Advances in Applied Mathematics
Vol.
11
No.
08
(
2022
), Article ID:
55196
,
8
pages
10.12677/AAM.2022.118633
与Pell数相关的三角矩阵的一些组合性质
尚宇,刘相芯
辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连
收稿日期:2022年7月24日;录用日期:2022年8月17日;发布日期:2022年8月26日
![](http://html.hanspub.org/file/111-2622699x1_hanspub.png?20140106004731775)
摘要
Pell数 ,记 ,本文主要研究由 构成的三角矩阵以及其伴随三角矩阵 的组合性质,包括:行多项式的实根性和稠密性,矩阵的渐近正态性以及全正性。
关键词
与Pell数相关的三角矩阵,实根性,稠密性,渐近正态性,全正性
![](http://html.hanspub.org/file/111-2622699x6_hanspub.png?20140106004731775)
Some Combinatorial Properties of Triangular Matrices Related to Pell Numbers
Yu Shang, Xiangxin Liu
School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning
Received: Jul. 24th, 2022; accepted: Aug. 17th, 2022; published: Aug. 26th, 2022
ABSTRACT
Pell number , denote . This article studies the combinatorial proprieties of two triangular matrices, one is formed by and the other is the adjoining triangular matrices . More precisely we study the real rootedness and density of the row polynomials, and the asymptotic normality and total positivity of the matrices.
Keywords:Triangular Matrix Related to Pell Numbers, Real Rootedness, Density, Asymptotic Normality, Total Positivity
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
Pell数是组合数学中重要的一类组合数,近年来,Pell数列及其推广引起学者的关注 [1] [2]。Pell数列与Fibonacci数列有着密切的联系,两者之间的关系为:
Pell数列的递归表达式为
通项为:
,对于 时 [1]。
由Pell数表达式,记
则 构成一个三角矩阵,在OEIS (在线整数数列查询网站)中可查为A105070,本文将研究由 构成的三角矩阵。我们将 的行发生函数记作 ,令
并且发现 有互为相伴关系的函数 ,其通项为
三角矩阵为
在组合学中有很多序列有这样的相伴关系,例如Morgan-Voyce多项式,王毅等人研究了其稠密性,渐近正态性以及全正性 [3]。本文我们将对 和 构成的三角矩阵的行多项式的实根性,稠密性以及渐近正态性和矩阵的全正性进行研究。
和 满足下面递归关系
(1)
对于 ,其中 。递归方程是
(2)
在第二节中,我们将展示以上多项式的零点都是实数并且在区间 中。以及多项式的零点在区间 中是稠密的。在第3节中,我们展示了多项式的系数 和 近似正态分布。在第4节中,我们展示了系数矩阵 和 是一个全正矩阵。
2. 多项式的零点
实根性就是指多项式方程的零点为实数。多项式的实根性在组合学和其他数学分支中是重要的研究课题,多项式的实根性的主要应用是证明组合序列的单峰性,对数凹性和PF性质。只有实根的系数全为正的多项式经常出现在组合数学的研究中。对于非负有限序列而言,如果我们能证明它的生成函数的实
根性,再借助牛顿不等式就可以证明其单峰性或对数凹性:如果正系数的多项式 只有实根,则
,对于 。
并且数列 是单峰和对数凹的。下面我们要证明 和 的实根性,在证明之前我们需要引进一个引理2.1。令RZ表示只有实数根的实多项式集合。
引理2.1 ( [4])令 是三个实数多项式,满足以下条件
a) ,其中 是两个实数多项式,则 或 。
b) 且 。
c) F和g首项系数符号相同。
假设 时,有 ,则 且 。特别地,若 时 且 则 。
定理2.2 和 是实根的。
证明由引理2.1根据 和 的递归公式(2)可推出 和 只有实根,运用归纳假设法来证明
1) 当n = 2时, 具备实根性。
2) 假设n = k时成立,即
a) (k为奇数) (k为偶数),
b) ,,
c) 和 有相同符号的首项系数。
当 时, ,则 ,且 ,可得以下条件
a) (k为偶数) (k为奇数),
b) ,,
c) 和 有相同符号的首项系数。
当 时,因为系数都大于零,则实根一定小于零, ,符合引理2.1,实根性得证。 ¨
实际上 和 的根可以写出显示表达,为了给出 和 根的显示表达我们引进引理2.3和引理2.4。
引理2.3 ( [5])令 是满足 ,线性递推关系的一个序列。
若 ,则序列的闭式为
(3)
其中 是特征方程的根。
引理2.4 ( [6])令 ,且 。
i) 若n为奇数,则 。
ii) 若n为偶数,则 。
iii) 若n为奇数,则 。
iv) 若n为偶数,则 。
定理2.5 和 的因式分解形式和根为
(4)
(5)
证明 通过 和 的递推关系(2)由引理2.3我们可以得到 和 的Binet形式
(6)
这里 是特征方程 的两个根。
由引理2.4可以知道
类似的可以得到 的因式分解形式以及根的表达式
¨
显然 和 的所有零点都在区间 中。下面我们将证明这些零点在区间 中是稠密的。在证明之前我们还需要知道定义2.6和引理2.7。
定义2.6 令 为复多项式序列。如果存在序列 使得 且当 时 。现在假设 是满足递归关系
的多项式序列,其中 是x中的多项式。令 是相关特征方程
的所有根。众所周知,如果 是不同的,则
