{z_0},z_0\right]$ 这个区间内，对于每个整数 $z\ge z_0$，定义停时 [27]

${\tau }_z=\inf \left\{t\in \left[0,{\tau }_e\right]:\min \left\{x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right\}\le \frac{1}{z}\text{or}\max \{x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\ge z\right\}$

在这篇文章中 $\inf \varnothing =\infty$，当 $z\to \infty$ 时，显然可以知道 ${\tau }_z$ 是递增的。令 ${\tau }_{\infty }=\underset{z\to \infty }{\lim }{\tau }_z$，${\tau }_{\infty }\le {\tau }_e$ (a.s.)。如果我们可以证明 ${\tau }_{\infty }=\infty$，a.s.则可以得到 ${\tau }_e=\infty$，$\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$ a.s.对于 $t\ge 0$。因此，为了完成证明，我们只需证明 ${\tau }_{\infty }=\infty$ a.s.如果 ${\tau }_{\infty }\ne \infty$，则存在常数 $T>0$，$\xi \in \left(0,1\right)$，使

$\mathbb{P}\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\xi$

因此存在一个常数 $z_1\ge z_0$，使

$\mathbb{P}\left\{{\tau }_z\le T\right\}>\xi$,$\forall z\ge z_1$ (3.1)

定义一个C²函数 $V:{ℝ}_{+}^3\to {ℝ}_{+}$

$\begin{array}{l}V\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)\\ =n\left(x\left(t\right)-k_1-k_1\ln \frac{x\left(t\right)}{k_1}\right)+\left(y_1\left(t\right)-k_2-k_2\ln \frac{y_1\left(t\right)}{k_2}\right)+\left(y_2\left(t\right)-1-k_2\ln y_2\left(t\right)\right)\end{array}$ (3.2)

对上述V函数利用Itô’s公式 [27] 可得

$\begin{array}{l}LV\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)=nx\left(t\right)\left(1-\frac{k_1}{x\left(t\right)}\right)\left(\frac{ax}{A+x\left(t\right)}-d-bx\left(t\right)-m{y}_2\left(t\right)\right)\\ +\left(1-\frac{k_2}{y_1\left(t\right)}\right)\left(nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)-\delta y_1\left(t\right)-\beta y_1\left(t\right)\right)\\ +\left(1-\frac{1}{y_2\left(t\right)}\right)\left(\beta y_1\left(t\right)-e{y}_2\left(t\right)\right)+\frac{1}{2}n{k}_1{\sigma }_1^2\text{+}\frac{1}{2}{k}_2{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{anx{\left(t\right)}^2}{A+x\left(t\right)}-ndx\left(t\right)-nbx{\left(t\right)}^2-nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)-\frac{an{k}_{1}x\left(t\right)}{A+x\left(t\right)}+n{k}_{1}d\\ +n{k}_{1}bx\left(t\right)+nm{k}_1{y}_2\left(t\right)+nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)-\delta y_1\left(t\right)-\beta y_1\left(t\right)\\ -\frac{k_{2}nmx\left(t\right)}{y_1\left(t\right)}{y}_2\left(t\right)+\delta k_2+\beta k_2+\beta y_1\left(t\right)-e{y}_2\left(t\right)-\frac{\beta }{y_2\left(t\right)}{y}_1\left(t\right)\\ +\frac{1}{2}n{k}_1{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{k}_2{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\end{array}$ (3.3)

令 $k_1=\frac{e}{mn},k_2=1$，公式(3.3)则有

$\begin{array}{l}LV\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)\\ \le -nb{x}^2\left(t\right)+\left(an+\frac{eb}{m}\right)x\left(t\right)+\frac{ed}{m}+\delta +\beta +e+\frac{e}{2m}{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ \le \frac{an+\frac{eb}{m}}{2nb}+\frac{ed}{m}+\delta +\beta +e+\frac{e}{2m}{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ =\frac{amn+eb}{2mnb}+\frac{ed}{m}+\delta +\beta +e+\frac{e}{2m}{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ :=K\end{array}$ (3.4)