(7)
其中 由初始条件确定。
引理2.7 ( [7])在非退化条件下,在(7)中没有 完全为零,且对于单位模长的 ,没有 使 ,那么x是 的零极限当且仅当
i) 两个或多个 具有相等的模数,并且模数严格地大于其他。
ii) 存在指数j使得 的模数严格大于所有其他 的模数,并且 。
定理2.8 和 的零点在区间 中是稠密的。
证明我们先证明 的稠密性,因为 和 的递推关系是相同的,所以证明也是相同的。我们提出了一个更强的结果:每个 是序列 的零极限。
引理2.7的非退化条件由 的Binet形式成立。故序列 的零极限是满足 的实数x。因为 ,则 。换句话说, 必须是纯虚数(允许0是纯虚数)。因此 ,即 ,即可证明 的零点在区间 中是稠密的。 ¨
3. 渐近正态性
设 是一个双指数非负数序列, 表示正态化概率。如果序列 满足
下式,我们就说序列 通过中心极限定理是渐近正态的 [8]
(8)
其中 和 分别是 的均值和方差。如果序列 满足下式,通过R上的局部极限定理,我们就称序列 是渐近正态的
(9)
那么就有
其中 且 。显然,从(9)可以推出(8)成立。
许多著名的组合序列都具有中心和局部极限定理。例如,著名的de Moivre-Laplace定理指出通过中
心和局部极限定理可以证明二项式系数 是渐近正态的。其他示例包括第一类无符号斯特林数 ,
第二类斯特林数 和欧拉数 。下面我们要证明 和 的矩阵是渐近正态的,为了证明渐近正态性,我们需要用到引理3.1。
引理3.1 ( [3])令 只有实根且 ,其中所有的 和 都是非负的,令
若 ,则 是渐近正态的。
定理3.2 是渐近正态的,并且均值 和方差 。
证明:我们只证明 的结果, 的证明是相似的。通过定理2.5我们有均值为
方差为
当 时, 且 ,所以由引理3.1可以得知 是渐近正态的。 ¨
4. 全正性
如果一个(有限或无限)矩阵的所有子矩阵都是非负的,则称为全正矩阵(简称TP)。令 为非负数的无限序列(我们将有限序列 与无限序列 。定义其Toeplitz矩阵
如果对应的Toeplitz矩阵是TP,我们就说这个序列是一个Pólya频率(简称PF)序列。PF序列的一个基本特征由Schoenberg和Edrei指出:序列 是PF当且仅当它的生成函数满足
其中 ,,,并且 。在这种情况下,我们也说相应的生成函数是PF。我们这一节要证明pell数和函数表达法的原函数相关的三角矩阵的全正性,用Riordan矩阵来证明全正性,下面我们介绍Riordan矩阵的概念。
设 和 是两个形式幂级数。用 表示一个无限矩阵,其第k列的生成函数是 对于 ,当 和 时,我们说R是Riordan矩阵。Riordan矩阵在枚举组合学中起着重要的统一作用,许多著名的组合矩阵都是Riordan矩阵。例如,帕斯卡三角形
是一个Riordan矩阵,并且 。对于Riordan矩阵的全正性有着各种各样的研究,
我们在证明全正性之前要知道引理4.1。
引理4.1 ( [9])如果 和 都是PF,那么Riordan数组 是TP。
定理4.2 U和V都是全正矩阵。
证明: 和 多项式的系数矩阵分别为
由系数矩阵可以求得V的第k列的生成函数为
因此V是Riordan矩阵,并且 。类似的可以得到 。从引理4.1即可得出U和V都是全正矩阵。
5. 结论
由 构成的三角矩阵以及其伴随三角矩阵 的行多项式是实根的,并且零点在区间 中是稠密的。 和 构成的三角矩阵是具备渐近正态性以及全正性的。
文章引用
尚 宇,刘相芯. 与Pell数相关的三角矩阵的一些组合性质
Some Combinatorial Properties of Triangu-lar Matrices Related to Pell Numbers[J]. 应用数学进展, 2022, 11(08): 6007-6014. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.118633
参考文献
- 1. Ivie, J. (1970) Problem B-161. Fibonacci Quarterly, 8, 107-108.
- 2. 杨胜良, 高晓. Riordan矩阵与Pell数[J]. 兰州理工大学学报, 2017(43): 148-151.
- 3. 裴毅, 王毅. Morgan-Voyce多项式的一些新性质[J]. 数学研究及应用: 中文版, 2019(39): 6.
- 4. Liu, L.L. and Wang, Y. (2007) A Unified Approach to Polynomial Sequences with Only Real Zeros. Advances in Applied Mathematics, 38, 542-560. https://doi.org/10.1016/j.aam.2006.02.003
- 5. Brualdi, R.A. (1992) Introductory Combinatorics. 2nd Edition, North-Holland, Amsterdam.
- 6. Beraha, S., Kahane, J. and Weiss, N.J. (1978) Limits of Zeros of Recursively Defined Families of Polynomials. Studies in Foundations and Com-binatorics, 1, 213-232.
- 7. Barnard, S. and Child, J.F. (1955) Higher Algebra. Macmillan, London.
- 8. Bender, E.A. (1973) Central and Local Limit Theorems Applied to Asymptotic Enumeration. Journal of Combinatorial Theory, Series A, 15, 91-111. https://doi.org/10.1016/0097-3165(73)90038-1
- 9. Chen, X. and Wang, Y. (2019) Notes on the Total Positivity of Riordan Arrays. Linear Algebra and Its Applications, 569, 156-161. https://doi.org/10.1016/j.laa.2019.01.015