其中K为正常数，因此可以得到：

$\begin{array}{l}\text{d}V\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)\\ \le K\text{d}t+n{\sigma }_{1}x\left(t\right)\left(1-\frac{k_1}{x\left(t\right)}\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2{y}_1\left(t\right)\left(1-\frac{1}{y_1\left(t\right)}\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)\\ +{\sigma }_3{y}_2\left(t\right)\left(1-\frac{1}{y_2\left(t\right)}\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)\\ =K\text{d}t+n{\sigma }_1\left(x\left(t\right)-k_1\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2{y}_1\left(t\right)\left(y_1\left(t\right)-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)\\ +{\sigma }_3{y}_2\left(t\right)\left(y_2\left(t\right)-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)\end{array}$ (3.5)

对公式(3.5)从0到 ${\tau }_z\wedge T=\min \left\{{\tau }_z,T\right\}$ 两边积分，并取期望可得

(3.6)

对于 $z\ge z_1$，设 ${\Omega }_z=\left\{{\tau }_z\le T\right\}$，由公式(3.1)可以得到 $\mathbb{P}\left\{{\Omega }_z\right\}>\xi$。对于每个 $\omega \in {\Omega }_z$，$x\left({\tau }_z\wedge T\right)$ 或 $y_1\left({\tau }_z\wedge T\right)$ 或 $y_2\left({\tau }_z\wedge T\right)$ 等于z或 $\frac{1}{z}$。因此，可以得到

$\begin{array}{l}V\left(x\left(0\right),y_1\left(0\right),y_2\left(0\right)\right)+KT\\ \ge \mathbb{E}\left[I_{{\Omega }_z\left(\omega \right)}V\left(x\left({\tau }_z\wedge T\right),y_1\left({\tau }_z\wedge T\right),y_2\left({\tau }_z\wedge T\right)\right)\right]\\ \ge \xi \min \left\{\left(z-k_1-k_1\ln \frac{z}{k_1}\right),\left(z-1-\ln z\right)\right\}\end{array}$ (3.7)

$\begin{array}{l}V\left(x\left(0\right),y_1\left(0\right),y_2\left(0\right)\right)+KT\\ \ge \mathbb{E}\left[I_{{\Omega }_z\left(\omega \right)}V\left(x\left({\tau }_z\wedge T\right),y_1\left({\tau }_z\wedge T\right),y_2\left({\tau }_z\wedge T\right)\right)\right]\\ \ge \xi \min \left\{\left(\frac{1}{z}-k_1+k_1\ln z{k}_1\right),\left(\frac{1}{z}-1+\ln z\right)\right\}\end{array}$ (3.8)

其中 $I_{{\Omega }_z}$ 表示 ${\Omega }_z$ 的指标函数，当 $z\to \infty$ 时，可以得到

$\infty >V\left(x\left(0\right),y_1\left(0\right),y_2\left(0\right)\right)+KT=\infty$

这就导致了矛盾，故我们可以得到 ${\tau }_{\infty }=\infty$ a.s.证毕。

4. 遍历平稳分布的存在

因为当随机扰动加入确定性模型时，系统的稳定性会被破坏，从而模型会出现随机弱稳定的特性，从而引起了很多研究者们的关注 [29] [30] [31] [32]。在本节中，我们通过构造李雅普诺夫函数，证明了系统(1.2)存在平稳分布。

定理4.1. 如果 $\frac{nm\beta }{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}>\delta +\beta +\frac{{\sigma }_1^2}{2}$，$a-d>\frac{r+1}{2}{\sigma }_1^2$，则对于系统(1.2)的任意给定的初始值 $\left(x\left(0\right),y_1\left(0\right),y_2\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$，都存在唯一的遍历平稳分布。

证明：为了证明系统(1.2)存在遍历平稳分布，只需证明引理2.1两个条件成立即可。通过题意，显然可以得到系统(1.2)的扩散矩阵为

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{3}{\sum }}{a}_{ij}}\left(x,y\right){\zeta }_i{\zeta }_j=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{1}x{\zeta }_1& {\sigma }_2{y}_1{\zeta }_2& {\sigma }_3{y}_2{\zeta }_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{1}x{\zeta }_1\\ {\sigma }_2{y}_1{\zeta }_2\\ {\sigma }_3{y}_2{\zeta }_3\end{array}\right)\\ ={\sigma }_1^2{x}^2{\zeta }_1^2+{\sigma }_2^2{y}_1^2{\zeta }_2^2+{\sigma }_3^2{y}_2^2{\zeta }_3^2\\ \ge M_0{\Vert \zeta \Vert }^2\end{array}$ (4.1)

对于任意的 $\left(x,y_1,y_2\right)\in {\bar{D}}_{\sigma }\subset {ℝ}_{+}^3$，$\zeta =\left({\zeta }_1,{\zeta }_2,{\zeta }_3\right)\in {ℝ}_{+}^3$，其中 $M_0={\min }_{\left(x,y_1,y_2\right)\in {\bar{D}}_{\sigma }}\left\{{\sigma }_1^2{x}^2,{\sigma }_2^2{y}_1^2,{\sigma }_3^2{y}_2^2\right\}$，引理2.1中的条件(B.1)得证。现在我们证明条件(B.2)。为了证明条件(B.2)，我们构造李雅普诺夫函数

$V_1\left(y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)=-\ln y_1\left(t\right)-k_4\ln y_2\left(t\right)$,$V_2\left(x\left(t\right)\right)=x{\left(t\right)}^{-r}$,

$V_3\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)=\frac{1}{\theta +2}{\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta +2}$,$V_4\left(y_1\left(t\right)\right)=-\ln y_1\left(t\right)$,$V_5\left(y_2\left(t\right)\right)=-\ln y_2(\; t\; )$

其中 $\theta >0$ 是一个足够小的正常数， $M>0,r>0$ 为正常数，其中

$\begin{array}{l}B=\underset{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3}{\sup }\{-\frac{1}{2}{n}^{\theta +3}b{x}^{\theta +3}-\frac{1}{2}e{y}_2^{\theta +2}+anx{\left(nx+y_1+y_2\right)}^{\theta +1}\\ +\frac{\theta +1}{2}{\left(nx+y_1+y_2\right)}^{\theta }\left(n{\sigma }_1^2{x}^2+{\sigma }_2^2{y}_1^2+{\sigma }_3^2{y}_2^2\right)\}\end{array}$ (4.2)

$\lambda =\frac{nm\beta }{e+\frac{{\sigma }_3}{2}}-\left(\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)$ (4.3)

分别对上述V函数利用Itô’s公式可得，

$\begin{array}{c}L{V}_1\left(y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)=-\frac{nm}{y_1\left(t\right)}x\left(t\right)y_2\left(t\right)-\frac{\beta k_4{y}_1\left(t\right)}{y_2\left(t\right)}+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+e{k}_4+\frac{k_4}{2}{\sigma }_3^2\\ \le -2\sqrt{nm\beta k_{4}x\left(t\right)}+\left(\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)+k_4\left(e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}\right)\end{array}$ (4.4)

则有 $k_4=\frac{nm\beta }{{\left(e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}\right)}^2}$ 则对(4.4)利用不等式可得

$\begin{array}{c}L{V}_1\left(y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)\le -\frac{nm\beta }{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}+\left(\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)+\frac{2nm\beta }{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\left(1-\sqrt{x\left(t\right)}\right)\\ =-\left[\frac{nm\beta }{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}-\left(\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\right]+\frac{2nm\beta }{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\left(1-\sqrt{x\left(t\right)}\right)\\ =-\lambda +\frac{2nm\beta }{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\left(1-\sqrt{x\left(t\right)}\right)\end{array}$ (4.5)

$\begin{array}{c}L{V}_2\left(x\left(t\right)\right)=-rx{\left(t\right)}^{-r-1}\left[x\left(t\right)\left(\frac{ax\left(t\right)}{A+x\left(t\right)}-d-bx\left(t\right)-m{y}_2\left(t\right)\right)\right]+\frac{r\left(r+1\right)}{2}x{\left(t\right)}^{-r}{\sigma }_1^2\\ =-rx{\left(t\right)}^{-r}\left(\frac{ax\left(t\right)}{A+x\left(t\right)}-d-bx\left(t\right)-m{y}_2\left(t\right)\right)+\frac{r\left(r+1\right)}{2}x{\left(t\right)}^{-r}{\sigma }_1^2\\ \le -rx{\left(t\right)}^{-r}\left(a-d-\frac{r\left(r+1\right)}{2}{\sigma }_1^2\right)+rbx{\left(t\right)}^{1-r}+m{y}_2\left(t\right)x{\left(t\right)}^{-r}\end{array}$ (4.6)

$\begin{array}{l}L{V}_3={\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta +1}[nx\left(t\right)\left(\frac{ax\left(t\right)}{A+x\left(t\right)}-d-bx\left(t\right)-m{y}_2\left(t\right)\right)\\ \begin{array}{c}\\ \end{array}+nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)-\delta y_1\left(t\right)-\beta y_1\left(t\right)+\beta y_1\left(t\right)-e{y}_2\left(t\right)]\\ +\frac{\theta +1}{2}{\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta }\left(n{\sigma }_1^2{x}^2\left(t\right)+{\sigma }_2^2{y}_1^2\left(t\right)+{\sigma }_3^2{y}_2^2\left(t\right)\right)\\ ={\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta +1}\left(\frac{an{x}^2\left(t\right)}{A+x\left(t\right)}-ndx\left(t\right)-nb{x}^2\left(t\right)-\delta y_1\left(t\right)-e{y}_2\left(t\right)\right)\\ +\frac{\theta +1}{2}{\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta }(n{\sigma }_1^2{x}^2\left(t\right)+{\sigma }_2^2{y}_1^2\left(t\right)+{\sigma }_3^2{y}_2^2(\; t\; ))\end{array}$

$\begin{array}{l}\le {\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta +1}\left(anx\left(t\right)-nb{x}^2\left(t\right)-\delta y_1\left(t\right)-e{y}_2\left(t\right)\right)\\ +\frac{\theta +1}{2}{\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta }\left(n{\sigma }_1^2{x}^2\left(t\right)+{\sigma }_2^2{y}_1^2\left(t\right)+{\sigma }_3^2{y}_2^2\left(t\right)\right)\\ \le anx{\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta +1}-n^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}\left(t\right)-\delta y_1^{\theta +2}\left(t\right)-e{y}_2^{\theta +2}\left(t\right)\\ +\frac{\theta +1}{2}{\left(nx\left(t\right)+y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\right)}^{\theta }\left(n{\sigma }_1^2{x}^2\left(t\right)+{\sigma }_2^2{y}_1^2(t)+{\sigma }_3^2{y}_2^2\left(t\right)\right)\\ \le -\frac{1}{2}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}\left(t\right)-\delta y_1^{\theta +2}\left(t\right)-\frac{1}{2}e{y}_2^{\theta +2}\left(t\right)+B\end{array}$ (4.7)

$L{V}_4\left(y_1\left(t\right)\right)=-\frac{nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)}{y_1\left(t\right)}+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2$ (4.8)

$L{V}_5\left(y_2\left(t\right)\right)=-\frac{\beta y_1\left(t\right)}{y_2\left(t\right)}+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2$ (4.9)

下面我们定义一个C²的函数 $\tilde{V}:{ℝ}_{+}^3\to ℝ$

$\tilde{V}\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)=M{V}_1+V_2+V_3+V_4+V_5$，则有

$\begin{array}{l}V\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)\\ =M{V}_1\left(y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)+V_2\left(x\left(t\right)\right)+V_3\left(x\left(t\right),y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)+V_4\left(y_1\left(t\right)\right)\\ +V_5\left(y_2\left(t\right)\right)-\tilde{V}(x\left(0\right),y_1\left(0\right),y_2(\; 0\; ))\end{array}$

则根据(4.5)~(4.9)可以得到

$\begin{array}{c}LV\le -M\lambda +\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\left(1-\sqrt{x\left(t\right)}\right)-r{x}^{-r}\left(t\right)\left(a-d-\frac{r+1}{2}{\sigma }_1^2\right)\\ +rb{x}^{1-r}\left(t\right)+m{y}_2{x}^{-r}\left(t\right)-\frac{1}{2}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}-\delta y_1^{\theta +2}\left(t\right)-\frac{1}{2}e{y}_2^{\theta +2}\left(t\right)\\ +B-\frac{nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)}{y_1\left(t\right)}+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2-\frac{\beta y_1\left(t\right)}{y_2\left(t\right)}+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\end{array}$ (4.10)

为了证明引理2.1中的条件(B.2)，我们只需要构造一个有界开集 $D_{\epsilon }$，定义有界开集 $D_{\epsilon }$ 为

$D_{\epsilon }=\left\{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3:{\epsilon }^2<x<\frac{1}{{\epsilon }^2},{\epsilon }^4<y_1<\frac{1}{{\epsilon }^4},\epsilon <y_2<\frac{1}{\epsilon }\right\}$，证明 $LV\le -1$ 在 ${ℝ}_{+}^3\backslash D_{\epsilon }$ 成立，其中 $\epsilon$ 是足够小的常数，且满足如下条件：

$\frac{r}{{\epsilon }^{2r}}\left(a-d-\frac{r+1}{2}{\sigma }_1^2\right)+B_1\le -1$ (4.11)

$-\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\epsilon -\frac{1}{4}{n}^{\theta +2}b{\epsilon }^{2\left(\theta +3\right)}-\frac{1}{2}e{\epsilon }^{\theta +2}-\frac{nm}{\epsilon }+B_2\le -1$ (4.12)

$-\beta {\epsilon }^3-M\lambda +B_3\le -1$ (4.13)

$-\frac{1}{4}{n}^{\theta +2}b{\left(\frac{1}{{\epsilon }^2}\right)}^{\theta +3}-\frac{2nm\beta M}{\left(e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}\right)\epsilon }+B_2\le -1$ (4.14)

$-\delta {\left(\frac{1}{{\epsilon }^4}\right)}^{\theta +2}+B_1\le -1$ (4.15)

$-\frac{1}{2}e{y}_2^{\theta +2}+B_1\le -1$ (4.16)

$\begin{array}{l}{B}_1=\underset{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3}{\sup }\{-M\lambda -\frac{1}{2}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}+rb{x}^{1-r}+m{y}_2{x}^{-r}+\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\\ \begin{array}{c}\stackrel{}{}\\ \\ \end{array}+B+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\}\end{array}$ (4.17)

$\begin{array}{l}{B}_2=\underset{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3}{\sup }\{-M\lambda -\frac{1}{4}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}+rb{x}^{1-r}+m{y}_2{x}^{-r}+\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\\ \begin{array}{c}\stackrel{}{}\\ \\ \end{array}+B+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\}\end{array}$ (4.18)

$\begin{array}{l}{B}_3=\underset{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3}{\sup }\{-\frac{1}{2}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}+rb{x}^{1-r}+m{y}_2{x}^{-r}+\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\\ \begin{array}{c}\stackrel{}{}\\ \\ \end{array}+B+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\}\end{array}$ (4.19)

下面，为了证明 $LV\le -1$，我们把 $D_{\epsilon }^c={ℝ}_{+}^3\backslash D_{\epsilon }$ 分为6个区域，

$D_{\epsilon }^1=\left\{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3:x\le {\epsilon }^2\right\}$,$D_{\epsilon }^2=\left\{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3:x>{\epsilon }^2,y_1\le {\epsilon }^4,y_2>\epsilon \right\}$,

$D_{\epsilon }^3=\left\{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3:y_2\le \epsilon ,y_1>{\epsilon }^4\right\}$,$D_{\epsilon }^4=\left\{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3:x>\frac{1}{{\epsilon }^2}\right\}$,

$D_{\epsilon }^5=\left\{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3:y_1>\frac{1}{{\epsilon }^4}\right\}$,$D_{\epsilon }^6=\left\{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3:y_2>\frac{1}{\epsilon }\right\}$

显然， $D_{\epsilon }^c=D_{\epsilon }^1\cup D_{\epsilon }^2\cup D_{\epsilon }^3\cup D_{\epsilon }^4\cup D_{\epsilon }^5\cup D_{\epsilon }^6$，接下来证明对于任意的 $\left(x,y_1,y_2\right)\in D_{\epsilon }^c$ 有 $LV\le -1$，这等价于分别在上述六个域上证明它。

情况1：对于任意的 $\left(x,y_1,y_2\right)\in D_{\epsilon }^1$，我们可以得到

$\begin{array}{c}LV\le -r{x}^{-r}\left(t\right)\left(a-d-\frac{r+1}{2}{\sigma }_1^2\right)-M\lambda -\frac{1}{2}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}+\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}\\ +rb{x}^{1-r}+m{y}_2{x}^{-r}+B+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ \le -\frac{r}{{\epsilon }^{2r}}\left(a-d-\frac{r+1}{2}{\sigma }_1^2\right)+\underset{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3}{\sup }\{-M\lambda -\frac{1}{2}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}\begin{array}{c}{}_{}^{}\\ \\ \end{array}\\ +rb{x}^{1-r}+m{y}_2{x}^{-r}+\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}+B+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\}\\ \le -\frac{r}{{\epsilon }^{2r}}\left(a-d-\frac{r+1}{2}{\sigma }_1^2\right)+B_1\le -1\end{array}$ (4.20)

因此可以得到对于任意的 $\left(x,y\right)\in D_{\epsilon }^1$ 有 $LV\le 1$。

情况2：对于任意的 $\left(x,y_1,y_2\right)\in D_{\epsilon }^2$，我们得到

$\begin{array}{c}LV\le -\frac{2nm\beta M\sqrt{x\left(t\right)}}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}-\frac{1}{4}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}\left(t\right)-\frac{1}{2}e{y}_2^{\theta +2}\left(t\right)-\frac{nmx\left(t\right)y_2\left(t\right)}{y_1\left(t\right)}-M\lambda \\ -\frac{1}{4}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}+rb{x}^{1-r}+m{y}_2{x}^{-r}\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}+B+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ \le -\frac{2nm\beta M\epsilon }{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}-\frac{1}{4}{n}^{\theta +2}b{\epsilon }^{2\left(\theta +3\right)}-\frac{1}{2}e{\epsilon }^{\theta +2}-\frac{nm}{\epsilon }+\underset{\left(x,y_1,y_2\right)\in {ℝ}_{+}^3}{\sup }\{-M\lambda -\frac{1}{4}{n}^{\theta +2}b{x}^{\theta +3}\begin{array}{c}{}_{}{}^{}\\ \\ \end{array}\\ +rb{x}^{1-r}+m{y}_2{x}^{-r}+\frac{2nm\beta M}{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}+B+\delta +\beta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+e+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\}\\ \le -\frac{2nm\beta M\epsilon }{e+\frac{{\sigma }_3^2}{2}}-\frac{1}{4}{n}^{\theta +2}b{\epsilon }^{2\left(\theta +3\right)}-\frac{1}{2}e{\epsilon }^{\theta +2}-\frac{nm}{\epsilon }+B_2\end{array}$ (4.21)